高二數(shù)學(xué)專題三角函數(shù)變換人教實(shí)驗(yàn)版(B)知識精講

..高二數(shù)學(xué)專題：三角函數(shù)變換人教實(shí)驗(yàn)版（B）【本講教育信息】.授課內(nèi)容：專題：三角函數(shù)變換.重點(diǎn)與難點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，引誘公式，和、差、倍、半角公式，和積互化公式等三角公式的應(yīng)用。.知識剖析：三角函數(shù)是一類重要的初等函數(shù)，因其在數(shù)列、不等式、剖析幾何（如直線的傾斜角，參數(shù)方程，極坐標(biāo)）、立體幾何（如兩條異面直線成角，直線與平面的成角，二面角）中有著寬泛的應(yīng)用，因此對三角函數(shù)與三角變形要有足夠的認(rèn)識。2.三角函數(shù)的周期性，以及y＝sinx，y＝cosx的有界性是試題經(jīng)常察看的重要內(nèi)容。要掌握形如y＝Asin（ωx＋）或y＝Acos（ωx＋）的函數(shù)的周期的求法；靈便應(yīng)用y＝sinx，y＝cosx的有界性研究某些種類的三角函數(shù)的最值（或值域）問題。三角恒等式的證明因其技巧性較強(qiáng)，一度成為數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，近些年的高考試題對這類題目的察看在減少，要求有所降低，但我們應(yīng)當(dāng)充分重視三角變形，由于其中表現(xiàn)了對三角公式的運(yùn)用能力，特別表現(xiàn)了事物之間互相聯(lián)系，互相轉(zhuǎn)變的辯證思想。鑒于上述幾點(diǎn)原因，建議同學(xué)們在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，做到“立足課本，落實(shí)三基；重視基礎(chǔ)，抓好常例”即復(fù)習(xí)時(shí)以中低檔題目為主，注意求值化簡題以及求取值范圍的習(xí)題，其他，注意充分利用單位圓，三角函數(shù)圖象研究問題?！镜湫屠}】例1.已知sincos1，且，則cossin的值為____________842)2剖析：聯(lián)想cossin與sincos的關(guān)系式：(cossin12sincos可知，欲求cossin的值，不如先求(cossin)2的值，其他，應(yīng)注意到，當(dāng)42時(shí)，sincos，故cossin013剖析：(cossin)212sincos1284而24cossin0cossin3342即cossin的值為32DOC版...例2.已知函數(shù)ysin2xasinx1（a為常數(shù)，且a0），求函數(shù)的最小2值。剖析：若將sinx換元，則函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)，進(jìn)而可把三角函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的最值問題，但要注意到：轉(zhuǎn)變后所得二次函數(shù)的定義域。剖析：設(shè)sinxt，由于xR，故t1，1原函數(shù)化為yt2at12(ta)2a21，t1，1242a2當(dāng)a1，1，即2a0時(shí)，y的最小值為1；242當(dāng)a，，注意到a0，可知，211當(dāng)a1，即a2時(shí)，y取的最小值為1a22a2綜上，得，當(dāng)2a0時(shí)，ymin1；142當(dāng)a2時(shí)，ymina2議論：在求解三角函數(shù)的最值時(shí)，注意三角函數(shù)的有界性。例3.函數(shù)ysin(2x)cos2x的最小正周期是。3剖析：一般地，要求三角函數(shù)的最小正周期，經(jīng)常要用到以下結(jié)論：形如yAsin(x)的最小正周期T2。為此，需先把給定的函數(shù)剖析||式經(jīng)過三角公式，變形為上述結(jié)論中的函數(shù)形式。剖析：ysin(32x)cos2xsincos2xcossin2xcos2x33(3)cos2x(1)sin2x21223sin(2x)其中角知足：tan23，顯然22最小正周期T|2|或按以下方法化簡剖析式：ysin(2x)cos2x3sin(2x)sin(2x)32DOC版...2sin(52x)cos()12122cossin(2x5)12212顯然最小正周期T2|2|議論：一般地，若是給定的函數(shù)剖析式不是形如y＝Asin（ωx＋）的形式，在求其最小正周期時(shí)，經(jīng)常先將剖析式變形為y＝Asin（ωx＋）的形式。例4.若tan，則cos2sin2的值.21cos2剖析一：察看角，函數(shù)名稱的關(guān)系后，易聯(lián)想到全能公式，于是能夠依照以下方式去求值。剖析：原式cos2sin21cos2122cos2sin23cos21tan22tan21tan21tan231tan21tan21tan22tan242tan221(2)22(2)142(2)26剖析二：聯(lián)想到對于sinθ，cosθ的齊次公式能夠化切，于是能夠依照以下方式求值。剖析：原式(cos2sin2)2sincos(sin2cos2)cos21tan22tan1(2)22(2)1tan22(2)226議論：兩對照較，發(fā)現(xiàn)解法二更加簡捷，事實(shí)上，對于已知tanθ的值，而求對于sinθ，cosθ的齊次公式的值時(shí)，方法二更擁有通用性。例5.已知ABC的三內(nèi)角分別為A、B、C，且知足AC2B112，求cosC的值。cosAcosCcosB2剖析：這是一道以三角形為背景資料的三角函數(shù)問題，要注意題中的隱蔽條件：ABC180，又二式聯(lián)立，易得B60，AC120，這對式AC2B子112的變形很有幫助。若把等式左邊通分，積差化積，積cosAcosCcosBcos(AC)的式子，進(jìn)而可求得cos(AC)的值，化和差后，就會變形獲得對于DOC版...再利用半角公式，即可求得cosAC的值，亦可能變形后，直接獲得cosAC22的式子，進(jìn)而立刻求值。剖析：AC2B，又ABC180B60，AC12011cosAcosCcosAcosCcosAcosCACAC2cos2cos21C)cos(AC)cos(A2AC2cos60cos1cos1202cos(AC)2ACcos211C)4cos(A2ACcos21(2cos242ACcos2cos2AC324

