軟件計算方法課件

第2章方程求根第2章方程求根2.1增值尋根法與二分法設非線性方程為

f(x)=0(2-1)方程(2-1)的解稱為方程的根或函數(shù)f(x)的零點。

其中m為大于1的整數(shù),且g(x)≠0,稱為方程(2-1)的m重根,或函數(shù)f(x)的m重零點.若f(x)為n次多項式,則稱

f(x)=0為n

次代數(shù)方程.若f(x)為超越函數(shù),則稱f(x)=0為超越方程。例如：2x=x+1,sinx+x=0

若f(x)可表示為2.1增值尋根法與二分法設非線性方程為f求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內連續(xù),(2)f(a)·f(b)<0,則f(x)=0在[a,b]內必有根.若f(x)在[a,b]內還嚴格單調,則f(x)=0在[a,b]內只有一根,據(jù)此可得求隔根區(qū)間的兩種方法。求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:1.做圖法

畫出

y=f(x)的草圖,由

f(x)與橫軸交點的大概位置來確定隔根區(qū)間;或者利用導函數(shù)

的正、負與函數(shù)

f(x)的單調性的關系確定根的大概位置。

若

f(x)比較復雜,還可將方程

f(x)=0化為一個等價方程

(x)=

(x),

則曲線

y=(x)

與

y=

(x)之交點

的橫坐標

即為原方程之根,據(jù)此也可通過作圖求得

的隔根區(qū)間。1.做圖法畫出y=f(x)的草圖,

判別下列方程有幾個實根，并求隔根區(qū)間。(1)f(x)=x3-x-1=0解(1)f(x)=x3-x-1=0將方程變形為x3=x+1例1由圖可知,方程只有一個實根所以(1,1.5)即為其隔根區(qū)間。繪曲線

y=x3及

y=x+1判別下列方程有幾個實根，并求隔根區(qū)間。(1)2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也可從b開始,這時應取更小的步長h,直到有根區(qū)間的長度|xn+1-xn|<e。(e為所要求的精度),此時f(xn)或f(xn+1)就可近似認為是零,xn+1或xn就是滿足精度的方程的近似根增值尋根法的基本思想是:從初值開始,按規(guī)定的一個初始步長h來增值。同時計算.可能遇到三種情形：此時即為方程的根說明區(qū)間內無根說明區(qū)間內有根2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也圖2-1圖2-1例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有根區(qū)間解：取x0=-4,h=1則計算結果如下x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1，2）。再取x0=1,h=0.1計算結果如下x11.11.21.31.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1.3，1.4）例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有二分法設方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內有且只有一個實根x*。即f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內連續(xù),

(2)f(a)·f(b)<0,(3)

f(x)在[a,b]內嚴格單調。二分法設方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內有且只有一個實二分法的步驟：(2)若

則令a2=a,b2=x1;(3)若

則,令a2=x1

,b2=b。記[a,b]=[a1,b1],中點計算f(x1),(1)若

f(x1)=0,則

x1就是方程的根x*,計算結束;對壓縮了的有根區(qū)間[a2,b2],實行同樣的步驟.若每次二分時所取區(qū)間中點都不是根，則上述過程將無限進行下去。二分法的步驟：(2)若如此反復進行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長度為當n→∞

時,區(qū)間必將最終收縮為一點x*,

顯然x*

就是所求的根。如此反復進行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間圖2-2圖2-2只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若取區(qū)間

的中點作為

的近似值，則有下述誤差估計式只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若例用二分法求在內的一個實根，且要求滿足精度解用二分法計算結果如表2-1：例用二分法求0.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.350981.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111.3751.51.253-1.798671.251.51.022.3751.52.01.01n0.0000721.3647460941.36718751.-0.007991.3647460941.3652343751.36425781311-0.016051.3642578131.3652343751.3632812510n接上圖迭代11次，近似根即為所求，其誤差-0.007991.3647460941.365234375二分法的優(yōu)點是簡單,對f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值為1/2的等比級數(shù)相同,它的局限性是只能用于求實根,不能用于求復根及公偶數(shù)重根.二分法的優(yōu)點是簡單,對f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程

f(x)=0

化為等價方程然后在隔根區(qū)間內取一點

x0

，按下式計算計算結果生成數(shù)列如果這個數(shù)列有極限迭代法是一種逐步逼近的方法,它是解代數(shù)方程、超越方程、微分方程等的一種基本而重要的數(shù)值方法。2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程f(x)=這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(x)連續(xù)時,顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數(shù)列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數(shù),x0

