北京課改版五年級(下)數(shù)學復習提綱

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一長方體和正方體

【概念】

1、由6個長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形）圍成的立體圖形叫做長方體。在一個長方體中，相對面完全相同，相對的棱長度相等。

2、兩個面相交的邊叫做棱。三條棱相交的點叫做頂點。相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長方體的長、寬、高。

3、由6個完全相同的正方形圍成的立體圖形叫做正方體（也叫做立方體）。正方體有12條棱，它們的長度都相等，所有的面都完全相同。

4、長方體和正方體的面、棱和頂點的數(shù)目都一樣，只是正方體的棱長都相等，正方體可以說是長、寬、高都相等的長方體，它是一種特殊的長方體。

5、長方體有6個面，8個頂點，12條棱，相對的面的面積相等，相對的棱的長度相等。一個長方體最多有6個面是長方形，最少有4個面是長方形，最多有2個面是正方形。正方體有6個面，每個面都是正方形，每個面的面積都相等，有12條棱，每條的棱的長度都相等。

長方體的棱長總和=（長+寬+高）×4L=（a＋b＋h）×4

長=棱長總和÷4－寬－高a=L÷4－b－h(huán)

寬=棱長總和÷4－長－高b=L÷4－a－h(huán)

高=棱長總和÷4－長－寬h=L÷4－a－b

正方體的棱長總和=棱長×12L=a×12

正方體的棱長=棱長總和÷12a=L÷12

6、長方體或正方體6個面和總面積叫做它的表面積。

長方體的表面積=（長×寬＋長×高＋寬×高）×2S=2（ab＋ah＋bh）

無底（或無蓋）長方體表面積=長×寬＋（長×高＋寬×高）×2

S=2（ab＋ah＋bh）－abS=2（ah＋bh）＋ab

無底又無蓋長方體表面積=（長×高＋寬×高）×2S=2（ah＋bh）

正方體的表面積=棱長×棱長×6S=a×a×6

7、物體所占空間的大小叫做物體的體積。常用的體積單位有立方厘米，立方分米和立方米，可以寫成cm3，dm3，m3。

長方體的體積=長×寬×高

V=abh長=體積÷寬÷高

a=V÷b÷h寬=體積÷長÷高

b=V÷a÷h高=體積÷長÷寬h=V÷a÷b

正方體的體積=棱長×棱長×棱長V=a×a×a

8、箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做他們的容積。常用的容積單位有升和毫升，也可以寫成L和ml。

1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升

9、a3讀作“a的立方”表示3個a相乘，（即axaxa）

【體積單位換算】高級單位低級單位

低級單位高級單位

體積單位進率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米

1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升1立方厘米＝1毫升

×進率

÷進率

面積單位進率：1平方米=100平方分米=10000平方厘米

1平方千米=100公頃=1000000平方米重量單位進率：

時間單位進率：

長度單位進率：

二因數(shù)和倍數(shù)

1、整除：被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，并且沒有余數(shù)。

大數(shù)能被小數(shù)整除時，大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，小數(shù)是大數(shù)的因數(shù)。

找因數(shù)的方法：

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身。

2、自然數(shù)按能不能被2整除來分：奇數(shù)偶數(shù)

奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)

偶數(shù)：能被2整除的數(shù)。

最小的奇數(shù)是1，最小的偶數(shù)是0.

個位上是0，2，4，6，8的數(shù)都是2的倍數(shù)。

個位上是0或5的數(shù)，是5的倍數(shù)。

一個數(shù)各位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

能同時被2、3、5整除的最大的兩位數(shù)是90，最小的三位數(shù)是120。

奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)±偶數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)±奇數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)＝奇數(shù)

偶數(shù)個偶數(shù)相加是偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)相加是奇數(shù)。

偶數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)＝奇數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)＝偶數(shù)

相臨兩個自然數(shù)之和為奇數(shù)，相鄰自然數(shù)之積為偶數(shù)。

如果乘式中有一個數(shù)為偶數(shù)，那么乘積一定是偶數(shù)。

3、自然數(shù)按因數(shù)的個數(shù)來分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、1.

