微分幾何第二章課件

第二章曲線論微分幾何第二章曲線論曲線的概念平面曲線空間曲線第二章曲線論微分幾何第二章曲線論曲線的概念平面曲線空間曲第二章內(nèi)容概要本章我們討論曲線的概念、平面曲線和空間曲線的微分幾何性質(zhì)．內(nèi)容包括曲線的伏雷內(nèi)標架、曲率、撓率、伏雷內(nèi)公式、近似結(jié)構(gòu)、基本定理等．重點：伏雷內(nèi)標架、曲率、撓率的計算、伏雷內(nèi)公式的應用．如無特別說明，我們都是在曲線的正則點附近進行討論．返回章首第二章內(nèi)容概要本章我們討論曲線的概念、平面曲線和空間曲線的微2.1

曲線的概念一元向量函數(shù)r(t)

所描繪的圖形C

叫曲線，r(t)叫曲線C

的參數(shù)化，或者叫曲線的向量函數(shù)，t叫曲線的參數(shù)．曲線

C

連同它的參數(shù)化r(t)

一起叫參數(shù)曲線．參數(shù)曲線用C

:

r

=

r(t)

表示．如果對某個t0

使得r'(t0)

≠

0，就稱

r(t0)（或者簡稱t0）是曲線的正則點．如果曲線上處處是正則點，就稱該曲線是正則曲線，相應的參數(shù)叫正則參數(shù)．今后為了簡便，我們把“參數(shù)曲線”簡稱為“曲線”；把

R2中的曲線叫平面曲線，把R3中的曲線叫空間曲線．返回章首2.1曲線的概念一元向量函數(shù)r(t)所描繪的圖形C圓弧.

曲線

C:

r

=

(cost,

sint),

t∈(0,

2p)

是正則曲線，它是一條半徑為1的圓?。ㄈ鐖D）返回章首tOcostsint2.1

曲線的概念

-曲線的例子圓弧

(cost,

sint)

圓弧.曲線C:r=(cost,sint),t∈2.1

曲線的概念

-曲線的例子拋物線拋物線.

曲線

C:

r

=

(x,

x2),

x∈(–∞,

+∞)

也是一條正則曲線，它是拋物線．返回章首2.1曲線的概念

-曲線的例子拋物線拋物線.曲線C:圓柱螺線.

曲線

C:

r

=

(a

cost,

a

sint,

bt),t

∈

(–∞,+∞)

也是一條正則曲線，它是纏繞在半徑為a

的圓柱面x2

+

y2

=

a2

上的一條圓柱螺旋線．返回章首2.1

曲線的概念

-曲線的例子圓柱螺線圓柱螺線.曲線C:r=(acost,asin2.1

曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面返回章首POCr'(t0)r設(shè)有曲線C:

r

=

(x(t),

y(t),

z(t))．一點

P，對應的參數(shù)設(shè)為t0．以

r'(t0)

作為方向向量的直線叫做曲線C

在

P曲面在

P

點的法平面．在曲線上固定把過

P

點，且過

P

點且垂直于切向量的平面叫做點的切線；切線法平面2.1曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面返回章首POCr2.1

曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面方程該曲線在該點的法平面方程為曲線

C:

r(t)

=

(x(t),

y(t),

z(t))

在點

r(t0)

=

(x(t0),

y(t0),

z(t0))

處的切線方程為返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面方程該曲線在該點2.1

曲線與曲面的概念-切線和法平面舉例法平面方程為解：圓柱螺線為C:

r

=

(acost,

asint,

bt),切向量是

r'

=

(–asint,acost,b).所以切線方程為例.求圓柱螺線的切線與法平面方程．返回章首2.1曲線與曲面的概念-切線和法平面舉例法平面方程為解：圓2.1

曲線與曲面的概念-曲線的弧長例.求星形線（如圖）C:r(t)=(acos3t,

asin3t),0≤t≤2p的弧長．設(shè)有一段正則曲線r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b．則該曲線的弧長為返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的弧長例.求星形線（如圖）2.1

曲線與曲面的概念-曲線的弧長解：由于星形線關(guān)于原點對稱，所以只需計算曲線在第一象限部分的弧長．當0≤t≤p/2時有

|r'(t)|=3asintcost．所以第一象限部分的弧長為因此，星形線的弧長為

6a．返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的弧長解：由于星形線關(guān)于原點對練習題1．求旋輪線x

