北師大版九年級數(shù)學(xué)知識點匯總

北師大版九年級數(shù)學(xué)知識點匯總第一章特別平行四邊形一、平行四邊形1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2、性質(zhì)：（1）平行四邊形的對邊平行且相等。2）平行四邊形的對角相等，鄰角互補。3）平行四邊形的對角線互相均分，兩條對角線把平行四邊形分成四個面積相等的三角形。（4）平行四邊形是中心對稱圖形。3、判斷：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。5）對角線互相均分的四邊形是平行四邊形。4、面積：S平行四邊形=底ⅹ高二、菱形1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、性質(zhì)：（1）菱形擁有平行四邊形的所有性質(zhì)。2）菱形的四條邊都相等。3）菱形的對角線互相垂直均分，并且每一條對角線均分一組對角；兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形。4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）。3、判斷：（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。3）四條邊都相等的四邊形是菱形。4、面積：S菱形=底ⅹ高；S菱形=對角線乘積的一半三、矩形1、定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。2、性質(zhì)：（1）矩形擁有平行四邊形的所有性質(zhì)。2）矩形的四個角都是直角。3）矩形的對角線相等且互相均分，兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形。4）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。5）矩形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（兩條）。3、判斷：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形。2）對角線相等的平行四邊形是矩形。3）有三個角是直角的四邊形是矩形。4、面積：S矩形=底ⅹ高四、正方形1、定義：有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。2、性質(zhì)：（1）正方形擁有菱形和矩形的所有性質(zhì)。2）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。3）正方形的對角線互相垂直均分且相等，兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。4）正方形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（四條）。3、判斷：（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形。（2）對角線互相垂直的矩形是正方形。正方形=菱形+矩形（3）有一個角是直角的菱形是正方形。（4）對角線相等的菱形是正方形。4、面積：S正方形=邊長的平方；S正方形=對角線乘積的一半五、中點四邊形1、定義：以四邊形四條邊的中點為極點組成的四邊形2、中點四邊形：一般四邊形→平行四邊形；平行四邊形→平行四邊形；菱形→矩形；矩形→菱形；正方形→正方形。第二章一元二次方程一、定義：我們把形如ax2bxco(a,b,c為常數(shù)，ao)的方程，稱為一元二次方程。其中ax2，bx，c分別稱為二次項，一次項和常數(shù)項，a，b分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)。二、解一元二次方程的方法1、配方法：移項→二次項系數(shù)化為1→配方（方程兩邊同時加前一次項系數(shù)一半的平方）→開平方（有正負兩個結(jié)果）→求解→寫根。2、公式法：化為一般形式（ax2bxco）→找出a，b，c（記得帶上符號）→代入根的判別式（b24ac）→代入求根公式xbb24ac（b24ac0）→求解→寫根。2a3、因式分解法：當(dāng)一元二次方程的一邊為0，另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時可用因式分解法。（1）提公因式法：acbc0→c(ab)0（2）公式法：①平方差公式：a2b2(ab)(ab)②完好平方公式：a22abb2(ab)2（3）十字相乘法：x2(pq)xpq(xp)(xq)三、一元二次方程根的鑒識式：關(guān)于一元二次方程ax2bxco(ao)1）當(dāng)b24ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。2）當(dāng)b24ac0時，方程有兩個相等的實數(shù)根。3）當(dāng)b24ac0時，方程沒有實數(shù)根。四、一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（韋達定理）若是方程ax2bxco(ao)有兩個實數(shù)根x1，x2，那么xxb，xxc12a12a五、應(yīng)用一元二次方程（1、幾何面積問題；2、銷售問題）審題→搜尋數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系→設(shè)未知數(shù)（直接假設(shè)和間接假設(shè)）→列一元二次方程→解方程→檢驗→作答。第三章概率的進一步認識一、列表法和化樹狀圖法1、列表法：當(dāng)一次實驗涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)量很多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，平時采用列表法。2、畫樹狀圖法：當(dāng)一次實驗涉及3個或更多因素時，列表就不方便，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，平時采用畫樹狀圖法。二、頻率估計概率：一般的，在大量重復(fù)實驗時，若是事件A發(fā)成的頻率m牢固于某個常數(shù)P，n那么事件A發(fā)生的概率PAP第四章圖形的相似一、成比率線段1、定義：四條線段a,b,c,d中，若是a與b的比等于c與d的比，即ac，那么這四條線段bda,b,c,d叫做成比率線段，簡稱比率線段。2、性質(zhì)：（1）基本性質(zhì)：若是ac，那么adbc；bd若是adbca,b,c,d都不等于0，那么acbd（2）等比性質(zhì)：若是ac=L=mbdLn0，那么acLmabdnbdLnb（3）合比性質(zhì)：若是ac，那么abcd，abcdbdbdbd二、平行線分線段成比率1、定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比率2、推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊訂交，截得的對應(yīng)線段成比率三、相似多邊形1、定義：各角分別相等，各邊成比率的兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比2、性質(zhì)：相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方四、相似三角形1、定義：三角分別相等，三邊成比率的兩個三角形叫做相似三角形2、判斷：（1）兩角分別相等的兩個三角形相似2）兩邊成比率且夾角相等的兩個三角形相似3）三邊成比率的兩個三角形相似3、性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比率2）相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角均分線的比都等于相似比3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方五、黃金切割：點C把線段AB分成兩條線段AC和BCACBC，若是ACBC，那么稱ABAC線段AB被點C黃金切割，點C叫做線段AB的黃金切割點，AC與AB的比叫做黃金比，即AC:AB0.618:1六、位似圖形1、定義：一般的，若是兩個相似多邊形任意一組對應(yīng)極點P,P'所在的直線都經(jīng)過同一點O，且有OP'=kOPk0，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心2、性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比3、畫圖步驟：（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的要點點關(guān)于中心的對應(yīng)點；③描出新圖形2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，將一個多邊形每個極點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都乘于同一個數(shù)kk0，所對應(yīng)的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標(biāo)原點，它們的相似比為k第五章投影與視圖一、投影：物體在光輝的照射下，會在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一點（點光源）發(fā)出的光輝形成的投影叫做中心投影。如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光輝形成的投影叫做平行投影。如物體在太陽光的照射下形成的影子（簡稱日影）就是平行投影。若平行光輝與投影面垂直，則這種投影稱為正投影二、三視圖1、視圖：用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖2、三視圖看法：（1）主視圖：從正面獲取的視圖叫做主視圖，反響物體的長和高2）左視圖：從左面獲取的視圖叫做左視圖，反響物體的長和寬3）俯視圖：從上面獲取的視圖叫做俯視圖，反響物體的高和寬3、三視圖特點：（1）主視圖和俯視圖的長對正2）主視圖和左視圖的高平齊3）左視圖和俯視圖的寬相等第六章反比率函數(shù)一、定義：一般的，形如ykk為常數(shù)，k0的函數(shù)，叫做反比率函數(shù)。其中x是自變量，xy是函數(shù)。自變量x的取值范圍是不等于0的一的確數(shù)二、表達式：1、yk；2、ykx1；3、xykx三、圖象與性質(zhì)1、圖象：由兩條曲線組成（雙曲線）2、性質(zhì)：函數(shù)圖象所在象限增減性在同一象限內(nèi)，第一、三象限y隨x的增大而減小在同一象限內(nèi)，第二、四象限y隨x的增大而增大越大，函數(shù)圖象越遠離坐標(biāo)原點3、反比率函數(shù)比率系數(shù)k的幾何意義如圖，在反比率函數(shù)yk上任取一點Px,y，過這一點分別作x軸，y軸x的垂線PE，PF與坐標(biāo)軸圍成的矩形PEOF的面積Sxyk4、對稱性：（1）中心對稱，對稱中心是坐標(biāo)原點（2）軸對稱：對稱軸為直線yx和直線yx第七章直角三角形的邊角關(guān)系B一、銳角三角函數(shù)斜邊對b邊在RtABC中，C90，則A的三角函數(shù)為CA鄰邊定義表達式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)二、特別角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1三、解直角三角形1、直角三角形的邊角關(guān)系：（1）兩銳角關(guān)系：AB90（2）三邊關(guān)系：a2b2c2（勾股定理）（3）邊角關(guān)系：

