2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬熱身卷試題及解析匯編

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．B．3C．D．3或2．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）已知，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．23．（2021·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．C．D．4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知首項(xiàng)為13的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．若，且，則（）A．8 B．10 C．12 D．145．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，，滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．6．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)A，是兩個事件，且發(fā)生A必定發(fā)生，，給出下列各式，其中正確的是（）A．B．C．D．7．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．8．（2021·河南·羅山縣教學(xué)研究室一模（文））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)有下面四個命題：：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則.其中的真命題為（）A． B． C． D．10．（2021·福建·廈門一中高一期中）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（）A．的圖象關(guān)于對稱B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為11．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．向量與共線D．過點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2021·全國·貴陽一中一模（理））已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_________.14．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）若，則___________.15．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為30°的直線，與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心?橢圓半焦距為半徑的圓交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)），與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為___________.16．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））在四棱錐中，已知底面，，，M是平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)四棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為___________.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最小值.18．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，.（1）在下列三個結(jié)論中選擇一個進(jìn)行證明，并求的通項(xiàng)公式.①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列.（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個結(jié)論分別證明，按第一個證明計(jì)分.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn).（1）求證：PA∥平面BDE；（2）若直線BD與平面PBC所成的角為30°，求二面角的大小.20．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）“十四五”是我國全面建成小康社會、實(shí)現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)之后，乘勢而上開啟全面建設(shè)社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個五年，實(shí)施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝，回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．21．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被截得的線段長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔（2）設(shè)直線交橢圓于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)線段的中垂線與軸的交點(diǎn)為，求的取值范圍.22．（2022·江蘇鹽城·一模）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若為函數(shù)的兩個不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷1（解析版）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（浙江省浙東北聯(lián)盟（ZDB）2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．B．3C．D．3或【答案】A【分析】分類討論結(jié)合集合中元素的性質(zhì)求解即可.公眾號拾穗者的雜貨鋪【詳解】當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)時，即或（舍），此時.2．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）已知，若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則（）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零得到方程（不等式）組，解得即可；【詳解】是純虛數(shù)，則，解得.3．（2021·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的部分圖象大致為（）A．B．C．D．【答案】A【分析】先利用奇偶性排除部分選項(xiàng)，再由函數(shù)值的符號判斷排除可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除C、D，又，故排除B選項(xiàng).4．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知首項(xiàng)為13的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．若，且，則（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】設(shè)出公差,由，，成等差數(shù)列及，得到與的關(guān)系式，從而求解．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋裕砜傻?，．又，所以．若，則，故，又，所以．5．（2021·福建省龍巖第一中學(xué)模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)，，滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】首先判斷的范圍，以及由條件可知，，，再分別代入選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性和特殊值比較大小.【詳解】因?yàn)?，其中，所以，，，且，，所以，，即，故A錯誤；，，即，故B錯誤；，，因?yàn)?，所以，即，即，故C錯誤；，，即，故D正確.6．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)A，是兩個事件，且發(fā)生A必定發(fā)生，，給出下列各式，其中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合和事件、積事件的概念及條件概率公式，即可求解．【詳解】發(fā)生必定發(fā)生，（A），（B），故A，D錯誤，，故B錯誤，，故C正確．7．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（理））設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】解法一：利用排除法，分別令和求解函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行判斷，解法二：分類討論，分在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)，在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間有個零點(diǎn)和在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間有個零點(diǎn)三種情況求解即可【詳解】法一（排除法）：令，則，當(dāng)時，在區(qū)間有個零點(diǎn)，當(dāng)時，，，在區(qū)間有個零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個零點(diǎn)，符合題意，排除A?C.令，則，當(dāng)時，在區(qū)間有個零點(diǎn)，當(dāng)時，，，在區(qū)間有個零點(diǎn)，綜上所述，在區(qū)間內(nèi)有個零點(diǎn)，符合題意，排除B，故選D.法二（分類討論）：①當(dāng)在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間沒有零點(diǎn)時，滿足，無解；②當(dāng)在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間有個零點(diǎn)時，滿足，解得；③當(dāng)在區(qū)間有個零點(diǎn)且在區(qū)間有個零點(diǎn)時，滿足，解得，公眾號拾穗者的雜貨鋪綜上所述，的取值范圍是.8．（2021·河南·羅山縣教學(xué)研究室一模（文））已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，直線與垂直，可得，、，，關(guān)于對稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造，判斷其單調(diào)性，即可判斷③，由，判斷其單調(diào)性，即可判斷④．【詳解】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，，、，，關(guān)于對稱，則；①正確；對于②：由，因?yàn)椋瑒t；②正確；對于③：構(gòu)造函數(shù)；則，當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；，，，③正確；對于④：，，令函數(shù)，則當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；，不對，即④不對．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一階段練習(xí)）設(shè)有下面四個命題：：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則.其中的真命題為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的分類，對命題的真假進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，，對于，若，即，則,當(dāng)，時，，故為假命題.對于，若，則，即，則，故為真命題.對于，若，則，即，，則，故為真命題.對于，若，即，則，不能推出，故不一定屬于，故為假命題.10．（2021·福建·廈門一中高一期中）已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時，，③，則以下說法中正確的是（）A．的圖象關(guān)于對稱B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【答案】ACD【分析】依題意令，求出，再令，即可得到，從而判斷A；令得到，再令，，即可判斷B；再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；依題意原不等式等價于，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】因?yàn)椋瑒t有，令，則，則，令則，即，故的圖象關(guān)于對稱，即A正確；令，則，令代x，則，即，即，故B錯誤；設(shè)且，則，由，令，，則，即，由時，，得，則，所以，所以，即在上單調(diào)遞減，又，所以，，又，所以，故在上的最大值為，故C正確；由，即，即，即，又因?yàn)?，即，所以，即，即，即，解得，即原不等式的解集為，故D正確.11．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a，則（）A．能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為C．勒洛四面體的截面面積的最大值為D．勒洛四面體的體積【答案】ABD【詳解】首先求得正四面體的一些結(jié)論：正四面體棱長為，是底面的中心，是其外接球（也是內(nèi)切球）的球心，外接球半徑為，是高，如圖1．