5S`m4D圓有關(guān)的比例線段市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

2.5與圓有關(guān)的比例線段第1頁(yè)探究1:AB是直徑,CD⊥AB交點(diǎn)P.線段PA,PB,PC,PD之間有何關(guān)系?PA·PB=PC·PD1.相交弦定理圓內(nèi)兩條相交弦，被交點(diǎn)分成兩條線段長(zhǎng)積相等。ACBPDOCABPDOACBPDO第2頁(yè)A(C.P)BD探究2:把兩條相交弦交點(diǎn)P從圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)到圓上.再到圓外，結(jié)論是否還能成立?PA·PB=PC·PDP在圓外:易證△PAD∽△PCB故PA·PB=PC·PDP在圓上:PA=PC=0,仍有PA·PB=PC·PDAPCBDPAC第3頁(yè)

2.割線定理

從圓外一點(diǎn)引圓兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)兩條線段長(zhǎng)積相等.A(B)PODCPA·PB=PC·PD探究3:使割線PB繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線位置,是否還能成立?APBODC第4頁(yè)A(B)PODC連接AC,AD易證△PAC∽△PDA

上式可變形為PA2=PC·PD3.切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)兩條線段長(zhǎng)百分比中項(xiàng).故PA·PB=PC·PD仍成立因?yàn)锳,B重合，第5頁(yè)探究4:使割線PD繞P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到切線位置,能夠得出什么結(jié)論?A(B)PODC易證Rt△OAP≌Rt△OCP.PA=PC4.切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓兩條切線，它們切線長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)連線平分兩條切線夾角.A(B)POC(D)PA2=PC·PD第6頁(yè)思索:1.由切割線定理能證實(shí)切線長(zhǎng)定理嗎?如圖由P向圓任作一條割線EF試試.A(B)POC(D)EF思索:2.你能將切線長(zhǎng)定理推廣到空間情形嗎?O第7頁(yè)

例1.圓內(nèi)兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD長(zhǎng).CDABP解:設(shè)CD=x,則PD=,PC=由相交弦定理,得PA?PB=PC?PD∴4×4=?求得x=10,∴CD=10第8頁(yè)

例2.E是圓內(nèi)兩條弦AB,CD交點(diǎn),直線EF//CB,交AD延長(zhǎng)線于F,FG切圓于G.

求證:(1)△DFE∽△EFA;

(2)EF=FG

ABCOFGED321△DFE∽△EFAEF2=FA?FD又GF2=FA?FDGF2=EF2EF=FG第9頁(yè)

例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),P是兩圓公共弦AB上任一點(diǎn),從P引兩圓切線PC,PD.

求證:PC=PDPABDC析：PC2=PA?PB又PD2=PA?PBPC2=PD2PC=PD第10頁(yè)例4.如圖,AB是⊙O直徑,過(guò)A,B引兩條弦AD和BE,相交于點(diǎn)C,求證:AC?AD+BC?BE=AB2.ABDECOF分析:A,F,C.E四點(diǎn)共圓BC?BE=BF?BA.F,B,D,C四點(diǎn)共圓AC?AD=AF?AB.AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA=AB(AF+BF)=AB2第11頁(yè)例5.如圖,AB,AC是⊙O切線,ADE是⊙O割線,連接CD,BD,BE,CE.

B

A

E

C

O

D問(wèn)題1

由上述條件能推出哪些結(jié)論?探究1:∠ACD=∠AEC△ADC∽△ACE

⑴CD?AE=AC?CE

⑵同理BD?AE=AB?BE

⑶因?yàn)锳C=AB,由⑵⑶可得BE?CD=BD?CE

⑷圖⑴第12頁(yè)探究2:猜測(cè)并可證實(shí)問(wèn)題2

在圖(1)中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn),得到圖(2),其中EC交圓于G,DC交圓于F,此時(shí)又能推出哪些結(jié)論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵△ADC∽△ACE

⑸一樣可得⑵⑶⑷第13頁(yè)證實(shí)以下:

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵∵AB2=AD?AE,而AB=AC,∴AC2=AD?AE,即∵∠CAD=∠EAC,(對(duì)應(yīng)邊成百分比且?jiàn)A角相等).∴

△ADC∽△ACE⑸

其次連接FG由于F,G,E,D四點(diǎn)共圓∴∠CFG=∠AEC,又∵∠ACF=∠AEC,∴∠CFG=∠ACF,∴FG//AC⑹第14頁(yè)

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑵問(wèn)題3

在圖(2)中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn),使割線CFD變成切線CD,得到圖(3),此時(shí)又能推出哪些結(jié)論?

B

A

E

C

O

D

F

G圖⑶

P探究3:能夠推出（1）~（6）全部結(jié)論。第15頁(yè)

B

A

E

C

O

D

Q

G圖⑶P另外∵AC//DG.∴AD?CE=AE?CG⑺∵

△ACD∽△AEC∴AC?CD=AD?CE⑻由⑺⑻可得：AC?CD=AE?CG

⑼連接BD,BE,延長(zhǎng)GC到P,延長(zhǎng)BD交AC于Q,則∠PCQ=∠PGD=∠DBE,故C,E,B,Q四點(diǎn)共圓

⑽第16頁(yè)習(xí)題2.55.如圖,⊙O與⊙O′相交與點(diǎn)A,B.PQ是⊙O切線,求證:PN2=NM?NQQNPO′OABM第17頁(yè)6.如圖,PA是⊙O切線,M是PA中點(diǎn),求證:∠MPB=∠MCP∵M(jìn)A2=MB?MC=PM2∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思緒：習(xí)題2.5第18頁(yè)習(xí)題2.57.如圖,AD,BE,CF分別是△ABC三邊高,H是垂心,AD延長(zhǎng)線交△ABC外接圓于點(diǎn)G,求證:DH=DGACEGBFHD132第19頁(yè)AECDPBFO習(xí)題2.58.如圖,⊙O直徑AB延長(zhǎng)線與弦CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,AE=AC.求證:PF?PO=PA?PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF?PO=PD?PC又PD?PC=PB?PAPF?PO=PB?PA思緒：第20頁(yè)習(xí)題2.5

9.將例5圖(1)作以下改變:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長(zhǎng)與圓相交于F,連接DC并延長(zhǎng)與圓相交于G,連接FG,其它條件同例5,能推出哪些結(jié)論?假如∠BAD=∠CAD,又有什么結(jié)論?

B

A

E

C

O

D圖⑴

B

A

EC

O

DFG第21頁(yè)習(xí)題2.59題將例5圖(1)作以下改變:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長(zhǎng)與圓相交于F,連接DC并延長(zhǎng)與圓相交于G,連接FG,其它條件同例5,你能推出哪些結(jié)論?假如∠BAD=∠CAD,又有什么結(jié)論?

B

A

EC

O

DFGAB2=AD?AE①CF?CE=CD?CG②∴AC2=AD?AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

第22頁(yè)假如∠BAD=∠CAD,如圖,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?)

=∴

BD=CD

④