(完整版)高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

第第頁高中數(shù)學(xué)立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一、立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納第一章空間幾何體（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體——由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)體——把一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。2）柱，錐，臺(tái)，球的結(jié)構(gòu)特征棱柱1.1棱柱——有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系：'斜棱柱AB①棱柱＜互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)系：'斜棱柱AB①棱柱＜—棱垂直于底面直棱柱—底面是正多形其他棱柱L正棱柱長(zhǎng)方體底面為正方形卄正四棱柱側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等正方體②四棱柱|底面為平行四邊形平行六面體1.3棱柱的性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形;②四棱柱|底面為平行四邊形平行六面體1.3棱柱的性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形;兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；直棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與高相等，側(cè)面與對(duì)角面是矩形。長(zhǎng)方體的性質(zhì)：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的平方和；【如圖】AC2=AB2+AD2+AA211（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線AC］與過頂點(diǎn)A的三條棱所成的角分別是％卩，丫，那么

cos2a+cos2P+cos2丫=1,sin2a+sin2p+sin2丫=2；（了解）長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線AC1與過頂點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是亠卩，Y，則cos2a+cos2P+cos2丫=2，sin2a+sin2P+sin2丫=1.1.5側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個(gè)全等矩形組成的以底面周長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)為鄰邊的矩形.1.6面積、體積公式：S=c-h直棱柱側(cè)S=c-h+2S，直棱柱全底V=S-h棱柱底其中c為底面周長(zhǎng)，h為棱柱的高）圓柱圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.2.3側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長(zhǎng)和母線長(zhǎng)為鄰邊的矩形.面積、體積公式：S圓柱側(cè)=2兀rh；S圓柱全=2兀rh+2兀r2，V圓柱=S底h"r2h（其中r為底面半徑，h為圓柱高）圓柱側(cè)圓柱全圓柱底棱錐棱錐——有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐——如果有一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。棱錐的性質(zhì)：平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形;正棱錐中六個(gè)元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長(zhǎng)一半，構(gòu)成四個(gè)直角三角形。）（如上圖：VSOB,VSOH,VSBH,VOBH為直角三角形）3.3側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個(gè)全等的等腰三角形組成的。3.4面積、體積公式：S正棱錐側(cè)=2ch，S正棱錐全=2ch+S底，v棱錐=3S底°h.（其中c為底面周長(zhǎng)，h側(cè)面斜高，h棱錐的高）

圓錐4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。圓錐的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點(diǎn)到截面的距離與頂點(diǎn)到底面的距離之比；軸截面是等腰三角形；如右圖：vSAB如右圖：l2=h2+r2.4.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點(diǎn)為圓心以母線長(zhǎng)為半徑的扇形。面積、體積公式：S圓錐側(cè)兀刃，S圓錐全“r（廠+1），V圓錐=3兀r2h（其中r為底面半徑，h為圓錐的高，1為母線長(zhǎng)）棱臺(tái)AB棱臺(tái)——用一個(gè)平行于底面的平面去截棱AB錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái).5.2正棱臺(tái)的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺(tái)的兩個(gè)底面以及平行于底面的截面是正多邊形；如右圖：四邊形O'MNO,O'B'BO都是直角梯形棱臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成棱錐研究?如右圖：vSOM與VSONvS'O'B'與VSOB相似，注意考慮相似比.15.3棱臺(tái)的表面積、體積公式：S=S+S+S側(cè)，V棱云；（（S+二SS7+S'）h，（其中S,S'是全上底下底棱臺(tái)3S1-嚴(yán)BO母線底面h側(cè)面軸截面-_\氣上，下底面面積，h為棱臺(tái)的高）S1-嚴(yán)BO母線底面h側(cè)面軸截面-_\氣圓臺(tái)圓臺(tái)——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).圓臺(tái)的性質(zhì)：圓臺(tái)的上下底面，與底面平行的截面都是圓；圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形；圓臺(tái)經(jīng)常補(bǔ)成圓錐來研究。如右圖：VSO'A與VSOB相似，注意相似比的應(yīng)用.6.3圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇環(huán)；6?4圓臺(tái)的表面積、體積公式：S全fr2+冗R2+冗（R+r）1，V圓臺(tái)r1（s+€亦+s'甘1（冗r2+冗rR+冗R2)h,（其中r,R為上下底面半徑，h為高）①球心與截面圓心的連線垂直于截面；OdBA^-O1注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.（其中①球心與截面圓心的連線垂直于截面；OdBA^-O1注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.（其中R為球的半徑）球球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱球.或空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球；球的性質(zhì)②r=R2一d2（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長(zhǎng)例：（06年福建卷）已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為一冗，則正方體的棱3長(zhǎng)為（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。三視圖——是觀察者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方，“長(zhǎng)度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡(jiǎn)記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬”.（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。直觀圖：直觀圖——是觀察著站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。斜二測(cè)法：stepl：在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy,（即取Zxoy=90°）；step2：畫直觀圖時(shí)，把它畫成對(duì)應(yīng)的軸o'x',o'y'，取厶'o'y'=45°（or135°），它們確定的平面表示水平平面；step3:在坐標(biāo)系x'o'y'中畫直觀圖時(shí)，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長(zhǎng)度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長(zhǎng)度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測(cè)法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的Z倍.解決兩種常見的題型時(shí)應(yīng)注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時(shí)，一般先考慮“俯視圖”.（2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時(shí)，能看見的輪廓線和棱畫成實(shí)線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（一）平面的基本性質(zhì)平面——無限延展，無邊界三個(gè)定理與三個(gè)推論公理1：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi).圖形語言：符號(hào)語言：公理2：不．共．線．的三點(diǎn)確定一個(gè)平面.圖形語言：推論1：直線與直線外的一點(diǎn)確定一個(gè)平面.圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面.圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面.圖形語言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線（兩個(gè)平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點(diǎn)在線上.圖形語言：符號(hào)語言：形語言，文字語言，符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化：