，，由得，解得，（內(nèi)切球半徑）．正四面體的體積為，外接球體積為．圖1圖2圖3對于A選項(xiàng)，由勒洛四面體的結(jié)構(gòu)知勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為a，故A正確；對于B選項(xiàng)，勒洛四面體能夠容納的最大球與勒洛四面體的弧面相切，如圖2，其中點(diǎn)E為該球與勒洛四面體的一個切點(diǎn)，O為該球的球心，易知該球的球心O為正四面體ABCD的中心，半徑為OE，連接BE，易知B，O，E三點(diǎn)共線，且，，因此，故B正確；對于C選項(xiàng)，勒洛四面體面積最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面，如圖3，則勒洛四面體的截面面積的最大值為三個半徑為a，圓心角為60°的扇形的面積減去兩個邊長為a的正三角形的面積，即，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，勒洛四面體的體積介于正四面體ABCD的體積和正四面體ABCD的外接球的體積之間，而正四面體ABCD的體積，正四面體ABCD的外接球的體積，故D正確.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對于△，其外心為，重心為，垂心為，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．向量與共線D．過點(diǎn)的直線分別與、交于、兩點(diǎn)，若，，則【答案】BCD【分析】A：由外心的性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的幾何意義判斷；B：根據(jù)的幾何意義即可判斷正誤；C：應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及定義化簡，再根據(jù)判斷正誤；D：根據(jù)平面向量基本定理可得，再由三點(diǎn)共線即可證.【詳解】A：為外心，則，僅當(dāng)時才有，錯誤；B：由，又，故，正確；C：，即與垂直，又，所以與共線，正確；D：，又三點(diǎn)共線，則，故，正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2021·全國·貴陽一中一模（理））已知x，y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為_________.【答案】【分析】應(yīng)用“1”的代換將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，再應(yīng)用基本不等式求最小值，注意等號成立條件.【詳解】∵，是正實(shí)數(shù)，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立.14．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·一模）若，則___________.【答案】【分析】由題意可得，令，則，，化簡即得解.【詳解】由題意可得，令，則，，所以原式.15．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，過作傾斜角為30°的直線，與以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心?橢圓半焦距為半徑的圓交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)），與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】因?yàn)椋玫?，求得，再在中，由余弦定理得，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)椋詾榫€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)闉閳A的直徑，所以，在中，，，所以，從而，在中，由余弦定理得，又由，所以，解得，所以橢圓的離心率.16．（2021·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））在四棱錐中，已知底面，，，M是平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)四棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，在平面內(nèi)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點(diǎn)的軌跡方程，可得當(dāng)四棱錐的體積最大時，可取，三棱錐外接球的球心在過三角形外接圓圓心且垂直平面的直線上，利用勾股定理可求得外接球的半徑，從而可得出答案.【詳解】：因?yàn)榈酌?，面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，同理，在和中，因?yàn)椋?，所以，即，在平面?nèi)，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，化簡得，即點(diǎn)的軌跡方程為，要使四棱錐的體積最大，只要點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值最大即可，令，則，當(dāng)四棱錐的體積最大時，可取，此時到平面的距離為，三棱錐外接球的球心在過三角形外接圓圓心且垂直平面的直線上，在三棱錐中，取的中點(diǎn)，點(diǎn)即為三角形外接圓的圓心，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，設(shè)，則有，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·浙江·紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）首先利用輔助角公式及二倍角公式化簡函數(shù)，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，即可得解．【詳解】：（1）函數(shù)，所以．故函數(shù)的最小正周期；（2）：由于，所以，所以即；由于，所以，所以，故，當(dāng)，即時，函數(shù)取得最小值為．18．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，.（1）在下列三個結(jié)論中選擇一個進(jìn)行證明，并求的通項(xiàng)公式.①數(shù)列是等差數(shù)列；②數(shù)列是等比數(shù)列；③數(shù)列是等比數(shù)列.（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.注：如果選擇多個結(jié)論分別證明，按第一個證明計(jì)分.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選①，采用作差法可得，構(gòu)造得，變形即可求證，求得的通項(xiàng)，變形可得的通項(xiàng)公式；若選②，由作差法得，構(gòu)造得，可證是等比數(shù)列；求得，同時除以可得①，后續(xù)方法同①；若選③，由代換得，可證時等比數(shù)列；同時除以可得，求出的通項(xiàng)公式，由可求的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，代換得，結(jié)合裂項(xiàng)公式可求.【詳解】：（1）方案一：選結(jié)論①.因?yàn)?，，所以，?dāng)時，，兩式相減得，，所以，即，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，，所以，所以；方案二：選結(jié)論②.因?yàn)椋?，所以，?dāng)時，，兩式相減得，，所以，，因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，兩邊同時除以得，，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以；方案三：選結(jié)論③.因?yàn)?，，所以，?dāng)時，，所以，因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，兩邊同時除以，得，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由（1）得，，所以，所以.19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn).（1）求證：PA∥平面BDE；（2）若直線BD與平面PBC所成的角為30°，求二面角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）60°.【分析】（1）連結(jié)，，交于點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出，由此能證明平面；（2）以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)直線BD與平面PBC所成的角為30°，求出，利用向量法能求出二面角的大?。驹斀狻浚海?）證明：連結(jié)，，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面是矩形，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）解：在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，2，，，0，，，0，，，2，，，，，，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，直線與平面所成角為，，解得，，，2，，，2，，，0，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，，，設(shè)二面角的大小為，則，，二面角的大小為．20．（2021·全國全國·模擬預(yù)測）“十四五”是我國全面建成小康社會、實(shí)現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)之后，乘勢而上開啟全面建設(shè)社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標(biāo)進(jìn)軍的第一個五年，實(shí)施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝，回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）；（3）億元．【分析】（1）分別計(jì)算兩個函數(shù)模型的相關(guān)系數(shù)和，比較和的大小關(guān)系即可判斷；（2）由得，即，根據(jù)最小二乘法求和的值，即可求解；（3）將代入（2）中的回歸方程即可求解.【詳解】（1）為了判斷兩個函數(shù)模型：；，擬合程度，只需要判斷兩個函數(shù)模型，擬合程度即可．設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，，顯然，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，由得，，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，所求回歸方程為：，（3）若2021年盈利額為500億元，即為，，，解得：，所以2021年的研發(fā)資金投入量約為億元．21．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被截得的線段長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程﹔（2）設(shè)直線交橢圓于異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)線段的中垂線與軸的交點(diǎn)為，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)有且求參數(shù)a，進(jìn)而寫出橢圓方程.（2）討論的斜率，當(dāng)斜率存在時設(shè)、，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理求關(guān)于的表達(dá)式，再由，應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)m，進(jìn)而求線段中垂線的方程及的范圍，即可確定的取值范圍.【詳解】：（1）由已知條件得：，令，得，由題意知：，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不合題意；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，當(dāng)時，此時關(guān)于y軸對稱，令，∴且，則，又，∴，解得或(舍)，則符合題設(shè).∴此時有；當(dāng)時，則，得，，設(shè)，則，得，，且，由，即，∴，整理得，解得（舍去），代入得：，∴為，得：，則線段的中垂線為，∴在軸上截距，而，∴且，綜合①②:線段的中垂線在軸上的截距的取值范圍是.22．（2022·江蘇鹽城·一模）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若為函數(shù)的兩個不等于1的極值點(diǎn)，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上有兩個不等于的正根，即可得到韋達(dá)定理，不妨設(shè)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式得到，即證，根據(jù)對數(shù)平均不等式可得，只需證明，令，依題意即證，，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；【詳解】：（1）因?yàn)?，所以，，所以，所以切點(diǎn)為，切線的斜率，所以切線方程為（2）因?yàn)橐驗(yàn)闉楹瘮?shù)的兩個不等于1的極值點(diǎn)，所以在上有兩個不等于的正根，所以，所以，不妨設(shè)，所以，所以要證即證，即，令，則，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即，所以在上恒成立，因?yàn)?，所以，所以，即，即，所以，下面只需證明，令，因?yàn)?，所以，所以，所以，即證，，即證，，令，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，得證.

