專題11 圓錐曲線的基本量（解析版）

專題11圓錐曲線的基本量1、【2019年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】設(shè)為橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.【答案】【解析】由已知可得，，∴．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，又，解得，，解得（舍去），的坐標(biāo)為．本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好地落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．解答本題時(shí)，根據(jù)橢圓的定義分別求出，設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積可求出的坐標(biāo).2、【2019年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.【答案】【解析】由已知得，解得或，因?yàn)?，所?因?yàn)椋噪p曲線的漸近線方程為.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程.3、【2018年高考江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是________________．【答案】【解析】因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線，即的距離為，所以，因此，，．本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能カ和應(yīng)用意識(shí)，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.熟記結(jié)論：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為b.4、【2019年高考浙江卷】漸近線方程為x±y=0的雙曲線的離心率是（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選C.本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進(jìn)一步可得離心率，屬于容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.理解概念，準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯(cuò)誤.5、【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】雙曲線C：的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為（）A．2sin40° B．2cos40°C． D．【答案】D【解析】由已知可得，，故選D．6、【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】若拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解析】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，解得，故選D．本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)，滲透邏輯推理、運(yùn)算能力素養(yǎng)．解答時(shí)，利用拋物線與橢圓有共同的焦點(diǎn)即可列出關(guān)于的方程，從而解出，或者利用檢驗(yàn)排除的方法，如時(shí)，拋物線焦點(diǎn)為（1，0），橢圓焦點(diǎn)為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，從而得到選D．7、【2019年高考北京卷文數(shù)】已知雙曲線（a>0）的離心率是，則a=（）A． B．4C．2 D．【答案】D【解析】∵雙曲線的離心率，，∴，解得，故選D.本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a，b，c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8、【2019年高考天津卷文數(shù)】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（O為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，則有，∴，，，∴.故選D.本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度.解答時(shí)，只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率.9、【2018年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可得，因?yàn)椋?，即，所以橢圓的離心率，故選C．本題主要考查橢圓的方程及離心率，考查考生的運(yùn)算求解能力，考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.在求解的過程中，一定要注意離心率的公式，再者就是要學(xué)會(huì)從題的條件中判斷與之相關(guān)的量，結(jié)合橢圓中的關(guān)系求得結(jié)果.10、【2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，│AB│=4，⊙M過點(diǎn)A，B且與直線x+2=0相切．（1）若A在直線x+y=0上，求⊙M的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，│MA│?│MP│為定值？并說明理由．【解析】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以圓心M在AB的垂直平分線上.由已知A在直線上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，所以M在直線上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線x+2=0相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故的半徑或.（2）存在定點(diǎn)，使得為定值.理由如下：設(shè)，由已知得的半徑為.由于，故可得，化簡得M的軌跡方程為.因?yàn)榍€是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以.因?yàn)?，所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.本題考查圓的方程的求解問題、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值類問題.解決定點(diǎn)定值問題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)圓的性質(zhì)得到動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義得到定值，驗(yàn)證定值符合所有情況，使得問題得解.11、【2019年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2）如果存在點(diǎn)P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍．