隨機信號分析常建平李林海課后習題答案第二章習題講解

-讓每個人相同地提升自我2-1已知隨機過程X(t)Acos0t，其中0為常數(shù)，隨機變量A遵從標準高斯分布。求t0,30,20三個時刻X(t)的一維概率密度？1a2解：A~N(0,1)..........fA(a)e22X(t)t0A~N(0,1)fX(x1；0)1ex122，2A~N(0,1)2e2X(t)tfX(x；30)＝2x2，302422X(t)t2＝0，f(x3；20)(x3)0(失散型隨機變量分布律)2-2以下列圖，已知隨機過程X(t)僅由四條樣本函數(shù)組成，出現(xiàn)的概率為1,1,3,1。8484X(t)6x1(t)5x2(t)43x3(t)2x4(t)1ot1t2t圖習題2-2在t1和t2兩個時刻的分布律以下：1-讓每個人相同地提升自我1234X(t1)(t2)pk1k2(t1,t2)

126354211/81/43/81/4求E[X(t1)],E[X(t2)],E[X(t1)X(t2)]？42921E[X(t1)]xkpktE[X(t2)]k188E[X(t1)X(t2)]RXt1,t2k1k2pXt1k1,Xt2k2k1k22-讓每個人相同地提升自我2－23隨機過程X(t)AcostXH，其中AU(0,1)（平均分布）。求fX(x;t),EX(t),DX(t),RX(t1,t2)？EX(t)EAcostXHcostEAXHDX(t)EX2(t)E2X(t)方法2：DX(t)DAcostXHDAcostDXH2cos2tcostDA12公式：DaX＋bＹa2DXb2DY2abCXYR(t,t2)=EAcostXHAcost2XHX11costcostEA2EAXHcostcost2XH21211costcost2XHcostcost2XH231213-讓每個人相同地提升自我2kt2kcost022對某一固準時刻tXt~UXH,costXH2k32kcost0t22對某一固準時刻tXt~UcostXH,XHtkcost0X(t)XH2概率密度用沖激函數(shù)表示12kt2k,XHxcostXHcost2212kt3,costXHxXHfX(x;t)cost2k22xXHt2k,xXH0else4(x1,x2)fX1X2-讓每個人相同地提升自我2-4已知隨機過程X(t)ABt，其中A,B皆為隨機變量。①求隨機過程的希望E[X(t)]和自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2)？②若已知隨機變量相A,B互獨立，它們的概率密度分別為fA(a)和fB(b)，求X(t)的一維概率密度fX(x;t)第②問方法一：用雅克比做（求隨機變量函數(shù)的分布）步驟：t時刻，X(t)ABt為兩個隨機變量的函數(shù)①設(shè)二維的隨機矢量②求反函數(shù)③求雅克比行列式④利用公式