2022屆高考數(shù)學(xué)·熱身卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（2021·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分別為A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，84．（福建省泉州市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）若，則（）A． B． C． D．5．如圖，在△中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）.A． B． C． D．6．（2022·江西上饒·一模（理））算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項(xiàng)偉大的?重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上?下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位?十位?百位?……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位?十位?百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率是（）A． B． C． D．7．（2021·安徽·涇縣中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（，，）的圖象如圖，將的圖象上各點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象的最小正周期為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．的圖象關(guān)于直線對稱8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））過原點(diǎn)且斜率不為0的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，雙曲線C上與A在同一支上的點(diǎn)N使得直線AB，AN的斜率均存在，且，過點(diǎn)A作x軸的垂線交雙曲線C于點(diǎn)M，交BN于點(diǎn)P，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·安徽·歙縣教研室高一期末）已知集合，是全集的兩個非空子集，如果且，那么下列說法中正確的有（）A．，有B．，使得C．，有D．，使得10．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．的展開式中含的系數(shù)是B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．若實(shí)數(shù)，則的最大值為D．若函數(shù)有個零點(diǎn)，則11．（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段CD1上的動點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．直線AC1⊥平面BCD1A1B．點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離是C．無論點(diǎn)E在線段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1ED．若異面直線B1E與AD所成的角為θ，則sinθ的最小值為12．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高二期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A． B．C． D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·福建福清·高二期末）若，則___．14．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知．若，則_________．15．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）已知為正方體表面上的一動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)運(yùn)動軌跡的周長為__________.16．設(shè)函數(shù)，對任意非零實(shí)數(shù)，若等式成立，則正整數(shù)的值為__________.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．(1)求的值；(2)求的周長．18．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為且滿足=-n.(1)求{}的通項(xiàng)公式；(2)證明：19．（2021·山西呂梁·一模（理））已知點(diǎn)F為拋物線E：的焦點(diǎn)，為E上一點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程．(2)過E上動點(diǎn)A作圓N：的兩條切線，分別交E于B，C（不同于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線BC與圓N相切．若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，不存在，請說明理由．20．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的上，下底面圓心分別為是圓柱的軸截面，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，．(1)當(dāng)k為何值時，點(diǎn)Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心；(2)若，當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角最大時，求該銳二面角的余弦值．21．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）某次圍棋比賽的決賽，由甲乙兩人爭奪最后的冠軍，決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三盤兩勝制，即先贏兩盤者獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若甲乙中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天雙方各贏一天，則第三天只進(jìn)行一盤附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每盤比賽甲獲勝的概率為，每盤比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽盤數(shù)為X．（?。┣螅⑶螽?dāng)取最大值時p的值；（ⅱ）結(jié)合實(shí)際，談?wù)劊á。┲薪Y(jié)論的意義；(2)當(dāng)時，記總共進(jìn)行的比賽盤數(shù)為Y，求．22．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若為函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求的值.