【解析】（1）連結(jié)，由為等邊三角形可知在中，，，，于是，故的離心率是.（2）由題意可知，滿足條件的點(diǎn)存在．當(dāng)且僅當(dāng)，，，即，①，②，③由②③及得，又由①知，故．由②③得，所以，從而故.當(dāng)，時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P．所以，的取值范圍為．本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計(jì)算能力，屬于中檔試題.一、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距F1F2＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2焦半徑公式：稱到焦點(diǎn)的距離為橢圓的焦半徑①設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則（可記為“左加右減”）②焦半徑的最值：由焦半徑公式可得：焦半徑的最大值為，最小值為焦點(diǎn)三角形面積：（其中）二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x準(zhǔn)線x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長A1A2＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)通徑：①內(nèi)弦：雙曲線同一支上的兩點(diǎn)連成的線段外弦：雙曲線兩支上各取一點(diǎn)連成的線段②通徑：過雙曲線焦點(diǎn)的內(nèi)弦中長度的最小值，此時(shí)弦軸，焦半徑公式：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別為，則①（可記為“左加右減”）②由焦半徑公式可得：雙曲線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)為雙曲線的頂點(diǎn)，距離為焦點(diǎn)三角形面積：設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則（其中）三、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑公式：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，則焦點(diǎn)弦長：設(shè)過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，則（，再由焦半徑公式即可得到）題型一圓錐曲線的基本量圓錐曲線的基本量涉及到橢圓的長軸、短軸、焦距等基本量、雙曲線的實(shí)軸、虛軸、焦距、漸近線等基本量，以及拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程等知識(shí)。求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便例1、（2019年泰州學(xué)情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：EQ\F(x2,a2)＋EQ\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)（在x軸上方），連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，EQ\F(3,2))，且△PQF2的周長為8，則橢圓C的方程為．xxOyPF1F2Q【答案】EQ\F(x2,4)＋EQ\F(y2,3)＝1．【解析】因?yàn)椤鱌QF2的周長為4a，所以，a=2，把P的坐標(biāo)為(1，EQ\F(3,2))代入橢圓C，得，所以，，橢圓C的方程為EQ\F(x2,4)＋EQ\F(y2,3)＝1．例2、(2019常州期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，直線x＋y＋2＝0經(jīng)過雙曲線C的焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為________．【答案】y＝±eq\r(3)x【解析】直線x＋y＋2＝0中，令y＝0，得x＝－2，所以c＝2.因?yàn)閑q\f(c,a)＝2，所以a＝1.由a2＋b2＝c2，得b＝eq\r(3)，所以漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.例3、(2019無錫期末）以雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．【答案】.y2＝12x【解析】雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的右焦點(diǎn)為F(3，0)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝2px(p>0)，則eq\f(p,2)＝3，故p＝6，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝12x.例4、（2017·天津卷）已知雙曲線E：的左焦點(diǎn)為，離心率為，若經(jīng)過和兩點(diǎn)的直線l平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】設(shè)，由題意，，又，所以，，，所以，雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為題型二圓錐曲線的離心率問題圓錐曲線的離心率是圓錐曲線的一個(gè)最重要的性質(zhì)，在江蘇高考中多次考到，是江蘇高考的熱點(diǎn)問題。求離心率的值關(guān)鍵就是找到a,b,c之間的關(guān)系；求離心率的取值范圍問題時(shí)，除了要根據(jù)條件來確定離心率的取值范圍外，不要忘記離心率的本身的范圍，即橢圓的離心率在(0，1)上，雙曲線的離心率在(1，＋∞)上，這也是求離心率的范圍問題的常見錯(cuò)誤例5、(2019南京三模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，過雙曲線eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的平行線，交另一條漸近線于點(diǎn)P．若線段PF的中點(diǎn)恰好在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為▲．【答案】EQ\r(,2)【解析】雙曲線的漸近線方程為：，設(shè)右焦點(diǎn)，過與漸近線平行的直線為l：，由，得：，則，所以，的中點(diǎn)為，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，化簡得，即.例6、（2014年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長交橢圓于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3)))，且BF2＝eq\r(2)，求橢圓的方程；(2)若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值．規(guī)范解答設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．(1)因?yàn)锽(0，b)，所以BF2＝eq\r(b2＋c2)＝a.又BF2＝eq\r(2)，故a＝eq\r(2).因?yàn)辄c(diǎn)Ceq\f(4,3)，eq\f(1,3)在橢圓上，所以eq\f(\f(16,9),a2)＋eq\f(\f(1,9),b2)＝1.解得b2＝1.