=

a(t

–

sint),

y

=

a(1

–

cost)在0

≤

t

≤

2p

一段的弧長．2．求圓柱螺線x

=

3acost,

y

=

3asint,

z

=

4at

從點(3a,0,0)到任一點的弧長．3．將圓柱螺線r(t)

=

(acost,

asint,

bt)化成自然參數(shù)形式．4．求封閉曲線r(t)

=

(cos3t,

sin3t,

cos2t)的全長．返回章首練習題返回章首2.2平面曲線內(nèi)容：曲率、相對曲率、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式等重點：曲率與相對曲率的計算返回章首2.2平面曲線內(nèi)容：曲率、相對曲率、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公2.2

平面曲線-伏雷內(nèi)標架設(shè)平面曲線C:r=r(s)以弧長為參數(shù)，則其切向量

a

(s)=r?(s)是一個單位向量，即

a

(s)?a

(s)=1．兩邊求導數(shù)得a

(s)?a?(s)=0，所以

a

(s)垂直于

a?(s)，這說明a?(s)是曲線的法向量．令

b

=a?/|a?|，則對于每一個

s，[r(s);a

(s),b(s)]構(gòu)成平面曲線C

上的一個幺正標架，我們稱之為曲線C

上的伏雷內(nèi)標架．返回章首2.2平面曲線-伏雷內(nèi)標架設(shè)平面曲線C:r=r(s由導數(shù)的定義我們可知b

總是指向曲線彎曲的那一側(cè)．Ca(s)a(s+Ds)a(s+Ds)2.2

平面曲線-b的指向返回章首由導數(shù)的定義我們可知b總是指向曲線彎曲的那一側(cè)．Ca(s2.2

平面曲線-伏雷內(nèi)公式由

b

的定義有a

?(s)=|a?(s)|b

(s)．令

k(s)=|a?(s)|，則有a?(s)=k(s)b

(s).我們把

k

(s)叫曲線C

在

r(s)處的曲率．定理.（伏雷內(nèi)公式）我們有

a?=kb

,

b?=–ka

.以上伏雷內(nèi)公式叫平面曲線的基本公式．返回章首2.2平面曲線-伏雷內(nèi)公式由b的定義有a?(s)2.2

平面曲線-曲率計算公式平面曲線為直線的充分必要條件是其曲率為零．如果曲線方程為y=y(x)，取

x

為參數(shù)，則曲線的參數(shù)表示為

r

=(x,y(x))，其曲率為定理.設(shè)曲線C:r(t)=(x(t),y(t))，則其曲率為返回章首2.2平面曲線-曲率計算公式平面曲線為直線的充分必要條件是2.2

平面曲線-例子例.

求橢圓(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．解：橢圓可參數(shù)化為r(t)=(acost,bsint)，參數(shù)方程為x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首2.2平面曲線-例子例.求橢圓(x2/a2)+(y練習題1．求曲線y=sinx的曲率．2．求曲線x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首練習題返回章首2.2平面曲線-在一點附近的結(jié)構(gòu)設(shè)曲線C:r

=r(s)．則當

k(s)不為

0時，曲線近似于拋物線．當

k(s)=0，但

k?(s)不為

0時，曲線近似于一條近似立方拋物線．（看證明）返回章首2.2平面曲線-在一點附近的結(jié)構(gòu)設(shè)曲線C:r=r(s2.3E3的曲線內(nèi)容：三個基本向量、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式、曲率、撓率、密切平面、從切平面、一般螺旋線等重點：曲率與撓率的計算、密切平面與從切平面方程、伏雷內(nèi)公式的應用返回章首2.3E3的曲線內(nèi)容：三個基本向量、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式2.3

空間曲線-密切平面過曲線C

上一點P

處的切線和曲線上位于

P

點附近的另一點Q

作一平面s(Q)．當

Q沿曲線趨向于P時

s(Q)的極限位置s

稱為曲線C

在

P

點的密切平面．過曲線上一點可以作無數(shù)切平面（通過切線的平面），而密切平面則是在P

點附近最貼近于曲線的平面．平面曲線的密切平面顯然就是該曲線所在的平面，而直線的密切平面不確定，或者說直線有無窮多個密切平面．返回章首2.3空間曲線-密切平面過曲線C上一點P處的切線和2.3

