《控制工程基礎》第二版課后習題答案

設單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。解：

10。當系統(tǒng)作用有下列輸入信號時：r(t)sin(t30)，試s110(s)C(s)

G(s)

11R(s) 1G(s) s111K10，時間常數(shù)為：T112T2其幅頻特性為：A(12T2

11 11其相頻特性為：()arctanT當輸入為r(t)sin(t30)，即信號幅值為：A1，信號頻率為：1，初始相角為： 30。代入0幅頻特性和相頻特性，有：K1K12(1)arctanT

1

arctan

10101111112122110111111212211所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為：c(t)Asin30

12210 sin(t24.81)122c(t)11.8e4t解：

0.8e9t (t0)。試求系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性。對輸出表達式兩邊拉氏變換：C(s)1

1.8

0.8 36 1s s4 s9 s(s4)(s9) s(s1)(s1)4 9由于C(s)(s)R(sR(s)1（單位階躍。所以系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ss (s) 1s ( 1)( 1)4 9可知，這是由兩個一階環(huán)節(jié)構成的系統(tǒng)，時間常數(shù)分別為：T1, T 11 4 2 9系統(tǒng)的幅頻特性為二個一階環(huán)節(jié)幅頻特性之積，相頻特性為二個一階環(huán)節(jié)相頻特性之和：A

1 112T2 12T21 21 12T2 12T21 216 81()()()arctanT

arctanT arctanarctan1 2

2 4 9已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，試概略繪出奈氏圖。（1）G(s)（2）G(s)（3）G(s)（4）G(s)解：

110.01s1s(10.1s)1000(s1)s(s28s100)50(0.6s1)s2(4s1)曲線與坐標軸的交點、相角變化范圍等，這就可以繪制出奈氏曲線的大致形狀。對一些不太復雜的系統(tǒng)，已經(jīng)可以從曲線中讀出系統(tǒng)的部分基本性能指標了。除做到上述要求外，若再多取若干點（如6-8點，并將各點光滑連線。這就一定程度上彌補了要求A度不足的弱點。但因為要進行函數(shù)計算，例如求出實虛頻率特性表格，工作量要大些。在本題解答中，作如下處理：小題小題：示范繪制奈氏圖的完整過程。小題、小題4：示范概略繪制奈氏圖方法。4-3（1）G(s)

110.01s這是一個一階慣性（環(huán)節(jié)）系統(tǒng)，例4-3中已詳細示范過（當T=0.5時，奈氏曲線是一個半圓。而表4-2給出了任意時間常數(shù)T下的實虛頻率特性數(shù)據(jù)。可以套用至本題。①系統(tǒng)參數(shù)：0型，一階，時間常數(shù)T0.01②起終點1,0,，原點奈氏曲線的相角變化范圍（0,90°，第IV象限③求頻率特性。據(jù)式（4-29）已知：P() 1實頻特性：

12T2虛頻特性：Q() 12T2PP()Q()0102550801001252004008001000⑤繪圖：QQ()=0.51P()0 =0ω-0.5=200=50=125=80=1004-3（2）G(s)

1s(10.1s)示范繪制奈氏圖的完整過程。這是一個由一個積分環(huán)節(jié)和一個一階慣性環(huán)節(jié)組成的二階系統(tǒng)。①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng)，n=2,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，1型系統(tǒng)起點為負虛軸無窮遠處；，查表4-7奈氏曲線的相角變化范圍（-90，-180，第III象限③求頻率特性：G(j) 1

j)j(10.1j) (1P()Q(

0.110.0121(10.012)當0-0.1。PP()0125891020QQ()⑤繪圖：QQ()=P()-0.1 =20 0=10=8-0.1=5ω-0.2=0-0.34-3（3）G(s)

1000(s1)Q()P()ωsQ()P()ω示范概略繪制奈氏圖方法。①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng)，n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，1型系統(tǒng)起點為負虛軸無窮遠處；n-m=2>4-7奈氏曲線的相角變化范圍（-90，-180；③繪圖：4-3（4）G(s)

