研一四高-高微課后答案

高微作業(yè)第二章1－13 金融系2006級博 15620060153078證x(p,y)的平衡性與齊次性是不相關n如果x(p,y)是消費者的需求函數(shù)，平衡性則說明在每個價格和收nypixi(p,對于所有的p與y，這個等式成立。知道如果任何單個價格或消費者的收由于vpyv(tp 對所有t

u(x(p,y))u(x(tp,

對所有t由于在(p,y)與(tp,ty)處的集是相同的，當其他的消費束被選擇時xp,yx(tpty中的每個均是可行的。因此，先前的等式與u的嚴格擬凹性就說xpyx(tpty)對所有t因此，這表明x(p,y)的平衡性與奇次性在它們彼此并不隱含對方的意義xp,yRnsatisfiesbudgetbalancednessandhomogeneity

Rnn xj(p,y)x(p,y),n

xj(p,

1,xtp,tyx(p,pj

pj Theijitemins(p,y)

xi(p,y)x(p,y)xi(p,j jsp,yp中的項為

p[xi(p,y)x(p,y)xi(p,njjnj

f(tx(tp,tyforallt>0,ft

xi(p,y)

xi(p,y).y t

n

jjypjxjpy

p

px(p,y) 0

jnn所以pj

xi(p,

xj(p,

xi(p,

]即對所有pyRn1spy).p設y=1,則直接效用函數(shù)為u(x,x)minp s.t.pxpx1 1 2根 日法

Lpp+(p

p

p1p

1 2 Lp

p

1

1 2

,p2

所以

1[ 1?e(tp,u)

x(tp,e(tp,

i?(tp i?e(p,u)

x(p,e(p,

i?(p i因為e(tp,u) e(p,

xi(tp,e(tp,u

xi(p,e(

根據(jù)平衡性有p.xi(p,e(p,u))=e(由（4）（5）（6）e(tp,u)=te(p,

即epupxi(tp,e(tp,u

xi(p,e(

e(tp,u)=te(p,

所以由（1）（2）xi(tp,tep,u即x(p,y)關于（p,y）

xi(p,e(p和效用水平vp,y e(p,v(p,y))v(p,y)p1p2 e(p,v(p,y)) v(p,y)p1p2p3 v(p,y)yp1p2 v(p,y)p

p3 v(p,y)p1p2p3

1 v(p,y)/p1p1v(p,y)/ 1根據(jù)Shephard 1xh(p,u)e(p,u)p1up 1

1 1 1x(p,y)xh(p,v(p,y))p1p1p2p3yp 1 1v(p,y)/p1x(p,v(p,y)/ 同理，可證vpyp2xpyvpyp3xpyv(p,y)/

v(p,y)/ y1，則有vp,1p1p2 對于任何價格p和收入水平y(tǒng)，由于一個收入水于e(p,u)，有 v(p,e(p,u))e(p,u)p1p2 1.8有vpepu)) e(p,u)p1p2p3 即ep,u)up1p2 由Shephard引理和需求與需求之間的對偶性，ix(p,y)i

y，i1,2,2.3

由支出函數(shù)與間接效用函數(shù)之間的關系及e(p1,p2,u)up1p2/(p1p2e(p1,p2,v(p1,p2,y))v(p1,p2,y)p1p2/(p1p2)v(p1,p2,y)y(p1p2)/u(x1,x2)minv(p1,p2 px 日乘數(shù)法1pp1

p2

(pp

x1

1 11pp1

p2

(pp)2

x2

1 1pxx

1p*1

，p* 22將二者代入v(p1,p21 1x2由于ux

Ax

， x

uuxjuxjp1x

Axx1A1x Ax

2px12Theconsumerbuysbundlexiatpricespi,i=0,1.Separayforparts(a)to(d),statewhethertheseindicatedchoicessatisfyWARP:p0=(1,3),x0=(4,2);p1=(3,5),x1=6p0x1p0x0=6 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=22 Yes,satisfiesp0=(1,6),x0=(10,5);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=32 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=55 Yes,satisfiesp0=(1,2),x0=(3,1);p1=(2,2),x1=5586p0x1p0x0=5 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=8 Yes,satisfiesp0=(2,6),x0=(20,10);p1=(3,5),x1=p0x1p0x0=60 Yes,satisfiesp1x0>p1x1=110 Yes,satisfiespx1(p,y)px1(p, p p2 21p

p

x2x2

p2 21y 1p

2p

x2x2p2 21y 2

1 5 1

X09 P0時選擇X0P0X042P0X148P0X2P2X0P2X所以X0顯示偏好于XP1時選擇X1P0X1所以X1顯示偏好于XP2時選擇X2P2X250P2X148所以X2顯示偏好于X由(1)(2)(3)

xpyRn關于p,y+xx+p.xpyp.xpyxpyxpp'.xp,y)p'.xp',y')p.xpyp.xp

p.x(p,y)p.x(p,y)

.x(p,y)y

.x(p,y

,1) 由p,1pRn上 ,1)p ,1)p ,1)p'x(p,y)p'x(p',y' x(p,y)滿足其次平pT.sxp,y滿足(充要條件)x(p,y)滿足齊次，平衡，連續(xù)可xp,y滿足WARP<＝dp)T.spy)dp對于任何從p,y到p',y的補償性價格變化有p'

x(p',y')x(p,x(p,y)x(p',y'

p.x0，dxxpdpxydys(p,p1與p0不成比例，總有p1)