稱為迭代初值,數(shù)列

稱為迭代序列。這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂例用迭代法求方程在內的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價方程可以有以下不同形式例用迭代法求方程在內的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價對應的迭代公式有：取列表計算如下對應的迭代公式有：取列表計算如下1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n表2-21.365230021.3659167381.3652299n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖第四種格式比第三種格式收斂快,而第一種格式和第二種格式不收斂。可見迭代格式不同,收斂情況也不同。n(1)(2)(3)(4)91二、迭代法的幾何意義一般來說從構造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程的根，在幾何上就是直線與曲線交點的橫坐標如圖2-3所示二、迭代法的幾何意義一般來說從構造不止一種，有的收斂，有軟件計算方法第二章課件軟件計算方法第二章課件三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個領域B={x||x-x*|≤δ}中，使對任意的x0∈B，迭代過程xn+1=j(xn),n=0,1,2,…收斂，則稱迭代過程在x*附近局部收斂。定理1設x*=j(x*),在x*的某個領域B內j‘(x)連續(xù)，并且|j‘(x)|≤q<1，則對任何x0∈B,由迭代公式xn+1=j(xn)決定的迭代序列{xn}收斂于x*，且

三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個領域B={x|定理2對于方程x=j(x)，如果滿足（1）對任意x∈[a,b]，有j(x)∈[a,b]；（2）對任意x∈[a,b]，有|j‘(x)|≤q<1；則對任意x0∈[a,b]，迭代xn+1=j

(xn)所決定的序列{xn}收斂于x=j(x)的根x*，且定理1結果也都成立以上兩定理的條件要嚴格驗證都較困難,實用時常用以下不嚴格的標準.有根區(qū)間[a,b]較小,對某一x0∈[a,b]，|j’(x)|明顯小于1,由|j’(x)|的連續(xù)性知在x0的某個領域內|j’(x)|也小于1,則迭代收斂定理2對于方程x=j(x)，如果滿足（1）對任意x∈[a,考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根收斂收斂值越小,收斂速度就越快.收斂收斂2.3迭代收斂的加速從f(x)=0構造出的迭代格式x=j(x)可能收斂,也可能不收斂。在收斂時，收斂速度也取決于|j’(x)|的大小|j’(x)|接近于1時，收斂可能很慢，后兩種情形都影響迭代法的應用。能否從x=j(x)出發(fā)構造出新的迭代形式，使收斂速度加快？2.3迭代收斂的加速從f(x)=0構造出的迭代格式x=j松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法

求方程

x=e–x

在x=

0.5附近的根.x25=x26=0.5671433若對此格式用埃特金法,則取

x0=0.5,迭代格式

得解例3求方程x=e–x在x=0.5附近的根.x仍取

x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果是相當顯著的.x=exp(-x)xnxn+1(1)xn+1(2)0.50000000.60653070.54523920.56762390.56687080.56729790.56714330.56714330.56714330.56714330.56714330.5671433仍取x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果例4分別用松弛法、埃特金法求方程在初值附近的一個根，取迭代格式解用松弛法計算，取例4分別用松弛法、埃特金法求方程因此松弛法的迭代公式為列表計算如下：1.3652300131.3652300121.3649539161.50.8871308690.8871308690.8908036863210n因此松弛法的迭代公式為列表計算如下：1.3652300131用埃特金方法計算，迭代格式為：用埃特金方法計算，迭代格式為：列表計算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(1)xn+1(2)1.5000000001.3483997251.3673763721.3652652241.3652255341.3652305831.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.365230013列表計算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想