50(0.6s1)s2(4s1)示范概略繪制奈氏圖方法。①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng)，n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，2型系統(tǒng)起點為負實軸無窮遠處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0，查表4-7知終點為原點，入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍（-180-1802象限。③繪圖：QQ()ωP()如要詳繪，則先求頻率特性：G(j)

50(0.6j1)

50(0.6j1)(4j1)120250170jj2(4j

2(4j1)(4j1) 1642P(

1202501642Q()

1701642制表：012568∞P()-∞-19346-4414-64-100Q()03269146668100試畫出下列傳遞函數(shù)的波德圖。2（1）G(s)H(s)

(2s1)(8s1)（2）G(s)H(s)（3）G(s)H(s)

200s2(s1)(10s1)50s2(s2s1)(10s1)（4）G(s)H(s)10(s0.2)s2(s0.1)（5）G(s)H(s)解：

8(s0.1)s(s2s1)(s24s25)繪制波德圖要按照教材P134-135中的10步，既規(guī)范也不易出錯。4-4（1）G(s)H(s) 2(2s1)(8s1)(4-41)標準化；計算開環(huán)增益計算20lgK(dB)；得系統(tǒng)型，確定低頻段斜率開環(huán)增益K＝2, 20lgK20lg26(dB)0型系統(tǒng)，低頻段斜率為0；求各轉折頻率，并從小到大按順序標為,1 2

, ，同時還要在轉折頻率旁注明對應的斜率；3①1

10.125，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；8②2

10.5，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；2繪制波德圖坐標。橫坐標個十倍頻程。見圖；繪制低頻段幅頻漸近線，為水平線；在1

0.125，斜率變?yōu)?20；在2

0.5，斜率變?yōu)?40；標注斜率見圖；幅頻漸近線的修正。在1

0.125處修正-3dB，在0.06,0.25處修正-1dB；在0.5處修正-3dB，在0.5,1處修正-1dB；注意在0.5處有兩個-1dB修正量，共修正-２dB；繪制兩個慣性環(huán)節(jié)的相頻曲線；環(huán)節(jié)相頻曲線疊加，形成系統(tǒng)相頻曲線；檢查幅頻漸近線、轉折頻率、相頻起終點的正確性。LL( )dB40dB20dB0.50dB20(r/s)0.120dB/dec11020dB40dB/dec()900(r/s)901802703604-4（2）G(s)H(s) 200s2(s1)(10s1)(4-41)標準化；計算開環(huán)增益計算20lgK(dB)；得系統(tǒng)型，確定低頻段斜率開環(huán)增益K＝200, 20lgK20lg20046(dB)2型系統(tǒng)，低頻段斜率為-40；求各轉折頻率：①1

10.1，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；10②21-20；以下文字略，見繪圖；LL(40dB/decdB)低頻延長線過此點：L(1)=46dB60dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.1110()9080dB/dec(r/s)090180270360常見問題;?;34dB?;?,;相頻從-180°常見問題;?;34dB?;?,;相頻從-180°起,0°;相頻左右趨勢,觀;1~5.s2(s2s1)(10s1)開環(huán)傳遞函數(shù)標準化：G(s)H(s)

50s2(s220.51s1)(10s1)計算開環(huán)增益計算20lgK(dB)；得系統(tǒng)型，確定低頻段斜率開環(huán)增益K＝50, 20lgK20lg5034(dB)2型系統(tǒng)，低頻段斜率為-40；求各轉折頻率：①1

10.1，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；10②21，二階振蕩環(huán)節(jié)，阻尼比0.5-40；其它：二階振蕩環(huán)節(jié)在轉折頻率處要按實際阻尼比按圖4-17修正。見繪圖；LL( )dB40dB/dec低頻延長線過此點：L(1)=34dB60dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.11()9010100dB/dec0(r/s)901802703604504-4（4）G(s)H(s)10(s0.2)s2(s0.1)開環(huán)傳遞函數(shù)標準化：sG(s)H(s)

10(s0.2)s2(s0.1)

