空間幾何量計(jì)算

【例1】（2009如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié) BPAB平面C．直線BC∥平面 D．直線PD與平面ABC所成的角為PEDPED 【解析】顯然不對，故A錯誤；AAGPB于GPABPBC，則AG平面PBCAGBC，顯然不對，故B錯誤；BC∥EFEFPAEBC∥PAE不可能，故C易知PDAPDABCAB1PA2，AD2，45．【例2】如圖，已知邊長為a的正ABCADBADCABBCDBADC的平面角為120ABCDDMDM 【解析】ADBCDABDABBCD，ABC，∴ABD

，即ABDABBCD所成的角為BADC為120的二面角時(shí)，即BDCBC中點(diǎn)MAD⊥BDC，ADBCDMBC⊥ADMBCAMDABCD在BDCCDM60DMCD AD2DMAD2DM∴cosAMDDM

13(3(3a)2(a24 ，【例3】三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體，截面為A1B1C1，BAC，3AA平面ABC，AA ，AB2，AC2，AC1，BD13 1

A1ADBCC1B1ACC1BABABCAA1ABC．在Rt△ABCAB6∴BC 6

∵BD:DC1:2，∴BD

6，又BD 3AB 又A1A ADA，∴BC平面A1AD，BCBCC1B1A1ADBCC1B1AEC1C交C1CEBEBCBCAEF ABACC1A1AEBEACC1A1內(nèi)的射影．由三垂線定理知BECC1，AEBACC1B的平面角．過C1作C1FAC交ACF點(diǎn)，3則CFACAF1，C1FA1A 3．．在Rt△AECAEACsin

2

3 32323 623 ∴AEB

6ACCB為arctan6 【例4PABCDABDC，ABCBCDPAPBDCPDCDA【解析】BCHPHAHBDE∵BCPBPC，∴PHBC290．90，AHPAABCDPABDPEPEBDPDEDEH PEH15在DBC中，由tanDBC1，求得sinDBC 152∴tanPEHPH

BHtan60° 3 BHsin3 【例5】（2009）如圖，三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60BCA90D，EPBPCDE∥BCBCPACDPBADPACEADEP【解析】⑴PAABC，PABCDEDE ⑵DPBDE∥BC，DE1BC2BCPACDEPACEDAEADPAC12PAAB，ABP12∴AD

2∴在RtADEsinDAEDE

BC 22 ADPAC所成的角的大小為arcsin24⑶∵DE∥BCBCPAC，DEPAC．又AE平面PACPE平面PAC，DEAE，DEPE．AEPADEP∴PCEAEPC．這時(shí)AEP90．E使得二面角ADEP【例6】（2009西城區(qū)一模如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BCD90AB∥CD，又ABBCPC1，PB2，CD2，ABPCPCABCDBPDCBPADP BCB，PCABCD⑵由⑴知PCBC，又BCCD，PC CDC，∴BC平面PCD，如圖，過C作CMPD于M，連接BM，MPM CMBBPDCPC25PC25又CMPD，PDCMPCCD，CMPCCD25 在CMB中，BCM90，BC1，CM25，∴tanCMBBC 5 ∴BPDC的大小為arctan52BPAD的距離為hAB2∵ABBC，∴AC AB2AC23∵PC平面ABCD，∴PCAC，∴PAAC23ABCD中，AB1BC1CD2，AD235 ，PA ，PD 235

BC2CD2BC2CD2∴PAD的面積

A 61 1∵BPAD的體積

VP

，∴13

h13

PC即6h1111，解得h 6．∴點(diǎn)B到平面PAD的距離為6 【例7】（2009ABCDEFFAABCDAD∥BC∥FEABADMECAFABBCFE1AD2BFDEAMD平面CDEACDEMA MAD BF∥CE，所以CED（或其補(bǔ)角）為異面直線BFDE所成的角．PADEPPC∵FE∥AP，F(xiàn)EAPFAABCDEPBCD．而PCAD都在平面ABCD內(nèi)，F(xiàn)Aa，則EPPCPDaCDDEECBFDE所成的角的大小為60

APQCAPQCMDB連結(jié)MP，則MPCE．又 DMM，故CE平面AMD而CE平面CDE，∴平面AMD平面CED⑶設(shè)Q為CD的中點(diǎn)，連結(jié)PQ，EQ∵CEDE，∴EQCDPCPDPQCD，故EQPACDEEPPQEQ

6a，PQ2

2a2于是在RtEPQcosEQPPQ3 ACDE的余弦值為33【例8】（2009石景山區(qū)一模ABCA1B1C12D是側(cè)棱CC1ADBB1C1C所成的角為ABDC⑶求點(diǎn)CABDABDC【解析】ABCA1B2C1x．取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE．ABC是正三角形，∴AEBC．又底面ABCBB1C1CBC3142AEBB1C1CED，則ADEADBB314245．

