世界上精度最高的橢圓周長(zhǎng)初等公式

世界上精度最高的橢圓周長(zhǎng)初等公式世界上精度最高的橢圓周長(zhǎng)初等公式成都七中高中遠(yuǎn)程教學(xué)周鈺據(jù)微積分基本原理，可以寫出橢圓周長(zhǎng)的定積分公式，但由于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以橢圓周長(zhǎng)沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)的初等公式。但數(shù)學(xué)家們推導(dǎo)、證明了下面這個(gè)橢圓周長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)公式：（1）公式（2）中，。這個(gè)公式表明，橢圓周長(zhǎng)的主要部分為，我們可以把（1）中括號(hào)里從第二項(xiàng)起稱為橢圓率多項(xiàng)式：（2）通常，我們要計(jì)算橢圓周長(zhǎng)，必須先給出一個(gè)精確度。假如要求我們誤差率低于，我們?cè)O(shè)需要計(jì)算到橢圓率多項(xiàng)式第n項(xiàng)，不妨設(shè)，則橢圓率多項(xiàng)式（2）中，第n+1項(xiàng)及其以后無(wú)窮多項(xiàng)之和必須滿足下列不等式：因?yàn)椋ㄗ⒁猓核灾豁殻海?）取滿足不等式（4）的最小整數(shù)。為此，我們需要一個(gè)帶有函數(shù)的學(xué)生計(jì)算器，根據(jù)精確度要求，首先計(jì)算出我們應(yīng)該計(jì)算到第幾項(xiàng)。計(jì)算所得的橢圓周長(zhǎng)值在給定誤差率的情況下是精確的。注意：計(jì)算到橢圓率多項(xiàng)式第n項(xiàng)，就是標(biāo)準(zhǔn)公式（2）括號(hào)中算到2n次方項(xiàng)；若n為負(fù)數(shù)或者小于2，就算到橢圓率多項(xiàng)式（3）第2項(xiàng)，即公式（2）中括號(hào)里的4次方項(xiàng)。例如：n>-1.86745.則標(biāo)準(zhǔn)公式（2）中，中括號(hào)里應(yīng)該算到4次方項(xiàng)。因?yàn)檎`差公式證明中n大于或等于2是前提條件。需要知道的是，多數(shù)情況下求橢圓周長(zhǎng)，只須計(jì)算到前兩三項(xiàng)，因而往往可以筆算。但是，當(dāng)時(shí)，算得:,即用到橢圓率多項(xiàng)式第58項(xiàng)即116次方項(xiàng)，才能保證誤差率小于萬(wàn)分之一。為此，我們可以構(gòu)建一個(gè)新的函數(shù)模型，用以解決很小即很大時(shí)的計(jì)算問(wèn)題。我們把橢圓率多項(xiàng)式中的系數(shù)簡(jiǎn)化得：（4）觀察（5），由于，所以隨著增大而減?。桓黜?xiàng)系數(shù)逐漸變小，但與等比數(shù)列相比，“小得越來(lái)越慢”。根據(jù)（5）式的這些特點(diǎn)，我們構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，使它與前三項(xiàng)相同，同時(shí)為了方便運(yùn)算，我們從第二項(xiàng)起各項(xiàng)系數(shù)為等比數(shù)列：（5）變形為無(wú)窮等比數(shù)列求和（其系數(shù)從項(xiàng)開始為等比數(shù)列）：用近似代替，代入標(biāo)準(zhǔn)公式（1）得：從而得到一個(gè)橢圓周長(zhǎng)的近似公式：（6）公式（6）中，。這是我們?cè)谙乱徽n時(shí)計(jì)算橢圓周長(zhǎng)要用到的近似公式。為了突出這個(gè)公式，我們稱（6）為橢圓周長(zhǎng)一級(jí)等比公式。近似公式如果沒(méi)有誤差估計(jì)是沒(méi)有實(shí)際意義的。這個(gè)初等公式的精度如何呢？為此，我們介紹一下橢圓周長(zhǎng)誤差率定理：橢圓周長(zhǎng)真值C滿足下列不等式：是橢圓周長(zhǎng)的一個(gè)下界公式；是橢圓周長(zhǎng)的一個(gè)上界公式。是橢圓周長(zhǎng)二級(jí)等比公式。限于篇幅，此處不給出詳細(xì)證明過(guò)程，只對(duì)證明思路作簡(jiǎn)要介紹。證明思路：上界公式與下界公式的級(jí)數(shù)展開式與橢圓標(biāo)準(zhǔn)公式相比，和它以前的所有系數(shù)完全相同，稱第一部分。而從到的系數(shù)，稱第二部分。以的系數(shù)為首項(xiàng)，公比為（100：144）的等比數(shù)列作為下界公式的第二部分，公比為（103：144）為等比數(shù)列作為上界公式的第二部分，可用完全歸納法證明：下界公式每項(xiàng)系數(shù)小于標(biāo)準(zhǔn)公式中相同次數(shù)的系數(shù)（僅有一項(xiàng)例外，但可用前一項(xiàng)系數(shù)補(bǔ)足），上界公式每項(xiàng)系數(shù)大于標(biāo)準(zhǔn)公式中相同次數(shù)的系數(shù)。