20( 1)0.2ss2( 1)0.1計算開環(huán)增益計算20lgK(dB)；得系統(tǒng)型，確定低頻段斜率開環(huán)增益K＝20, 20lgK20lg2026(dB)2型系統(tǒng)，低頻段斜率為-40；求各轉折頻率：① 0.1-20；1② 0.2+20；2其它見繪圖；LL( )dB40dB/dec60dB低頻延長線過此點：L(1)=26dB60dB/dec40dB20dB(r/s)0dB0.10.21()901040dB/dec(r/s)0901802703604504-4（5）G(s)H(s) 8(s0.1)s(s2s1)(s24s25)（1）開環(huán)傳遞函數(shù)標準化：0.03252(G(s)H(s)

s0.1

1)s(s220.51s1)(s220.45s52) 計算開環(huán)增益計算20lgK(dB)；得系統(tǒng)型，確定低頻段斜率開環(huán)增益K＝, 20lgK20lg0.03230(dB)1型系統(tǒng)，低頻段斜率為-20；求各轉折頻率：① 0.1+20；1② 1，二階振蕩環(huán)節(jié)，阻尼比0.5-40；2③ 5，二階振蕩環(huán)節(jié)，阻尼比0.4-40；3LL( )dB20dB20dB/dec0.1(r/s)0dB11020dB40dB/dec40dB低頻延長線過此點：L(1)=-30dB5()9080dB/dec0(r/s)90180270360450解：4-5(a)求結構從圖中看出，低頻段斜率為0，是0型系統(tǒng)，由漸近線的斜率變化：第1個轉折頻率處斜率變化20dB/dec，是一階慣性環(huán)節(jié)；第2個轉折頻率處斜率變化也是20dB/dec，也是一階慣性環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結構為G(s)

Ks

s1)1 2求參數(shù)從圖中看出，低頻段與零分貝線水平重合，因此K1對第1個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 1，則：1T111 1對第2個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 4，則：2T 12 2綜合得：

10.254G(s) K(s1)(0.25s1)解：4-5(b)求結構從圖中看出，低頻段斜率為20dB/dec，是1型系統(tǒng)，由漸近線的斜率變化：第1個轉折頻率處斜率變化20dB/dec，是一階慣性環(huán)節(jié)；第2個轉折頻率處斜率變化也是20dB/dec，也是一階慣性環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結構為G(s)

Ks(Ts

s1)1 2求參數(shù)從圖中看出，低頻段延長線與零分貝線交點頻率：0

100，因為是1型系統(tǒng)，由式(4-67)K100對第1個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 0.01，則：1T11 1

1 1000.01對第2個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率2

100，則：T 12 2綜合得：

1 0.01100G(s) K

100s(Tss1) s(100s1)(0.01s1)1 2解：4-5(c)求結構從圖中看出，低頻段斜率為0，是0型系統(tǒng)，由漸近線的斜率變化：第1個轉折頻率處斜率變化20dB/dec，是一階慣性環(huán)節(jié)；2個轉折頻率處斜率變化也是20dB/dec3個轉折頻率處斜率變化也是20dB/dec因此傳遞函數(shù)結構為G(s)

s

Ks1)(Ts1)1 2 3求參數(shù)從圖中看出，低頻段為水平線，幅值為Lk

48dB。由式(4-64)：20K10Lk20

481020

251對第1個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 1，則：1T111 1對第2個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 10，則：2T 12 2

10.110對第3個一階慣性環(huán)節(jié)，轉折頻率 100，則：3T13 3綜合得：

1 0.01100G(s) 251(s1)(0.1s1)(0.01s1)解：4-5(d)求結構從圖中看出，低頻段斜率為20dB/dec，是1型系統(tǒng)，由漸近線的斜率變化：第1個轉折頻率處斜率變化40dB/dec，是二階振蕩環(huán)節(jié)；因此傳遞函數(shù)結構為nG(s)K 2n

s s2n

s2n從圖中看出，低頻段延長線與零分貝線交點頻率： 100，因為是1型系統(tǒng)，由(4-67)0K100對二階振蕩環(huán)節(jié)，從圖中看出，諧振峰值為4.58dB，峰值頻率 45.3。r可以由式（4-37）求出阻尼比：M 1r 12當20lgM 4.58dB時，阻尼比為0.31。r（4-5，得0.3。由式4-3：n綜合得：K

r122

50.3

10050.32G(s) n s s2n

s2n

s(s220.350.3s50.32)試由下述幅值和相角計算公式確定最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。90 arcta2 arcta05 arcta10，A)3；180 arctan ，A10；180 arcta02 arctan arctan arct0，A10)1；1 2 13290 arctanarctan3

arct0，A)2。解：90 arcta2 arcta05 arcta10，A)3直接可以得到：GKK0.252 1(42 1)(1002 A()

