2022-2023學(xué)年湖北省部分省級示范性重點(diǎn)中學(xué)教科研協(xié)作體數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題為真命題的個數(shù)是（）（其中，為無理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．若復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．的展開式中，滿足的的系數(shù)之和為（）A． B． C． D．4．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，將△ABM沿著AM翻折成△AB'M，且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi)，點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，則直線AP經(jīng)過△AB'CA．重心 B．垂心 C．內(nèi)心 D．外心6．2019年10月1日，中華人民共和國成立70周年，舉國同慶.將2,0,1,9,10這5個數(shù)字按照任意次序排成一行，拼成一個6位數(shù)，則產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為A．96 B．84 C．120 D．3607．已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個球（記為球）的球面上，且底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，若，，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)，則（）．A． B． C． D．9．對兩個變量進(jìn)行回歸分析，給出如下一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，下列函數(shù)模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．10．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．11．設(shè)平面與平面相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線在平面內(nèi)，且則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分不必要條件12．已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對稱中心的充要條件是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則________14．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是______.15．我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭；令上方六尺：問亭方幾何？”大致意思是：有一個四棱錐下底邊長為二丈，高三丈；現(xiàn)從上面截取一段，使之成為正四棱臺狀方亭，且四棱臺的上底邊長為六尺，則該正四棱臺的高為________尺，體積是_______立方尺（注：1丈=10尺）.16．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數(shù)t的取值范圍為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、．試判斷是否為定值,并說明理由．18．（12分）某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）2345671011該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）2.12.753.53.2534.966.5年返修臺數(shù)（臺）2122286580658488部分計算結(jié)果：，，，，注：年返修率=（1）從該公司年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，以表示3年中生產(chǎn)部門獲得考核優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)2015年數(shù)據(jù)偏差較大，如果去掉該年的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出年利潤（百萬元）關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）的線性回歸方程（精確到0.01）.附：線性回歸方程中，，.19．（12分）設(shè)，函數(shù).（1）當(dāng)時，求在內(nèi)的極值；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點(diǎn)時，總有，求實(shí)數(shù)的值.20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）已知動圓經(jīng)過點(diǎn)，且動圓被軸截得的弦長為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，為圓與曲線的公共點(diǎn)，若直線的斜率，且，求的值．22．（10分）的內(nèi)角所對的邊分別是，且，.（1）求；（2）若邊上的中線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

對于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對于②中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到，即可判定是錯誤的；對于③中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對于②中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋瑒t又由，所以，即，所以②不正確；對于③中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.2、A【解析】

化簡復(fù)數(shù)，求得，得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿足，可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為位于第一象限故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的幾何表示方法，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的表示方法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數(shù)乘以中的系數(shù)，然后相加可得．【詳解】當(dāng)時，的展開式中的系數(shù)為．當(dāng)，時，系數(shù)為；當(dāng)，時，系數(shù)為；當(dāng)，時，系數(shù)為；故滿足的的系數(shù)之和為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵．4、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進(jìn)行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內(nèi)部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.5、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個平面的距離相等，根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等，故P到兩個平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM，即故B'P=CP，故P為CB'中點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角，等體積法，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.6、B【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0開頭的排列數(shù)共個，其中含有2個10的排列數(shù)共個，所以產(chǎn)生的不同的6位數(shù)的個數(shù)為.故選B．7、D【解析】

由題意，得出六棱錐為正六棱錐，求得，再結(jié)合球的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】由題意，六棱錐底面為正六邊形，頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心，可得此六棱錐為正六棱錐，又由，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，設(shè)外接球的半徑為，在中，可得，即，解得，所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及外接球的表面積的計算，其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.8、B【解析】

根據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】因?yàn)榻K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查二倍角公式，熟練記憶公式即可解決，屬于簡單題目.9、D【解析】

作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點(diǎn)，觀察這四個點(diǎn)在靠近哪個曲線．【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數(shù)圖象，同時描出題中的四個點(diǎn)，它們在曲線的兩側(cè)，與其他三個曲線都離得很遠(yuǎn)，因此D是正確選項(xiàng)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)越多，說明擬合效果好．10、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

試題分析：α⊥β，b⊥m又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b，但直線不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件.12、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)對稱的性質(zhì)，即可求出和.【詳解】根據(jù)題意，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計算即可．【詳解】，．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用．14、1【解析】

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解．【詳解】作出實(shí)數(shù)，滿足表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越小，越大.由可得，此時最大為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃知識的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．15、213892【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，利用棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高，再計算它的體積.【詳解】如圖所示：正四棱錐P-ABCD的下底邊長為二丈，即AB=20尺，高三丈，即PO=30尺，截去一段后，得正四棱臺ABCD-A'B'C'D'，且上底邊長為A'B'=6尺，所以，解得，所以該正四棱臺的體積是，故答案為：21；3892.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，也考查了棱臺的體積計算問題，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點(diǎn)，直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)與可行域有交點(diǎn)即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.【詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點(diǎn)，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點(diǎn)，當(dāng)時，滿足條件，當(dāng)時，直線得斜率應(yīng)該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數(shù)t的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）為定值.①因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設(shè)直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問題,考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先判斷得到隨機(jī)變量的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)計算得到相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的數(shù)據(jù)后不影響的值，可根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出；然后再根據(jù)去掉年的數(shù)據(jù)后所剩數(shù)據(jù)求出即可得到回歸直線方程．【詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，，，，，五個年份考核優(yōu)秀．由題意的所有可能取值為，，，，，，，．故的分布列為：所以．（2）因?yàn)椋匀サ裟甑臄?shù)據(jù)后不影響的值，所以．又去掉年的數(shù)據(jù)之后，所以，從而回歸方程為：．【點(diǎn)睛】求線性回歸方程時要涉及到大量的計算，所以在解題時要注意運(yùn)算的合理性和正確性，對于題目中給出的中間數(shù)據(jù)要合理利用．本題考查概率和統(tǒng)計的結(jié)合，這也是高考中常出現(xiàn)的題型，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）極大值是，無極小值；（2）【解析】

（1）當(dāng)時，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點(diǎn)，從而可得原函數(shù)的極值點(diǎn)及極大值；（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實(shí)根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；【詳解】（1）當(dāng)時，.令，則，顯然在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.由于，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+-增極大減所以在上的極大值是，無極小值.（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實(shí)根，則，解得，且，又，所以.由，，可得又.將其代入上式得：.整理得，即當(dāng)時，不等式恒成立，即.當(dāng)時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時，，故.當(dāng)時，恒成立，即，因此，當(dāng)時，所以.綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、研究函數(shù)的極值等知識，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對能力要求較高．20、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時，令，得.當(dāng)時，，此時