空間曲線-密切平面方程用坐標把密切平面方程表示為：(R

–

r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.設(shè)曲線C:r

=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲線上一點，其參數(shù)是t0．設(shè)

R

=(X,Y,Z)是

P

點的密切平面上任意一點，則密切平面方程為：返回章首2.3空間曲線-密切平面方程用坐標把密切平面方程表示為：(例.求螺旋線r=(cost,sint,t)在點

P(1,0,0)處的密切平面方程．解：直接計算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).

在給定點P

處的參數(shù)t=0，所以有

r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.3

空間曲線-例子返回章首例.求螺旋線r=(cost,sint,t)在點2.3

空間曲線-基本向量與伏雷內(nèi)標架設(shè)有空間曲線C:r=r(s)，s是弧長參數(shù)單位切向量

a=r?單位主法向量b

=a?/|a?|（設(shè)

r??不為零）單位副法向量g=a∧b

曲線

C

的伏雷內(nèi)標架[r;a

,b

,g

]CabgrO返回章首伏雷內(nèi)標架2.3空間曲線-基本向量與伏雷內(nèi)標架設(shè)有空間曲線C:r法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向量和副法向量決定的平面叫從切平面切向量和主法向量決定的平面就是密切平面2.3

空間曲線-三棱錐返回章首法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向2.3

空間曲線-基本向量的計算公式設(shè)

C:

r

=

r(t)

由一般參數(shù)給出，則三個基本向量的計算公式為

a

=

r'

/

|

r'

|

,

g

=

(r'

∧

r'')

/

|

r'

∧

r''

|

,

b

=

g

∧a

.返回章首2.3空間曲線-基本向量的計算公式設(shè)C:r=r(t2.3

空間曲線-例子例.求螺旋線r

=

(cost,

sint,

t)

在點

P(1,0,0)

處的三個基本向量．解：直接計算得r'

(t)

=

(–sint,

cost,

1),r''

(t)

=

(–cost,

–sint,

0).在給定點P

處的參數(shù)t

=

0，所以有

r'

(0)

=

(0,1,1)，r''

(0)

=

(–1,0,0)．代入上面的基本向量計算公式得

返回章首2.3空間曲線-例子例.求螺旋線r=(cost,練習題1．求曲線x

=

acost,

y

=

bsint,

z

=

et

在t

=

0點的切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面與法平面方程．2．證明曲線的密切平面與曲線的參數(shù)選取無關(guān)．返回章首練習題返回章首2.3

空間曲線-曲率與撓率設(shè)

C:

r

=

r(s)

是空間曲線，稱k

(s)

=

|a

?

(s)|為曲線C

在點

r(s)

處的曲率，而

a

?

叫曲率向量．空間曲線除了彎曲外，還有扭轉(zhuǎn)．為了刻畫扭轉(zhuǎn)的程度，我們引進撓率的概念．我們把

t

叫曲線的撓率，這里返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率設(shè)C:r=r(s)是空2.3

空間曲線-伏雷內(nèi)公式定理.（伏雷內(nèi)公式）

a

?

=

kb,

b

?

=

–ka

+

tg,

g?

=

–tb.返回章首2.3空間曲線-伏雷內(nèi)公式定理.（伏雷內(nèi)公式）返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率計算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示的曲率與撓率計算公式返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率計算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示2.3

空間曲線-曲率與撓率為零的曲線曲線的曲率為零的充要條件是該曲線是直線．曲線的撓率為零的充要條件是該曲線為平面曲線．返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率為零的曲線曲線的曲率為零的充要條2.3

空間曲線-曲率和撓率計算舉例

解：直接計算得：

r

=

(–asinq,

acosq,

b),

r''

=

(–acosq,

–asinq,

0),

r'''=

(asinq,

–acosq,

0),|r'|

=

(a2

+

b2),

r'∧

r''

=

(absinq,

–abcosq,

a2),|r'∧

r''

|

=

(a2b2

+

a4)1/2,

(r',

r'',

r'''

