2018級(jí)成考專升本數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)12月份考試資料初等數(shù)論復(fù)習(xí)資料

2019201912月份期末考試各科考試資料祝君早日畢業(yè)祝君早日畢業(yè)《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)資料(一)一、計(jì)算題1.求[136,221,391]=？2.求解不定方程9x21y144。3.解同余式12x150(mod。4295634.求 ,其中563是素?cái)?shù)。（8分）二、證明題nn2n3證明對(duì)于任意整數(shù)n，數(shù)3 2

是整數(shù)。5證明形如4n1的整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)的和?！冻醯葦?shù)論》復(fù)習(xí)資料(一)答案一、計(jì)算題1、求[136,221,391]=?解[136,221,391]=[[136,221],391]136221,391=[ 17 ]=[1768,391]1768391= 17=104391=40664.2、求解不定方程9x21y144.解：因?yàn)?144化簡(jiǎn)得3x7y48；考慮3x7y1xy1，所以原方程的特解為x96,y48，因此，所求的解是x967t,y483t,tZ。3、解同余式12x150(mod45).解因?yàn)?12,45)=3|5,又同余式等價(jià)于4x50(mod15,即4x515y.(10,3),即定理4.1中的x010.因此同余式的3個(gè)解為x10(mod45),45x10 (mod45)25(mod45)3 4545x102

(mod45)40(mod45)3429563 5634、求 ,其中563是素.429563解把 看成Jacobi符我們有429(1)4291.5631563 563

2 2 429563134 2 6767

8 429 429 429429 42967(1)671.4291429429429

2 2

67

67 27(1)271.671676767

2 2 27

27 132712711..27 2 2 13 13 ,429563二、證明題

nn

n31、證明對(duì)于任意整數(shù)n,數(shù)3 2 6是整.nn2

n3 n(2n

n(n1)(n2)1證明因?yàn)? 2 6=6 =6 ,12,33并且(2,3)=1,2n(n1)(n3n(n1)(n6n(n1)(n所以從 和 有 ,nn2n3即3 2 6是整.2、證明相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除.（11分）證明因?yàn)?n1)3

n3

3n

3n1,所以只需證明3n2

3n1(mod5).而我們知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2構(gòu)成,所以這只需將n=0,±1,±23n23n11，7，1，19，7.5,3n23n11，7，1，19，71，2，4所以3n2

3n1(mod5)所以相鄰兩個(gè)整數(shù)的立方之差不能被5整除。3、證明形如4n1的整數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)平方數(shù)的和.（11分）證明設(shè)n是正數(shù),并且n1(mod4),如果nx2y2,4,xy0,1,2,-1x2,y20,1所以x2y20,1,2(mod4),而這與n1(mod4)的假設(shè)不符,即定理的結(jié)論成立.一、計(jì)算題

《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)資料(二)判斷同余方程組是否有解，如有解則求出其解：試求方程［］=的實(shí)數(shù)解。3.解同余方程x3-2x+12≡0(mod81)二、論證題2n-1n必是素?cái)?shù)。敘述并證明歐拉(Euler)定理。試證不定方程x2y+1 =2z+1無(wú)正整數(shù)解。f(a)af(123)=1+2+3《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)資料(二)答案等價(jià)于x4x10x14

(mod15)(mod16)(mod因(15，16)=1，(15，50)｜(14－4)，（16，50）｜（14－10）故方程組有解，且等價(jià)于x1x10x14

(mod3)(mod16)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分(mod25)列表計(jì)算如下miCiMiMi′CiMiMi′31400140016107532250251448128064得解x≡1114（mod1200）。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分

