2021年浙江省杭州市臨安天目中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2021年浙江省杭州市臨安天目中學(xué)高一數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若集合，且，則實(shí)數(shù)的集合（

）.

.

.

.參考答案：C略2.化簡(jiǎn)等于（

）A. B. C.3 D.1參考答案：A【分析】根據(jù)將原式化為，根據(jù)兩角和差的正切公式求得結(jié)果.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角和差的正切公式化簡(jiǎn)求值的問題，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合兩角和差正切公式的形式.3.在平面直角坐標(biāo)系中，角以x軸非負(fù)半軸為始邊，終邊在射線上，則的值是（

）A.2 B.-2 C. D.參考答案：A【分析】由角以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊在射線上，設(shè)終邊上的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，在平面直角坐標(biāo)系中，角以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊在射線上，設(shè)終邊上的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，其中解答中熟記三角函數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.已知點(diǎn)在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）的表達(dá)式為（）A． B． C．f（x）=x2 D．f（x）=x﹣2參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，利用點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，即可求出函數(shù)的解析式．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)為：y=xa，因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)f（x）的圖象上，所以3，解得a=﹣2，函數(shù)的解析式為：f（x）=x﹣2．故選D．5.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（3））=（）A． B．3 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由條件求出f（3）=，結(jié)合函數(shù)解析式求出f（f（3））=f（）=+1，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：函數(shù)f（x）=，則f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故選D．6.下列四個(gè)式子中，正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略7.函數(shù)的值域?yàn)?/p>

（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略8.下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是(

)A．f（x）=|x|，g（x）= B．f（x）=，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=，g（x）=參考答案：B【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，判斷它們是同一函數(shù)即可．【解答】解：對(duì)于A，f（x）=|x|（x∈R），與g（x）=（x≥0）的定義域不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于B，f（x）==|x|（x∈R），與g（x）==|x|（x∈R）的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，∴是同一函數(shù)；對(duì)于C，f（x）==x+1（x≠1），與g（x）=x+1（x∈R）的定義域不同，∴不是同一函數(shù)；對(duì)于D，f（x）=?=（x≥1），與g（x）=（x≥1或x≤﹣1）的定義域不同，∴不是同一函數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．9.如圖，在半徑為1的半圓內(nèi)，放置一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形ABCD，向半圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在正方形內(nèi)的槪率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】CF：幾何概型．【分析】根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積即可．【解答】解：半圓的面積S=，正方形的面積S1=，則對(duì)應(yīng)的概率P==，故選：B10.下面是一個(gè)求10個(gè)數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語句為(

)

A.

i>10

B.

i<10

C.i>=10

D.i<=10

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若等比數(shù)列的前2項(xiàng)的和為12,前4項(xiàng)的和為36,則前6項(xiàng)的和為

.參考答案：8412.已知為上的奇函數(shù)，時(shí)，則=

參考答案：-213.如圖，AB是半圓O的直徑，且AB=8，點(diǎn)C為半圓上的一點(diǎn)．將此半圓沿BC所在的直線折疊，若圓弧BC恰好過圓心O，則圖中陰影部分的面積是

．（結(jié)果保留π）參考答案：【考點(diǎn)】扇形面積公式．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值．【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則可判斷點(diǎn)O是的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得OD=OE=R=2，在Rt△OBD中求出∠OBD=30°，繼而得出∠AOC，求出扇形AOC的面積即可得出陰影部分的面積．【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接OC，則點(diǎn)E是的中點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴S弓形BO=S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°，∴∠AOC=60°，∴S陰影=S扇形AOC==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷點(diǎn)O是的中點(diǎn)，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積．14.若數(shù)列{an}滿足（，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是__________．參考答案：100因?yàn)閿?shù)列是“調(diào)和數(shù)列”，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此的最大值為100．點(diǎn)睛：本題考查創(chuàng)新意識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定義及已知是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化簡(jiǎn)已知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值．本題難度不大，但考查的知識(shí)較多，要熟練掌握各方面的知識(shí)與方法，才能正確求解．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知任意角以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為始邊，若終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，定義：，稱“”為“正余弦函數(shù)”，對(duì)于“正余弦函數(shù)”，有同學(xué)得到以下性質(zhì)：①該函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

②該函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

④該函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π；⑤該函數(shù)的遞增區(qū)間為.其中正確的是

