數學第四章 排列、組合與概率02課件

4.3組合在一個4人（甲、乙、丙、?。﹨⒓拥男⌒凸ぷ鲿h上，任何一位與會者都要同其他與會者每人握手一次．下表已給出兩次握手的雙方名單，請補充列出其他各次握手的雙方名單．實例考察4.3組合列出各次握手的雙方名單就是要從4個人中選出兩人，且不計兩人間的順序，并將各種選法羅列出來．要從甲、乙、丙3名工人中選取2名，共同值晚班，有多少種選擇方法？請逐一列出．一般地，從n個不同元素中取出m個元素（n，m∈N*，m≤n），不考慮順序組成一組，稱為從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，稱為從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號C表示．mn4.3組合

一、組合與組合數的概念4.3組合

（2）除去守門員，從19位球員中選10人出陣，因為10人將分別擔當右后衛(wèi)、左前鋒等不同職責，因此與順序有關，是排列問題，共有Ｐ種不同的首發(fā)陣容；選助陣拉拉隊員與順序無關，是組合問題，共有Ｃ種挑選方案．10192050560解（1）一般來說，專業(yè)知識競賽的選手之間無分工問題．所以選擇過程與順序無關，是組合問題，共有C種選法．課堂練習１1．把下列的問題歸結為組合問題，并寫出相應的組合數的符號：

（1）6位朋友互相握手道別，共握手多少次？

（2）6道習題任意選做4道題，有多少種不同的選法？

（3）正16邊形有多少條對角線？4.3組合2．按要求寫出下列組合：

（1）從5個元素a，b，c，d，e中任取2個元素的所有組合．

（2）從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有組合．4.3組合4.3組合

二、組合數公式34

第1步，從４個不同元素中取出３個元素作組合，共有Ｃ種。34從４個不同元素中?。硞€元素的排列數Ｐ：

由此得到組合數公式：4.3組合mn第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數P.根據分步計數原理，得例題解析4.3組合例1計算：解解設與會的人數為n．根據題意，互相握手的次數為C＝15，即解得所以，共有6人參加這次集會．

2n4.3組合

例3一次小型聚會，每一個與會者都和其他與會者握一次手，共有15次握手，問有多少人參加這次聚會？例4100件商品中含有3件次品，其余都是正品，從中任取3件：（1）3件都是正品，有多少種不同的取法？

（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？

（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？

（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？

解

（１）因為3件都是正品，所以應從97件正品中取，

所有不同取法的種數是

4.3組合4.3組合解從97件正品中取2件，有C種取法；從3件次品中取1件，有C種取法．因此，根據分步計數原理，任取的3件中恰有1件次品的不同取法的種數是29713（2）3件中恰有1件次品，有多少種不同的取法？解３件中最多有１件次品的取法，包括只有１件是次品和沒有次品兩種，其中只有１件是次品的取法有CC種，沒有次品的取法有C種，因此，3件中最多有1件次品的取法的種數是132973974.3組合（3）3件中最多有1件次品，有多少種不同的取法？解3件中至少有1件次品的取法，包括1件是次品，2件是次品和3件是次品，因此3件中至少有1件次品的取法的種數是4.3組合（4）3件中至少有1件次品，有多少種不同的取法？4.3組合