ABa圖形語吞文字語壽符號(hào)語書點(diǎn)A在氓線“I:點(diǎn)BABa圖形語吞文字語壽符號(hào)語書點(diǎn)A在氓線“I:點(diǎn)B在件線紅外點(diǎn)A任平fifa外點(diǎn)B在平而<i內(nèi)直線過與平面n和交「點(diǎn)a￡?A<t=J11線玄在平面a內(nèi)直線b在平面口外“UG石a悅a/胃線直線ha/胃線直線h交F點(diǎn)Aa（~\b=A香翳與平面B相交于申―（二）空間圖形的位置關(guān)系「共面:aIb=A,a//b1?空間直線的位置關(guān)系：［異面:&與b異面平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表述：a//b,b//cna//c等角定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線：（1）定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；（2）判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過此點(diǎn)的直線是異面直線。

圖形語言：DP"圖形語言：DAea「口=符號(hào)語言：}=PA與a異面aua1.4異面直線所成的角：（1）范圍：Qe（0。,90。]；（2）作異面直線所成的角：平移法.如右圖，在空間任取一點(diǎn)0,過O作a'//a,b'//b，則ab所成的Q角為異面直線a,b所成的角。特別地，找異面直線所成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)（如線段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線所成的角.（1lua2?直線與平面的位置關(guān)系：「[IIa=Alwa<Il//a（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）1?線面平行：定義：直線與平面無公共點(diǎn).a//b、判定定理：a匸a//a（線線平行n線面平行）【如圖】buaa//a③性質(zhì)定理：au卩a//b（線面平行n線線平行）【如圖】aIP=b

④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：11a=0nl//a（用于判斷）；（ii）"http://Plna//Pau"http://Plna//Pauaj判定定理：awojna//a“線線平行n面面平行”（用于證明）；（iii）buab丄a“面面平行n線面平行”（用于證明）；（4）b丄a}na//a（用于判斷）;awa2?線面斜交：11a=A①直線與平面所成的角（簡(jiǎn)稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角?！救鐖D】PO丄a于O,則AO是PA在平面a內(nèi)的射影，則ZPAO就是直線PA與平面a所成的角。范圍：0』0°,90。］,注：若lua或1//a，貝y直線1與平面a所成的角為0。；若1丄a,則直線1與平面a所成的角為90。。3?面面平行：①定義：aI卩=0na//卩；②判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么兩個(gè)平面互相平行;符號(hào)表述：a,bua,aIb=O,a//a,b//ana//卩【如下圖①】圖①圖②推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面的兩條直線，那么這兩個(gè)平面互相平行符號(hào)表述：a,bua,aIb=O,a',b'u卩,a//a',b//b'na//卩【如上圖②】判定2：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.符號(hào)表述：a丄a,a丄卩na//卩.【如右圖】判定與證明面面平行的依據(jù)：（1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2