AE

x

．∴此正三棱柱的側(cè)棱長為22A CAEBB1C1CEFAFBCD內(nèi)的射影．由三垂線定理，可知AFBD．AFEABDC222(sinEBF222(

3，∴EF 3 AE

ABDC的大小為arctan3BDAEF∴平面AEF平面ABD，且交線為AF，EEGAF于GEGABD．EGEABDRtAEF中，EGAEEF

33

30EBC中點(diǎn)，∴點(diǎn)CABD的距離為2EG

305

(3)2(3 3【例9】(2001年高考)一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為P1P2P3．若屋頂斜面與水平面所成的角都是a，則（） P3P2

P3P2

P3P2

P3P2【解析】由射影面積公式S射＝Scos）S與斜面和水平面所成角有關(guān)，而與斜面內(nèi)圖形形狀及圖形放置無關(guān)．所以可以抓住“所成角都是”及“射影面積（民房面積）不變”，取特值0，就將三種不同的房蓋均變成平房蓋，而同一間民房的面積全部相同，從而得解．令0，即可知選D．【例10】(東城一模PABC中，PCABC，PCAC2，ABBC，DPBCDPABABPCBAPBC⑶求二面角CPABDBDB 【解析】PCABCABABC∴PCAB又 CDC，∴AB平面PCBDEDEBCAFAAF∥BCAFBCPFCF．則PAFPABC所成的由⑴ABBC∴CFAFPC2PFPC2AFCF

，PF

662在RtPFA中，tanPAFPF 362∴PABC所成的角為π3APE，連結(jié)CEDE∵PCAC2，∴CEPA，CE2CDPABDECED為二面角CPAB2由⑴B平面PCB，又∵ABBC，可求得BC 2PC26PC262623CDPCBC2623232在RtCDE中，sinCEDCD 6232 ∴二面角CPAB的大小為arcsin63【例11】(東城二模PABCDABCD是矩形，PAABCDAPAD1AB2，EFABPDPCABCDPECDFDFDCB【解析】⑴PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OF、OE2FO∥AE又EABABDC，F(xiàn)OAE∴AEOF是平行四邊形．AF∥OE．又OE平面PECAF平面PEC，AC．PAABCDPCAPCABCD15在RtPAC中tanPCAPA 515 PCABCD所成角的大小為arctan55AMCE，交CE延長線于M，連結(jié)PMPMCE∴PMA是二面角PECD的平面角．由AME~CBE，可得AM 222∴tanPMA12222∴二面角PECD的大小為 2【例12】(海淀二模A1B1C1ABC中，C1CCBCA2ACCBD、E分別為棱C1C、BA1C1CABA1DA⑶段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF平面A1BD？若存在，確定其位置并證明結(jié)論；EFEF D 【解析】⑴∵A1B1C1ABCCC1ABCCC1BCACCBBC平面A1C1ABCBA1C1CABC2BA1C1CA的距離為⑵分別延長ACA1D交于G．過C作CMA1G于MBMBCACC1A1CMBMA1C1CABMA1GGMBBA1DA的平面角。平面A1C1CAC1CCA2D為C1C的中點(diǎn)，CG2DC1在直角三角形CDGCM2555tanGMB5BA1DA的大小為5⑶段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A1BD其位置為AC中點(diǎn)，證明如A1B1C1ABCB1C1EF在平面A1C1CA內(nèi)的射影為C1FFACC1FA1DEFA1DEA1BD為定平面，∴點(diǎn)F【例13】（05年卷6）在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面 A．BC∥平面 B．DF平面C．平面PDF平面 D．平面PAE平面，DFPAEPAE平面ABC（面面垂直的判定答案：【例14】(08年卷 已知m，n是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命中正確的是 A．若，則C．若m∥n∥

B．若mn，則D．若m∥m∥則有關(guān)線面位置關(guān)系的判斷，往往需要考生構(gòu)造出反例來否定一些結(jié)論，A選項(xiàng)平面和平面可能平答案：B【例15】（095）已知m是平面A，lA>A．l∥m，lC．lm，lB．lm，lD．l∥m，l2【例16】如圖在四棱錐PABCD中底面ABCD是矩形已知AB3，AD2，PA2，PD 2．PAB．ADPABPCADPBDAPAPA 2⑴證明在PAD中由題設(shè)PA2，PD 可得PAD2PD2于是PA在矩形ABCD中2 BCAD，所以PCB（或其補(bǔ)角）PCAD所成的角．在PABPA2AB22PAABcos7由余弦定理得PB 由⑴知PA2AB22PAABcos7BBCPB，于是PBC是直角三角形，故tanPCBPB

