高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：14.2《直接證明與間接證明》(含解析)

14.2直接證明與間接證明典例精析題型一運(yùn)用綜合法證明【例1】設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)≥8.【證明】因?yàn)閍＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,ab)＝eq\f(a＋b,a)＋eq\f(a＋b,b)＋eq\f(a＋b,ab)＝1＋eq\f(b,a)＋1＋eq\f(a,b)＋eq\f(a＋b,ab)≥2＋＋eq\f(a＋b,(\f(a＋b,2))2)＝2＋2＋4＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立.【點(diǎn)撥】在用綜合法證明命題時，必須首先找到正確的出發(fā)點(diǎn)，也就是能想到從哪里起步，我們一般的處理方法是廣泛地聯(lián)想已知條件所具備的各種性質(zhì)，逐層推進(jìn)，從已知逐漸引出結(jié)論.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a，b，c＞0，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.【證明】因?yàn)閍，b，c＞0，根據(jù)基本不等式，有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c).即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.題型二運(yùn)用分析法證明【例2】設(shè)a、b、c為任意三角形三邊長，I＝a＋b＋c，S＝ab＋bc＋ca.求證：I2＜4S.【證明】由I2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝a2＋b2＋c2＋2S，故要證I2＜4S，只需證a2＋b2＋c2＋2S＜4S，即a2＋b2＋c2＜2S.欲證上式，只需證a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca＜0，即證(a2－ab－ac)＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)＜0，只需證三括號中的式子均為負(fù)值即可，即證a2＜ab＋ac，b2＜bc＋ba，c2＜ca＋cb，即a＜b＋c，b＜a＋c，c＜a＋b，顯然成立，因?yàn)槿切稳我庖贿呅∮谄渌麅蛇呏?故I2＜4S.【點(diǎn)撥】(1)應(yīng)用分析法易于找到思路的起始點(diǎn)，可探求解題途徑.(2)應(yīng)用分析法證明問題時要注意：嚴(yán)格按分析法的語言表達(dá)；下一步是上一步的充分條件.【變式訓(xùn)練2】已知a＞0，求證：eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.【證明】要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只要證eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).因?yàn)閍＞0，故只要證(eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2)2≥(a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2))2，即a2＋eq\f(1,a2)＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))＋4≥a2＋2＋eq\f(1,a2)＋2eq\r(2)(a＋eq\f(1,a))＋2，從而只要證2eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\r(2)(a＋eq\f(1,a))，只要證4(a2＋eq\f(1,a2))≥2(a2＋2＋eq\f(1,a2))，即a2＋eq\f(1,a2)≥2，而該不等式顯然成立，故原不等式成立.題型三運(yùn)用反證法證明【例3】若x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y＞2.求證：eq\f(1＋x,y)＜2或eq\f(1＋y,x)＜2中至少有一個成立.【證明】假設(shè)eq\f(1＋x,y)＜2和eq\f(1＋y,x)＜2都不成立.則eq\f(1＋x,y)≥2，eq\f(1＋y,x)≥2同時成立.因?yàn)閤＞0且y＞0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y＞2相矛盾.因此eq\f(1＋x,y)＜2與eq\f(1＋y,x)＜2中至少有一個成立.【點(diǎn)撥】一般以下題型用反證法：①當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡單、更具體、更明確；②否定命題，唯一性命題，存在性命題，“至多”“至少”型命題；③有的肯定形式命題，由于已知或結(jié)論涉及到無限個元素，用直接證明形式比較困難因而往往采用反證法.【變式訓(xùn)練3】已知下列三個方程：x2＋4ax－4a＋3＝0；x2＋(a－1)x＋a2＝0；x2＋2ax－2a＝0，若至少有一個方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】假設(shè)三個方程均無實(shí)根，則有由(4a)2－4(－4a＋3)＜0，得4a2＋4a－3＜0，即－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)；由(a－1)2－4a2＜0，得(a＋1)(3a－1)＞0，即a＜－1或a＞eq\f(1,3)；由(2a)2－4(－2a)＜0，得a(a＋2)＜0，即－2＜a＜0.以上三部分取交集得M＝{a|－eq\f(3,2)＜a＜－1}，則三個方程至少有一個方程有實(shí)根的實(shí)數(shù)a的取值范圍為?RM，即{a|a≤－eq\f(3,2)或a≥－1}.總結(jié)提高分析法與綜合法各有其優(yōu)缺點(diǎn)：分析法是執(zhí)果索因，比較容易尋求解題思路，但敘述繁瑣；綜合法敘述簡潔，但常常思路阻塞.因此在實(shí)際解題時，需將兩者結(jié)合起來運(yùn)用，先用分析法尋求解題思路，再用綜合法簡潔地敘述解題過程.從邏輯思維的角度看，原命題“p?q”與逆否命題“q?p”是等價的，而反證法是相當(dāng)于由“q”推出“p”成立，從而證明了原命題正確.因此在運(yùn)用反證法的