K(s1) K1)Ts1)Ts1)(s1)(1s1)1 2A()(4A()(42 1)(1002 1)0.252 1A(1)5101A(1)51011.25所以G

160.3(0.s51)(s1)(1s1)180 arctan ，A10直接可以得到：GKK252 12 (2 1)(0.012 1)A()

K(s1) K1)2Ts1)Ts1)s1)(011)1 2即A()2 (2 A()2 (2 1)(0.012 1)252 16265所以GK(s1) 1)2Ts1)Ts1)s1)(011)1 2（3）

arctanarctan

arctan arctan10，1；直接可以得到：

12

122Ks1)(s2 2

s1)G(s)

2 n2 n2s2 2s2(2

1s1)(Ts1)n1

24-32

()arctan nn比較二階振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性式（ ：

122n由arctan ，得 1,

0.512 n1 133二階微分環(huán)節(jié)的參數(shù)求法與上面二階振蕩環(huán)節(jié)基本相同，差別僅是式（4-32）是正值。所以：33由arctan

，得

1, 1一階微分環(huán)節(jié)：一階慣性環(huán)節(jié)：T10所以：

n2 2 2G(s)

K(0.2s1)(3s2s1)s2(s2s1)(10s1)K 0.042K 0.0421 (1)222 (12)22 10021即K

1 1488

6.72104K所以：

6.72104G(s)1488(0.2s1)(3s2s1)s2(s2s1)(10s1)（4）

arctanarctan3

arctan10)2。G(s)

Ks1)

K(s1) 3s(Tss1) s(s1)1 2且有幅頻特性：K291K291 21)(1021)即225 2625012519

K 21)(1021)219

1312(s1)3s(s1)(10s1)

5

1312G)。（1）G(s)（3）G(s)解：

1 1； （2）G(s) ；2s) 2s)1 0.02s)； （4）G(s) 。s2s) s20.005s)0ω4-7（1）G(s)

(1s)(12s)①系統(tǒng)參數(shù)：0型系統(tǒng)，n=2,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，0型系統(tǒng)起點為正實軸無窮遠處；奈氏曲線的終點：n-m=2>0，查表4-7知終點為原點，入射角為-180°；奈氏曲線的相角變化范圍（0-180；軸以下，并未發(fā)生穿越；④求頻率特性如下：G(j) 1 1

1223j(1j)(12j) 1

3

1223j 1223j 1223

1223j 122 j 12

441 441 44521所以，P(Q()⑤制表： 0P() 1Q() 0⑥繪圖如上。

12244521344521

1 2 3 4 5 6 8 ∞000ω14-7（0ω12s)①系統(tǒng)參數(shù)：1型系統(tǒng)，n=3,m=0②起終點為負虛軸無窮遠處；4-7-270°；奈氏曲線的相角變化范圍（-90-270；III限穿越至第II象限，發(fā)生一次實軸穿越：繪圖見右；頻率特性：G(j) 1j(1j)(1j2) (12)(14 (12)(142)相頻特性：()90arctanarctan2ω0()180，可求得穿越時的頻率：0.707rad/sec；此時的幅值：A()0.707

20.66734-7（3）G(s)

1s2(1s)①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng)，n=3,m=0②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，2型系統(tǒng)起點為負實軸無窮遠處；，查表4-7奈氏曲線的相角變化范圍（-180，-270；③從相角變化范圍來看，曲線均在第III繪圖見右；4-7（4）G(s) 0.02s)s0.005s) ①系統(tǒng)參數(shù)：2型系統(tǒng)，n=3,m=1②起終點奈氏曲線的起點：查表4-7，2型系統(tǒng)起點為負實軸無窮遠處； ω4-7-180°；奈氏曲線的相角變化范圍（-180-180；③傳遞函數(shù)中，一階微分環(huán)節(jié)貢獻一個零點，一階慣性環(huán)節(jié)貢獻一個極點。零極點發(fā)生一定的對消效應，但并不完全對消。慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)比一階微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)小，即極點位置比零點位置更靠近虛軸，因此將發(fā)生更大的作用。也就是說，零極點的相頻特性合成后，仍為負值。綜合兩個微分環(huán)節(jié)后，相頻III繪圖見右；