)

=

a2b,

所以有k

=

a/(a2

+

b2),

t

=

b/(a2

+

b2).例：求圓柱螺旋線r

=

(acosq,

asinq,

bq)

的曲率和撓率．返回章首2.3空間曲線-曲率和撓率計算舉例解：直接計算得：例：求練習題1．求曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

at)的曲率和撓率，這里a

>

0．2．求曲線r(t)

=

(a(3t

–

t3),

3at2,

a(3t

+

t3))的曲率和撓率，這里a

>

0．3．求a、b，使曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

bt)上每一點的曲率和撓率相等．返回章首練習題返回章首2.3

空間曲線-一般螺旋線定理.設(shè)有曲線C:r=r(s)，（假定kt≠0）則下列條件等價：

C

是一般螺線；

C

的主法向量與固定方向垂直；

C

的副法向量與固定方向成定角；

C

的曲率與撓率之比是常數(shù)．如果曲線的切向量與固定方向成定角，則稱該曲線為一般螺線．看證明返回章首2.3空間曲線-一般螺旋線定理.設(shè)有曲線C:r=證：由伏雷內(nèi)公式得

r

??

=

a

?

=

kb，

r

???

=

(kb

)

?

=

–k

2

a

+

k

?

b

+

k

t

g

,

r

????

=

–3k

k

?

a

+

(

k

??

–

k

3

–

k

t

2

)b

+

((k

t

)

?

+

t

k

?

)g

.所以，(r

??

,

r

???

,

r

????

)

=

k

5

(t

/

k

)

?,由此即得結(jié)論．例.曲線

r

=

r(s)

是一般螺線的充分必要條件是(

r

??,

r

???,

r

????

)

=

0．2.3空間曲線-例子返回章首證：由伏雷內(nèi)公式得例.曲線r=r(s)是一般螺線的2.3

空間曲線-曲線在一點附近的結(jié)構(gòu)空間曲線在一點附近的形狀（設(shè)kt

≠

0

）：在法平面上的投影為半立方拋物線；在從切平面上的投影為立方拋物線；在密切平面上的投影為拋物線；從不穿過從切平面；b

總是指向凹入的方向．a(chǎn)bg返回章首2.3空間曲線-曲線在一點附近的結(jié)構(gòu)空間曲線在一點附近的形abggabagb法平面從切平面密切平面2.3

空間曲線-曲線在一點附近的結(jié)構(gòu)abggabagb法平面從切平面密切平面2.3空間曲線-曲練習題1．求曲線x

=

et

cost,

y

=

et

sint,

z

=

et

在t

=

0處的切線方程．2．求曲線x

=

t,

y

=

t2,

z

=

t3

經(jīng)過已知點M0(2,–1/3,

–6)的密切平面方程.返回章首練習題返回章首2.4

空間曲線-基本定理性質(zhì)4.1.曲線的弧長、曲率和撓率在剛體運動下不變．返回章首2.4空間曲線-基本定理性質(zhì)4.1.曲線的弧長、曲率和撓2.4

空間曲線-基本定理（唯一性）定理.（唯一性）設(shè)

C:

r

=

r(s)

與

C0:

r0

=

r0(s)

是兩條正則的空間曲線（s

屬于區(qū)間I

是曲線C

的弧長參數(shù)）．如果對區(qū)間I

中的每個s，有

k

(s)

=

k0(s)，t

(s)

=

t0(s)，那么，存在一個等距變換T

:

R3→R3，使

r0

=

T

r，并且T

所對應的正交矩陣T

的行列式為+1，也就是說這樣的兩條曲線可以經(jīng)過一個運動使它們重合．返回章首2.4空間曲線-基本定理（唯一性）定理.（唯一性）設(shè)C2.4

空間曲線-基本定理（存在性）曲線的存在性定理和唯一性定理叫曲線的基本定理．定理.（存在性）設(shè)

k

(s),

t

(s)

是一組定義在

0∈R

的一個鄰域上的可微函數(shù)，并且k

(s)

