問題1.2 如何靈活應(yīng)用函數(shù)的四大性質(zhì)

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家課外補習(xí)專用歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題一集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題二：如何靈活應(yīng)用函數(shù)的四大性質(zhì)一、考情分析函數(shù)是整個高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)的主線,所有知識均可與函數(shù)建立聯(lián)系,都可圍繞這一主線展開學(xué)習(xí)考查,它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始末,而函數(shù)的四大性質(zhì)更是高考對函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重,其中單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容,在高考命題中函數(shù)常與方程、不等式等其他知識結(jié)合考查,而且考查的形式不一,時而選擇題,時而填空題,時而解答題.二、經(jīng)驗分享1.單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,故求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先”的原則,單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫,不能用并集符號“∪”連接,也不能用“或”連接.2.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比較大?。容^函數(shù)值的大小,應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時,往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉,使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)．①視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；②需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性,除注意各段的單調(diào)性外,還要注意銜接點的取值．3.解函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運用函數(shù)的單調(diào)性“去掉”函數(shù)的抽象符號“f”,轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回顧．查看關(guān)鍵點,易錯點及解題規(guī)范.4.關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題,關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題．5.掌握以下兩個結(jié)論,會給解題帶來方便：①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．②若奇函數(shù)在x＝0處有意義,則f(0)＝0.三、知識拓展1．對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,則T＝2a(a>0)．(4)若,則T＝6a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝,則T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝,則T＝4a(a>0)．2．函數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(2)若函數(shù)的圖象既關(guān)于點對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.(3)若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點對稱,則是周期函數(shù),且是它的一個周期.3.函數(shù)是一個奇特的函數(shù),該函數(shù)是偶函數(shù),是周期函數(shù),但沒有最小正周期,也無法作出其圖象.4.設(shè)是定義在M上的函數(shù),若與的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù)；若與的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù),簡稱同增異減.5.對稱性的一般結(jié)論=1\*GB3①若,則圖像關(guān)于直線對稱；=2\*GB3②與的圖像關(guān)于直線（即）對稱.四、題型分析(一)函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用【例1】如果對定義在上的函數(shù),對任意兩個不相等的實數(shù),都有,則稱函數(shù)為“函數(shù)”.給出下列函數(shù)①;②;③;④.以上函數(shù)是“函數(shù)”的所有序號為.【點評】本題主要考查了單調(diào)函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性的判斷（定義法,圖像法,導(dǎo)數(shù)法）,學(xué)生在初步理解時可能有一種無從入手的感覺,如果對函數(shù)單調(diào)性定義的本質(zhì)不能領(lǐng)悟的話,則將無法完成此題了,可見在教師的教和學(xué)生的學(xué)中最終要讓學(xué)生去理解和領(lǐng)悟知識的本質(zhì).【小試牛刀】【2018屆常熟中學(xué)高三10月階段性抽測】已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍為__________．(二)函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用【例2】已知函數(shù)（）,,則__________．【點評】本題對函數(shù)奇偶性的考查較為隱蔽,只有通過分離常數(shù),才能看出是一個常數(shù)函數(shù)與一個奇函數(shù)的和,故本題對能力要求較高.【小試牛刀】已知函數(shù),則使得的的范圍是__________．(三)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用【例3】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),且當,若對任意的,不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是．(四)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例4】已知定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于直線對稱,則下列式子一定成立的是①②③④【小試牛刀】【2018屆東臺安豐中學(xué)高三第一次月考】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且,當時,,則__________．【答案】在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中,如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖,根據(jù)簡圖進一步研究函數(shù)的性質(zhì),就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了,對問題的解決有很大的幫助.(1)一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大,然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負號,最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?2)畫函數(shù)草圖的步驟：由已知條件確定特殊點的位置,然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象,再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖象,最后利用周期性確定整個定義域內(nèi)的圖象.五、遷移運用1．【淮安市淮海中學(xué)2018屆高三上第一次調(diào)研】已知定義在上的偶函數(shù),當時,,則使得成立的的取值范圍為__________．【答案】2.【南師附中2017屆高三模擬二】已知是定義在區(qū)間上的奇函數(shù),當時,．則關(guān)于的不等式的解集為__________．【答案】3．【南通中學(xué)2018屆高三10月月考】已知函數(shù),若對任意實數(shù)都有,則實數(shù)的取值范圍是____________.【答案】4．【泰州中學(xué)2018屆高三上學(xué)期開學(xué)考試】已知是定義在上的奇函數(shù),當時,,不等式的解集用區(qū)間表示為__________．【答案】5.【鹽城中學(xué)2018屆高三上第一次階段性考試】已知函數(shù)f(x)＝mx2＋x＋m＋2在(－∞,2)上是增函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】6.【無錫市2018屆高三上期中基礎(chǔ)性檢測】已知函數(shù),則的解為______________.【答案】7．【2016-2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試】已知函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù),當時,,則__________．【答案】－28.【2016-2017學(xué)年度江蘇蘇州市高三期中調(diào)研考試】已知函數(shù),若對于定義域內(nèi)的任意,總存在使得,則滿足條件的實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】9．【南京市2017屆高三年級學(xué)情調(diào)研】已知分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,若存在,使得等式成立,則實數(shù)的取值范圍是.【答案】10．【2016屆江蘇省泰州中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考】已知函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù),當時,函數(shù)的最大值與最小值的差為,則．【答案】11．函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意,恒有；②對于定義域上的任意．當,恒有．則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”,則下列三個函數(shù)中：（1）,（2）,（3）．稱為“理想函數(shù)”的有（填序號）．【答案】（3）12．已知函數(shù)f（x）＝,且f（x）在R上遞減,則實數(shù)a的取值范圍．【答案】13．已知函數(shù)為奇函數(shù),且對定義域內(nèi)的任意x都有,當時,,給出以下4個結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當時,；④函數(shù)在上單調(diào)遞增．其中所以正確結(jié)論的序號為．【答案】14．已知：定義在R上的函數(shù),對于任意實數(shù)a,b都滿足,且,當．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）證明在上是增函數(shù)；（Ⅲ）求不等式的解集．【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）15．已知函數(shù),其中為常數(shù),且（1）若,求函數(shù)的表達式；（2）在（1）的條件下,設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)使得函數(shù)在上的最大值是4？若存在,求出的值；若不存在,請說明理由．【答案】（1）（2）或（3）或16．【鎮(zhèn)江2018屆高三10月月考】已知,函數(shù).（1）當時,解不等式；（2）若函數(shù)為奇函數(shù),試求的值；（3）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素,求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）17．【東臺市創(chuàng)新學(xué)校2018屆高三9月月考】函數(shù).（1）當時,求函數(shù)的定義域；（2）若判斷的奇偶性；（3）是否存在實數(shù)使函數(shù)在[2,3]遞增,并且最大值為1,若存在,求出的值；