倒立擺系統(tǒng)的建模和Matlab仿真

PAGE.9/9倒立擺系統(tǒng)的建模及Matlab仿真1.系統(tǒng)的物理模型考慮如圖<1>所示的倒立擺系統(tǒng)。圖中,倒立擺安裝在一個小車上。這里僅考慮倒立擺在圖面內運動的二維問題。圖<1>倒立擺系統(tǒng)假定倒立擺系統(tǒng)的參數如下。擺桿的質量：m=0.1g擺桿的長度：l=1m小車的質量：M=1kg重力加速度：g=9.8m/擺桿的質量在擺桿的中心。 設計一個控制系統(tǒng),使得當給定任意初始條件<由干擾引起>時,最大超調量≤10%,調節(jié)時間ts≤4s,通過小車的水平運動使倒立擺保持在垂直位置。2.系統(tǒng)的數學模型2.1建立倒置擺的運動方程并將其線性化。為簡化問題,在數學模型中首先假設：1>擺桿為剛體；2忽略擺桿與支點之間的摩擦；3忽略小車與接觸面間的摩擦。設小車瞬時位置為z,擺心瞬時位置為〔,在u作用下,小車及擺均產生加速遠動,根據牛頓第二定律,在水平直線遠動方向的慣性力應與u平衡,于是有即：①繞擺軸轉動的慣性力矩與重力矩平衡,因而有即：②以上兩個方程都是非線性方程,為求得解析解,需作線性化處理。由于控制的目的是保持倒立擺直立,在試駕合適的外力條件下,假定θ很小,接近于零時合理的,則,且可忽略項。于是有③④聯(lián)立求解可得2.2列寫系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。選取系統(tǒng)變量,則即代入數據計算得到：3.設計控制器3.1判斷系統(tǒng)的能控性和穩(wěn)定性,rank<>=4,故被控對象完全可控由特征方程解得特征值為0,0,。出現(xiàn)大于零的特征值,故被控對象不穩(wěn)定3.2確定希望的極點希望的極點n=4,選其中一對為主導極點和,另一對為遠極點,認為系統(tǒng)性能主要由主導極點決定,遠極點只有微小影響。根據二階系統(tǒng)的關系式,先確定主導極點可得,于是取；取誤差帶,則,閉環(huán)主導極點為=-10.8j,遠極點選擇使它和原點的距離大于主導極點與原點距離的5倍,取3.3采用狀態(tài)反饋方法使系統(tǒng)穩(wěn)定并配置極點狀態(tài)反饋的控制規(guī)律為,；狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,其特征多項式為⑤希望特征多項式為⑥比較以上兩式系數,解得狀態(tài)反饋矩陣4.設計全維觀測器4.1判斷系統(tǒng)的能觀性,rank<>=4,故被控對象完全可觀4.2確定觀測器的反饋增益全維觀測器的動態(tài)方程為；其特征多項式為⑦取觀測器的希望極點為：-45,-45,-3+3j,-3-3j；則希望特征多項式為⑧比較以上兩式系數,解得觀測器反饋矩陣5.降維狀態(tài)觀測器的設計5.1建立倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程設小車位移z由輸出傳感器測量,因而無需估計,可以設計降維〔三維狀態(tài)觀測器,通過重新排列被控系統(tǒng)變量的次序,把需由降維狀態(tài)觀測器估計的狀態(tài)變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量分離開。將z作為第四個狀態(tài)變量,則被控系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程變換為⑨簡記為：式中,,,,,=0,,被控系統(tǒng)的n-q維子系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為,式中,為子系統(tǒng)輸出量。故倒置擺三維子系統(tǒng)動態(tài)方程為5.2.判斷子系統(tǒng)的可觀測性A1=[0-10;001;0110];C1=[100];Qg1=obsv<A1,C1>;r=rank<Qg1>運行Matlab程序；結果為r=3,故該子系統(tǒng)可觀測降維狀態(tài)觀測器動態(tài)方程的一般形式為式中h=。考慮被控對象參數,單倒置擺降維觀測器動態(tài)方程的一般形式為5.3確定三維狀態(tài)觀測器的反饋矩陣h三維狀態(tài)觀測器的特征多項式為設希望的觀測器閉環(huán)極點為-45,-3+3j,-3-3j,則希望特征多項式為比較以上兩式系數,解得h=故所求三維狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程為6.Matlab仿真分析6.1源程序通過Matlab對用全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋的倒置擺系統(tǒng)進行仿真分析,下面是文件名為Inversion_pendulum_system.m的源程序%倒立擺系統(tǒng)建模分析%a>判斷系統(tǒng)能控性和能觀性clearall;clcA=[0100;00-10;0001;00110];B=[0;1;0;-1];C=[1000];D=0;Uc=ctrb<A,B>;rc=rank<Uc>;n=size<A>;ifrc==ndisp<'Thesystemiscontrolled.'