>

0，則存在一個包含0

的鄰域I

和一條以弧長為參數(shù)的曲線C:

r

=

r(s)，s∈I，使得其曲率函數(shù)就是k

(s)，撓率函數(shù)就是t

(s)．看證明返回章首2.4空間曲線-基本定理（存在性）曲線的存在性定理和唯一性第二章補充練習題1．求曲線r

=

aj

的曲率．

?2．求曲線r

=

a(1

+

cosj)的曲率．

?3．求平面曲線r(t)

=

(acost,

asint)在任意點的曲率．

?4．求使曲線y

=

ex

曲率取得極值的點．

?5．求曲線的曲率，曲線方程為F(x,y)

=

0．

?6．設(shè)曲線由常微分方程P(x,y)dx

+

Q(x,y)dy

=

0給出，求曲線的曲率．

?返回章首第二章補充練習題返回章首7．求曲線x

=

a(t

–

sint),

y

=

a(1

–

cost),

z

=

4asin(t/2)在點t

=

p/2的切線與z-軸的夾角．

?8．設(shè)有曲線

C:

x

=

sect,

y

=

tant,

z

=

at，求當t

=

p/4時的切線方程．

?9．設(shè)有曲線C:

x

=

et,

y

=

e-t,

z

=

t2，求當t

=

1時的切線方程．

?10．曲線x

=

3t

–

t3,

y

=

3t2,

z

=

3t

+

t3

上哪些點的切線與平面3x

+

y

+

z

+

2

=

0平行?

?返回章首7．求曲線x=a(t–sint),y=a(1

選擇=結(jié)果匯報結(jié)束

謝謝觀看！歡迎提出您的寶貴意見！選擇=結(jié)果匯報結(jié)束謝謝觀看！第二章曲線論微分幾何第二章曲線論曲線的概念平面曲線空間曲線第二章曲線論微分幾何第二章曲線論曲線的概念平面曲線空間曲第二章內(nèi)容概要本章我們討論曲線的概念、平面曲線和空間曲線的微分幾何性質(zhì)．內(nèi)容包括曲線的伏雷內(nèi)標架、曲率、撓率、伏雷內(nèi)公式、近似結(jié)構(gòu)、基本定理等．重點：伏雷內(nèi)標架、曲率、撓率的計算、伏雷內(nèi)公式的應用．如無特別說明，我們都是在曲線的正則點附近進行討論．返回章首第二章內(nèi)容概要本章我們討論曲線的概念、平面曲線和空間曲線的微2.1

曲線的概念一元向量函數(shù)r(t)

所描繪的圖形C

叫曲線，r(t)叫曲線C

的參數(shù)化，或者叫曲線的向量函數(shù)，t叫曲線的參數(shù)．曲線

C

連同它的參數(shù)化r(t)

一起叫參數(shù)曲線．參數(shù)曲線用C

:

r

=

r(t)

表示．如果對某個t0

使得r'(t0)

≠

0，就稱

r(t0)（或者簡稱t0）是曲線的正則點．如果曲線上處處是正則點，就稱該曲線是正則曲線，相應的參數(shù)叫正則參數(shù)．今后為了簡便，我們把“參數(shù)曲線”簡稱為“曲線”；把

R2中的曲線叫平面曲線，把R3中的曲線叫空間曲線．返回章首2.1曲線的概念一元向量函數(shù)r(t)所描繪的圖形C圓弧.

曲線

C:

r

=

(cost,

sint),

t∈(0,

2p)

是正則曲線，它是一條半徑為1的圓?。ㄈ鐖D）返回章首tOcostsint2.1

曲線的概念

-曲線的例子圓弧

(cost,

sint)

圓弧.曲線C:r=(cost,sint),t∈2.1

曲線的概念

-曲線的例子拋物線拋物線.

曲線

C:

r

=

(x,

x2),

x∈(–∞,

+∞)

也是一條正則曲線，它是拋物線．返回章首2.1曲線的概念

-曲線的例子拋物線拋物線.曲線C:圓柱螺線.

