安徽宿州五校2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷（含解析）

2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測(cè)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當(dāng)最小時(shí)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列滿足：，，，為其前n項(xiàng)和，則（）A．0 B．1 C．3 D．44．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中左視圖中三角形為等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．的最小正周期為 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱6．網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．47．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.19．已知拋物線的焦點(diǎn)為，若拋物線上的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)恰好在射線上，則直線被截得的弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是（）A． B． C． D．11．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個(gè)結(jié)論：①曲線有四條對(duì)稱軸；②曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④12．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)，則恰好為非負(fù)數(shù)的概率是________.14．如圖，在體積為V的圓柱中，以線段上的點(diǎn)O為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為，，則的值是______.15．三對(duì)父子去參加親子活動(dòng)，坐在如圖所示的6個(gè)位置上，有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法有________種（比如：B與D、B與C是相鄰的，A與D、C與D是不相鄰的）.16．設(shè)函數(shù)，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，．（1）求．（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，和均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.20．（12分）為增強(qiáng)學(xué)生的法治觀念，營造“學(xué)憲法、知憲法、守憲法”的良好校園氛圍，某學(xué)校開展了“憲法小衛(wèi)士”活動(dòng)，并組織全校學(xué)生進(jìn)行法律知識(shí)競(jìng)賽．現(xiàn)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)賽成績(jī)，已知這50名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)均在[50，100]內(nèi)，并得到如下的頻數(shù)分布表：分?jǐn)?shù)段[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數(shù)51515123（1）將競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“合格”，競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)定義為“不合格”．請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)？合格不合格合計(jì)高一新生12非高一新生6合計(jì)（2）在（1）的前提下，按“競(jìng)賽成績(jī)合格與否”進(jìn)行分層抽樣，從這50名學(xué)生中抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)都合格的概率．參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．21．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）22．（10分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對(duì)應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過2.88萬元？說明你的理由.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【答案解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當(dāng)最小時(shí)，，之后將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【題目詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當(dāng)最小時(shí)，，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如下，而函數(shù)恒過定點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍為．故選：A.【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題目.2、B【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【題目詳解】,,故選：B【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.3、D【答案解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計(jì)算.【題目詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求時(shí)，先算出一個(gè)周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.4、C【答案解析】

作出三視圖所表示幾何體的直觀圖，可得直觀圖為直三棱柱，并且底面為等腰直角三角形，即可求得外接球的半徑，即可得外接球的體積.【題目詳解】如圖為幾何體的直觀圖，上下底面為腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，三棱柱的高為4，其外接球半徑為，所以體積為.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體的直觀圖、球的體積公式，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意球心的確定.5、D【答案解析】

先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【題目詳解】可得對(duì)于A，的最小正周期為,故A正確；對(duì)于B，由，可得，故B正確；對(duì)于C，正弦函數(shù)對(duì)稱軸可得：解得：，當(dāng)，，故C正確；對(duì)于D，正弦函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為：解得：若圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則解得：，故D錯(cuò)誤；故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質(zhì)，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【答案解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長(zhǎng)度如上圖所以所以所以故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對(duì)本題可以利用長(zhǎng)方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點(diǎn)與線，屬中檔題.7、B【答案解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍，所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【題目詳解】由，得，.設(shè)線段的中點(diǎn)，則，在圓上，到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍，點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積，點(diǎn)到直線的距離，數(shù)列求和等知識(shí)，是一道不錯(cuò)的綜合題.8、A【答案解析】

由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【題目詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【答案點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.9、B【答案解析】

由焦點(diǎn)得拋物線方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點(diǎn)，計(jì)算弦長(zhǎng)即可.【題目詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，則，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長(zhǎng)為．故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，屬于中檔題.10、C【答案解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【題目詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個(gè)陽爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個(gè)陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個(gè)全部是陰爻）的情況有1種,只有1個(gè)陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽爻的概率是.故選：C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.11、C【答案解析】

①利用之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【題目詳解】①：當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對(duì)稱；綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；②：因?yàn)?，所以，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以最大距離為，故錯(cuò)誤；③：設(shè)任意一點(diǎn)，所以圍成的矩形面積為，因?yàn)?，所以，所以，取等?hào)時(shí)，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因?yàn)閳A的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲線的對(duì)稱性，可通過替換方程中去分析證明.12、C【答案解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【題目詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，又，解?故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】

先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【題目詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí)，，區(qū)間長(zhǎng)度是，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是，所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.14、【答案解析】

根據(jù)圓柱的體積為，以及圓錐的體積公式，計(jì)算即得.【題目詳解】由題得，，得.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐體的體積，是基礎(chǔ)題.15、192【答案解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對(duì)父子中任選1對(duì)，安排在相鄰的位置上，②，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析：①，在三對(duì)父子中任選1對(duì)，有3種選法，由圖可得相鄰的位置有4種情況，將選出的1對(duì)父子安排在相鄰的位置，有種安排方法；②，將剩下的4人安排在剩下的4個(gè)位置，要求父子不能坐在相鄰的位置，有種安排方法，則有且僅有一對(duì)父子是相鄰而坐的坐法種；故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【答案解析】

由自變量所在定義域范圍，代入對(duì)應(yīng)解析式，再由對(duì)數(shù)加減法運(yùn)算法則與對(duì)數(shù)恒等式關(guān)系分別求值再相加，即為答案.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，則因?yàn)?，則故故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求值，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【答案解析】

(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由（1）得，利用乘公比錯(cuò)位相減，即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和．【題目詳解】(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由（1）得，，，兩式相減得，，即．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問題中的常見題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.18、(1)見證明；(2)【答案解析】

(1)取的中點(diǎn)，連接，要證平面平面，轉(zhuǎn)證平面，即證，即可；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，代入公式，即可得到結(jié)果.【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榫鶠檫呴L(zhǎng)為的等邊三角形，所以，，且因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，為等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理，得：，所?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則平面的一個(gè)法向量為，依題意，平面的一個(gè)法向量所以故二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19、（1）或；（2）或.【答案解析】試題分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將不等式化為三個(gè)不等式組，分別求解集，最后求并集（2）根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得最小值，再解含絕對(duì)值不等式可得的取值范圍.試題解析：（1）等價(jià)于或或，解得：或.故不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋核?，由題意得：，解得或.點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法，一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論，二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解．法一是運(yùn)用分類討論思想，法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動(dòng)向．20、（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下：合格不合格合計(jì)高一新生121426非高一新生18624合計(jì)302050則的觀測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為“法律知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)是否合格”與“是否是高一新生”有關(guān)．（2）抽取的5名學(xué)生中競(jìng)賽成績(jī)合格的有名學(xué)生，記為，競(jìng)賽成績(jī)不合格的有名學(xué)生，記為，從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的基本事件有：，共10種，這