山東大學物理學院宗福建

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宗福建1《電動力學》第29講第六章狹義相對論

(5)§6.4電動力學的相對論不變性教師姓名：宗福建單位：山東大學物理學院2015年12月22日山東大學物理學院

宗福建2上一講復習洛倫茲變換山東大學物理學院

宗福建3上一講復習速度變換公式山東大學物理學院

宗福建4上一講復習速度變換公式反變換式為山東大學物理學院

宗福建5洛倫茲變換的四維形式沿x軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建6洛倫茲變換的四維形式逆變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建7洛倫茲變換的四維形式沿Y軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建8洛倫茲變換的四維形式沿Y軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建9洛倫茲變換的四維形式沿Z軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建10洛倫茲變換的四維形式沿Z軸方向的特殊洛倫茲變換的變換矩陣為山東大學物理學院

宗福建11四維標量例如間隔

為洛倫茲標量。固有時也是洛倫茲標量。山東大學物理學院

宗福建12四維速度矢量因物體的位移dxμ為四維矢量，dτ

為標量，所以

是一個四維矢量。這個四維矢量稱為四維速度矢量。而通常意義下的速度是

（下角指標用拉丁字母表示由1-3。）ui不是四維矢量的分量。因為當坐標系變換時，dxi按四維矢量的分量變換，但dt亦發(fā)生改變，因此ui就不按矢量方式變換。山東大學物理學院

宗福建13四維速度矢量因為所以四維速度的分量是Uμ的前三個分量和普通速度聯(lián)系著，當υ<<c時即為u，因此Uμ稱為四維速度。參考系變換時，四維速度有變換關(guān)系山東大學物理學院

宗福建14四維速度矢量山東大學物理學院

宗福建15四維速度矢量山東大學物理學院

宗福建16四維速度矢量山東大學物理學院

宗福建17四維波矢量電磁波的相位因子在另一參考系觀察的相位因子相位是一個不變量。山東大學物理學院

宗福建18四維波矢量我們知道x與ict合為四維矢量xμ，因此，若k與iω/c合為另一個四維矢量kμ，它們按四維矢量方式變換，有我們得到一個四維波矢量山東大學物理學院

宗福建19四維波矢量山東大學物理學院

宗福建20四維波矢量山東大學物理學院

宗福建21四維波矢量設波矢量k與x軸方向的夾角為θ，k’與x軸方向的夾角為θ’，有這就是相對論的多普勒效應和光行差公式。山東大學物理學院

宗福建22本講主要內(nèi)容四維電流密度矢量四維勢矢量電磁場張量任意運動帶電粒子的勢任意運動帶電粒子的電磁場山東大學物理學院

宗福建23電動力學的相對論不變性根據(jù)相對性原理，電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律對任意慣性參考系可以表為相同的形式。麥克斯韋方程總結(jié)了宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律，由它導出電磁波在真空中以速度c傳播等一系列推論。實驗證明這些推論是對任意慣性系成立的。由此我們認為，麥克斯韋方程組適用于任意慣性參考系，從一慣性系變換到另一慣性系時，麥克斯韋方程組的形式應該不變。麥克斯韋方程組含有電荷密度ρ，電流密度J

，電場強度E和磁感強度B。下面我們先研究ρ

和J

的變換性質(zhì)，然后由麥克斯韋方程組協(xié)變的要求導出電磁場變換關(guān)系。

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宗福建24四維電流密度矢量實驗表明，帶電粒子的電荷與它的運動速度無關(guān)，即電荷Q是一個洛倫茲標量，

當粒子靜止時，設電荷密度為ρ0，體元為dV0。若粒子以速度u運動，則體元有洛倫茲收縮

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宗福建25四維電流密度矢量為了保持總電荷Q的不變性，電荷密度相應地增大當粒子以速度u運動時，其電流密度為

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宗福建26四維電流密度矢量如果引入四維電流密度矢量(Uμ是四維速度矢量）,則，四維電流密度的第四分量山東大學物理學院

宗福建27四維電流密度矢量山東大學物理學院

宗福建28四維電流密度矢量山東大學物理學院

宗福建29四維電流密度矢量山東大學物理學院

宗福建30四維電流密度矢量電流密度J和電荷密度ρ合為四維矢量顯示出這兩物理量的統(tǒng)一性。當粒子靜止時，只有電荷密度ρ0；當粒子運動時，表現(xiàn)出有電流J，同時電荷密度亦相應的改變。因此，ρ和J是一個統(tǒng)一的物理量的不同方面，當參考系變換時，它們有確定的關(guān)系。由于相對論中時空的統(tǒng)一，使得非相對論中的不同物理量顯示出它們的統(tǒng)一性。電流密度和電荷密度同一為四維矢量就是其中一個例子。

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宗福建31四維電流密度矢量電荷守恒定律

用四維形式表示為這方程顯然有協(xié)變性。因為左邊是一個洛倫茲標量，在慣性系變換下其值不變，因而上式對任意慣性參考系成立。

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宗福建32四維勢矢量先討論勢方程的協(xié)變性，用勢表出的電動力學基本方程組在洛倫茲規(guī)范下為