曲線

C:

r

=

(a

cost,

a

sint,

bt),t

∈

(–∞,+∞)

也是一條正則曲線，它是纏繞在半徑為a

的圓柱面x2

+

y2

=

a2

上的一條圓柱螺旋線．返回章首2.1

曲線的概念

-曲線的例子圓柱螺線圓柱螺線.曲線C:r=(acost,asin2.1

曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面返回章首POCr'(t0)r設(shè)有曲線C:

r

=

(x(t),

y(t),

z(t))．一點

P，對應的參數(shù)設(shè)為t0．以

r'(t0)

作為方向向量的直線叫做曲線C

在

P曲面在

P

點的法平面．在曲線上固定把過

P

點，且過

P

點且垂直于切向量的平面叫做點的切線；切線法平面2.1曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面返回章首POCr2.1

曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面方程該曲線在該點的法平面方程為曲線

C:

r(t)

=

(x(t),

y(t),

z(t))

在點

r(t0)

=

(x(t0),

y(t0),

z(t0))

處的切線方程為返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的切線和法平面方程該曲線在該點2.1

曲線與曲面的概念-切線和法平面舉例法平面方程為解：圓柱螺線為C:

r

=

(acost,

asint,

bt),切向量是

r'

=

(–asint,acost,b).所以切線方程為例.求圓柱螺線的切線與法平面方程．返回章首2.1曲線與曲面的概念-切線和法平面舉例法平面方程為解：圓2.1

曲線與曲面的概念-曲線的弧長例.求星形線（如圖）C:r(t)=(acos3t,

asin3t),0≤t≤2p的弧長．設(shè)有一段正則曲線r(t)=(x(t),y(t),z(t))，a≤t≤b．則該曲線的弧長為返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的弧長例.求星形線（如圖）2.1

曲線與曲面的概念-曲線的弧長解：由于星形線關(guān)于原點對稱，所以只需計算曲線在第一象限部分的弧長．當0≤t≤p/2時有

|r'(t)|=3asintcost．所以第一象限部分的弧長為因此，星形線的弧長為

6a．返回章首2.1曲線與曲面的概念-曲線的弧長解：由于星形線關(guān)于原點對練習題1．求旋輪線x

=

a(t

–

sint),

y

=

a(1

–

cost)在0

≤

t

≤

2p

一段的弧長．2．求圓柱螺線x

=

3acost,

y

=

3asint,

z

=

4at

從點(3a,0,0)到任一點的弧長．3．將圓柱螺線r(t)

=

(acost,

asint,

bt)化成自然參數(shù)形式．4．求封閉曲線r(t)

=

(cos3t,

sin3t,

cos2t)的全長．返回章首練習題返回章首2.2平面曲線內(nèi)容：曲率、相對曲率、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式等重點：曲率與相對曲率的計算返回章首2.2平面曲線內(nèi)容：曲率、相對曲率、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公2.2

平面曲線-伏雷內(nèi)標架設(shè)平面曲線C:r=r(s)以弧長為參數(shù)，則其切向量

a

(s)=r?(s)是一個單位向量，即

a

(s)?a

(s)=1．兩邊求導數(shù)得a

(s)?a?(s)=0，所以

a

(s)垂直于

a?(s)，這說明a?(s)是曲線的法向量．令

b

=a?/|a?|，則對于每一個

s，[r(s);a

(s),b(s)]構(gòu)成平面曲線C

上的一個幺正標架，我們稱之為曲線C

上的伏雷內(nèi)標架．返回章首2.2平面曲線-伏雷內(nèi)標架設(shè)平面曲線C:r=r(s由導數(shù)的定義我們可知b

總是指向曲線彎曲的那一側(cè)．Ca(s)a(s+Ds)a(s+Ds)2.2

平面曲線-b的指向返回章首由導數(shù)的定義我們可知b總是指向曲線彎曲的那一側(cè)．Ca(s2.2

平面曲線-伏雷內(nèi)公式由

b

的定義有a

?(s)=|a?(s)|b

(s)．令

k(s)=|a?(s)|，則有a?(s)=k(s)b

(s).我們把

k

(s)叫曲線C

在

r(s)處的曲率．定理.（伏雷內(nèi)公式）我們有

a?=kb

,

b?=–ka

.以上伏雷內(nèi)公式叫平面曲線的基本公式．返回章首2.2平面曲線-伏雷內(nèi)公式由b的定義有a?(s)2.2

平面曲線-曲率計算公式平面曲線為直線的充分必要條件是其曲率為零．如果曲線方程為y=y(x)，取

x

為參數(shù)，則曲線的參數(shù)表示為

r

=(x,y(x))，其曲率為定理.設(shè)曲線C:r(t)=(x(t),y(t))，則其曲率為返回章首2.2平面曲線-曲率計算公式平面曲線為直線的充分必要條件是2.2

平面曲線-例子例.