sinA

cosB

a，

cosA

sinB

bc

ctanA

a

，

tanB

bb

a2、解直角三角形的種類和解法已知條件圖形解法已知素來角邊和一個銳角a,AB已知斜邊和一個銳角斜邊對c,Ab邊AC鄰邊已知兩直角邊a,b已知斜邊和一條直角邊c,a第八章二次函數(shù)一、看法：一般的，若兩個變量x，y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成yax2bxca,b,c是常數(shù),ao的形式，則稱y是x的二次函數(shù)，其中，x是自變量，a,b,c分別是函數(shù)剖析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項二、二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)1、圖像與性質(zhì)函數(shù)圖象張口張口向上

張口向下

張口向上

張口向下方向性對稱軸直線xh直線xb2a質(zhì)當(dāng)xh時，y隨的當(dāng)xh時，y隨xb時，y隨當(dāng)xb時，y隨當(dāng)x增減性x增大而減??；的增大而增大；2a2a當(dāng)xh時，y隨x當(dāng)xh時，y隨的的x增大而減??；x的增大而增大；的增大而增大x增大而減小；當(dāng)xb當(dāng)xb隨時，y隨時，y2a2ax的增大而增大的x增大而減小；a0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；a0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小極點拋物線有最高點，當(dāng)拋物線有最低點，拋物線有最高點，拋物線有最低點，當(dāng)xb時，y有最最值當(dāng)xh時，y有最當(dāng)xh時，y有最xb時，y有最大值2a小值，大值2a小值4acb2y最大值4a2、拋物線與a,b,c的關(guān)系決定拋物線張口方向決定拋物線張口大小決定拋物線對稱軸地址，