設已知方程f(x)=0的近似根

x0，且在

x0附近

可用一階泰勒多項式近似，表示為當

f'(x0)≠0時，方程

f(x)=0可用線性方程近似代替，即解非線性方程f(x)=0的牛頓(Newton)法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一。2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想設已知解此線性方程得取此

x作為原方程的新近似根

x1，重復以上步驟，得迭代公式此式稱為牛頓(Newton)迭代公式。解此線性方程得取此x作為原方程的新近似根x1，重復以上例1用牛頓法求方程在內一個實根，取初始近似值解所以迭代公式為：列表計算如下：例1用牛頓法求方程在內一個實根，取初始近f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(xn)1.52.37518.751.373333333064481.3652620150.00052846116.513917231.3652300148.29055E-0916.513399081.365230013016.513399081.365230013016.51339908f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(x二、牛頓法的幾何意義方程的根就是曲線與軸交點的橫坐標，當初始值選取后，過作切線，其切線方程為：它與x軸交點的橫坐標為：二、牛頓法的幾何意義方程的一般地，設是的第n次近似值，過作的切線，其切線與x軸交點的橫坐標為：即用切線與x軸交點的橫坐標近似代替曲線與x軸交點的橫坐標，如圖2-4。一般地，設是的第n次近似值，過若過曲線y=f(x)上的點P(xk,f(xk

))引切線，該切線與

x軸交點的橫坐標即為由牛頓迭代公式求得的

xk+1,因此牛頓迭代法也稱牛頓切線法。圖2-4若過曲線y=f(x)上的點P(xk,f(將原方程化為

x–e

–x=0，則牛頓迭代格式為取

x0=0.5，迭代得x1=0.566311,x2=0.5671431,x3=0.5671433

f(x)=x–e

–x，f'(x)=1+e

–x,

用牛頓迭代法求方程

x=e–x在

x=0.5附近的根。例4

解將原方程化為x–e–x=0，則牛頓迭代格式為取f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.5-0.106530661.606530660.566311003-0.001304511.5676155130.567143165-1.9648E-071.5671433620.56714329-4.44089E-151.567143290.5671432901.56714329f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.52.5割線法用牛頓方法解非線性方程f(x)=0，雖然在單根附近有較高的收斂速度，但需要計算f′(x)。若f(x)比較復雜時，每次計算f′(x)帶來很多不便；如果用不計算導數(shù)的迭代方法，往往只有線性收斂的速度。本節(jié)我們介紹割線法，采取在迭代過程中不僅用前一步xn處的函數(shù)值，而且還使用xn-1處的函數(shù)值來構造迭代函數(shù)。這樣做能提高迭代的收斂速度。2.5割線法用牛頓方法解非線性方程f(x)=0，雖然在單1、簡化牛頓迭代法此式稱為簡化牛頓迭代公式。只要

M選擇得當，上式總是線性收斂的。在牛頓迭代公式中用一常數(shù)

M代替

得1、簡化牛頓迭代法此式稱為簡化牛頓迭代公式。只要M選擇得割線法的基本思想設非線性方程f(x)=0，其中f(x)為［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，且f(a)·f(b)<0。設x0、x1,為f(x)=0的根x*的兩個初始近似值，過(x0,f(x0))和(x1,f(x1))作一直線，其方程為：當f(x1)≠f(x0)時，此直線與x軸交點為割線法的基本思想設非線性方程f(x)=0，其中f(x)為［x2作為f(x)=0根的第二次近似值，可以預期比x0、x1更接近于x*。重復上述過程可得,x3，x4…xn-1，xn,從而可得割線法的迭代公式：很明顯，它也可由牛頓法用差商近似代替微商而得。x2作為f(x)=0根的第二次近似值，可以預期比x0、x1簡化牛頓迭代法用常數(shù)

M來代替

f(

xk)雖然簡單，但沒充分利用f(x)本身的特性，因此收斂較慢。若在牛頓迭代公式中改用差商代替導數(shù)

f(xk)，得迭代公式2、割線（弦截）法簡化牛頓迭代法用常數(shù)M來代替f(xk)雖然簡單此格式為雙點割線法。此格式為雙點割線法。將式每步只用一新點，此格式為單點割線法。中的xk-1改為

x0，即將式每步只用一新點，此格式為單點割線法。中的xk-1改為

用牛頓迭代法和割線法求方程

f(x)=x4+2x2–x–3=0在區(qū)間（1,1.5）內之根（誤差為10-9）。取x0=1.5,用牛頓法,可得x6=1.12412303030；而采用單點割線法，則迭代18次得x18=1.124123029.例6解取