7．所以異面直線PC2所成的角的大小為arctan72PPHABHHHEBDEPEADPABPH平面三垂線定理可知BDPE，從而PEH是二面角PBDA的平面角．由題設(shè)可得，PAPAHE 3PHPAsin60 ，AHPAcos601，3AB2AB24HEADBH4于是再RtPHE中，tanPEH 4PBDA的大小為

13394【例17】如圖，在四棱錐PABCDPAABCDABADACCDABCPAABBCEPCCDAEPDABEAPDCPE CBPABCDPAABCDCDABCD，故PACDACCD，PA 而AE平面PAC，CDAE．60，EPC的中點(diǎn)，AEPC由⑴知，AECD，且 CDC，所以AE平面PCD又∵AB AEA，綜上得PD平面ABE．AAMPD，垂足為MEM．則⑵AEPCDAM在平面EMEMPME CB因此AMEAPDC的平面角．由已知，得CAD30．設(shè)ACa，PAaAD23aPD3

21a，AE3

2a2AMPAAD

213

27aaa23在RtAEM中sinAMEAE

144APDC的大小是

144PAABCDPAPADPADACDAD過點(diǎn)C作CFADF，故CFPADFFMPDM，連結(jié)CM由已知，可得CAD30，設(shè)ACa，可得PAa，AD23a，PD 21a，CF1a，F(xiàn)D3a ∵FMD∽PAD，∴FMFD PEM CBFMFDPA

3

7a3a3a17在RtCMF中tanCMFCF7

77所以二面角APDC的大小是 7【例18】（200917）ABCD中，AB2，BC1，EDC的中點(diǎn)，F(xiàn)（端點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)．現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC．在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DKAB，K為垂足．設(shè)AKt，則t的取值范圍是 A

FCF 考慮情況，當(dāng)F與E重合時(shí)，顯然t1（K與D重合；當(dāng)F與C重合時(shí)，折疊后BCDB，DB3，從而ADB為直角三角形，t1F不為端點(diǎn)，故t的取值范圍是1，1 越靠近CAD的投影越短，即t【例19】（2009如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，ABAA12EE1ADAA1FABEE1∥FCC1D1ACBB1C1C

BCCD2DCE CDCE B 連結(jié)FF1C1F1，CEDFCEDFA B FF1BB1∥CC1F1FCC1FCC1即為平面C1CFF1A1DF1C因此，A1DF1C．EE1A1DEE1F1CEE1FCC1F1CFCC1，故EE1∥平面FCC1．F為ABCD2AB4AB∥CD，所以CD∥AF，因此，四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD∥FC又CC1∥DD1，F(xiàn)C CC1C，F(xiàn)C平面FCC1，CC1平面FCC．所以，平面ADD1A1∥平面FCC1，ECD CECD B EE1ADD1AEE1∥FCC1AC，在FBCFCBCFB，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以AFFCFB又ACCC1，且 BCC，所以AC平面BB1C1CACD1ACD1ACBB1C1C【例20】，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DBBC，DBAC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)MDAC⑶試確定點(diǎn)MDMC1平面CC1D1DMDMDCAB⑴BB1DD1BB1DD1，所以BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1BDBDA1BDB1D1A1BDB1D1∥BB1又因?yàn)锽DAC，且 ，所以AC面BB1MDBB1D，所以MDAC⑶當(dāng)點(diǎn)MBB1DMC1平面CC1D1DDCND1C1N1NN1DC1于O，連結(jié)OMNDC中點(diǎn)，BDBCBNDCDCABCD與面DCC1D1ABCDDCC1D1BNDCC1D1又可證得ONN1BM∥NOBMNOBMONBN∥OM，所以O(shè)M平面CC1D1D，因?yàn)镺M面DMC1DMC1平面CC1D1D【例21】（2009PABCDEPCDPDE2C1

1

11PABCDEBDAEPABCD1側(cè)棱PC底面ABCD，且PC2． 1 PC11222P 3正方形 PABCD23zDxDxAByECEBDAEACABCDBDAC又∵AC PCC，∴BD平面PAC．EAEPACEBDAE【例22】（2009江門市一模如圖，四棱PABCDPAB≌CBA在它的俯視圖ABCD中，BCCDPBCPABCP

AD1D DADC直觀

C俯視⑴PABCDAPAABCD∴PAAB，PABCPA ⑵BDBCCDBCD60，所以BCD是等邊三角形．在ABD中，根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理計(jì)算得ADB90，又因?yàn)锽AD60BD