故所求橢圓的方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)解法1因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(2a2c,a2＋c2)，,y1＝\f(bc2－a2,a2＋c2)，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,y2＝b.))所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為eq\f(2a2c,a2＋c2)，eq\f(bc2－a2,a2＋c2).又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\f(2a2c,a2＋c2)，eq\f(ba2－c2,a2＋c2).因?yàn)橹本€F1C的斜率為eq\f(\f(ba2－c2,a2＋c2)－0,\f(2a2c,a2＋c2)－－c)＝eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)，直線AB的斜率為－eq\f(b,c)，且F1C⊥AB，所以eq\f(ba2－c2,3a2c＋c3)·－eq\f(b,c)＝－1.又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝eq\f(1,5).因此e＝eq\f(\r(5),5).解法2由題意知B(0，b)，F(xiàn)1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．設(shè)C(x0，y0)，則A(x0，－y0)．因?yàn)镕1C⊥AB，所以F1C⊥BF2.所以eq\f(y0,x0＋c)·eq\f(b,－c)＝－1.①因?yàn)辄c(diǎn)A在直線BF2上，所以eq\f(x0,c)＋eq\f(－y0,b)＝1.②聯(lián)立①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(ca2,b2－c2)，,y0＝\f(2bc2,b2－c2).))所以點(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ca2,b2－c2)，\f(2bc2,b2－c2))).又因?yàn)辄c(diǎn)Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ca2,b2－c2)，\f(2bc2,b2－c2)))在橢圓上，代入橢圓的方程并整理得c2a2＋4c4＝(a2－2c2)2，所以a2＝5c2，所以橢圓的離心率e＝eq\f(\r(5),5).例7、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.(1)已知橢圓的離心率為eq\f(1,2)，線段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(\r(2),2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知△ABF外接圓的圓心在直線y＝－x上，求橢圓的離心率e的值．【解】(1)因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，則a＝2c.因?yàn)榫€段AF中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(a－c,2)＝eq\f(\r(2),2).所以c＝eq\r(2)，則a2＝8，b2＝a2－c2＝6.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1.(4分)(2)因?yàn)锳(a，0)，F(xiàn)(－c，0)，所以線段AF的中垂線方程為：x＝eq\f(a－c,2).又因?yàn)椤鰽BF外接圓的圓心C在直線y＝－x上，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)，－\f(a－c,2))).(6分)因?yàn)锳(a，0)，B(0，b)，所以線段AB的中垂線方程為：y－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2))).由C在線段AB的中垂線上，得－eq\f(a－c,2)－eq\f(b,2)＝eq\f(a,b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－c,2)－\f(a,2)))，整理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)即(b－c)(a＋b)＝0.因?yàn)閍＋b>0，所以b＝c.(12分)所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(\r(2),2).(14分)例8、（2018年徐州銅山調(diào)研）如圖所示，橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)分別是A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，延長B2F2交A2B1于點(diǎn)P，若∠B2PA2是鈍角，求橢圓E離心率e的取值范圍．【答案】【解析】方法一：直線A2B1：，直線B2F2：，聯(lián)立可得，，，，因?yàn)椤螧2PA2是鈍角，所以，，即，又，所以，．方法二：因?yàn)椤螧2PA2是鈍角，所以，，，，又，所以，橢圓E的離心率e的取值范圍是．題型三圓錐曲線中點(diǎn)坐標(biāo)及范圍例9、(2019蘇州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知焦點(diǎn)在x軸上，離心率為eq\f(1,2)的橢圓E的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)A且斜率為eq\f(3,2)的直線與橢圓E交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B與右焦點(diǎn)F的直線交橢圓E于M點(diǎn)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，半焦距為c，因?yàn)闄E圓的離心率為eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，又因?yàn)锳到右準(zhǔn)線的距離為6，所以a＋eq\f(a2,c)＝3a＝6，(2分)解得a＝2，c＝1，(4分)所以b2＝a2－c2＝3，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(6分)(2)直線AB的方程為y＝eq\f(3,2)(x＋2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得x2＋3x＋2＝0，解得x＝－2或x＝－1.則B點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(9分)由題意，右焦點(diǎn)F(1，0)，所以直線BF方程為y＝－eq\f(3,4)(x－1)，(11分)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)（x＋2），,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))得7x2－6x－13＝0，解得x＝－1或x＝eq\f(13,7)，(13分)所以，點(diǎn)M坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,7)，－\f(9,14))).(14分)例10、(2019泰州期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B是橢圓C上異于左、右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)B且與AB垂直的直線與直線OP交于點(diǎn)Q.