x0=1.5,x1=1,用雙點割線法,迭代6次得到同樣的結果，用牛頓迭代法和割線法求方程取x0=1.5,用牛頓法例7用雙點割線法求在0.5附近的根。精確到小數(shù)點后第六位。解令即例7用雙點割線法求取列表計算如下：0.3472960.3472950.3477310.3563220.20.3476950.3477310.3563220.20.554321n取3、割線法的幾何意義雙點割線法是用過點和兩點的割線與x軸交點的橫坐標作為的新近似值。重復此過程，用過點和的兩點的割線法與x軸交點的橫坐標來作為的下一新的近似值。如圖表2-53、割線法的幾何意義雙點割線法是用過點圖2-5圖2-6單點割線法則是用過點和的兩點的割線與x軸交點的橫坐標來作為的近似值，如圖2-6。圖2-5圖2-6單點割線法則是用過點第2章方程求根第2章方程求根2.1增值尋根法與二分法設非線性方程為

f(x)=0(2-1)方程(2-1)的解稱為方程的根或函數(shù)f(x)的零點。

其中m為大于1的整數(shù),且g(x)≠0,稱為方程(2-1)的m重根,或函數(shù)f(x)的m重零點.若f(x)為n次多項式,則稱

f(x)=0為n

次代數(shù)方程.若f(x)為超越函數(shù),則稱f(x)=0為超越方程。例如：2x=x+1,sinx+x=0

若f(x)可表示為2.1增值尋根法與二分法設非線性方程為f求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內連續(xù),(2)f(a)·f(b)<0,則f(x)=0在[a,b]內必有根.若f(x)在[a,b]內還嚴格單調,則f(x)=0在[a,b]內只有一根,據(jù)此可得求隔根區(qū)間的兩種方法。求隔根區(qū)間的一般方法若f(x)滿足條件:1.做圖法

畫出

y=f(x)的草圖,由

f(x)與橫軸交點的大概位置來確定隔根區(qū)間;或者利用導函數(shù)

的正、負與函數(shù)

f(x)的單調性的關系確定根的大概位置。

若

f(x)比較復雜,還可將方程

f(x)=0化為一個等價方程

(x)=

(x),

則曲線

y=(x)

與

y=

(x)之交點

的橫坐標

即為原方程之根,據(jù)此也可通過作圖求得

的隔根區(qū)間。1.做圖法畫出y=f(x)的草圖,

判別下列方程有幾個實根，并求隔根區(qū)間。(1)f(x)=x3-x-1=0解(1)f(x)=x3-x-1=0將方程變形為x3=x+1例1由圖可知,方程只有一個實根所以(1,1.5)即為其隔根區(qū)間。繪曲線

y=x3及

y=x+1判別下列方程有幾個實根，并求隔根區(qū)間。(1)2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也可從b開始,這時應取更小的步長h,直到有根區(qū)間的長度|xn+1-xn|<e。(e為所要求的精度),此時f(xn)或f(xn+1)就可近似認為是零,xn+1或xn就是滿足精度的方程的近似根增值尋根法的基本思想是:從初值開始,按規(guī)定的一個初始步長h來增值。同時計算.可能遇到三種情形：此時即為方程的根說明區(qū)間內無根說明區(qū)間內有根2.逐步搜索法(增值尋根法)搜索過程,可從a開始,也圖2-1圖2-1例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有根區(qū)間解：取x0=-4,h=1則計算結果如下x-4-3-2-1012f(x)-10-1-2-7-10-514所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1，2）。再取x0=1,h=0.1計算結果如下x11.11.21.31.4f(x)-5-3.829-2.512-1.0430.584所以f(x)=0的有根區(qū)間為（1.3，1.4）例用增值尋根法求方程f(x)=x3+4x2-10=0的有二分法設方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內有且只有一個實根x*。即f(x)滿足條件:(1)在[a,b]內連續(xù),

(2)f(a)·f(b)<0,(3)

f(x)在[a,b]內嚴格單調。二分法設方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]內有且只有一個實二分法的步驟：(2)若

則令a2=a,b2=x1;(3)若

則,令a2=x1

,b2=b。記[a,b]=[a1,b1],中點計算f(x1),(1)若

f(x1)=0,則

x1就是方程的根x*,計算結束;對壓縮了的有根區(qū)間[a2,b2],實行同樣的步驟.若每次二分時所取區(qū)間中點都不是根，則上述過程將無限進行下去。二分法的步驟：(2)若如此反復進行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間的一半，因此區(qū)間[an,bn]的長度為當n→∞

時,區(qū)間必將最終收縮為一點x*,

顯然x*

就是所求的根。如此反復進行,可得一系列有根區(qū)間套由于每一區(qū)間都是前一區(qū)間圖2-2圖2-2只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若取區(qū)間