X1ABt（題目要求的）X2A（自己設(shè)的量,可以是其他量）J，獲取|J|JfAB(a,b)AB互相獨立fABfA(a)fB(b)⑤由聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度fX1x⑥t為變量，則獲取fX(x;t)5-讓每個人相同地提升自我A與B獨立,fAB(a,b)fA(a)fB(b)X(t)ABtAY(t)011X(t)Y(t)J11Y(t)ABttttfXY(x,y;t)JfAB(a,b)1fAB(y,xy)1fA(y)fB(xy)ttttfX(x;t)fXY(x,y;t)dy1fA(y)fB(xy)dyttya,fX(x;t)1fA(a)fB(xa)dattfXx;t1fAafBxadattfAxbtfBbdb方法二：用特色函數(shù)定義和性質(zhì)（獨立變量和的特色函數(shù)等于各特色函數(shù)的乘積）做（特色函數(shù)和概率密度一一對應(yīng)）6-讓每個人相同地提升自我Qu;tEejuXtEejuABtejuabtfABa,bdadbXejuabtfAafBbdadbQu;tfXx;tejuxdxX取a=x-btQu;tejuxfAxbtfBbdxdbXejuxfAxbtfBbdbdxfXx;tfAxbtfBbdb7-讓每個人相同地提升自我2-5已知X(t)為平穩(wěn)過程，隨機變量YX(t0)。判斷隨機過程Z(t)X(t)Y的平穩(wěn)性？X(t)平穩(wěn)mX、RXEYtEXt0?EZt2mXRZt1,t2EXt1YXt2YEXt1Xt2Xt1Xt0Xt0Xt2X2t0RXRXt1,t0RXt2,t0EX2t0RZ隨機過程Z(t)X(t)Y非平穩(wěn)8-讓每個人相同地提升自我2-6已知隨機過程Y(t)X(t)cos(0t)，其中隨機過程X(t)寬平穩(wěn)，表示幅度；角頻率0為常數(shù)；隨機相位遵從(,)的平均分布，且與過程X(t)互相獨立。①求隨機過程Y(t)的希望和自相關(guān)函數(shù)？②判斷隨機過程Y(t)可否寬平穩(wěn)？①與過程X(t)互相獨立cos(0t)與Xt互相獨立EY(t)EX(t)cos(0t)EX(t)Ecos(0t)0RYt1,t2EX(t1)cos(0t1)X(t2)cos(0t2)EX(t1)X(t2)cos(0t1)cos(0t2)EX(t1)X(t2)Ecos(0t1)cos(0t2)RX1cos029-讓每個人相同地提升自我2-8已知平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為RX()4ecoscos3，求過程X(t)的均方值和方差？RX1()＝4ecos非周期部分mX1RX1()0RX2()cos3周期偶函數(shù)mX20X2R(0)m25XX10-讓每個人相同地提升自我2-10已知過程X(t)AcostBsint和Y(t)BcostAsint，其中隨機變量A,B獨立，均值都為0，方差都為5。①證明X(t)和Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)；②求兩個過程的互相關(guān)函數(shù)？①EX(t)0Rt,t5cosEX2(t)5XXt平穩(wěn)EY(t)0Rt,t5cosEY2(t)5YYt平穩(wěn)RXYt,t＋＝5sinXt、Yt聯(lián)合平穩(wěn)11-讓每個人相同地提升自我2-11已知過程X(t)和Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，且Z(t)X(t)Y(t)。①求Z(t)的自相關(guān)函數(shù)RZ()？②若X(t)和Y(t)獨立，求RZ()？③若X(t)和Y(t)獨立且均值均為0，求RZ()第①問RZEZtZtRXRYRXYRYXRXRYRXYRXY兩個聯(lián)合平穩(wěn)的過程的互相關(guān)函數(shù)RYXRXY第②問兩平穩(wěn)過程獨立EXt1Yt2EXt1EYt2RXYRYXmXmYRZRXRY2RXY第③問X(t)和Y(t)獨立且均值均為0RZRXRY12-讓每個人相同地提升自我2-12已知兩個互相獨立的平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的自相關(guān)函數(shù)為RX()2e2cos0RY()9exp32令隨機過程，其中A是均值為2，方差為9的隨機變量，且與X(t)和Y(t)互相獨立。求過程Z(t)的均值、方差和Z(t)AX(t)Y(t)自相關(guān)函數(shù)？隨機變量A，與X(t)和Y(t)互相獨立EZtEAEXtEYtE[X(t)]RX()0，E[Z(t)]0RZ(t,t)E[Z(t)Z(t)]E[A2X(t)X(t)Y(t)Y(tE[A2]RX()RY()E[A2]D[A]E2[A]922RZ()26e2cos09

)]exp32D[Z(t)]RZ(0)260可以證明過程Z(t)平穩(wěn)13-讓每個人相同地提升自我2-14已知復(fù)隨機過程Z(t)Aiexpjiti1式中Ai(i1,,n)為n個實隨機變量，i(i1,,n)為n個實數(shù)。求當Ai滿足什么條件時，Z(t)復(fù)平穩(wěn)？復(fù)過程Z(t)復(fù)平穩(wěn)條件mZtmz復(fù)常數(shù)，mX+jmYRZt,tRZ①mztEAiexpjitEAiexpjiti1i1只要E[Ai]0，E[Z(t)]中就存在“t”。令E[Ai]0②14-讓每個人相同地提升自我RZt,tEZtZtEAiexpjitAjexpjjtjji1j1EAiAjexpjitjjtjji1j1EAi2expjji1j1Ai與Ak間應(yīng)滿足條件：E[Ai]0...........E[AiAk].....i,k1,2,,n0,......ik15-讓每個人相同地提升自我2-16已知平穩(wěn)過程X(t)的均方可導，Y(t)X(t)。證明X(t),Y(t)的互相關(guān)函數(shù)和Y(t)的自相關(guān)函數(shù)分別為RXY(dRX()d2RX())RY()dd21RXY()E[X(t)Y(t)]EX(t)l..imX(tt)X(t)t0tlimEX(t)X(tt)X(t)X(t)t0tRX(t)RX()dRX()limtdtt02R()EX'(t)Y(tYEX(tl..imt0limEX(t

)t)X(t)tY(t)t)Y(t)X(t)Y(t)t0limRXY(t0dRXY()d

tRXY()t2dRX()。

limRXY()RXY()016-讓每個人相同地提升自我若X(t)為寬平穩(wěn)（實）過程，則X'(t)也是寬平穩(wěn)（實）過程，且X(t)與X'(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)。dR()dR()dR()d2R()RY()YXXYXYXdddd22-17已知隨機過程X(t)的數(shù)學希望E[X(t)]t24，求隨機過程Y(t)tX(t)t2的希望？E[X'(t)]E[X(t)]'24't2tEY(t)3t22-18已知平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX()2exp12。求：①其導數(shù)Y(t)X(t)的自相2關(guān)函數(shù)和方差？②X(t)和Y(t)的方差比？d2RX()12R()212e2Yd2不含周期重量2YRY022XRX0217-讓每個人相同地提升自我補充題：若某個噪聲電壓Xt是一個各態(tài)歷經(jīng)過程，它的一個樣本函數(shù)為Xt2cost，求該噪聲的直流重量、交流4平均功率解：直流重量EXt、交流平均功率DXt各態(tài)歷經(jīng)過程可以用它的任一個樣本函數(shù)的時間平均來代替整個過程的統(tǒng)計平均EXt=X(t)=lim1Tlim1Ttdt0X(t)dt2cosT2TTT2TT4R()X(t)X(t)lim1T)dtX(t)X(tXT2TTlim1T2costdt2cos2cost4T2TT4再利用平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)DXtRX0RX2方法二：DXtEX2tE2XtX2(t)X(t)X(t)0X2(t)=lim1TX2(t)dtlim1TT2TT2T