2022屆高考數(shù)學(xué)·熱身卷2一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（2021·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義以及復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】由題意，得，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．2．（2022·廣東·模擬預(yù)測）如圖是網(wǎng)絡(luò)上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可導(dǎo)”的諧音生動形象地說明了高等數(shù)學(xué)中“連續(xù)”和“可導(dǎo)”兩個概念之間的關(guān)系．根據(jù)該表情包的說法，在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的（）．A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】若函數(shù)在處可導(dǎo)，則在處一定連續(xù)；若函數(shù)在處連續(xù)，但在處不一定可導(dǎo).【詳解】由“連續(xù)不一定可導(dǎo)”知，“在處連續(xù)”不能推出“在處可導(dǎo)”,比如函數(shù)在處連續(xù)，但是在處不可導(dǎo)；由“可導(dǎo)一定連續(xù)”知，“在處可導(dǎo)”可以推出“在處連續(xù)”.因此在處連續(xù)是在處可導(dǎo)的必要不充分條件3．已知一個等比數(shù)列首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為85，偶數(shù)項(xiàng)之和為170，則這個數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù)分別為A．8，2 B．2，4 C．4，10 D．2，8【答案】D【詳解】設(shè)數(shù)列共有項(xiàng)，分別為：，由題意結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式可得：，解得：，即這個數(shù)列的公比為2，項(xiàng)數(shù)為8.4．（福建省泉州市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作為分段點(diǎn)進(jìn)行比較，從而確定正確答案.【詳解】，所以.5．如圖，在△中，，，為上一點(diǎn)，且滿足，若，，則的值為（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】由及，將由三點(diǎn)共線可求m的值，再用、表示，進(jìn)而求即可【詳解】∵，，即且∴，又C、P、D共線，有，即即，而∴∴=6．（2022·江西上饒·一模（理））算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項(xiàng)偉大的?重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具.“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經(jīng)緯三才.”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上?下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的.下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位?十位?百位?……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)從個位?十位?百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型概率公式計(jì)算概率.【詳解】從個位?十位?百位和千位這四組中隨機(jī)撥動2粒珠，得到的整數(shù)共有32個，分別為：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的整數(shù)有24個，分別為：15，55，105，505，110，150，510，550，1005，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，20，200，2000，60，600，6000，則算盤表示的整數(shù)能夠被5整除的概率為.7．（2021·安徽·涇縣中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)（，，）的圖象如圖，將的圖象上各點(diǎn)向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．的圖象的最小正周期為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱D．的圖象關(guān)于直線對稱【答案】A【分析】由圖象結(jié)合五點(diǎn)法求得，根據(jù)圖象變換求得，根據(jù)正弦型函數(shù)性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】依題意函數(shù)的圖象的最小正周期為，所以，所以．由得，因?yàn)?，所以，所以，由題意，得，則所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A正確，的最小正周期為,B錯誤．當(dāng)時，，的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，C錯誤.當(dāng)時，，則D錯誤.8．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））過原點(diǎn)且斜率不為0的直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，雙曲線C上與A在同一支上的點(diǎn)N使得直線AB，AN的斜率均存在，且，過點(diǎn)A作x軸的垂線交雙曲線C于點(diǎn)M，交BN于點(diǎn)P，且，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，可以得到，，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示可得縱坐標(biāo)與點(diǎn)的關(guān)系，然后再由三點(diǎn)共線性質(zhì)，A，N在雙曲線上化簡整理可以得到a，b的關(guān)系，有離心率公式可以計(jì)算結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，．因?yàn)?，，且，，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋渣c(diǎn)P的坐標(biāo)為．又因B，N，P三點(diǎn)共線，所以,即，，所以，所以，所以，二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·安徽·歙縣教研室高一期末）已知集合，是全集的兩個非空子集，如果且，那么下列說法中正確的有（）A．，有B．，使得C．，有D．，使得【答案】BC【分析】根據(jù)且確定正確選項(xiàng).【詳解】由于是全集的非空子集，且，所以是的真子集，所以，使得、，有，即BC選項(xiàng)正確.10．（2021·江蘇·泰州中學(xué)高三階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．的展開式中含的系數(shù)是B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C．若實(shí)數(shù)，則的最大值為D．若函數(shù)有個零點(diǎn)，則【答案】AB【分析】利用二項(xiàng)式定理可判斷A選項(xiàng)；利用正態(tài)密度曲線的對稱性可判斷B選項(xiàng)；利用基本不等式可判斷C選項(xiàng)；數(shù)形結(jié)合可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，令，可得，所以，展開式中含的系數(shù)是，A對；對于B選項(xiàng)，由已知可得，由正態(tài)曲線的對稱性可得，B對；對于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，C錯；對于D選項(xiàng)，由，可得，作出直線與曲線的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時，即當(dāng)時，直線與曲線有個交點(diǎn)，此時函數(shù)有個零點(diǎn)，D錯.11．（廣東省茂名市五校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E是線段CD1上的動點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．直線AC1⊥平面BCD1A1B．點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離是C．無論點(diǎn)E在線段CD1的什么位置，都有AC1⊥B1ED．若異面直線B1E與AD所成的角為θ，則sinθ的最小值為【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷ACD，結(jié)合等體積公式，求點(diǎn)B1到平面BCD1A1的距離，判斷選項(xiàng)B.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，A.，，因?yàn)?，所以與不垂直，那么與平面不垂直，故A錯誤；B.點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，即得，解得：，故B正確；C.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，，，所以，故C正確；D.，，，因?yàn)椋郧蟮淖钚≈?，即求的最大值，?dāng)時，取得最大值，最大值是，此時，故D正確.12．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高二期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，….該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列.現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為，則（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)已知條件列出數(shù)列的前面幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)其為周期數(shù)列，利用周期數(shù)列的性質(zhì)即可判斷AC的正誤；再利用本身的性質(zhì)可判斷BD的正誤.【詳解】因?yàn)?，，，，，，，，…，所以是?