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宗福建33四維勢矢量引入微分算符，洛倫茲標量算符則在上式中，電流密度J激發(fā)矢勢A，電荷密度ρ激發(fā)標勢φ。山東大學物理學院

宗福建34四維勢矢量山東大學物理學院

宗福建35四維勢矢量既然J和ρ構(gòu)成一個四維矢量，在參考系變換下它們按一定方式變換，則A和φ自然也應該統(tǒng)一為一個四維矢量，在參考系變換下互相變換。若A和φ合為一個四維矢量

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宗福建36四維勢矢量四維形式的達郎貝爾方程可以表示為，洛倫茲條件可以用四維形式表示為這方程兩邊都是四維量，因而有明顯的協(xié)變性。山東大學物理學院

宗福建37四維勢矢量在參考系變換下，四維勢按矢量變換：若Σ'相對于Σ沿x方向以速度v運動，得勢的變換關(guān)系

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宗福建38四維勢矢量在參考系變換下，四維勢按矢量變換：若Σ'相對于Σ沿x方向以速度v運動，得勢的變換關(guān)系

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宗福建39電磁場張量電磁場E和B用勢表出為

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宗福建40電磁場張量其分量為

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宗福建41電磁場張量引入一個反對稱四維張量電磁場構(gòu)成一個四維張量

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宗福建42電磁場張量引入一個反對稱四維張量電磁場構(gòu)成一個四維張量

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宗福建43電磁場張量用電磁場張量可以把麥克斯韋方程組寫為明顯的協(xié)變形式。這方程組中的一對方程

可以合寫為

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宗福建44電磁場張量山東大學物理學院

宗福建45電磁場張量山東大學物理學院

宗福建46電磁場張量山東大學物理學院

宗福建47電磁場張量另一對方程可以合寫為

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宗福建48電磁場張量山東大學物理學院

宗福建49電磁場張量山東大學物理學院

宗福建50電磁場張量山東大學物理學院

宗福建51電磁場張量山東大學物理學院

宗福建52電磁場張量山東大學物理學院

宗福建53電磁場張量由張量變換關(guān)系

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宗福建54電磁場張量山東大學物理學院

宗福建55電磁場張量山東大學物理學院

宗福建56電磁場張量導出電磁場的變換關(guān)系

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宗福建57電磁場張量導出電磁場的變換關(guān)系

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宗福建58電磁場張量導出電磁場的變換關(guān)系

可寫為更緊致的形式

式中∥和⊥分別表示與相對速度υ平行和垂直的分量。

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宗福建59電磁場張量導出電磁場的變換關(guān)系

當υ<<c時，過渡到非相對論電磁場變換式

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宗福建60電磁場張量矢勢和標勢統(tǒng)一為四維矢量以及電場和磁場統(tǒng)一為四維張量，反映出電磁場的統(tǒng)一性和相對性。電場和磁場是一種物質(zhì)的兩個方面。在給定參考系中，電場和磁場表現(xiàn)出不同性質(zhì)，但是當參考系變換時，它們可以相互轉(zhuǎn)化。例如在某參考系上觀察一個靜止電荷，它只激發(fā)靜電場，只須用標矢φ描述。但是變換到另一參考系時，電荷是運動的，除了電場之外還有磁場，必須同時用A和φ描述山東大學物理學院

宗福建61電磁場張量關(guān)于電磁現(xiàn)象的參考系問題，至此完全獲得解決。電動力學基本方程式對任意慣性參考系成立。在坐標變換下，勢按四維矢量變換，電磁場按四維張量變換。

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宗福建62任意運動帶電粒子的電磁場例求以勻速υ運動的帶電荷e的粒子的電磁場。解

選參考系Σ'固定在粒子上。在Σ'上觀察時，粒子靜止，因而只有靜電場，其電磁場強度為

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宗福建63設在參考系Σ上觀察，粒子以速度υ沿x軸方向運動。由變換式的反變換得

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宗福建64任意運動帶電粒子的電磁場我們還必須把上式用Σ系的距離表出。設粒子經(jīng)過Σ系原點的時刻為t=0。我們在同一時刻觀察各點上的場值。由洛倫茲變換式得（注意所有距離都是對Σ系同時確定的）

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宗福建65任意運動帶電粒子的電磁場代入得（t=t'=0時刻）

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宗福建66任意運動帶電粒子的電磁場簡單討論一下所得結(jié)果。當υ<<c時，略去(υ/c)1/2級項，得

式中E0為靜止粒子的靜電場。

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宗福建67任意運動帶電粒子的電磁場當υ~c時，在與υ⊥的方向上，在與υ∥的方向上，

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宗福建68任意運動帶電粒子的電磁場電場分布如右圖所示。注意當υ→c時電場趨向于集中在與υ垂直的平面上，且B≈ex/c×