求橢圓(x2/a2)+(y2/b2)=1的曲率．解：橢圓可參數(shù)化為r(t)=(acost,bsint)，參數(shù)方程為x=acost,y=bsint，所以有x'=–asint,x''=–acost,y'=bcost,y''=–bsint.代入曲率公式得返回章首2.2平面曲線-例子例.求橢圓(x2/a2)+(y練習題1．求曲線y=sinx的曲率．2．求曲線x=acos3t,y=asin3t的曲率．返回章首練習題返回章首2.2平面曲線-在一點附近的結(jié)構(gòu)設(shè)曲線C:r

=r(s)．則當

k(s)不為

0時，曲線近似于拋物線．當

k(s)=0，但

k?(s)不為

0時，曲線近似于一條近似立方拋物線．（看證明）返回章首2.2平面曲線-在一點附近的結(jié)構(gòu)設(shè)曲線C:r=r(s2.3E3的曲線內(nèi)容：三個基本向量、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式、曲率、撓率、密切平面、從切平面、一般螺旋線等重點：曲率與撓率的計算、密切平面與從切平面方程、伏雷內(nèi)公式的應用返回章首2.3E3的曲線內(nèi)容：三個基本向量、伏雷內(nèi)標架、伏雷內(nèi)公式2.3

空間曲線-密切平面過曲線C

上一點P

處的切線和曲線上位于

P

點附近的另一點Q

作一平面s(Q)．當

Q沿曲線趨向于P時

s(Q)的極限位置s

稱為曲線C

在

P

點的密切平面．過曲線上一點可以作無數(shù)切平面（通過切線的平面），而密切平面則是在P

點附近最貼近于曲線的平面．平面曲線的密切平面顯然就是該曲線所在的平面，而直線的密切平面不確定，或者說直線有無窮多個密切平面．返回章首2.3空間曲線-密切平面過曲線C上一點P處的切線和2.3

空間曲線-密切平面方程用坐標把密切平面方程表示為：(R

–

r(t0),r'(t0),r''(t0))=0.設(shè)曲線C:r

=(x(t),y(t),z(t))是光滑的，P是曲線上一點，其參數(shù)是t0．設(shè)

R

=(X,Y,Z)是

P

點的密切平面上任意一點，則密切平面方程為：返回章首2.3空間曲線-密切平面方程用坐標把密切平面方程表示為：(例.求螺旋線r=(cost,sint,t)在點

P(1,0,0)處的密切平面方程．解：直接計算得r'(t)=(–sint,cost,1),r''(t)=(–cost,–sint,0).

在給定點P

處的參數(shù)t=0，所以有

r(0)=(1,0,0)，r'(0)=(0,1,1)，r''(0)=(–1,0,0)．代入密切平面方程并整理得–Y+Z=0．2.3

空間曲線-例子返回章首例.求螺旋線r=(cost,sint,t)在點2.3

空間曲線-基本向量與伏雷內(nèi)標架設(shè)有空間曲線C:r=r(s)，s是弧長參數(shù)單位切向量

a=r?單位主法向量b

=a?/|a?|（設(shè)

r??不為零）單位副法向量g=a∧b

曲線

C

的伏雷內(nèi)標架[r;a

,b

,g

]CabgrO返回章首伏雷內(nèi)標架2.3空間曲線-基本向量與伏雷內(nèi)標架設(shè)有空間曲線C:r法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向量和副法向量決定的平面叫從切平面切向量和主法向量決定的平面就是密切平面2.3

空間曲線-三棱錐返回章首法密切從切CPbag主法向量和副法向量決定的平面是法平面切向2.3

空間曲線-基本向量的計算公式設(shè)

C:

r

=

r(t)

由一般參數(shù)給出，則三個基本向量的計算公式為

a

=

r'

/

|

r'

|

,

g

=

(r'

∧

r'')

/

|

r'