3AD

，所以

ABD

3，2

BCD

3BD233 543所以SABCDSABDSBCD ，又PABCBD543∴PABCD的體積V1PA

13535 P

DC【例23】（2009江蘇高三調(diào)研ABCABC1EF∥BCC1B1GFAB1C1EFBGEFBG ⑴∵BCAB，BCBC1， BC1BBCABC1BCABC∴ABCABC1∵BB1∥AA1，∴EF∥EFBCC1B1，EF∥BCC1B1⑶EBEFGB∴FGAC1又BCABC1，B1C1ABC1∵

AC1C1，GFAB1C1【例24】（2008新課標(biāo)山東如圖，在四棱錐PABCDPADABCDAB∥DC△PAD是等邊三角形，已知5BD2AD8，AB2DC 5MPC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PADPABCDMDMDC ⑴在△ABD由于AD4BD8AB45，所以AD2BD2AB2．故ADBD．又平面PAD平面ABCD，平面 MDMDCO BDPADBD平面MBDMBDPADPADABCDPOABCD．因此PO為四棱錐PABCD的高，又△PAD是邊長為4PO

34 323ABCD中，AB∥DCAB2DC4ABCD是梯形，在Rt△ADBAB4885ABCD45所以四邊形ABCD的面積為S25458524 故VP

124333

163【例25】（2008ABCDCBCDADBDEFABBDEF∥ACDEFCBCDE EF分別是ABBD的中點(diǎn)，EF∥ADCBCDFBD的中點(diǎn)，CFBDCF∵ADBD，EF∥AD，∴EFCF∵

，BDEFCBDBCD，∴EFCBCD【例26】ABCECABCBD∥CECECA2BDMEADEDABDMECADEA平面ECAMEMD A⑴ECFDFECABCBD∥CEDBABC∵BD∥CE，BD1CEFC2E MBNAFCBDDFEC．又BABCDF，⑵ACNMNNBMEA的中點(diǎn)，

1EC2

1ECBDABC，可得四邊形MNBDDMMN2DEDAMEA MNM∴DEAECA【例27】PABCD的底面是平行四邊形，PE面ABCDEAD上，△BEC是等腰直角三角BEEC2，四面體PBEC的體積為8．3AEAE PBCABCDAPBCFPCPC面BEFPFBEECEPxyzzPzPAEBxCy由 8得：1122PE8PEP

3 ∴面ABCD的一個(gè)法向由

nPBnBC02x4z

x

z1n2，2，1由cosmnmn2x2y y

m 13APBCdEPBCPEnEPn

43FPCPFPC面BEFPCEFPC0，2，4EP0，0，4EFEPPFEPPCEFPCEF0PCEPPC2016

202045

53【例28】已知平面平面AB，CDABACBC3BD平面AED平面BCDBACD

，E為 的中點(diǎn)CEABD⑴過點(diǎn)C做CHABABH由CHBDCHC CHBDBD平面ACHC ⑵由ABACEBCAEBCAEDBAE平面BCDFACBF，DF．由于△ABCBFAC．又由DB平面 【例29】PABCD的底面是正方形，PAABCD，PA2，PDA45，點(diǎn)E、F分別為棱ABPD的中點(diǎn)．FEFEAD AF∥PCEPCEPCD⑶求三棱錐CBEP⑴PC的中點(diǎn)GFGEGFGFGEAD ．FG為CDP的中位線，．∵ABCDEAB∴

1CD，∴AEAE∴AEGFEGPCEAFPCEPAABCD AD∴CD平面AF平面ADP，CDAF．在RtPAD中PDA45．PAD為等腰直角三角形，PAAD2PD∵F是PD的中點(diǎn)，∴AFPD，PDAF∥EG，EGPCDEGPCE，∴PCEPCD⑶三棱錐CBEPPBCEPAPBCE∴三棱錐CBEP

1

PA11BEBCPA111222C

3

3 3 HPD上的動點(diǎn)，EHPAD所成最大角的正切值為6，求二面角EAFC2FAFAD 【解析】⑴ABCDABC60，可得△ABC為正三角形．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AEBC．而PA平面PAD，AD平面PAD，且PA ADA，AEPADPDPAD，所以AEPD．⑵AB2HPDAH，EHP S O 由⑴AEPAD則EHAEHPAD在Rt△EAH中AE3AHEHA最大，即當(dāng)AHPD時(shí)EHA最大．此時(shí)tanEHA

AE 63 32，因此AH ．又AD2，所以ADH2，PAABCDPAPAC，所以平面PAC平面ABCD．EEOAC于OEOPAC過O作OSAF于SES，則ESOEAFC在R