已知橢圓C的離心率為eq\f(1,2)，點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x0，求x0的取值范圍．eq\a\vs4\al(思路分析)(1)根據(jù)題意，建立關(guān)于a，c的方程組，求出a，c的值，進(jìn)而確定b的值，得到橢圓的s標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，n)，用m，n表示x0，然后再減元轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的一元函數(shù)求求其值域．也可以設(shè)出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，得到點(diǎn)B和P的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BQ和PQ的方程，由兩直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x0，根據(jù)函數(shù)的值域求得x0的取值范圍．規(guī)范解答(1)由題意得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a2,c)＋a＝6，解得a＝2，c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(4分)(2)解法1設(shè)B(m，n)，則eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1.因?yàn)锳(－2，0)，AB⊥BQ，所以直線BQ的方程為y＝－eq\f(m＋2,n)(x－m)＋n，因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以P(eq\f(m－2,2)，eq\f(n,2))，所以直線OP的方程為y＝eq\f(n,m－2)x，聯(lián)立直線BQ，OP的方程得－eq\f(m＋2,n)(x－m)＋n＝eq\f(n,m－2)x，(8分)解得x0＝eq\f(（m－2）（m2＋2m＋n2）,m2－4＋n2)，由eq\f(m2,4)＋eq\f(n2,3)＝1得n2＝－eq\f(3,4)(m2－4)，代入上式化簡得x0＝m＋6，(14分)因?yàn)椋?<m<2，所以4<x0<8.(16分)解法2設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)，k≠0.將y＝k(x＋2)代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得(4k2＋3)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，解得xB＝eq\f(－8k2＋6,4k2＋3)，所以yB＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8k2＋6,4k2＋3)＋2))＝eq\f(12k,4k2＋3)，則直線BQ的方程為y－eq\f(12k,4k2＋3)＝－eq\f(1,k)(x－eq\f(－8k2＋6,4k2＋3))，因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，則xP＝eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(－2＋\f(－8k2＋6,4k2＋3),2)＝eq\f(－8k2,4k2＋3)，yP＝eq\f(1,2)yB＝eq\f(6k,4k2＋3)，所以直線OP的斜率為eq\f(\f(6k,4k2＋3),\f(－8k2,4k2＋3))＝－eq\f(3,4k)，則直線OP的方程為y＝－eq\f(3,4k)x，(8分)聯(lián)立直O(jiān)P，BQ的方程得x0＝eq\f(16k2＋24,4k2＋3)＝4＋eq\f(12,4k2＋3)，(14分)因?yàn)?k2＋3>3，所以0<eq\f(12,4k2＋3)<4，4<4＋eq\f(12,4k2＋3)<8，即4<x0<8.(16分)1、(2019蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知雙曲線C的方程為，則其離心率為．【答案】.【解析】因?yàn)?，，所以，故離心率為2、(2019南京、鹽城一模）若雙曲線eq\f(x2,2)－eq\f(y2,m)＝1的離心率為2，則實(shí)數(shù)m的值為________．【答案】6【解析】由題意，a2＝2，b2＝m，e＝eq\f(c,a)＝2，即c2＝(2a)2＝4a2＝8＝a2＋b2＝2＋m，所以m＝6.3、已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(4，0)，F(xiàn)2(4，0)，且橢圓C過點(diǎn)A(3，1)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．【答案】【解析】AF1+AF2=，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4、(2019蘇州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(－3，1)，則該雙曲線的離心率為________．【答案】.eq\r(10)【解析】設(shè)雙曲線方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則漸近線方程為by±ax＝0.由點(diǎn)(3，－1)在一條漸近線上，得b＝3a，所以a∶b∶c∶＝1∶3∶eq\r(10)，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(10).5、(2019通州、海門、啟東期末）已知經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為________．【答案】.4【解析】根據(jù)雙曲線的方程得c＝eq\r(16＋8)＝2eq\r(6)，在雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,8)＝1中令x＝±2eq\r(6)，則y＝±2，故線段AB的長為4.6、(2019南通、泰州、揚(yáng)州一調(diào)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，直線l與雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，AB＝eq\r(6)，則p的值為________．【答案】2eq\r(6)【解析】拋物線的準(zhǔn)線l方程為x＝－eq\f(p,2)，雙曲線的兩條漸近線為y＝±eq\f(1,2)x，令x＝－eq\f(p,2)，則y＝±eq\f(p,4)，所以AB＝eq\f(p,2)＝eq\r(6)，所以p＝2eq\r(6)，故答案為2eq\r(6).7、(2019南京、鹽城二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A是拋物線y2＝4x與雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的一個(gè)交點(diǎn)．