④面面平行的性質(zhì)：（1）a//paua④面面平行的性質(zhì)：（1）a//pauana//p（面面平行n線面平行）；（2）aI丫=aa//bPIY=b（面面平行n線線平行）（3）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。【如圖】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）1.線面垂直定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號(hào)表述：若任意aua,都有l(wèi)丄a，且l匸a,則lda.a,buaaIb=O判定定理：l#al丄a（線線垂直n線面垂直）l丄al丄b_性質(zhì)：（1）l丄a,auanl丄a（線面垂直n線線垂直）；（2）a丄a,b丄ana//b；a//b]證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；⑵判定定理（常用）；（3）。丄』nb"a丄P、a//P]caIP=b（較常用）；（4）,>na丄p；（5）}na丄卩（面面垂直n線面垂直）a丄ajauaa丄b常用；三垂線定理及逆定理：（I）斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段與斜線段中，PO丄a（1）斜線相P等O射影相等；（2）斜線越長(zhǎng)O射影越長(zhǎng)；（3）垂線段最短?！救鐖D】PB=PCoOB=OC；PA〉PBoOA〉OB（II）三垂線定理及逆定理：已知PO丄a,斜線PA在平面a內(nèi)的射影為OA,aua，P若a丄OA，則a丄PA垂直射影n垂直斜線，此為三垂線定理；若a丄PA，則a丄OA垂直斜線n垂直射影，此為三垂線定理的逆定理；三垂線定理及逆定理的主要應(yīng)用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點(diǎn)到線的垂線段；【如圖】

3.2面面斜交二面角：（1）定義：【如圖】TOC\o"1-5"\h\zOB丄l,OA丄lnZAOB是二面角a-l-卩的平面角'范圍：ZAOBe[0。,180。]作二面角的平面角的方法：（1）定義法；（2）三垂線法（常，.-用）；（3）垂面法.「°:3.3面面垂直（1）定義：若二面角么―l—卩的平面角為90。，則a丄卩；auaaauaa丄卩丄卩（線面垂直n面面垂直）（3）性質(zhì)：①若a丄卩，二面角的一個(gè)平面角為ZMON，則ZMON二90。；:丄*aua或a〃a:丄*aua或a〃aaIB=ABc②a丄卩（面面垂直n線面垂直）;auaa丄ABa丄B、Aea③>nauaAea二、立體幾何常見題型歸納例講1、概念辨析題：（1）此題型一般出現(xiàn)在填空題，選擇題中，解題方法可采用排除法，篩選法等。（2）對(duì)于判斷線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系等方面的問題，必須在熟練掌握有關(guān)的定理和性質(zhì)的前提下，利用長(zhǎng)方體，正方體，實(shí)物等為模型來進(jìn)行判斷。你認(rèn)為正確的命題需要證明它，你認(rèn)為錯(cuò)誤的命題必須找出反例。（3）相關(guān)例題：課本和報(bào)紙上出現(xiàn)很多這樣的題型，舉例說明如下：例:（04年北京卷）設(shè)m，n是兩條不同的直線，a,卩,y是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)說法：①m丄a,n//anm丄n:②a//卩,卩//y,m丄anm丄y:③m//a,n//anm//n④a丄y,卩丄yna//卩，說法正確的序號(hào)是：2、證明題。證明平行關(guān)系，垂直關(guān)系等方面的問題。（1）基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：請(qǐng)根據(jù)以上知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，寫出相關(guān)定理的圖形語言與符號(hào)語言.(2)相關(guān)例題：例1(06廣州市高一質(zhì)量抽測(cè))如右圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).求證：EF〃平面CBR；求證：B]D]丄平面CAA1C1例2.如圖，已知矩形ABCD中，AB=10,BC=6,將矩形沿對(duì)角線BD把厶ABD折起，使A移到A點(diǎn)，且A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.11(I)求證：BC丄AD；1(II)求證：平面A1BC丄平面A1BD;(III)求三棱錐A1-BCD的體積(答案:V=48)Aj-BCD3、計(jì)算題。包括空間角(異面直線所成的角，線面角，二面角)和空間幾何體的表面積、體積的計(jì)算。（1）對(duì)于空間角和空間距離的計(jì)算，關(guān)鍵是做好“三步曲”:stepl：找；step2：證；step3：計(jì)算。1?1求異面直線所成的角0e（0。,90°1：解題步驟：一找（作）：利用平移法找出異面直線所成的角；（1）可固定一條直線平移另一條與其相交；（2）可將兩條一面直線同時(shí)平移至某一特殊位置。常用中位線平移法二證：證明所找（作）的角就是異面直線所成的角（或其補(bǔ)角）。常需要證明線線平行三計(jì)算：通過解三角形，求出異面直線所成的角；1.2求直線與平面所成的角0e[0°,90°]：關(guān)鍵找“兩足”：垂足與斜足解題步驟：一找：找（作）出斜線與其在平面內(nèi)的射影的夾角（注意三垂線定理的應(yīng)用）；二證：證明所找（作）的角就是直線與平面所成的角