2T2costdt2T418-讓每個人相同地提升自我2-19已知隨機過程X(t)Vcos3t，其中V是均值和方差皆為1的隨機變量。令隨機過程1tY(t)X()d求Y(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差？解：bb1．求均值，利用E[aX(t)dt]aE[X(t)]dt隨機過程的積分運算與數(shù)學希望運算的次序可以互換EYt1t1t1tEX()dtEX()dtEVcos3dt000sin3t3t1tX()d1變上限積分2.求自相關(guān)函數(shù)Y(t)tt0R(t,t)E[Y(t)Y(t)]1t1)d1t2X()d]E[X(11t022Y1212t0211t1t21)X(2)]d2d＝E[X(100t1t21t1tVsin3t做法二：Y(t)X()dVcos3dt0t03tRY(t1,t2)E[Y(t1)Y(t2)]E[Vsin3t1Vsin3t2]3t13t2＝sin3t1sin3t2EV22sin3t1sin3t29t1t29t1t2求互協(xié)方差函數(shù)19-讓每個人相同地提升自我CY(t1,t2)RY(t1,t2)E[Y(t1)]EY(t2)1sin3t1sin3t29t1t24.求方差DYtCYt,t方差是關(guān)于t的一元函數(shù)方法二：DYtVsin3tsin23tsin23tD9t2DV23t9t20-讓每個人相同地提升自我2-20已知平穩(wěn)高斯過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為①RX()6exp②RX()6sin2求當t固準時，過程X(t)的四個狀態(tài)X(t),X(t1),X(t2),X(t3)的協(xié)方差矩陣？C11C12C13C14C21C22C23C24解析：高斯過程四個狀態(tài)的CC32C33C34C31C41C42C43C44441狀態(tài)X(t),2狀態(tài)X(t1),3狀態(tài)X(t2),4狀態(tài)X(t3)Xt平穩(wěn)高斯，協(xié)方差陣只與時間差值相關(guān)CX0CX1CX2CX3CX1CX0CX1CX2CCX1CX0CX1CX2CX3CX2CX1CX044CCX()R()m2ikXX解：①Xt平穩(wěn)高斯，協(xié)方差陣只與時間差值相關(guān)21-讓每個人相同地提升自我m2limR()0XXCR()m2R()ijXXX1R(2)6e13R(0)6R(1)6e2R(3)6e2XXXX1CX0CX1CX2CX366e26e1CCX1CX0CX1CX26e266eCX2CX1CX0CX116e16e26CX3CX2CX1CX036e16e26e

11212

6e6e6e6

32112②m2limR()0C＝R()XXijXlimsin＝1RX(0)60RX(1)RX(2)RX(3)0

60000600C0060000622-讓每個人相同地提升自我2-21已知平穩(wěn)高斯過程X(t)的均值為0，令隨機過程Y(t)[X(t)]2。證明R()R(0)22R()2YXX證：RY()E[Y(t)Y(t)]＝E[X2(t)X2(t)]nk](j)nknkQX(1,2)E[X1X2nk12120E[X2(t)X2(t)](j)44QX(1,2;t,t)2212120Xt為高斯平穩(wěn)過程QX(1,2;)exp[jMTUTCXUXU]2MX0U1CXRX(0)RX()0RX()RX(0)2QX(1,2;)exp1RX(0)22R()12R(0)221XX24exp1RX(0)122RX()12RX(0)22R()(j)4222Y1212022RX(0)2RX()23-讓每個人相同地提升自我2-22已知隨機過程X(t)Acos(0t)，其中隨機相位遵從(0,2)上的平均分布；A可能為常數(shù)，也可能為隨機變量，且若A為隨機變量時，和隨機變量互相獨立。當A具備什么條件時，過程各態(tài)歷經(jīng)？解析：隨機過程各態(tài)歷經(jīng)要求為平穩(wěn)過程且X(t)E[X(t)]X(t)X(t)RX()解：①A為常數(shù)時EXt0R(t,t)A2cosEX2tA222X(t)為平穩(wěn)過程A為隨機變量時和隨機變量互相獨立E[X(t)]E[Acos(0t)]E[A]E[cos(0t)]0R(t,t)E[X(t)X(t)]E[A2cos(t)cos(t2)]EA2[coscos(2t2)]2E[A2]E[cos]E[cos(2t2)]E[A2]cos022E[X2(t)]E[A2]2X(t)為平穩(wěn)過程X(t)lim1T0t)dt0②Acos(T2TT24-讓每個人相同地提升自我X(t)X(t)lim1T)cos(t2)dtA2cos(tT2TTA2lim1T[coscos(2t2)]dt2T2TT2T2Acoslim12)dtAcos