∧

r''

|

,

b

=

g

∧a

.返回章首2.3空間曲線-基本向量的計算公式設(shè)C:r=r(t2.3

空間曲線-例子例.求螺旋線r

=

(cost,

sint,

t)

在點

P(1,0,0)

處的三個基本向量．解：直接計算得r'

(t)

=

(–sint,

cost,

1),r''

(t)

=

(–cost,

–sint,

0).在給定點P

處的參數(shù)t

=

0，所以有

r'

(0)

=

(0,1,1)，r''

(0)

=

(–1,0,0)．代入上面的基本向量計算公式得

返回章首2.3空間曲線-例子例.求螺旋線r=(cost,練習題1．求曲線x

=

acost,

y

=

bsint,

z

=

et

在t

=

0點的切線、主法線、副法線、密切平面、從切平面與法平面方程．2．證明曲線的密切平面與曲線的參數(shù)選取無關(guān)．返回章首練習題返回章首2.3

空間曲線-曲率與撓率設(shè)

C:

r

=

r(s)

是空間曲線，稱k

(s)

=

|a

?

(s)|為曲線C

在點

r(s)

處的曲率，而

a

?

叫曲率向量．空間曲線除了彎曲外，還有扭轉(zhuǎn)．為了刻畫扭轉(zhuǎn)的程度，我們引進撓率的概念．我們把

t

叫曲線的撓率，這里返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率設(shè)C:r=r(s)是空2.3

空間曲線-伏雷內(nèi)公式定理.（伏雷內(nèi)公式）

a

?

=

kb,

b

?

=

–ka

+

tg,

g?

=

–tb.返回章首2.3空間曲線-伏雷內(nèi)公式定理.（伏雷內(nèi)公式）返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率計算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示的曲率與撓率計算公式返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率計算公式撓率：曲率：用一般參數(shù)表示2.3

空間曲線-曲率與撓率為零的曲線曲線的曲率為零的充要條件是該曲線是直線．曲線的撓率為零的充要條件是該曲線為平面曲線．返回章首2.3空間曲線-曲率與撓率為零的曲線曲線的曲率為零的充要條2.3

空間曲線-曲率和撓率計算舉例

解：直接計算得：

r

=

(–asinq,

acosq,

b),

r''

=

(–acosq,

–asinq,

0),

r'''=

(asinq,

–acosq,

0),|r'|

=

(a2

+

b2),

r'∧

r''

=

(absinq,

–abcosq,

a2),|r'∧

r''

|

=

(a2b2

+

a4)1/2,

(r',

r'',

r'''

)

=

a2b,

所以有k

=

a/(a2

+

b2),

t

=

b/(a2

+

b2).例：求圓柱螺旋線r

=

(acosq,

asinq,

bq)

的曲率和撓率．返回章首2.3空間曲線-曲率和撓率計算舉例解：直接計算得：例：求練習題1．求曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

at)的曲率和撓率，這里a

>

0．2．求曲線r(t)

=

(a(3t

–

t3),

3at2,

a(3t

+

t3))的曲率和撓率，這里a

>

0．3．求a、b，使曲線r(t)

=

(acosht,

asinht,

bt)上每一點的曲率和撓率相等．返回章首練習題返回章首2.3

空間曲線-一般螺旋線定理.設(shè)有曲線C:r=r(s)，（假定kt≠0）則下列條件等價：

C

是一般螺線；

C

的主法向量與固定方向垂直；

C

的副法向量與固定方向成定角；

C

的曲率與撓率之比是常數(shù)．如果曲線的切向量與固定方向成定角，則稱該曲線為一般螺線．看證明返回章首2.3空間曲線-一般螺旋線定理.設(shè)有曲線C:r=證：由伏雷內(nèi)公式得

r

??

=

a

?

=

kb，

r

???

=

(kb

)

?

=

–k

2

a

+

k

?

b

+

k

t

g

,

r

????

=

–3k

k

?

a

+

(

k

??

–

k

3

–

k

t

2

)b

+

((k

t

)

?

+

t

k

?

)g

.所以，(r

??

,

r

???

,

r

????

)

=

k

5

(t

/

k

)

?,由此即得結(jié)論．例.曲線

r

=

r(s)

是一般螺線的充分必要條件是(

r

??,

r

???,

r

????

)

=