從項(xiàng)開始稱為第三部分。上界公式與下界公式中的項(xiàng)主要作用是保持與二級(jí)等比公式形式上的統(tǒng)一性，所以它們并不是最佳選配的系數(shù)和次數(shù)?？捎脭?shù)學(xué)歸納法證明上界公式和下界公式第三部分的正確性。注意二級(jí)等比公式中，第二個(gè)分式的分母中為，不是40次方，而是4次方，它的出現(xiàn)是從到漸變過(guò)程中產(chǎn)生的。二級(jí)等比公式中系數(shù)和次數(shù)是最佳選配的，不可更易。上界公式與下界公式均超過(guò)了目前所有的橢圓周長(zhǎng)初等公式（包括中國(guó)橢圓周長(zhǎng)公式）的精度；用上界公式與下界公式及兩邊夾定理，可以求出橢圓周長(zhǎng)的精確值，這是上界公式與下界公式的主要優(yōu)點(diǎn)，它能夠讓我們判斷，我們用程序計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)橢圓周長(zhǎng)公式時(shí)，累加一百萬(wàn)項(xiàng)后精確度如何，特別是當(dāng)接近于1時(shí)。二級(jí)等比公式是比上界公式和下界公式精度還高得多的橢圓周長(zhǎng)初等公式。筆者預(yù)言，這將是地球上精度最高的初等公式，永遠(yuǎn)不會(huì)再出現(xiàn)比這個(gè)公式更簡(jiǎn)潔、更美麗、更實(shí)用、精度更高的橢圓周長(zhǎng)初等公式。我們可以懷疑用程序累加項(xiàng)名達(dá)公式五百萬(wàn)項(xiàng)的結(jié)果，但不可懷疑這個(gè)僅用學(xué)生計(jì)算器就可計(jì)算橢圓周長(zhǎng)的二級(jí)等比公式。一級(jí)等比C1真值下界W1兩邊夾得真值C真值上界W2二級(jí)等比C210.003.99244066393.99972239594.000（舍入值）4.00000731924.000025842210.054.01716545824.01940529694.0194（不足值）4.01947309434.019421366610.104.06315100734.06396981664.0640（過(guò)剩值）4.06398509574.063974164710.154.12577971624.12609916884.12610（不足）4.12610272354.126100218510.204.20188017424.20200859314.202009（舍入）4.20200945784.202008847410.254.28915862394.28921079814.289211（舍入）4.28921101354.289210860710.304.38588891394.38591004464.3859100（不）4.38591009834.385910060110.354.49073113294.49073956614.4907396（過(guò)）4.49073957934.490739569910.404.60261923714.60262251744.60262252（舍）4.60262252054.602622518310.454.72068801434.72068924374.720689244舍4.72068924444.720689243910.504.84422367214.84422411024.8442241102舍4.84422411034.844224110210.554.97262925434.97262940044.9726294004舍4.97262940054.972629400410.605.1053997285.10539977275.10539977275.10539977275.105399772710.655.24210358745.24210359965.24210359965.24210359965.242103599610.705.38236897865.38236898155.38236898155.38236898155.382368981510.755.52587303965.52587304025.52587304025.52587304025.525873040210.805.67233357775.67233357785.67233357785.67233357785.672333577810.855.82150248025.82150248035.82150248035.82150248035.821502480310.905.97316043255.97316043255.97316043255.97316043255.973160432510.956.12711263666.12711263666.12711263666.12711263666.127112636611.006.28318530726.28318530726.28318530726.28318530726.2831853072一級(jí)等比C1真值下界W1兩邊夾得真值真值上界W2二級(jí)等比C2