6x-47

是整數(shù)，設(shè)此數(shù)為k，則7k4x= 6

，7k8于是

10 ］=k。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7k8故 ［10

-k］=0從而 0≤-3k+8＜10。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。解得2＜k≤8，于是k=0，1，2，3 32 11x=3, 6,3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3.方程x3-2x+12≡0（mod3）有一解x0(mod3)故x=3t, f(x)=x3-2x+12, f′(x)=3x2-21f(0)=12, f′(0)=-2解12-2·3t≡0(mod32)，得t≡2(mod3)1 1t=2+3t，x=6+32t21 2f(6)=216,f′(6)=106，解216+106·32t≡0(mod33)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2t≡0(mod3)，故2t=3t，x=6+33t2 3 3再解216+106·33t≡0(mod34)3即8+t≡0(mod3)3得t≡1(mod3),故3t=1+3t，x=33+34t3 4 4原方程的解為x≡33(mod81)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。二、論證題nn=ab,a＞1，b＞1則2n-1=(2a)b-1, 記2a=c, 則2n-1=cb-1,=(c-1)(cb-1 +cb-2 +…+c+1)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。顯然c-1＞1，而后一式中有b-1≥1，故cb-1

+…+c+1≥c+1＞1這就表明2n-1可分解為兩個(gè)大于1的整數(shù)之積此與2n-1是素?cái)?shù)矛盾，故n必是素?cái)?shù)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。歐拉定理：若(a,m)=1,則a(m)證：設(shè)

x,x,…,x1 2

a (1)(m)是模m的一個(gè)簡(jiǎn)化剩余系，則ax,ax,…,ax(m) (2)1 2也是模m的簡(jiǎn)化剩余系因而(2)的每一個(gè)數(shù)，與且僅與(1)中的一數(shù)關(guān)于模m同余，故ax·ax…ax1 2 (m

xx…x (modm)12 (m)即 a(m)xx…x ≡xx…x （modm）。。。。。。。。。。。。12 (m) 12 (m)但(x,m)=1, i=1,2,…,(m),故i(xx…x ,m)=112 (m)于是可從同余式兩邊除去xx…x ，得12 (m)am)m改寫(xiě)為2Z=x2y+1-1=(x-1)(x2y+…+x+1).。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。由原方程知x≠1, 2｜x,故x≥3，上面第二個(gè)因式x2y+…+x+12y+1112Z的矛盾，故方程無(wú)正整數(shù)解。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。已知20022002＜(211)2002=213·11·154＜(104)1694=106774故20022002至多有6774位數(shù)字，于是進(jìn)而f(f(20022002))≤5+9·4=41f(f(f(20022002)))≤3+9=12另一方面，由Euler定理得20022002≡42002 46·333+4≡44 4(mod9)f(a)≡a(mod9)，故f(f(f((20022002)))≡f(f(20022002))≡f(20022002)≡20022002≡4(mod9)f(f(f(20022002)))12944，因而f(f(f((20022002)))≡4《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)資料(三)一、選擇題1、整數(shù)5874192能被( )整除.A 3 B 3與9 C 9 D 3或92、整數(shù)637693能被( )整除A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非負(fù)完全剩余系( ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、在整數(shù)中正素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（）.A 有1個(gè) B 有限多 C 無(wú)限多 D 不一二、解同余式（組）（1）45x21(mod132).x1(mod7)（2）x2(mod.x9)1、25x13y7z42、4x9y5z8《初等數(shù)論》復(fù)習(xí)資料(三)答案一、選擇題1、B；2、C；3、D；4、C.二、解同余式（組）（1）45x21(mod132).解因?yàn)?45,132)=3|213。將同余式化簡(jiǎn)為等價(jià)的同余方程15x7(mod44).。。。。。。我們?cè)俳獠欢ǚ匠?5x44y7,x(21,7).4.121.x0因此同余式的3個(gè)解為x21(mod132),x21132(mod132)65(mod132),3x212132(mod132)109(mod132).3x1(mod7)（2）x2(mod.x9)

。。。。。。解因?yàn)?7,8,9)=1,所以可以利用定理先解同余式72x7),63x8),56x9),得到x1

4(mod7),x2

1(mod8),x3

4(mod9).。。。。于是所求的解為x7241632564494。。。510(mod494)478(mod494).三、求不定方程25x13y7z4解我們將它分為兩個(gè)二元一次不定方程來(lái)求解25x+13y=t,t+7z=4..325(-t)+13(2t)=t,32+7(-4)=4,所以,上面兩個(gè)方程的解分別為x327k 1 ,

2.。。。。y2t25k1

z4k2消去t

x3213k

7k2,21y6425k1z4k

14k2這里kk1 2

2是任意整數(shù).。。。。。。。。。。。。求不定方程4