為周期的周期數(shù)列，所以，所以A正確；因?yàn)?，所以C錯誤；因?yàn)?，所以B錯誤；因?yàn)?，所以，所以D正確.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·福建福清·高二期末）若，則___．【答案】【分析】導(dǎo)數(shù)的定義公式的變形應(yīng)用，要求分子分母的變化量相同.【詳解】14．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知．若，則_________．【答案】36【分析】先求出，再根據(jù)條件求得n的值，再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得答案.【詳解】對于，令，則；令，則，即，故,15．（2022·福建莆田·模擬預(yù)測）已知為正方體表面上的一動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)運(yùn)動軌跡的周長為__________.【答案】【分析】首先根據(jù)條件確定P點(diǎn)所處的平面，再建立坐標(biāo)系求出動點(diǎn)P的軌跡方程，據(jù)此求出軌跡的長.【詳解】由可知，正方體表面上到點(diǎn)A距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)為，所以P點(diǎn)只可能在面，面，面上運(yùn)動，當(dāng)P在面上運(yùn)動時，如圖示，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由得：，即，即P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的軌跡是以E（4,0）為圓心，以為半徑的一段圓弧，因?yàn)?故,所以P點(diǎn)在面ABCD內(nèi)的軌跡的長即為同理，P點(diǎn)在面內(nèi)情況亦為；P點(diǎn)在面上時，因?yàn)椋?所以，所以此時P點(diǎn)軌跡為以B為圓心，2為半徑的圓弧，其長為，綜上述，P點(diǎn)運(yùn)動軌跡的周長為.16．設(shè)函數(shù)，對任意非零實(shí)數(shù)，若等式成立，則正整數(shù)的值為__________.【答案】504【分析】根據(jù)題意得到，代入計(jì)算得到式子，計(jì)算得到答案.【詳解】，則則.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．(1)求的值；(2)求的周長．【答案】(1)；(2)【分析】（1）在中利用正弦定理求解即可，（2）在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出，在中利用余弦定理求出的長，從而可求出的周長【解析】(1)由題知，，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，，，所以?2)因?yàn)?所以，所以，所以，在中，因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理得，所以的周長為．18．（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為且滿足=-n.(1)求{}的通項(xiàng)公式；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）利用得到遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式；（2）等比放縮，證明不等式.【解析】(1)因?yàn)?-n.所以=-n-1，所以a所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.所以，所以；(2)即證明：23?1，∴23?1+19．（2021·山西呂梁·一模（理））已知點(diǎn)F為拋物線E：的焦點(diǎn)，為E上一點(diǎn)，且．(1)求拋物線E的方程．(2)過E上動點(diǎn)A作圓N：的兩條切線，分別交E于B，C（不同于點(diǎn)A）兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線BC與圓N相切．若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)拋物線定義求出，即可求出方程；（2）假設(shè)存在，利用直線OB與圓N相切求出t，排除，再由AB,AC分別與圓相切求出為方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系及圓心到直線的距離化簡求解即可.【解析】(1)由拋物線的定義得，，所以，E的方程為.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得BC與圓N相切.當(dāng)A為坐標(biāo)原點(diǎn)時，由BC與圓N相切得,直線OB的方程為，由直線OB與圓N相切得,，解之得或，當(dāng)時，A，B，C三點(diǎn)重合，舍去，下面證明當(dāng)時，滿足條件.設(shè)，則直線的AB方程為:，因AB與圓相切，所以，即同理由AC與圓相切得，即為方程的兩根，所以，N到直線BC的距離為.所以直線BC與圓N相切，因此存在實(shí)數(shù)，使得直線BC與圓N相切.20．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）如圖，已知圓柱的上，下底面圓心分別為是圓柱的軸截面，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓Q，．(1)當(dāng)k為何值時，點(diǎn)Q在平面PBC內(nèi)的射影恰好是△PBC的重心；(2)若，當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角最大時，求該銳二面角的余弦值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）作輔助線，找到Q點(diǎn)在平面PBC內(nèi)的射影,然后利用重心的性質(zhì)結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)計(jì)算，求得結(jié)果；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面和平面的的法向量，根據(jù)向量的夾角公式求得結(jié)果.【解析】(1)取中點(diǎn)，連結(jié)，，，則，，又，所以平面，過作，交于，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，即是點(diǎn)在平面內(nèi)的射影．因?yàn)榍『檬堑闹匦?，所以，在中，，，所以，，所以，即．所以?dāng)時，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影恰好是的重心．(2)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，作，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量，則即取，得．設(shè)平面的法向量，則即取，得．．因?yàn)椋援?dāng)時，上式取得最小值，此時二面角最大，所以平面與平面所成銳二面角最大時，其余弦值為．21．（2022·福建寧德·模擬預(yù)測）某次圍棋比賽的決賽，由甲乙兩人爭奪最后的冠軍，決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三盤兩勝制，即先贏兩盤者獲得該天勝利，此時該天比賽結(jié)束．若甲乙中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天雙方各贏一天，則第三天只進(jìn)行一盤附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設(shè)每盤比賽甲獲勝的概率為，每盤比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽盤數(shù)為X．（?。┣?，并求當(dāng)取最大值時p的值；（ⅱ）結(jié)合實(shí)際，談?wù)劊á。┲薪Y(jié)論的意義；(2)當(dāng)時，記總共進(jìn)行的比賽盤數(shù)為Y，求．【答案】(1)（i），取最大值時，（ii）結(jié)合實(shí)際，當(dāng)時雙方實(shí)力最接近，比賽越激烈，則一天中進(jìn)行比賽的盤數(shù)會更多；(2)【分析】（1）X可能取值為2，3，分別求解對應(yīng)的概率，根據(jù)期望的定義求解，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；（2）即或，即獲勝方兩天均為獲勝或者獲勝方前兩天的比分為和或者和再加附加賽，分別計(jì)算概率即可【解析】(1)（i）X可能取值為2，3，；故即，則當(dāng)時，取得最大值.（ii）結(jié)合實(shí)際，當(dāng)時雙方實(shí)力最接近，比賽越激烈，則一天中進(jìn)行比賽的盤數(shù)會更多．(2)當(dāng)時，雙方前兩天的比分為或的概率均為比分為或的概率均為則或，即獲勝方兩天均為獲勝，故；即獲勝方前兩天的比分為和或者和再加附加賽，故所以22．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若為函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求的值.【答案】(1)增區(qū)間是，減區(qū)間是；(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）分類討論的范圍，利用導(dǎo)數(shù)得出在的極值，結(jié)合，從而得出的值.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)的增區(qū)間是，減區(qū)間是．(2)由題意只需研究在上的極值點(diǎn)的情況．可得，，①當(dāng)時，，是單調(diào)遞增函數(shù)，即是單調(diào)遞增函數(shù)．因?yàn)?，所以?dāng)時，，是單調(diào)遞增函數(shù)．所以在上沒有極值點(diǎn)；②當(dāng)時，由（1）知，，即，所以在上是減函數(shù)，沒有極值點(diǎn)；③當(dāng)時，令，，可得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以時，，所以在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)；④當(dāng)時，，由二次函數(shù)的圖像得存在使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；又，所以時，．當(dāng)時，，所以存在，使得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以符合題目要求，即，，所以，得，即，即，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，，即，令，可得，在上為增函數(shù)，所以，無解，故．所以．

