高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)教案：18.1《絕對(duì)值型不等式》(含解析)

第十八章不等式選講高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能用它證明絕對(duì)值三角不等式等較簡(jiǎn)單的不等式.①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用絕對(duì)值的幾何意義解幾類簡(jiǎn)單的絕對(duì)值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c類型.3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法.4.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用它證明一些簡(jiǎn)單不等式及其他問題.5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用.6.了解排序不等式的推導(dǎo)及意義并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.7.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：本章重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值型不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用.本章難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)——幾何平均不等式及其應(yīng)用；絕對(duì)值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式.本專題在數(shù)學(xué)必修5“不等式”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些重要的不等式，如絕對(duì)值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時(shí)了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，會(huì)用絕對(duì)值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡(jiǎn)單問題.高考中，只考查上述知識(shí)和方法，不對(duì)恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

18.1絕對(duì)值型不等式典例精析題型一解絕對(duì)值不等式【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a對(duì)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝|x－1|＋|x－2|＝所以當(dāng)x＜1時(shí)，3－2x＞3，解得x＜0；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＞3無解；當(dāng)x＞2時(shí)，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因?yàn)閒(x)＝所以f(x)min＝1.因?yàn)閒(x)＞a恒成立，所以a＜1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\r(|x＋1|＋|x－2|＋a).(1)當(dāng)a＝－5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍.【解析】(1)由題設(shè)知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的圖象，知定義域?yàn)?－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時(shí)，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.題型二解絕對(duì)值三角不等式【例2】已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)對(duì)a≠0，a、b∈R恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)≥f(x).又因?yàn)閑q\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)≥eq\f(|a＋b＋a－b|,|a|)＝2，則有2≥f(x).解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(5,2).【變式訓(xùn)練2】(2013深圳模擬)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋eq\f(4,a)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】(－∞，0)∪{2}.題型三利用絕對(duì)值不等式求參數(shù)范圍【例3】(2012遼寧質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，①當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3，不等式組的解集為(－∞，－eq\f(3,2)]；②當(dāng)－1＜x≤1時(shí)，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，不等式組的解集為?；③當(dāng)x＞1時(shí)，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，不等式組的解集為[eq\f(3,2)，＋∞).綜上得f(x)≥3的解集為(－∞，－eq\f(3,2)]∪[eq\f(3,2)，＋∞).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不滿足題設(shè)條件.若a＜1，f(x)＝f(x)的最小值為1－a.由題意有1－a≥2，即a≤－1.若a＞1，f(x)＝f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3.綜上可知a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞).【變式訓(xùn)練3】關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－eq\f(1,2)(a＋1)2|≤eq\f(1,2)(a－1)2與x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(a∈R)的解集分別為A，B.求使A?B的a的取值范圍.【解析】由不等式|x－eq\f(1,2)(a＋1)2|≤eq\f(1,2)(a－1)2?－eq\f(1,2)(a－1)2≤x－eq\f(1,2)(a＋1)2≤eq\f(1,2)(a－1)2，解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0?(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，①當(dāng)3a＋1≥2，即a≥eq\f(1,3)時(shí)，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，因?yàn)锳?B，所以必有解得1≤a≤3；②當(dāng)3a＋1＜2，即a＜eq\f(1,3)時(shí)，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，因?yàn)锳?B，所以解得a＝－1.綜上使A?B的a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3.總結(jié)提高1.“絕對(duì)值三角不等式”的理解及記憶要結(jié)合三角形的形狀，運(yùn)用時(shí)注意等號(hào)成立的條件.2.絕對(duì)值不等式的解法中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＜a的解集是(－a，a)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推廣到復(fù)合型絕對(duì)值不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋b))≤c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋b))≥c的解法，還可以推廣到右邊含未知數(shù)x的不等式，如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋1))≤x－1?1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－b))≥c和eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a))＋eq