若拋物線的焦點(diǎn)為F，且FA＝5，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】y＝±eq\f(2\r(3),3)x【解析】由拋物線y2＝4x得其焦點(diǎn)F(1，0)，又FA＝5，得A(4，±4)，又點(diǎn)A在雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)上，所以eq\f(16,4)－eq\f(16,b2)＝1，解得b＝eq\f(4\r(3),3)，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\f(2\r(3),3)x.8、(2019宿遷期末）已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，右焦點(diǎn)與拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為________.【答案】eq\r(3)【解析】拋物線y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4，0)．因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以c＝4，離心率e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝2，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(3)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，頂點(diǎn)為(－2，0)，(2，0)，故雙曲線C的頂點(diǎn)到漸近線的距離為eq\f(|2\r(3)＋0|,\r(3＋1))＝eq\r(3).9、(2018常州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線l：x＋y＋1＝0與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線都相交且交點(diǎn)都在y軸左側(cè)，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是________．【答案】(1，eq\r(2))【解析】雙曲線的漸近線為y＝eq\f(b,a)x，y＝－eq\f(b,a)x，依題意有－eq\f(b,a)>－1，即b<a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))<eq\r(2).又因?yàn)槭请p曲線，所以e的取值范圍是(1，eq\r(2))．10、(2018揚(yáng)州期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋y2－6y＋5＝0沒有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))【解析】由圓x2＋y2－6y＋5＝0，得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝4，知圓心C(0，3)，半徑r＝2.因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線bx±ay＝0與該圓沒有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離應(yīng)大于半徑，即eq\f(|b×0±a×3|,\r(b2＋a2))>2，即3a>2c，即e＝eq\f(c,a)<eq\f(3,2)，且e>1，故雙曲線離心率的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).11、設(shè)，是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，若在右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)，使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓E的離心率e的取值范圍是________．【答案】【解析】由題意知，，又≥AF2=，≥，又，所以，，橢圓E的離心率e的取值范圍是．12、(2018南京、鹽城、連云港二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的兩條漸近線與圓O：x2＋y2＝2的四個(gè)交點(diǎn)依次為A，B，C，D.若矩形ABCD的面積為b，則b的值為________．【答案】eq\r(7)【解析】由題意，雙曲線C的漸近線方程為y＝±bx，如圖所示，兩條漸近線與圓O的四個(gè)交點(diǎn)為A，B，C，D.不妨設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m，n)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝bm，,m2＋n2＝2，))解得m2＝eq\f(2,b2＋1)，而矩形ABCD的面積為2m×2n＝4mn＝4bm2＝eq\f(4b×2,b2＋1)＝b，解得b＝eq\r(7).13、(2019南京學(xué)情調(diào)研）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且直線l：x＝2被橢圓E截得的弦長為2.與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，且PQ的中點(diǎn)R在直線l上．點(diǎn)M(1，0)．(1)求橢圓E的方程；(2)求證：MR⊥PQ.eq\a\vs4\al(思路分析)第(2)問，欲證“MR⊥PQ”，我們可以從兩直線垂直，斜率乘積等于－1入手，也可以從向量的數(shù)量積為0入手，這樣就產(chǎn)生了解法1和解法2.規(guī)范解答(1)因?yàn)闄E圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，所以e2＝eq\f(c2,a2)＝1－eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，即a2＝2b2.(2分)因?yàn)橹本€l：x＝2被橢圓E截得的弦長為2，所以點(diǎn)(2，1)在橢圓上，即eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.解得a2＝6，b2＝3，所以橢圓E的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(6分)(2)解法1(設(shè)線法)因?yàn)橹本€PQ與坐標(biāo)軸不垂直，故設(shè)PQ所在直線的方程為y＝kx＋m.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2,y2).因?yàn)镻Q的中點(diǎn)R在直線l：x＝2上，故R(2，2k＋m)．聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，\f(x2,6)＋\f(y2,3)＝1，))消去y，并化簡得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0,(9分)所以x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2).由x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)＝4，得1＋2k2＝－km.(12分)因?yàn)镸(1，0)，故kMR＝eq\f(2k＋m,2－1)＝2k＋m，所以kMR·kPQ＝(2k＋m)k＝2k2＋km＝2k2－(1＋2k2)＝－1，所以MR⊥PQ.(16分)解法2(設(shè)點(diǎn)法)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2,y2)．因?yàn)镻Q的中點(diǎn)R在直線l：x＝2上，故設(shè)R(2，t)．因?yàn)辄c(diǎn)P，Q在橢圓E：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),6)＋\f(yeq\o\al(2,1),3)＝1，\f(xeq\o\al(2,2),6)＋\f(yeq\o\al(2,2),3)＝1，))兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.