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷3一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知集合A=（

）A．B．C．或D．

2．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（，），若，則（

）A． B． C． D．3．（2022·河北·模擬預(yù)測）一質(zhì)點(diǎn)在單位圓上作勻速圓周運(yùn)動，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時間（單位：s），則質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為（

）A．sin2m/s B．cos2m/s C．2sin2m/s D．2cos2m/s4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．m C．n D．5．（2022·河北·模擬預(yù)測）函數(shù)（）的圖象大致是A． B．C． D．6．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為120°，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為、．的最大值為（

）A． B．2 C． D．7．（重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．是單調(diào)遞增數(shù)列B．存在，使得C．D．8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知是方程的零點(diǎn)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（

）A． B． C． D．10．（江西省新余市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題是真命題的為（）A．，函數(shù)恒過定點(diǎn)（1，2）B．若，則C．已知一個樣本為：1，3，4，a，7，且它的平均數(shù)是4，則這個樣本的方差是4D．?dāng)?shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175的60%分位數(shù)是17511．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則12．（廣東省汕頭市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)C．時，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則__________.14．（2022·河北·模擬預(yù)測）如果函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，那么我們稱它為“點(diǎn)軸對稱型函數(shù)”.請寫出一個這樣的“點(diǎn)軸對稱函數(shù)”___________.15．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知過橢圓上的動點(diǎn)作圓（為圓心）：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______．16．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點(diǎn)A走過的路徑的長度為___________.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對應(yīng)的x的值.18．（山東省煙臺市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題）己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．19．（2022·北京一七一中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F.(1).證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的余弦值.20．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.(1)用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）(2)隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，（為常數(shù)），請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.21．（2022·河北唐山·一模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)為，，不與坐標(biāo)軸垂直且不過原點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于，），點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q，直線與直線l交于點(diǎn)R.證明：點(diǎn)R在定直線上.22．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，若方程有兩個不等實(shí)根．（?。┳C明：；（ⅱ）證明：．