質(zhì)數(shù)：有且只有兩個因數(shù)，1和它本身

合數(shù)：至少有三個因數(shù)，1、它本身、別的因數(shù)

1：只有1個因數(shù)。“1”既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。

20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：有8個（2、3、5、7、11、13、17、19）

100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

4、質(zhì)因數(shù)

質(zhì)因數(shù)：如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的因數(shù)，那么這個質(zhì)數(shù)就是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。

分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相成的方式表示出來叫做分解質(zhì)因數(shù)。

用短除法分解質(zhì)因數(shù)（一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式）如：4=2×2，6=2×3，8=2×2×2。

5、公因數(shù)、最大公因數(shù)

幾個數(shù)公有的因數(shù)叫這些數(shù)的公因數(shù)。其中最大的那個就叫它們的最大公因數(shù)。

求最大公因數(shù)的方法：

（1）列舉法：就是把幾個數(shù)的所有因數(shù)都寫出來，通過對比、觀察、找出最大公因數(shù)。

12的因數(shù)有：1、2、3、4、6、12。

18的因數(shù)有：1、2、3、6、9、18。

12和18的公因數(shù)有：1、2、3、6。

12和18的最大公因數(shù)是6

（2）分解質(zhì)因數(shù)法：就是將幾個數(shù)各自分解成質(zhì)因數(shù)的形式，把公有的質(zhì)因數(shù)相乘得到的就是最大公因數(shù)。

如：12=2×2×3

18=2×3×3

12和18的最大公因數(shù)是2×3=6。

（3）短除法：除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)連乘起來

如：12和18的最大公因數(shù)是2×3=6

3

23

幾個數(shù)的公因數(shù)只有1，就說這幾個數(shù)互質(zhì)。

兩數(shù)互質(zhì)的特殊情況：

⑴1和任何自然數(shù)互質(zhì)；

⑵2和所有奇數(shù)互質(zhì)；

⑶相鄰兩個自然數(shù)互質(zhì)；

⑷兩個連續(xù)奇數(shù)一定互質(zhì)

⑸兩個質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)；

⑹質(zhì)數(shù)與比它小的合數(shù)互質(zhì)；

如果兩數(shù)是倍數(shù)關系時，那么較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么1就是它們的最大公因數(shù)。

兩個數(shù)分別除以他們的最大公因數(shù)，所得商互質(zhì)。

6、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)

幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫這些數(shù)的公倍數(shù)。其中最小的那個就叫它們的最小公倍數(shù)。公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的因數(shù)。

最小公倍數(shù)是最大公因數(shù)的倍數(shù)。最大公因數(shù)是最小公倍數(shù)的因數(shù)。

求最小公倍數(shù)的方法：

（1）列舉法：就是把幾個數(shù)的所有因數(shù)都寫出來，通過對比、觀察、找出最小公倍數(shù)。

12的倍數(shù)有：12、24、36、48、60、72……

18的倍數(shù)有：18、36、54、72……

12和18的公倍數(shù)有36、72等

12和18的最小公倍數(shù)是36

（2）分解質(zhì)因數(shù)法：就是將幾個數(shù)各自分解成質(zhì)因數(shù)的形式，全部公因數(shù)和全部商的乘積即為最小公倍數(shù)。

如：12=2×2×3

18=2×3×3

12和18的最小公倍數(shù)是2×3×2×3=36。

（3）短除法：用短除法求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到互質(zhì)為止，把所有的除數(shù)和商連乘起來）；用短除法求三個數(shù)的最小公倍數(shù)（除到兩兩互質(zhì)為止，把所

有的除數(shù)和商連乘起來）

如：12和18的最大公因數(shù)是2×3×2×3=36

3

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如果兩數(shù)是倍數(shù)關系時，那么較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。

如果兩數(shù)互質(zhì)時，那么它們的積就是它們的最小公倍數(shù)。

兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

7、完全數(shù)（完美數(shù)）

6的因數(shù)有1，2，3，6，這幾個因數(shù)的關系是：1+2+3=6，像6這樣的數(shù)叫完全數(shù)，也叫完美數(shù)。完全數(shù)較小的有6，28，496，8128……

三分數(shù)的意義和性質(zhì)

1、分數(shù)的意義

在進行測量、分物或計算時，往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果，這時常用分數(shù)來表示。

分數(shù)的意義：一些物體﹑一些物體等都可以看作一個整體，把這個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數(shù)來表示。

