源于感性歸于理性

本文格式為Word版，下載可任意編輯——源于感性，歸于理性趙瑩瑩宋劼

[摘

要]文章以“相像三角形〞的復(fù)習(xí)課為載體，通過(guò)四個(gè)篇章——“源于感性，感知理性〞（即教學(xué)導(dǎo)入）“源于感性，運(yùn)用理性〞“源于感性，輔于理性〞（即典型問(wèn)題分析）和“源于感性，歸于理性〞（即課堂小結(jié)）論述了數(shù)學(xué)思維從形象認(rèn)知的感性思維到理性思維的蛻變過(guò)程.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué);教學(xué);感性思維;理性思維;相像三角形

數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科之一，無(wú)論是九年義務(wù)教育還是后續(xù)的職業(yè)教育或高等教育，數(shù)學(xué)都占有一席之地.作為初中數(shù)學(xué)，需要培養(yǎng)學(xué)生什么？教會(huì)學(xué)生什么？可以用史寧中先生的一句話來(lái)描述——“數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀測(cè)現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.[1]〞初中數(shù)學(xué)起著連接小學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)的作用，小學(xué)數(shù)學(xué)重視感性認(rèn)識(shí)，而初中數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)更為重要.初中階段學(xué)生的工具理性大于概念理性，形象思維大于抽象思維，做好感性思維的延續(xù)和理性思維的淬煉是初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.

在初中的知識(shí)體系的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生也在逐漸改變自己的學(xué)習(xí)方式，隨著大腦不斷成熟，理性思維也開(kāi)始逐漸替代感性認(rèn)識(shí).因此教師在傳授知識(shí)的同時(shí)，也要重視方法的引導(dǎo)，建立學(xué)生的數(shù)學(xué)世界觀.

全等到相像，不僅僅是圖形的大小由不變到變化，其中還蘊(yùn)含著解題方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想的變化.下面就以一節(jié)“相像三角形〞的復(fù)習(xí)課談?wù)劰P者由感性認(rèn)識(shí)發(fā)展到理性思考的幾點(diǎn)想法.

源于感性，感知理性

教學(xué)導(dǎo)入是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)所特有的一種教學(xué)方法，這里采取“溫故導(dǎo)入法〞.溫故導(dǎo)入：是指教師通過(guò)幫助學(xué)生復(fù)習(xí)與即將學(xué)習(xí)的新知識(shí)有關(guān)的舊知識(shí)，溫故而知新，從中找到新舊知識(shí)聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)，貼合規(guī)律、順理成章地引出新知識(shí)的一種導(dǎo)入方法[2].

通過(guò)回憶相像三角形的知識(shí)結(jié)構(gòu)繪制出思維導(dǎo)圖，從學(xué)生的元認(rèn)知出發(fā)，在復(fù)習(xí)相像三角形的相關(guān)知識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地類比全等三角形和相像三角形的一致點(diǎn)與不同點(diǎn)，從感性的認(rèn)知中感受理性思維.

如：全等三角形的定義是“能完全重合的三角形叫全等三角形〞，而相像三角形的定義是“各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫相像三角形〞.全等三角形的定義是從感性角度出發(fā)，從形象思維出發(fā)，從圖形的外形上來(lái)定義.而相像三角形沒(méi)有定義成“外形一致的兩個(gè)三角形〞，而是定義為“各角對(duì)應(yīng)相等，各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫相像三角形.〞相像三角形的定義從形象定義轉(zhuǎn)變成了定量定義，從形象走向了抽象，這時(shí)就需要從理性的角度去思考.由此可見(jiàn)，相像三角形作為初三年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)，從定義上已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生從形象走向抽象，從感性走向理性.

源于感性，運(yùn)用理性

課堂導(dǎo)入后，就拉開(kāi)了復(fù)習(xí)課的序幕，從典型例題中復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，為此筆者選擇以下幾道例題.

例1

如圖2，若CD是Rt△ABC斜邊上的高，AD=3，AC=5，求AB的長(zhǎng).

例1是一道典型的相像三角形的問(wèn)題，它可以用多種方法來(lái)解決——勾股定理、面積法等等.但是，相對(duì)比而言發(fā)現(xiàn)，用相像三角形的方法進(jìn)行解答最便利.只要證明△ADC∽△ACB，就能說(shuō)明“=〞，再將“AD=3，AC=5〞代入，就能很簡(jiǎn)單地求出AB的長(zhǎng)為.追溯解答的過(guò)程，想到△ADC與△ACB相像是解題的關(guān)鍵.假使延續(xù)全等的思路——先找出圖形，再證明相像，學(xué)生是很難看出來(lái)這兩個(gè)三角形的外形是一致的.只有通過(guò)理性思維去思考，才能找到解題的方法——通過(guò)觀測(cè)已知邊AD，AC和未知邊AB所組成的三角形中有一個(gè)角——∠A是公共角，另一對(duì)角是直角，所以滿足相像三角形的判定定理——“兩角分別對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相像〞，于是就得到了相像三角形的邊成比例的比例式，從而求出了AB的長(zhǎng).

此時(shí)，適時(shí)地給出一道利用全等三角形解題的例題加深學(xué)生對(duì)感性思維和理性思維不同的比較，如下例：

例2

已知：如圖3，A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)在一直線上，AF=DC，AB∥DE，且AB=DE，求證：BC=EF.

例2是用全等三角形的性質(zhì)來(lái)證明BC=EF，而具體哪一對(duì)三角形全等，在圖3中很明顯就能看到△ABC和△DEF是全等的，經(jīng)過(guò)找尋條件，就能很簡(jiǎn)單地證明它們?nèi)?，從而證明結(jié)論成立.