2022屆高考數(shù)學(xué)·備戰(zhàn)熱身卷3一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有一項(xiàng)符合題目要求。）1．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知集合A=（

）A．B．C．或D．

【答案】A【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榧?，所?2．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)（，），若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件求出a、b，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?所以.所以.3．（2022·河北·模擬預(yù)測）一質(zhì)點(diǎn)在單位圓上作勻速圓周運(yùn)動，其位移滿足的方程為，其中h表示位移（單位：m），t表示時間（單位：s），則質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為（

）A．sin2m/s B．cos2m/s C．2sin2m/s D．2cos2m/s【答案】D【分析】求出可求質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度，從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，所以質(zhì)點(diǎn)在時的瞬時速度為2cos2m/s．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．m C．n D．【答案】A【分析】選擇題可以用特殊值法，簡便又快捷.【詳解】構(gòu)造等差數(shù)列使得，，這里，，于是，排除B、C、D.5．（2022·河北·模擬預(yù)測）函數(shù)（）的圖象大致是A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，所以函數(shù)是奇函數(shù)，依據(jù)圖象排除A和C選項(xiàng)，由于，即，排除D選項(xiàng)，故選B.6．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量與的夾角為120°，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為、．的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】由數(shù)量積的定義得，由向量共線定理得在線段上，由，得，利用投影公式計(jì)算出，計(jì)算是常數(shù)，因此只要最小即可得最大，利用余弦定理和基本不等式可得結(jié)論．【詳解】由得，設(shè)，，，因?yàn)?，由向量共線定理知在線段上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)椋?，即，故在方向上的投影與在方向上的投影相等，因此，又，，所以，又，所以，為常數(shù)，因此要使得最大，只要最小，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，因此的最大值為，故的最大值為．7．（重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．是單調(diào)遞增數(shù)列B．存在，使得C．D．【答案】B【分析】根據(jù)可推導(dǎo)得到當(dāng)時，，結(jié)合可求得，由此可得，知AB正誤；由，采用裂項(xiàng)相消法可知C正確；根據(jù)遞推關(guān)系式計(jì)算出即可知D正確.【詳解】對于A，由得：，時，；，，，依次類推可得：，，是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；對于B，由A中推導(dǎo)可知：，不存在，使得，B錯誤；對于C，由得：，，，C正確；對于D，由，得：，，D正確.8．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知是方程的零點(diǎn)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件確定所在區(qū)間，再逐一分析各個選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，，而是方程的零點(diǎn)，則，即，A正確；由得：，整理得：，B正確；因，，則，C不正確；因，則有，D正確.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。）9．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調(diào)遞減的為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)圖象的周期變換和翻折變換作出函數(shù)圖象，然后可得.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖1，顯然A錯誤；作函數(shù)圖象，如圖2，故B正確；作函數(shù)圖象，如圖3，故C錯誤；作函數(shù)圖象，如圖4，故D正確.10．（江西省新余市2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列命題是真命題的為（）A．，函數(shù)恒過定點(diǎn)（1，2）B．若，則C．已知一個樣本為：1，3，4，a，7，且它的平均數(shù)是4，則這個樣本的方差是4D．?dāng)?shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175的60%分位數(shù)是175【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的圖象所過定點(diǎn)即可判斷A;利用作差法比較，可判斷B;根據(jù)平均數(shù)求出a,即可求得方差,可判斷C;將數(shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175從小到大排列，求得其60%分位數(shù)，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，故，故，函?shù)恒過定點(diǎn)（1，3），故A錯誤；，由于，故，即，故B正確；樣本為：1，3，4，a，7，且它的平均數(shù)是4，即，，其方差為，故C正確；數(shù)據(jù)170，168，172，172，176，178，175從小到大排列為：168,170,172,172,175,176,178，而，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)時175，故D正確，11．（2022·河北·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】BCD【分析】對于A，分和兩種情況分析判斷即可，對于B，利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的單調(diào)性判斷，對于C，令，則，則，化簡，再求可得答案，對于D，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性比較大小【詳解】對于A，當(dāng)時，由，得，則，當(dāng)時，由，得，則，因?yàn)椋?，綜上，或，所以A錯誤，對于B，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以B正確，對于C，令，則，所以，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.12．（廣東省汕頭市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在棱長為1的正方體中，為底面的中心，，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．與共面B．三棱錐的體積跟的取值無關(guān)C．時，過A，Q，M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長為D．【答案】ABC【分析】由為的中點(diǎn)，得到，可判定A正確；由到平面的距離為定值，且的面積為定值，根據(jù)，可得判定B正確，由時，得到三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng)時，根據(jù)，可判定D不正確．【詳解】在中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以與共面，所以A正確；由，因?yàn)榈狡矫娴木嚯x為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積跟的取值無關(guān)，所以B正確；當(dāng)時，過三點(diǎn)的正方體的截面是等腰梯形，所以平面截正方體所得截面的周長為，所以C正確；當(dāng)時，可得，則，所以不成，所以D不正確．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）13．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知向量，，且，則__________.【答案】；【詳解】因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，解?14．（2022·河北·模擬預(yù)測）如果函數(shù)同時滿足下列兩個條件：①函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，那么我們稱它為“點(diǎn)軸對稱型函數(shù)”.請寫出一個這樣的“點(diǎn)軸對稱函數(shù)”___________.【答案】或【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，由于的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于點(diǎn)對稱，則，即，當(dāng)時，解得：，所以或.15．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知過橢圓上的動點(diǎn)作圓（為圓心）：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若的最小值為，則橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】由橢圓方程知其右焦點(diǎn)為；由圓的方程知：圓心為，半徑為；當(dāng)最小時，則最小，即，此時最??；此時，；為橢圓右頂點(diǎn)時，，解得：，橢圓的離心率.16．（2022·浙江浙江·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是半徑為2的圓O上一點(diǎn)，現(xiàn)將如圖放置的邊長為2的正方形（頂點(diǎn)A與P重合）沿圓周逆時針滾動.若從點(diǎn)A離開圓周的這一刻開始，正方形滾動至使點(diǎn)A再次回到圓周上為止，稱為正方形滾動了一輪，則當(dāng)點(diǎn)A第一次回到點(diǎn)P的位置時，正方形滾動了________輪，此時點(diǎn)A走過的路徑的長度為___________.【答案】