．（填上所有正確性質(zhì)的序號(hào)）參考答案：①④⑤①中，由三角函數(shù)的定義可知，所以，所以是正確的；②中，，所以，所以函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是錯(cuò)位的；③中，當(dāng)時(shí)，，所以圖象關(guān)于對(duì)稱是錯(cuò)誤的；④中，，所以函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為2π，所以是正確的；⑤中，因?yàn)椋?，得，即函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以是正確的，綜上所述，正確命題的序號(hào)為①④⑤．

16.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)P，P在冪函數(shù)f（x）的圖象上，則f（9）=

．參考答案：【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；冪函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】欲求函數(shù)的圖象恒過什么定點(diǎn)，只要考慮對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logax（a＞0，a≠1）的圖象恒過什么定點(diǎn)即可知，故只須令x=2即得，再設(shè)f（x）=xα，利用待定系數(shù)法求得α即可得f（9）．【解答】解析：令，即；設(shè)f（x）=xα，則，；所以，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于容易題．主要方法是待定系數(shù)法．17.sin210°=

．參考答案：﹣【考點(diǎn)】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．【分析】已知式子中的角度變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求出值．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.函數(shù)f(x)定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=(1)寫出f(x)單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的值域；參考答案：19.(滿分10分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中,

(1)求A1B與B1D1所成的角;

(2)證明：平面CB1D1

//平面A1BD.參考答案：(1):(2):連接和20.已知定義在R的函數(shù)f（x）滿足以下條件：①對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y恒有f（x+y）=f（x）f（y）+f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；③f（1）=1．（1）求f（2），f（0）的值；（2）若f（2x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立，求a的取值范圍；（3）求不等式的解集．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】（1）令x=y=1可得f（2）=3；令x=y=0可得f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，則f（1）=f（0）=﹣1與已知矛盾；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立?f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立，先探討f（x）=t的取值范圍t∈（﹣1，+∞），原不等式等價(jià)于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，（3）（3）f（f（x））≥?[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）??[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）+f（x+1）?f（f（x））+f（f（x））≥7?f（x+1+f（x））≥7．再證明函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F(xiàn)（x）在R上單調(diào)遞增F（x）≥F（3）?x≥1，【解答】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），則f（0）=0或f（0）=﹣1，令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=﹣1，則f（1）=f（0）=﹣1與已知矛盾，∴f（0）=0；（2）f（2x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立?f2（x）+2f（x）﹣a≥af（x）﹣5對(duì)任意x恒成立，令f（x）=t，以下探討f（x）=t的取值范圍．令y=﹣x可得f（0）=f（﹣x）f（x）+f（x）+f（﹣x）?f（x）=，當(dāng)x＜0時(shí)，f﹣x）＞0，則﹣1＜f（x）=＜0，∴x∈R時(shí)，f（x）=t∈（﹣1，+∞）．原不等式等價(jià)于：t2+2t﹣a≥at﹣5在t∈（﹣1，+∞）恒成立，即tt2+2t+5≥（t+1）a?a≤．g（t）=，當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)．∴a≤4．（3）由（2）可得f（x）∈（﹣1+∞），f（x+1）∈（﹣1+∞），f（f（x））≥?[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）??[1+f（x+1）]?f（f（x））≥7﹣f（x+1）?f（x+1）+f（x+1）?f（f（x））+f（f（x））≥7?f（x+1+f（x））≥7．下面證明y=f（x）的單調(diào)性：任取x1，x2∈R，且x1＞x2，?f（x1﹣x2）＞0，f（x2）＞﹣1則f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2+x2）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）f（x2）+f（x1﹣x2）=f（x1﹣x2）[f（x2）+1]＞0所以函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，∴f（x+1+f（x））≥7?．f（x+1+f（x））≥f（3）?x+1+f（x）≥3令F（x）=x+1+f（x），F(xiàn)（x）在R上單調(diào)遞增，且F（1）=3x+1+f（x）≥3?F（x）≥F（3）?x≥1，所以原不等式解集為：[1，+∞）．21.（本小題滿分12分）解關(guān)于x的不等式．

參考答案：解：關(guān)于x的不等式mx2+（2m﹣1）x﹣2＞0等價(jià)于（x+2）（mx﹣1）＞0；當(dāng)m=0時(shí)，不等式化為x+2＜0，解得解集為（﹣∞，﹣2）；當(dāng)m＞0時(shí)，不等式等價(jià)于（x﹣）（x+2）＞0，解得不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；當(dāng)m＜0時(shí)，不等式等價(jià)于（x﹣）（x+2）＜0，若﹣＜m＜0，則