(9分)因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為R，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2t.代入上式并化簡得(x1－x2)＋t(y1－y2)＝0.(12分)又M(1，0)，所以eq\o(MR,\s\up6(→))·eq\o(PQ,\s\up6(→))＝(2－1)×(x2－x1)＋(t－0)×(y2－y1)＝0，因此MR⊥PQ.(16分)eq\a\vs4\al(解后反思)用代數(shù)法處理圓錐曲線綜合題的常見方法有兩種：設(shè)點(diǎn)法、設(shè)線法．對(duì)于本題而言，兩種方法都可以，解題時(shí)把“設(shè)線法”與“直線斜率乘積為－1”結(jié)合，把“設(shè)點(diǎn)法”與“向量的數(shù)量積為0”結(jié)合，其實(shí)顛倒一下也可行．14、(2018蘇中三市、蘇北四市三調(diào)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)．點(diǎn)在橢圓上，且．（1）若橢圓的離心率為，短軸長為．=1\*GB3①求橢圓的方程；（2）若在軸上方存在兩點(diǎn)，使四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率的取值范圍．規(guī)范解答（1）①設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意，得所以．所以橢圓的方程為．②由①得，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，（2）解法1設(shè)，，因?yàn)镕P⊥FQ，則△FPQ的外接圓即為以PQ為直徑的圓．由題意，焦點(diǎn)F，原點(diǎn)O均在該圓上，所以消去得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P，Q均在x軸上方，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以．解?因?yàn)镺，F(xiàn)，P，Q四點(diǎn)共圓且FP⊥FQ，所以PQ為圓的直徑，所以圓心必為PQ中點(diǎn)M，又圓心在弦OF的中垂線上，所以圓心M的橫坐標(biāo)為，所以點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為．（以下同方15、(2017南京學(xué)情調(diào)研）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上一點(diǎn)(在x軸上方)，連結(jié)PF1并延長交橢圓于另一點(diǎn)Q，設(shè)eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→)).(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周長為8，求橢圓C的方程；(2)若PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心率e∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．規(guī)范解答(1)因?yàn)镕1，F(xiàn)2為橢圓C的兩焦點(diǎn)，且P，Q為橢圓上的點(diǎn)，所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，從而△PQF2的周長為4a，由題意得4a＝8，解得a＝2.(2分)因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(5分)(2)解法1因?yàn)镻F2⊥x軸，且P在x軸上方，所以可設(shè)P(c，y0)，y0＞0，Q(x1，y1)．因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因?yàn)镕1(－c,0)，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2c，－\f(b2,a)))，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(x1＋c，y1)．由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，得－2c＝λ(x1＋c)，－eq\f(b2,a)＝λy1，解得x1＝－eq\f(λ＋2,λ)c，y1＝－eq\f(b2,λa)，所以Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ＋2,λ)c，－\f(b2,λa))).(11分)因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋2,λ)))2e2＋eq\f(b2,λ2a2)＝1，即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，即(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1.因?yàn)棣耍?≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，從而λ＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)因?yàn)閑∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\f(1,4)≤e2≤eq\f(1,2)，即eq\f(7,3)≤λ≤5.所以λ的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，5)).(16分)解法2由于PF2⊥x軸，且P在x軸上方，故設(shè)P(c，y0)，y0＞0.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以eq\f(c2,a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，解得y0＝eq\f(b2,a)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).(7分)因?yàn)镕1(－c,0)，所以直線PF1的方程為y＝eq\f(b2,2ac)(x＋c)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b2,2ac)x＋c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0.因?yàn)橹本€PF1與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，設(shè)Q(x1，y1)，則x1＋c＝－eq\f(2b2c,4c2＋b2)，(11分)因?yàn)閑q\o(PF1,\s\up6(→))＝λeq\o(F1Q,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(－2c,c＋x1)＝eq\f(4c2＋b2,b2)＝eq\f(3c2＋a2,a2－c2)＝eq\f(3e2＋1,1－e2)＝eq\f(4,1－e2)－3.(14分)以下同解法1.16、(2016南京、鹽城、連云港、徐州二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)C在橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上．若點(diǎn)A(－a,0)，