三、組合數的性質在一般情況下：從n個元素中選出m個元素的組合數，與從n個元素中選出n－m個元素的組合數是相等的．

由此，得到組合數的一種重要性質：例題解析4.3組合解例1計算課堂練習34.3組合1.計算：（1）（2）2.已知，求n.專題閱讀抽屜原理與電腦算命一:引子《晏子春秋》里有一個“二桃殺三士”的故事，大意是：齊景公養(yǎng)著三名勇士，他們名叫田開疆、公孫接和古冶子。這三名勇士都力大無比，武功超群，為齊景公立下過不少功勞。但他們也剛愎自用，目中無人，得罪了齊國的宰相晏嬰。晏子便勸齊景公殺掉他們，并獻上一計：以齊景公的名義賞賜三名勇士兩個桃子，讓他們自己評功，按功勞的大小吃桃。古冶子見了，后悔不迭。仰天長嘆道：如果放棄桃子而隱瞞功勞，則有失勇士尊嚴；為了維護自己而羞辱同伴，又有損哥們義氣。如今兩個伙伴都為此而死了，我獨自活著，算什么勇士！說罷，也拔劍自殺了。晏子采用借“桃”殺人的辦法，不費吹灰之力，便達到了他預定的目的，可說是善于運用權謀。漢朝的一位無名氏在一首詩中曾不無諷刺的寫道：“……一朝被讒言，二桃殺三士。誰能為此謀，相國務晏子!”值得指出的是，在晏子的權謀之中，包含了一個重要的數學原理——抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n＋1或多于n＋1個元素放到n個集合中去，其中必定至少有一個集合里至少有兩個元素?！?/p>

二、抽屜原理常識桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。這一現象就是我們所說的抽屜原理。三、抽屜原理應用抽屜原理雖然簡單，但在數學中卻有廣泛而深刻的運用。例１：400人中至少有兩個人的生日相同.解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理可以得知：至少有兩人的生日相同.又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！笔攀兰o德國數學家狄里克雷（Dirichlet，1805—1859）首先利用抽屜原理來建立有理數的理論，以后逐漸地應用到引數論、集合論、組合論等數學分支中，所以現在抽屜原理又稱為狄里克雷原理。1947年，匈牙利數學家把這一原理引進到中學生數學競賽中，當年匈牙利全國數學競賽有一道這樣的試題：“證明：任何六個人中，一定可以找到三個互相認識的人，或者三個互不認識的人?！边@個問題乍看起來，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屜原理，要證明這個問題是十分簡單的：我們用A、B、C、D、E、F代表六個人，從中隨便找一個，例如A吧，把其余五個人放到“與A認識”和“與A不認識”兩個“抽屜”里去，根據抽屜原理，至少有一個抽屜里有三個人。不妨假定在“與A認識”的抽屜里有三個人，他們是B、C、D。如果B、C、D三人互不認識，那么我們就找到了三個互不認識的人；如果B、C、D三人中有兩個互相認識，例如B與C認識，那么，A、B、C就是三個互相認識的人。不管哪種情況，本題的結論都是成立的。四、抽屜原理與電腦算命

所謂“電腦算命”不過是把人為編好的算命語句象中藥柜那樣事先分別一一存放在各自的柜子里，誰要算命，即根據出生的年、月、日、性別的不同的組合按不同的編碼機械地到電腦的各個“柜子”里取出所謂命運的句子。其實這充其量不過是一種電腦游戲而已。我們用數學上的抽屜原理很容易說明它的荒謬。如果以70年計算，按出生的年、月、日、性別的不同組合數應為70×365×2＝51100，我們把它作為“抽屜”數。我國人口按11億計，我們把它作為“物體”數。由于1.1億=21526×51100+21400，根據原理，存在21526個以上的人，盡管他們的出身、經歷、天資、機遇各不相同，但他們卻具有完全相同的“命”，這真是荒謬絕倫！

1.某班37名同學，至少有幾個同學在同一個月過生日？

4個2.42只鴿子飛進5個籠子里，可以保證至少有一個籠子中可以有幾只鴿子？

9只3.口袋中有紅、黑、白、黃球各10個，它們的外型與重量都一樣，至少要摸出幾個球，才能保證有4個顏色相同的球？

13個4.飼養(yǎng)員給10只猴子分蘋果，其中至少要有一只猴子得到7個蘋果，飼養(yǎng)員至少要拿來多少個蘋果？

61個5.一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？9塊

6.一個班有40名同學，現在有課外書125本。把這些書分給同學，是否有人會得到4件或4件以上的玩具？

是六年級有100名學生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。問：至少有多少名學生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應當弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。

訂一種雜志有：訂甲、訂乙、訂丙3種情況；

訂二種雜志有：訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況；

訂三種雜志有：訂甲乙丙1種情況。

總共有3＋3＋1=7（種）訂閱方法。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學生看作100件物品。因