實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義、最值問(wèn)題 課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

7．1實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義7．2實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際問(wèn)題．學(xué)科核心素養(yǎng)1.了解實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義在日常生活和科學(xué)領(lǐng)域中，有許多需要用導(dǎo)數(shù)概念來(lái)理解的量．以中學(xué)物理為例，速度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)，線密度是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)，功率是________關(guān)于________的導(dǎo)數(shù)等．要點(diǎn)二最優(yōu)化問(wèn)題在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到解決一些如面積最小、體積最大、成本最低、時(shí)間最少等問(wèn)題，這些問(wèn)題通稱(chēng)為最優(yōu)化問(wèn)題．導(dǎo)數(shù)是解決最優(yōu)化問(wèn)題的一個(gè)重要工具．路程時(shí)間質(zhì)量長(zhǎng)度功時(shí)間[基礎(chǔ)自測(cè)]1．如果物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s(t)＝2(1－t)2，則其在t＝4s時(shí)的瞬時(shí)速度為(

)A．12B．－12C．4D．－4答案：A解析：s′(t)＝－4(1－t)．t＝4s時(shí)，s′(4)＝12.所以瞬時(shí)速度為12.故選A.2．將8分為兩數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為(

)A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不對(duì)答案：B解析：設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，y＝x3＋(8－x)3，0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y′<0；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0.所以當(dāng)x＝4時(shí)，y最?。蔬xB.

答案：D

4．某吊裝設(shè)備在工作時(shí)做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可表示為W(t)＝t3－2t＋6，則在t＝2時(shí)此設(shè)備的功率為_(kāi)_______W．10解析：W′(t)|t＝2＝(3t2－2)|t＝2＝10.題型一導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的意義例1

如圖所示，某人拉動(dòng)一個(gè)物體前進(jìn)，他所做的功W(單位：J)是時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)，設(shè)這個(gè)函數(shù)可以表示為W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t從1s變到3s時(shí)，功W關(guān)于時(shí)間t的平均變化率，并解釋它的實(shí)際意義；(2)求W′(1)，W′(2)，并解釋它們的實(shí)際意義．

方法歸納函數(shù)在某處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義1．函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)反映了函數(shù)在這點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，它揭示了事物在某時(shí)刻的變化狀況，導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率．2．導(dǎo)數(shù)可以刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量變化的快慢程度；在應(yīng)用時(shí)我們首先要建立函數(shù)模型，利用定義或公式法則求出導(dǎo)數(shù)并能結(jié)合實(shí)際問(wèn)題解釋導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義．

方法歸納

利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題．當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0時(shí)，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值．

題型三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題角度1證明問(wèn)題例3

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln2－1且x>0時(shí)，ex>x2－2ax＋1.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex－x2＋2ax－1.解析：(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，得f′(x)＝ex－2，x∈R，令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘2(1－ln2＋a)↗故f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，＋∞)．f(x)在x＝ln2處取得極小值，極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)，無(wú)極大值．(2)證明：設(shè)g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.由(1)知當(dāng)a>ln2－1時(shí)，g′(x)最小值為g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是對(duì)任意x∈R，都有g(shù)′(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增．于是當(dāng)a>ln2－1時(shí)，對(duì)任意x∈(0，＋∞)，都有g(shù)(x)>g(0)．又g(0)＝0，從而對(duì)任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.方法歸納關(guān)于證明問(wèn)題首先分析要證明的命題是否與函數(shù)的最值、單調(diào)性等性質(zhì)有關(guān)，如果有關(guān)則轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的問(wèn)題證明；其次是針對(duì)要證明的命題構(gòu)造函數(shù)，再通過(guò)構(gòu)造的函數(shù)性質(zhì)證明，函數(shù)的證明問(wèn)題往往都比較復(fù)雜，需要綜合應(yīng)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)進(jìn)行構(gòu)造、轉(zhuǎn)化等方式證明．角度2函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例4

若函數(shù)f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

方法歸納

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的常用方法(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分類(lèi)討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．

1

(2)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù))的圖象在(0，1)處的切線斜率為－1.①求a的值及函數(shù)f(x)的極值；②證明：當(dāng)x>0時(shí)，x2<ex.解析：(2)①由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.因?yàn)閒′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2.令f′(x)＝0，得x＝ln2，當(dāng)x<ln2時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(－∞，ln2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(ln2，＋∞)上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝ln2時(shí)，f(x)取得極小值，且極小值為f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2，f(x)無(wú)極大值．②證明：令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x.由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，故g(x)在R上單調(diào)遞增．所以當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)＝1>0，即x2<ex.易錯(cuò)辨析求解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題忽視定義域例5

現(xiàn)有一批貨物由海上A地運(yùn)往B地，已知輪船的最大航行速度為35kn，A地與B地之間的航行距離約為500nmile，每小時(shí)的運(yùn)輸成本由燃料費(fèi)和其余費(fèi)用組成，輪船每小時(shí)的燃料費(fèi)與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6)，其余費(fèi)用為每小時(shí)960元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度x(kn)的函數(shù)；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，輪船應(yīng)以多大速度行駛？

【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得誤認(rèn)為輪船的最大航行速度是40kn，但題目中給出了輪船的最大航行速度是35kn，因此x＝40是取不到的．解應(yīng)用題最關(guān)鍵的就是要準(zhǔn)確寫(xiě)出數(shù)學(xué)模型的函數(shù)關(guān)系式，這其中就包括函數(shù)的定義域．求定義域時(shí)一定要根據(jù)題目的條件，考慮自變量的實(shí)際意義．[課堂十分鐘]1．某旅游者爬山的高度h(單位：m)關(guān)于時(shí)間t(單位：h)的函數(shù)關(guān)系式是h＝－100t2＋800t，則他在t＝2h這一時(shí)刻的高度變化的速度是(

)A．500m/hB．1000m/hC．400m/hD．1200m/h答案：C解析：∵h(yuǎn)′＝－200t＋800，∴當(dāng)t＝2h時(shí)，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．故選C.2．用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成鐵盒，當(dāng)所做的鐵盒容積最大時(shí)，在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為(

)A．6cmB．