>elseifrc<ndisp<'Thesystemisuncontrolled.'>endVo=obsv<A,C>;ro=rank<Vo>;ifro==ndisp<'Thesystemisobservable.'>elseifro~=ndisp<'Thesystemisnoobservable.'>end%b>判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性P=poly<A>,v=roots<P>Re=real<v>;if<length<find<Re>0>>~=0>disp<'Thesystemisunstableandtheubstablepolesare:'>v<find<Re>0>>elsedisp<'Thesystemisstable!'>;end%c>極點配置與控制器-全維狀態(tài)觀測器設計與仿真pc=[-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15];po=[-45-45-3+3*j-3-3*j];K=acker<A,B,pc>,G=acker<A',C',po>'Gp=ss<A,B,C,D>;%將受控過程創(chuàng)建為一個LTI對象disp<'受控對象的傳遞函數模型：'>;H=tf<Gp>Af=A-B*K-G*C;disp<'觀測器——控制器模型：'>;Gc=ss<Af,-G,-K,0>%將觀測器-控制器創(chuàng)建為一個LTI對象disp<'觀測器——控制器的極點：'>;f_poles=pole<Gc>GpGc=Gp*Gc;%控制器和對象串聯(lián)disp<'觀測器——控制器與對象串聯(lián)構成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：'>;Gcl=feedback<GpGc,1,-1>%閉環(huán)系統(tǒng)disp<'閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：'>;c_poles=pole<Gcl>c_zeros=tzero<Gcl>lfg=dcgain<Gcl>%低頻增益N=1/lfg%歸一化常數T=N*Gcl;%將N與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數串聯(lián)x0=[1001030100000];%初始條件向量t=[0:0.01:1]';%時間列向量r=0*t;%零參考輸入[ytx]=lsim<T,r,t,x0>;%初始條件仿真plot<t,x<:,1:4>,'-.',t,x<:,5:8>>%由初始條件引起的狀態(tài)響應title<'\bf狀態(tài)響應'>legend<'x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat','x3hat','x4hat'>figure<2>step<T>title<'\bf階躍響應'>figure<3>impulse<T>title<'\bf脈沖響應'>6.2程序運行結果Thesystemiscontrolled.Thesystemisobservable.P=10-1100v=003.3166-3.3166Thesystemisunstableandtheubstablepolesare:ans=3.3166K=-36.9000-49.9200-334.5400-81.9200G=962594-14826-64984受控對象的傳遞函數模型Transferfunction:s^2-1.776e-015s-10s^4-11s^2觀測器——控制器模型：a=x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92b=u1x1-96x2-2594x31.483e+004x46.498e+004c=x1x2x3x4y136.949.92334.581.92d=u1y10Continuous-timemodel.觀測器——控制器的極點：f_poles=1.0e+002*-1.4948+1.8786i-1.4948-1.8786i1.7424-0.0328觀測器——控制器與對象串聯(lián)構成的閉環(huán)系統(tǒng)模型：a=x1x2x3x4x5x101000x200-1036.9x300010x400110-36.9x596000-96x62594000-2557x7-1.483e+0040001.483e+004x8-6.498e+0040006.495e+004x6x7x8x1000x249.92334.581.92x3000x4-49.92-334.5-81.92x5100x649.92333.581.92x7001x8-49.92-323.5-81.92b=u1x10x20x30x40x5-96x6-2594x71.483e+004x86.498e+004c=x1x2x3x4x5x6x7x8y110000000d=u1y10Continuous-timemodel.閉環(huán)系統(tǒng)的極點和零點：c_poles=-45.0000-45.0000-15.0001