3；【詳解】正方形滾動一輪，圓周上依次出現(xiàn)的正方形頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)兩次回到點(diǎn)P時，正方形頂點(diǎn)將圓周正好分成六等分，由4和6的最小公倍數(shù)：，所以到點(diǎn)A首次與P重合時，正方形滾動了3輪.這一輪中，點(diǎn)A路徑是圓心角為，半徑分別為2，，2的三段弧，故路徑長，∴點(diǎn)A與P重合時總路徑長為.四、解答題（本題共6小題，共70分。第17題10分，其余每題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）17.（2022·云南·昆明一中高一期末）如圖，已知直線，A是之間的一定點(diǎn)，并且點(diǎn)A到，的距離分別為和2.B，C分別是直線上的動點(diǎn)，且，設(shè)，.(1)寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求函數(shù)的最小值及相對應(yīng)的x的值.【答案】(1)，；(2)時，.【解析】(1)依題意，，而，，，則，由知，點(diǎn)B，C在直線DE同側(cè)，均為銳角，則有，在中，，在中，，則，所以，.(2)由(1)得：因，即，當(dāng)，即時，取最大值1，所以.18．（山東省煙臺市2022屆高三一模數(shù)學(xué)試題）己知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值．【答案】(1)；(2)142.【解析】(1)設(shè)的公差為d，由已知，．解得，d＝2．所以；(2)因?yàn)榕c之間插入個1，所以在中對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)k＝6時，，當(dāng)k＝7時，，所以，，且．因此.19．（2022·北京一七一中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F.(1).證明：平面；(2)證明：平面；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)【解析】(1)如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)．（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．依題意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為且．∴，故PA∥EG．而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．(2)依題意得B（a，a，0），．又，故．∴PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，所以PB⊥平面EFD．(3)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x0，y0，z0），，則（x0，y0，z0﹣a）＝λ（a，a，﹣a）．從而x0＝λa，y0＝λa，z0＝（1﹣λ）a．所以．由條件EF⊥PB知，，即，解得∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且易知,又，所以平面,故是平面的法向量，設(shè)平面的法向量，又,所以，令，則，所以，所以故二面角的大小為.20．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測）浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽(yù).東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江口街道東岙村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東岙村和白龍岙村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟(jì)收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為東魁楊梅果實(shí)的果徑（單位：mm），但因氣候、施肥和技術(shù)的不同，每年的和都有些變化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實(shí)情況，從摘下的楊梅果實(shí)中隨機(jī)取出1000顆，并測量這1000顆果實(shí)的果徑，得到如下頻率分布直方圖.(1)用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)近似代替，標(biāo)準(zhǔn)差s近似代替，已知.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，把果徑與的差的絕對值在內(nèi)的果實(shí)稱為“標(biāo)準(zhǔn)果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”的概率；（結(jié)果精確到0.01）(2)隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進(jìn).網(wǎng)絡(luò)銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場有一款“”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，若采用款包裝盒，成本元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)滿足，（為常數(shù)），請運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?參考數(shù)據(jù)：；；；；；.【答案】(1)0.38；(2)當(dāng)時，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時，采用B款包裝盒，當(dāng)時，采用A款包裝盒.【解析】(1)由題意得：，所以，，則，，所以，設(shè)從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標(biāo)準(zhǔn)果”為事件A，則(2)由，解得：，所以，采用A款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學(xué)期望，令，解得：a=，由于，令，解得：，令，解得：，故當(dāng)時，采用兩種包裝利潤一樣，當(dāng)時，采用B款包裝盒，當(dāng)時，采用A款包裝盒.21．（2022·河北唐山·一模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)為，，不與坐標(biāo)軸垂直且不過原點(diǎn)的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（異于，），點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)Q，直線與直線l交于點(diǎn)R.證明：點(diǎn)R在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)由題意知，，解得，故橢圓C的方程為.(2)設(shè)，，則.直線l的方程為，其中且，將代入橢圓，整理得，由與韋達(dá)定理得：，，.由（1）知：，，設(shè)，由、P、Q三點(diǎn)共線得：，由、N、Q三點(diǎn)共線得：，則，于是直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得：，即點(diǎn)R在定直線上.22．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，(1)求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)時，若方程有兩個不等實(shí)根