為了比較相像三角形和全等三角形的不同，給出了例3進(jìn)行比較分析.

例3

如圖4，CD是Rt△ABC斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)D作直線AB的垂線交BC于點(diǎn)F，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，請(qǐng)說(shuō)明：DC2=DE·DF.

開(kāi)始分析的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)從圖上看，找不出“形狀一致〞的相像三角形，一時(shí)陷入窘境.于是筆者引導(dǎo)學(xué)生從理性思維著手：相像三角形的性質(zhì)是“對(duì)應(yīng)邊成比例〞，所以可不可以將等積式DC2=DE·DF先寫成比例式=來(lái)考慮呢？源于相像三角形的邊成比例的性質(zhì)，所以我們可以從比例式倒推，只要證明△DCE與△DFC相像就可以證明這組比例式成立.而從圖上看，△DCE與△DFC已經(jīng)有一組公共角了，只需要再找一組角相等就能順利地解決這個(gè)問(wèn)題.經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)很簡(jiǎn)單證明∠E與∠BCD相等，再加上一組公共角∠CDF=∠EDC，就能證明△DCE∽△DFC，從而問(wèn)題得證.

例3的解決，利用的是理性的推斷和思考，它與解決全等三角形類的題目有著本質(zhì)性的區(qū)別，可以讓學(xué)生感受到從感性的量變到理性的質(zhì)變.

源于感性，輔于理性

規(guī)律思維、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維、數(shù)學(xué)的想象能力、數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法論等數(shù)學(xué)思維不是獨(dú)立存在的，而是相輔相成的，解決一個(gè)問(wèn)題也不是通過(guò)某一種思維獨(dú)立運(yùn)作就能辦到的.對(duì)此，筆者設(shè)計(jì)了以下例題.

例4

如圖5，在12×12的正方形網(wǎng)格中，△TAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為T（1，1），A（2，3），B（4，2）.

（1）以點(diǎn)T（1，1）為位似中心，按比例尺（TA′∶TA）3∶1在位似中心的同側(cè)將△TAB放大為△TA′B′，放大后點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，B′.畫(huà)出△TA′B′，并寫出點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo);

（2）在（1）中，若C（a，b）為線段AB上任一點(diǎn)，寫出變化后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′的坐標(biāo).

例4的第1題解決起來(lái)很簡(jiǎn)單，通過(guò)細(xì)心作圖就能完成.但是其次題要解決起來(lái)就對(duì)比困難，好多學(xué)生在課上甚至連思路都沒(méi)有.這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題（2）往問(wèn)題（1）上去比較思考：為什么第1題的解決對(duì)比簡(jiǎn)單？關(guān)鍵是由T為位似中心畫(huà)圖，不需要考慮其他因素.而第2題需要計(jì)算，將T的具體坐標(biāo)值考慮進(jìn)去.而T的坐標(biāo)對(duì)比繁雜，所以此題無(wú)法順利解決.

其實(shí)，學(xué)生雖然沒(méi)有思路，但是很簡(jiǎn)單感受到問(wèn)題出在T的位置上.此時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生思考：假使T的位置不是（1，1），而是（0，0），那么這個(gè)問(wèn)題解決起來(lái)是不是會(huì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)呢？學(xué)生經(jīng)過(guò)快速畫(huà)圖，并思考得出：當(dāng)T為（0，0）時(shí)，此時(shí)C（a，b）放大3倍后就變成了（3a，3b）.得出這個(gè)結(jié)論并不難，只要畫(huà)圖后找?guī)讉€(gè)典型的點(diǎn)推測(cè)推理下就能得到.但是在這個(gè)感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，如何將原題的第2小題完成呢？能通過(guò)平移的方法完成嗎？先將T（1，1）向下移動(dòng)1格，向左移動(dòng)1格到原點(diǎn)處，此時(shí)C（a，b）就移動(dòng)到C′（a-1，b-1）處，再依照之前的經(jīng)驗(yàn)，C′（a-1，b-1）放大3倍就變成了（3a-3，3b-3），然后再將放大的圖形移回到原處，也就是向上移動(dòng)1格，向右移動(dòng)1格，此時(shí)（3a-3，3b-3）就到了（3a-2，3b-2）處，也就是C′的坐標(biāo)為（3a-2，3b-2）.

所以，感性與理性是相互銜接、相互幫襯的.理性思維不排斥感性認(rèn)知，在此題里“感性認(rèn)知〞不是錦上添花，而是雪中送炭;從感性出發(fā)，走理性之路，就能做到有效思考.

源于感性，歸于理性

解決了以上例題后，可以總結(jié)出在學(xué)習(xí)相像三角形時(shí)的常見(jiàn)模型：A型圖、X型圖及K型圖等感性模型，他們本質(zhì)上都是兩角對(duì)應(yīng)相等得到的三角形相像，在理性的歸納匯總后可以進(jìn)行蛻變.

A型圖可以蛻變成反A型圖，或者反A共邊型圖.

X型圖可以蛻變成反X型圖，反X型圖雖然在純直線圖中不多，在圓里面用得十分頻繁.

K型圖的蛻變就更多了，它的本質(zhì)是一線三等角，利用一線三等角證明兩角對(duì)應(yīng)相等進(jìn)而得到三角形相像.K型圖甚至可以疊加形成射影定理的圖形.

在源于感性，歸于理性后，這節(jié)課也就進(jìn)入了尾聲.帶著學(xué)生們將相像三角形的常見(jiàn)模型整理成理性思維下的數(shù)學(xué)模型，這一過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)律思維能力，使學(xué)生思