的中點作為

的近似值，則有下述誤差估計式只要n足夠大,即區(qū)間二分次數(shù)足夠多,誤差就可足夠小。若例用二分法求在內的一個實根，且要求滿足精度解用二分法計算結果如表2-1：例用二分法求0.0000721.3647460941.36718751.363281259-0.032151.3642578131.36718751.35937580.032361.363281251.3751.3593757-0.096411.3593751.3751.343756-0.350981.343751.3751.31255-0.848391.31251.3751.2540.162111.3751.51.253-1.798671.251.51.022.3751.52.01.01n0.0000721.3647460941.36718751.-0.007991.3647460941.3652343751.36425781311-0.016051.3642578131.3652343751.3632812510n接上圖迭代11次，近似根即為所求，其誤差-0.007991.3647460941.365234375二分法的優(yōu)點是簡單,對f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值為1/2的等比級數(shù)相同,它的局限性是只能用于求實根,不能用于求復根及公偶數(shù)重根.二分法的優(yōu)點是簡單,對f(x)只要求連續(xù),它的收斂速度與比值2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程

f(x)=0

化為等價方程然后在隔根區(qū)間內取一點

x0

，按下式計算計算結果生成數(shù)列如果這個數(shù)列有極限迭代法是一種逐步逼近的方法,它是解代數(shù)方程、超越方程、微分方程等的一種基本而重要的數(shù)值方法。2.2迭代法一、迭代法的基本思想將方程f(x)=這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂,否則稱為發(fā)散。當(x)連續(xù)時,顯然

就是方程

x=(x)之根。于是可以從數(shù)列

中求得滿足精度要求的近似根。稱為迭代格式,

(x)稱為迭代函數(shù),x0

稱為迭代初值,數(shù)列

稱為迭代序列。這種求根方法稱為迭代法。如果迭代序列收斂,則稱迭代格式收斂例用迭代法求方程在內的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價方程可以有以下不同形式例用迭代法求方程在內的一個近似根，取初始近似值解原方程的等價對應的迭代公式有：取列表計算如下對應的迭代公式有：取列表計算如下1.365230021.3659167381.365229941.3638870071.3652230581.3678469761.365225591.3600941951.365264751.3751702541.364957011.34545838-469.731.367376371.402540802.99696.73221.348399731.286953770.8165-0.87511.51.51.51.50(4)(3)(2)(1)n表2-21.365230021.3659167381.3652299n(1)(2)(3)(4)91.364878221.36523001101.36541006151.36522368201.36523024231.36522998251.36523001接上圖第四種格式比第三種格式收斂快,而第一種格式和第二種格式不收斂?？梢姷袷讲煌?收斂情況也不同。n(1)(2)(3)(4)91二、迭代法的幾何意義一般來說從構造不止一種，有的收斂，有的不收斂，這取決于的性態(tài)。方程的根，在幾何上就是直線與曲線交點的橫坐標如圖2-3所示二、迭代法的幾何意義一般來說從構造不止一種，有的收斂，有軟件計算方法第二章課件軟件計算方法第二章課件三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個領域B={x||x-x*|≤δ}中，使對任意的x0∈B，迭代過程xn+1=j(xn),n=0,1,2,…收斂，則稱迭代過程在x*附近局部收斂。定理1設x*=j(x*),在x*的某個領域B內j‘(x)連續(xù)，并且|j‘(x)|≤q<1，則對任何x0∈B,由迭代公式xn+1=j(xn)決定的迭代序列{xn}收斂于x*，且

三、迭代法收斂的條件定義1如果在根x*的某個領域B={x|定理2對于方程x=j(x)，如果滿足（1）對任意x∈[a,b]，有j(x)∈[a,b]；（2）對任意x∈[a,b]，有|j‘(x)|≤q<1；則對任意x0∈[a,b]，迭代xn+1=j

