一道二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的錯(cuò)解剖析

本文格式為Word版，下載可任意編輯——一道二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的錯(cuò)解剖析張克鑫

函數(shù)問題貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始末，數(shù)學(xué)教材內(nèi)容幾乎都離不開函數(shù)的剖析，其中復(fù)合函數(shù)由于更為繁雜的函數(shù)結(jié)構(gòu)，能有效地對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)規(guī)律思維能力進(jìn)行考察，因而成為高考試題的必考要點(diǎn)。本文舉例論述了二次復(fù)合函數(shù)學(xué)生們常犯的錯(cuò)誤，并對(duì)錯(cuò)誤的原因進(jìn)行了深入剖析。

二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性錯(cuò)解剖析

二次復(fù)合函數(shù)能夠有效考察考生對(duì)二次函數(shù)理解和應(yīng)用能力，因此，對(duì)這部分內(nèi)容的考察已經(jīng)成為每年的必考題型。學(xué)生想要獲得更高的數(shù)學(xué)成績(jī)，必需深刻理解并把握有關(guān)的理論知識(shí)。但是二次復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)相對(duì)繁雜，且函數(shù)結(jié)構(gòu)可以自由組合，具備很大的隨機(jī)性，因此想要完全把握具有一定難度，而且還簡(jiǎn)單走進(jìn)解題誤區(qū)。

一、復(fù)合函數(shù)的相關(guān)概述

復(fù)合函數(shù)指的是兩個(gè)函數(shù)經(jīng)由自變量x這個(gè)因素，可以將其中一個(gè)函數(shù)y變換為用x來表示的函數(shù)，那么這種函數(shù)就稱之為兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，尋常用y=f（A），A=g（x）的形式來表現(xiàn)。復(fù)合函數(shù)在求解的環(huán)節(jié)中經(jīng)常會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的理論，函數(shù)y=f（A），A=g（x）的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]的求導(dǎo)，兩者之間的關(guān)系可以用表達(dá)式y(tǒng)"=f"[g（x）]·g"（x）來表示，y對(duì)A的導(dǎo)數(shù)與A對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積和y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)和最終得出的數(shù)值是一致的。復(fù)合函數(shù)可以理解成函數(shù)的組合，通過簡(jiǎn)易搭配與組合，將函數(shù)復(fù)合為相對(duì)繁雜的結(jié)構(gòu)[1]。復(fù)合函數(shù)組織結(jié)構(gòu)具備很大隨機(jī)性，由于大量簡(jiǎn)單函數(shù)稍加組合變換就能形成新的復(fù)合結(jié)構(gòu)。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性剖析的常規(guī)步驟如下：

①首先求出復(fù)合函數(shù)定義域的區(qū)間范圍。

②其次把復(fù)合函數(shù)拆分成我們熟悉的結(jié)構(gòu)形式。

③對(duì)拆分后的函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逐個(gè)剖析和探究。

④把中間量的取值區(qū)間變換成自變量x的取值區(qū)間。

⑤最終計(jì)算得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

二、二次復(fù)合函數(shù)有關(guān)定義域的剖析

通過教師的講授我們可以知曉，二次函數(shù)單調(diào)性是在其定義域范圍之內(nèi)才是有意義的。想要判斷其單調(diào)性需要先求出定義域的區(qū)間，也就是函數(shù)的自變量x的區(qū)間領(lǐng)域[2]。下面列舉的幾種對(duì)比常見的二次函數(shù)表達(dá)式及其定義域的求解方法，我們要讓學(xué)生理解并記牢。

（1）形如y=ax2+bx+c（a≠0）為二次函數(shù)一般表達(dá)式，定義域區(qū)間范圍是（-∞，+∞）。函數(shù)對(duì)稱軸的計(jì)算公式為x=-b/2a，將二次函數(shù)定義域分為（-∞，-b/2a）和（-b/2a，+∞）單調(diào)區(qū)間。

（2）函數(shù)y=x+k/x（k>0）這個(gè)表達(dá)式中，其定義域區(qū)間是（-∞，0）U（0，+∞）。x=±k是在其定義域內(nèi)劃分單調(diào)區(qū)間的自變量，將其定義域分為（-∞，-k），（-k，0），（0，k），（k，+∞）單調(diào)區(qū)間。

（3）形如y=kx+b（k≠0），y=kx（k≠0）[特別說明：y=k/x（k≠0）的定義域是（-∞，0）U（0，+∞）但該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)當(dāng)是（-∞，0），（0，+∞）或者（-∞，0）和（0，+∞）以確保滿足單調(diào)性的定義。]，y=x等，沒有自變量x能夠劃分其定義域?yàn)閱握{(diào)區(qū)間，原因在于這些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是其定義域范圍。

三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法

假設(shè)存在y=f（e），e∈（m，n），e=g（x），x∈（a，b）。

①假使y=f（e）在（m，n）區(qū)間為遞減函數(shù)，那么y=f[g（x）]的增減性與g（x）的增減性是不同的。

②假使y=f（e）在（m，n）區(qū)間為遞增函數(shù)，那么y=f[g（x）]的增減性與g（x）的增減性是一致的。

③假使g（x）在（a，b）區(qū)間浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，并且在該區(qū)間上任意選擇x1和x2，并且使得x1④假使g（x）在（a，b）區(qū)間浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，并且在區(qū)間上任意選擇x1和x2，并且保證x1通過上述剖析，判斷二次復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)當(dāng)依托其拆分后的簡(jiǎn)易函數(shù)來分析，經(jīng)過對(duì)分解后的函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的判斷，從而求得二次復(fù)合函數(shù)的整體單調(diào)性。高中時(shí)期學(xué)習(xí)的函數(shù)都是簡(jiǎn)單初等函數(shù)，雖說函數(shù)類型多種多樣，但通過認(rèn)真學(xué)習(xí)把握每種函數(shù)的精華并不難[3]。在遇到復(fù)合函數(shù)的時(shí)候，細(xì)心思考如何拆分更簡(jiǎn)單解題，一般高中數(shù)學(xué)的二次復(fù)合函數(shù)都能拆為兩種簡(jiǎn)易函數(shù)。因此，在做題中遇見結(jié)構(gòu)繁雜的復(fù)合函數(shù)，看看是不是有什么隱蔽條件沒有發(fā)現(xiàn)，出題人往往會(huì)把隱含條件設(shè)置得很隱晦，能有效對(duì)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力進(jìn)行考察。