AC1)22222cosBcos60即cosAC22(cos2AC3)，解對于cosAC的二次方程2242得cosAC2或cosAC32()22241cosAC32不合題意，應(yīng)舍去，故cosAC224122求值：sin22sincos例6.cos208032080解法一：（利用降冪公式sin21cos2，cos21cos2變形）22原式1cos401cos1603sin20cos802211cos40)3sin20cos80(cos160211(2)sin100sin603sin100sin(60)22DOC版...13sin1003sin100312244解法二：806020sin220cos(cos3sin20)8080sin220cos(6020)cos(6020)3sin20sin220(cos60cos20sin60sin20)(cos60cossin60sin20203sin20)sin220(1cos203sin20)(1cos203sin20)2222sin2201cos2203sin220441sin2201cos2201444例7.已知在一半徑為1，圓心角為的扇形中，有一個(gè)一邊在半徑上的內(nèi)接矩形ABCD，3（如圖），求該矩形的最大面積。DCOαAB剖析：欲求矩形的最大面積，依照函數(shù)的思想就是求面積函數(shù)的最大值，因此需要先依照題意，成立面積函數(shù)，選哪個(gè)量作自變量呢？經(jīng)試一試發(fā)現(xiàn)：選用∠COB＝α為面積函數(shù)的自變量最優(yōu)，于是可成立一個(gè)以角α為自變量的三角函數(shù)來表示矩形面積，進(jìn)而研究該函數(shù)的最值即可。剖析：設(shè)COB，（0）3則BCsin，ABOBOAcos3sin3S矩形ABCDABBC(cos3sin)sin31sin23sin223131cos2sin23221sin23cos232663sin(26)336DOC版...當(dāng)sin(2)，即時(shí)663S矩形ABCD取最大值6【模擬試題】一.選擇題1.函數(shù)ysin(2x5)的圖象的一條對稱軸方程是（）25A.xB.xC.xD.248x42.以下函數(shù)中，以為周期的函數(shù)是（）2A.ysin2xcos4xB.ysin2xcos4xC.ysin2xcos2xD.ysin2xcos2x3.函數(shù)ysin(x)在，2上是（）22A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.偶函數(shù)D.奇函數(shù)4.函數(shù)ysinxcosx2的最小值為（）A.22B.22C.0D.15.函數(shù)yxcosx的部分圖象是（）yyyyOOxOxxOxABCD6.若sin2xcos2x，則x的取值范圍是（）A.3x2k，kZx|2k44B.x|2kx2k5，kZ44C.x|kxk，kZ44D.x|kxk3，kZ4457.已知是第三象限的角，若sin4cos4，則sin2等于（）9A.22B.224D.233C.33DOC版...8.已知是第三象限的角，且sin24，則tan＝（）252A.43433B.C.D.4349.當(dāng)x時(shí)，函數(shù)ysinx3cosx的（）22A.最大值為1，最小值為－1B.最大值為1，最小值為12C.最大值為2，最小值為2D.最大值為2，最小值為1二.填空題10.函數(shù)ysin(x2)的最小正周期為__________11.函數(shù)f(x)3sinxcosx4cos2x的最大值為__________。12.ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若acosBbcosA