(xn)所決定的序列{xn}收斂于x=j(x)的根x*，且定理1結果也都成立以上兩定理的條件要嚴格驗證都較困難,實用時常用以下不嚴格的標準.有根區(qū)間[a,b]較小,對某一x0∈[a,b]，|j’(x)|明顯小于1,由|j’(x)|的連續(xù)性知在x0的某個領域內|j’(x)|也小于1,則迭代收斂定理2對于方程x=j(x)，如果滿足（1）對任意x∈[a,考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根附近的收斂情況，取根的近似值為解不收斂不收斂考察例f(x)=x3+4x2-10=0中四中迭代法在根收斂收斂值越小,收斂速度就越快.收斂收斂2.3迭代收斂的加速從f(x)=0構造出的迭代格式x=j(x)可能收斂,也可能不收斂。在收斂時，收斂速度也取決于|j’(x)|的大小|j’(x)|接近于1時，收斂可能很慢，后兩種情形都影響迭代法的應用。能否從x=j(x)出發(fā)構造出新的迭代形式，使收斂速度加快？2.3迭代收斂的加速從f(x)=0構造出的迭代格式x=j松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子松弛法松弛法迭代公式：為松弛因子稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法稱為埃特金(Aitken)外推法.迭代格式埃特金方法

求方程

x=e–x

在x=

0.5附近的根.x25=x26=0.5671433若對此格式用埃特金法,則取

x0=0.5,迭代格式

得解例3求方程x=e–x在x=0.5附近的根.x仍取

x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果是相當顯著的.x=exp(-x)xnxn+1(1)xn+1(2)0.50000000.60653070.54523920.56762390.56687080.56729790.56714330.56714330.56714330.56714330.56714330.5671433仍取x0=0.5,得由此可見,特金法加速收斂效果例4分別用松弛法、埃特金法求方程在初值附近的一個根，取迭代格式解用松弛法計算，取例4分別用松弛法、埃特金法求方程因此松弛法的迭代公式為列表計算如下：1.3652300131.3652300121.3649539161.50.8871308690.8871308690.8908036863210n因此松弛法的迭代公式為列表計算如下：1.3652300131用埃特金方法計算，迭代格式為：用埃特金方法計算，迭代格式為：列表計算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(1)xn+1(2)1.5000000001.3483997251.3673763721.3652652241.3652255341.3652305831.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.3652300131.365230013列表計算如下：x=sqrt(10/(4+x))xnxn+1(2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想

設已知方程f(x)=0的近似根

x0，且在

x0附近

可用一階泰勒多項式近似，表示為當

f'(x0)≠0時，方程

f(x)=0可用線性方程近似代替，即解非線性方程f(x)=0的牛頓(Newton)法，就是將非線性方程線性化的一種方法。它是解代數(shù)方程和超越方程的有效方法之一。2.4牛頓切線法一、牛頓法的基本思想設已知解此線性方程得取此

x作為原方程的新近似根

x1，重復以上步驟，得迭代公式此式稱為牛頓(Newton)迭代公式。解此線性方程得取此x作為原方程的新近似根x1，重復以上例1用牛頓法求方程在內一個實根，取初始近似值解所以迭代公式為：列表計算如下：例1用牛頓法求方程在內一個實根，取初始近f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(xn)1.52.37518.751.373333333064481.3652620150.00052846116.513917231.3652300148.29055E-0916.513399081.365230013016.513399081.365230013016.51339908f(x)=x*x*x+4*x*x-10xnf(xn)f'(x二、牛頓法的幾何意義方程的根就是曲線與軸交點的橫坐標，當初始值選取后，過作切線，其切線方程為：它與x軸交點的橫坐標為：二、牛頓法的幾何意義方程的一般地，設是的第n次近似值，過作的切線，其切線與x軸交點的橫坐標為：即用切線與x軸交點的橫坐標近似代替曲線與x軸交點的橫坐標，如圖2-4。一般地，設是的第n次近似值，過若過曲線y=f(x)上的點P(xk,f(xk

))引切線，該切線與

x軸交點的橫坐標即為由牛頓迭代公式求得的

xk+1,因此牛頓迭代法也稱牛頓切線法。圖2-4若過曲線y=f(x)上的點P(xk,f(將原方程化為

x–e

–x=0，則牛頓迭代格式為取

x0=0.5，迭代得x1=0.566311,x2=0.5671431,x3=0.5671433

f(x)=x–e

–x，f'(x)=1+e

–x,

用牛頓迭代法求方程

x=e–x在

x=0.5附近的根。例4

解將原方程化為x–e–x=0，則牛頓迭代格式為取f(x)=x-exp(-x)xnf(xn)f'(xn)0.5-0.106530661.606530660.566311003-0.001304