四、舉例剖析二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的錯(cuò)誤會(huì)法

舉個(gè)例子：已知復(fù)合函數(shù)y=（x2-3）2+1，分析該復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

錯(cuò)誤會(huì)法①：易得函數(shù)f（x）=（x2-3）2+1在區(qū)間（3，+∞）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，在區(qū)間（-∞，3）浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)。易知g（x）=x2在（-∞，0）區(qū)間浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)，在區(qū)間（0，+∞）出現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。解出復(fù)合函數(shù)f[g（x）]在區(qū)間（3，+∞），（-∞，0）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，在區(qū)間（0，3）浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)。

錯(cuò)解②：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，令y=（A-3）2+1，則A=x2。易知A=x2在區(qū)間（-∞，0）浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)，在區(qū)間（0，+∞）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。得出y=（A-3）2+1在區(qū)間（3，+∞）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，在區(qū)間（-∞，0）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。解得復(fù)合函數(shù)在區(qū)間（3，+∞），（-∞，0）浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)，在區(qū)間（0，3）單調(diào)減。

剖析：錯(cuò)誤會(huì)法①?zèng)]有解答出正確的單調(diào)區(qū)間，說明對(duì)f（x）與g（x）之間的復(fù)合關(guān)系沒有把握到位，只是單純搬運(yùn)判定方式，這是知識(shí)理解不確切、不到位造成的。

錯(cuò)誤會(huì)法②雖然知曉將y=f[g（x）]=（A-3）2+1用A=x2這種換元法來代替，不過僅僅分析了二次函數(shù)對(duì)稱軸，還是沒有明白二次復(fù)合函數(shù)的內(nèi)核[4]。由于y=f[g（x）]的對(duì)稱軸并不是回復(fù)的結(jié)果，基于此分析的單調(diào)性必然出現(xiàn)錯(cuò)誤。

正解一：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假設(shè)f（A）=（A-2）2+1，A=x2-1。

（1）f（A）在A≥2時(shí)浮現(xiàn)遞增趨勢(shì)，這種狀況下復(fù)合函數(shù)與A=x2-1保持一致增減性，對(duì)A≥2進(jìn)行求解，解出x≥3或x≤-3兩種結(jié)果。因此x在區(qū)間[3，+∞）時(shí)，A=x2-1單調(diào)遞增，此時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。x在區(qū)間（-∞，-3）時(shí)，A=x2-1單調(diào)遞減，這時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)。

（2）f（A）在A≤2時(shí)浮現(xiàn)遞減趨勢(shì)，這種狀況下復(fù)合函數(shù)與A=x2-1的增減性不一致。對(duì)A≤2進(jìn)行求解，解得-3≤x≤3這個(gè)結(jié)果。x在[-3，0]時(shí)，A=x2-1單調(diào)遞減，此時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢(shì)。x在[0，3]時(shí)，A=x2-1單調(diào)遞增，此時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢(shì)[5]。

正解二：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1，假設(shè)f（A）=（A-3）2+1，A=x2。

（1）f（A）在A≥3時(shí)浮現(xiàn)遞增趨勢(shì)，這種狀況下復(fù)合函數(shù)與A=x2的增減性保持一致。對(duì)A≥3進(jìn)行求解，解得x≥3或x≤-3兩個(gè)結(jié)果。x在[3，+∞）時(shí)，A=x2單調(diào)遞增，此刻復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)遞增趨勢(shì)[6]。x在（-∞，-3]時(shí)，A=x2單調(diào)遞減，這時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)遞減趨勢(shì)。

（2）f（A）在A≤3時(shí)浮現(xiàn)遞減趨勢(shì)，這種狀況下復(fù)合函數(shù)與A=x2保持不一致增減性。對(duì)A≤3進(jìn)行求解，得出-3≤x≤3這個(gè)結(jié)果。x在[0，3]時(shí)A=x2單調(diào)遞增，這時(shí)復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)遞減趨勢(shì)。x在[-3，0]時(shí)A=x2單調(diào)遞減，此刻復(fù)合函數(shù)浮現(xiàn)遞增趨勢(shì)[7]。

正解三：已知y=f[g（x）]=（x2-3）2+1=x4-6x2+10，求導(dǎo)，得y"=4x3-12x=4x（x-3）（x+3）。根據(jù)x的取值狀況由此列出下表：

在解決有關(guān)二次復(fù)合函數(shù)的問題時(shí)，由于求導(dǎo)法也能解出函數(shù)的根，根據(jù)根的數(shù)值大小，然后可以將定義域拆分成好幾部分，通過對(duì)每一部分的函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，看看導(dǎo)數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間的正負(fù)狀況，從而一一列出對(duì)應(yīng)的圖表。圖表法與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，也是解決有關(guān)二次復(fù)合函數(shù)的有效方法，解題步驟更加簡(jiǎn)單[8]。

結(jié)語

復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)之所以繁雜，原因在于它是由兩個(gè)或者多個(gè)函數(shù)組合起來的。因此，想要剖析二