一個整體可以用自然數(shù)1來表示，通常把它叫做單位“1”。把單位“1”平均分為若干份，表示其中的一份的數(shù)叫分數(shù)單位。如：2/3的分數(shù)單位是1/3。

分數(shù)與除法的關系：分子相當于被除數(shù)，分母相當于除數(shù)，分數(shù)線相當于除號，分數(shù)值相當于商，分母不能等于零。如a÷b＝a/b（b≠0）

2、真分數(shù)與假分數(shù)

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫真分數(shù)。真分數(shù)小于1。

假分數(shù)：分子比分母大或分子和分母相等的分數(shù)叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于1或等于1。

4

帶分數(shù)：帶分數(shù)由整數(shù)和真分數(shù)兩部分組成。如1

5

假分數(shù)化成整數(shù)或帶分數(shù)：用分子除以分母，要是能夠整除，那么整除后的商就是你所要化簡的整數(shù)，要是不能整除，那么商就是帶分數(shù)的整數(shù)部分，余數(shù)就是分數(shù)的分子，分母不變。

3、分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母同時乘或者除以相同的數(shù)（0除外，分數(shù)的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，），分數(shù)大小不變。根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)可以進行約分和通分。

4、約分

約分：把一個分數(shù)化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。

最簡分數(shù)：分子分母互質(zhì)的分數(shù)（最簡真分數(shù)、最簡假分數(shù)）

約分的方法：

（1）分子分母同時除以它們的公因數(shù)，一直除到是最簡分數(shù)為止。

（2）分子分母同時除以它們的最大公因數(shù)。

5、通分

通分：把異分母分數(shù)分別化成和原來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。

通分的方法：通常把兩個分數(shù)化成以分母的最小公倍數(shù)為公分母的分數(shù)。注意根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，分母乘幾，分子也乘幾。

6、分數(shù)大小的比較：

分母相同，分子大的分數(shù)大；

分子相同，分母大的反而小。

異分母的分數(shù)相比較，先通分然后再比較。

7、分數(shù)和小數(shù)的互化：

分數(shù)化小數(shù)：用分子除以分母，除不盡時，要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。

小數(shù)化分數(shù)：把小數(shù)先化成以10、100、1000……為分母的分數(shù)，如0.7=7/10，如果不是最簡分數(shù)必須化成最簡分數(shù)。

最簡分數(shù)的分母只含有質(zhì)因數(shù)2和5,這個分數(shù)一定能化成有限小數(shù)。如果含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，就不能化成有限小數(shù)。

分數(shù)化簡包括兩步：一是約分；二是把假分數(shù)化成整數(shù)或帶分數(shù)。

21=0.541=0.2543=0.7551=0.252=0.453=0.65

4=0.881=0.12583=0.37585=0.62587=0.875201=0.0525

1=0.04。

四分數(shù)的加法和減法

1、分數(shù)的加減法：

同分母分數(shù)相加、減，分母不變，只把分子相加減。

分母不同的分數(shù)，要先通分才能相加減。

計算的結(jié)果，能約分的要約成最簡分數(shù)。

分數(shù)加減混合運算的順序與整數(shù)加減混合運算的順序相同。有括號的先算括號里面的；沒有括號的，按照從左到右的順序依次計算。

整數(shù)加法的交換律、結(jié)合律對分數(shù)假發(fā)同樣適用。

2、帶分數(shù)加減法:

帶分數(shù)相加減，整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的結(jié)果合并起來。

五統(tǒng)計

1、概念

眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)。眾數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的集中情況。

在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)可能不止一個，也可能沒有眾數(shù)。

中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的數(shù)序排列，在中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。中位數(shù)能夠反映一組數(shù)據(jù)的一般情況，中等水平。

中位數(shù)的求法：1、按大小排列。2、如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是單數(shù)，那么最中間的那個數(shù)就是中位數(shù)；3、如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是雙數(shù)，那么最中間的那兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)。

平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的總和除以這組數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的商叫這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

2、統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖

收集和積累數(shù)據(jù)經(jīng)常使用的方法是畫（正），哪種數(shù)據(jù)增加1，就在哪種數(shù)據(jù)的名稱后面畫一筆。為了便于比較，還要把這些數(shù)據(jù)加以整理，制成統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖。

統(tǒng)計表：根據(jù)統(tǒng)