，則△ABC的形狀是___________。13.求值：sin7cos15sin8＝_______________cos7sin15sin8三.解答題：14.已知tan1)的值，求sin(22615.在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，設(shè)ac2b，AC，求3sinB的值。16.已知函數(shù)y1cos2x3sinxcosx1，xR22（I）當(dāng)y取最大值時(shí)，求自變量x的集合；（II）該函數(shù)的圖象可由y＝sinx，(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換獲得？DOC版...參照答案.選擇題選（A）提示：由ysin(2x5)sin(2x)cos2x的圖象可知，若其對稱軸方程為xx0，則y22x0即可獲得對稱軸方程。顯然當(dāng)取最值，故只要求出使y取最值時(shí)的，即k（）時(shí)，y取最值，對稱軸方程為xk，，2xkx2kZ2(kZ)k時(shí)，x。12選（D）提示：把A、B、C、D選擇支中的函數(shù)剖析式變形為

yAsin(x)后，易由2，計(jì)算求得TT||2

的只有（D）選（C）提示：ysin(x)cosx2選（A）提示：y2sin(x)2，4當(dāng)sin(x)時(shí)，y有最小值2241選（B）提示：顯然yxcosx為奇函數(shù)，故除去（A）、（C）令x0且x0，判斷出相應(yīng)的y0，即當(dāng)橫坐標(biāo)x0且x0時(shí)，縱坐標(biāo)y0，故棄（D）選（）B選（D）提示：2222由sinxcos，得cosxsinx0x即cos2x0，進(jìn)而2k2x2k3223k4xk，kZ47.選（A）提示：sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos211sin225289sin229DOC版...2k23k24k224k3（kZ）sin20sin2223選（C）sin提示：利用半角公式tg21cos選（D）提示：ysinx3cosx2sin(x)，而x322x6，5，故sin(x)1，13632ymax2，ymin1.填空題最小正周期T2最大值為123sin2x41cos2x5sin(2x)2提示：f(x)222當(dāng)sin(2x)1時(shí)，f(x)取最大值52122ABC是等腰三角形或直角三角形提示：利用正弦定理，有asinAbsinB進(jìn)而sinAcosB，故sinBcosAsin2Asin2B，2A2B或2A2B即AB或AB213.原式＝23原式sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin83sin15cos8133tan(4530)3cos15tan153323cos8313DOC版...sin71(sin23sin7)sin23sin72sin15cos821cos23cos72cos15cos8cos7(cos23cos7)2tan15三.解答題14.解：由tg12212tg24tg2221231tg12()24，cos3，進(jìn)而若是第一象限的角，則sin55sin()6sincoscossin6643314335252104，cos3，進(jìn)而若是第三象限的角，則sin55sin()sincoscossin666(4)3(3)1525243310解：由正弦定理及ac2bsinAsinC2sinB2sinA2CcosAC2sinB2AC2sinB2sin2cos63sinBsinB223BBcosBB180）cos22sin（顯然cos0，否則B2222DOC版...sin