0，拋物線張口向上；0，拋物線張口向下越大，張口越小0，對稱軸為y軸；ab0，對稱軸在y軸左側(cè)；同號在對稱軸為直線x

b

左，2a決定拋物線與y軸的交點位置

ab0，對稱軸在y軸右側(cè)異號在右0，拋物線過原點；0，拋物線與y軸交于正半軸；c0，拋物線與y軸交于負半軸b24ac0時，與x軸有兩個交點；決定拋物線與x軸的交點b24ac0時，與x軸有一個交點；b24ac0時，與x軸沒有交點決定極點地址極點坐標(biāo)為b,4acb22a4a三、二次函數(shù)表達式的確定。確定二次函數(shù)表示的方法仍是待定系數(shù)法，有以下三種方法：1、一般式：若已知拋物線過三點，一般設(shè)函數(shù)表達式為yax2bxcao2、極點式：若已知拋物線的極點是h,k，可設(shè)函數(shù)表達式為yaxh2ka03、交點式：若已知拋物線與x軸兩個交點x1,0，x2,0，可設(shè)函數(shù)表達式y(tǒng)axx1xx2a0四、二次函數(shù)的平移規(guī)律搬動方向平移前的表達式平移后的表達式簡記向左平移m個單位左加向右平移m個單位右減向上平移m個單位上加向下平移m個單位下減注意平移從前函數(shù)表達式必定先化為極點式五、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)yax2bxcao的圖象與x軸的交點有三種情況：有兩個交點；有一個交點；沒有交點，當(dāng)圖象與x軸有交點時，令y0，解方程ax2bxc0就可以求出與x軸交點的橫坐標(biāo)ax2bxc0的根拋物線yax2bxc與x軸的交點兩個不相等的實數(shù)根兩個交點兩個相等的實數(shù)根一個交點沒有實數(shù)根沒有交點第九章圓一、圓的有關(guān)看法和性質(zhì)1、圓的基本看法：1）圓：到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點是圓心，定長是半徑2）弦、直徑：連接圓上任意兩點的線段叫做弦；經(jīng)過圓心的弦叫做直徑3）?。簣A上任意兩點間的部分叫做??；大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧4）等圓、等?。嚎梢灾睾系膱A叫做等圓；可以重合的弧叫做等弧5）圓心角：極點在圓心，端點在圓上的角叫做圓心角6）圓周角：定點和端點都在圓上的角叫做圓周角2、圓的性質(zhì)圓周角定理1）圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸；圓也是中心對稱圖形，對稱中心是圓心2）把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所獲取的圖形都與原圖形重合3）過不在同素來線上的三個點確定一個圓二、與圓有關(guān)的定理和推論文字語言圖形幾何語言圓定理：在同圓或等圓中，相等的圓在同圓或等圓中，心角所對的弧相等，所對的1、圓心角相等：AOBDOE心角弦也相等2、弧相等：ABDE?弧推論：在同圓或等圓中，若是兩個3、弦相等：ABDE?以上條件知其中一個可得其二弦圓心角，兩條弧，兩條弦中之有一組相等，那么它們所對間的應(yīng)的其他各組量都分別相等關(guān)系定理：圓周角的度數(shù)等于它所對的QAOB是AB所對的圓心角，弧的圓心角度數(shù)的一半C是AB所對的圓周角，推論

1：同弧或等弧所對的圓周角

QC和

D都是

AB

所對的圓周角相等推論

2：直徑所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑

QAB是eO的直徑C是AB所對的圓周角QC是AB所對的圓周角AB是eO的直徑推論3：圓的內(nèi)接四邊形對角互補定理：垂直于弦的直徑均分弦，并垂且均分弦所對的兩條弧徑推論：均分弦（不是直徑）的直徑定理垂直于弦，并且均分弦所對的兩條弧三、與圓有關(guān)的地址關(guān)系1、點與圓、直線與圓的地址關(guān)系文字語言圖形點與圓點在圓外的位點在圓上置關(guān)系點在園內(nèi)直訂交：直線和圓有線與兩個公共點圓相切：直線和圓只的位有一個公共置關(guān)點系相離：直線和圓沒有公共點2、切線的性質(zhì)與判斷（1）切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑

Q四邊形ABCD是eO的內(nèi)接四邊形QAB是eO的直徑，ABCDCEDE，BCBD，ACADQAB是eO的直徑，CEDEABCD于點EBCBD，ACAD幾何語言設(shè)eO的半徑為