P()0試用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別圖示開環(huán)奈氏曲線對應系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(-1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(-1,點，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

添加輔助線后可以(-1,點，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。添加輔助線后可以看出，(-1,以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(d)(-1,已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) K ，試分別繪出當開環(huán)放大倍數(shù)K＝5和K＝20時的波德s(s1)(0.1s1)圖，并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，量取相位裕量和幅值裕量，并用計算公式驗證解：先按開環(huán)增益K＝5繪圖, 20lg514dB1求各轉折頻率：① 1-20；②L(L()40dB20dB/decK=2020dB0dB40dB/dec4(r/s)0.1c12cK10g100K=560dB/dec()900(r/s)90180γ 3270g

10，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；繪圖如下：當＝5時，從圖中量取各指標（見粉紅色：得：c

2,g

3，(c

)180,故系統(tǒng)穩(wěn)定；且有穩(wěn)定裕量：20,Kg

8dB；當K＝2020lg2026dB。相比于K＝512dB，而相頻曲線保持不變。從圖中量取各指標（見藍色）：得：c

4，g

3保持不變。(c

)180,故系統(tǒng)不穩(wěn)定；且有穩(wěn)定裕量：10,K 4dB；g因此，提高開環(huán)增益將有損于穩(wěn)定性。計算驗證：12幅頻特性計算公式：L()20lgK20lg12相頻特性計算公式：()90arctanarctan

20lgK1

5時,10.0110.012

2.1rad/s,1

13.60，g1

3.16rad/s,Kg1

6.8dB0；閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；K2

20時，c2

4.2rad/s,2

9.40，g2

3.16rad/s,Kg2

5.2dB0；閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。4－10已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)

80(s2)s2(s20)

，試繪制系統(tǒng)的開環(huán)波德圖，并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。從波德圖中量取c g

,,Kg

各指標，并用計算公式驗證。解：G(s

80(s2)s2(s20)

8(s2s

1)s2( 1)20開環(huán)增益K＝8, 20lgK20lg818(dB)，是2型系統(tǒng)，低頻段斜率-40；求各轉折頻率：①1

2，一階微分環(huán)節(jié)，斜率+20；②2

20，慣性環(huán)節(jié)，斜率-20；LL()40dB40dB/dec20dB20dB/dec(r/s)0dB0.11210c2010040dB/dec()900(r/s)90γ180系統(tǒng)分析：從圖中量取各指標，得： 4.5，且相頻曲線總-180°之上，所以 。閉環(huán)系統(tǒng)無條件穩(wěn)定；c g50,Kg計算驗證：

；0.002521幅頻特性計算公式：L()20lgK20lg220lg 10.002521相頻特性計算公式：()180arctanarctan計算驗證：

)0時，求得c

4.31rad/s，(c

)127，故53；任何均無法使()180，故g

,Kg

。4－1130試計算開環(huán)增益可增大的倍數(shù)。題4－11圖解：可從圖中求得閉環(huán)傳遞函數(shù)為s (s) s (s1)( 1)( 1)1.25 5由開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)傳遞函數(shù)的關系求開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)

(s)

(s)

6.25

0.51(s) 1(s) s(s2.825)(s4.425) s(

1)(

1)相頻特性：()90arctan 2.825

arctan 4.425

2.825 4.425若要求系統(tǒng)30，相當于要求(c

)150。求得：當c

2.016時，(c

)150A() 0.5 (2.825

)21

4.825

)21當c

2.016

)0.1837c為使c

2.016成為穿越頻率，要求A(c

1，因此系統(tǒng)開環(huán)增益應增大：K 1 5.44倍0.18374－12某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性如題4－12圖所示。要求：寫出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)；利