2022-2023學(xué)年福建省廈門市第十一中學(xué)九年級數(shù)學(xué)上冊期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，二次函數(shù)y=ax1+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，1）與（0，3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若點M（，y1），點N（，y1）是函數(shù)圖象上的兩點，則y1＜y1；④﹣＜a＜﹣；⑤c-3a＞0其中正確結(jié)論有（）A．1個 B．3個 C．4個 D．5個2．已知OA=5cm，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．﹣3的絕對值是（）A．﹣3 B．3 C．- D．4．如圖所示，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，且對稱軸在（﹣1，0）的左邊，下列結(jié)論一定正確的是（）A．a(chǎn)bc＞0 B．2a﹣b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a(chǎn)﹣b+c＞﹣15．如圖所示，該幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．6．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、），則外接圓的圓心坐標(biāo)是A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）7．如圖，A、B、C三點在⊙O上，且∠AOB=80°，則∠ACB等于A．100° B．80° C．50° D．40°8．如圖是小玲設(shè)計用手電來測家附近“新華大廈”高度的示意圖．點處放一水平的平面鏡，光線從點出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到大廈的頂端處，已知，且測得米，米，米，那么該大廈的高度約為（）A．米 B．米 C．米 D．米9．（湖南省婁底市九年級中考一模數(shù)學(xué)試卷）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°，得到數(shù)字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是（）A．96B．69C．66D．9910．如圖所示是一個運算程序，若輸入的值為﹣2，則輸出的結(jié)果為（）A．3 B．5 C．7 D．911．在半徑為1的⊙O中，弦AB的長為，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°12．（11·大連）某農(nóng)科院對甲、乙兩種甜玉米各用10塊相同條件的試驗田進(jìn)行試驗，得到兩個品種每公頃產(chǎn)量的兩組數(shù)據(jù)，其方差分別為s甲2＝0.002、s乙2＝0.03，則()A．甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定 B．乙比甲的產(chǎn)量穩(wěn)定C．甲、乙的產(chǎn)量一樣穩(wěn)定 D．無法確定哪一品種的產(chǎn)量更穩(wěn)定二、填空題（每題4分，共24分）13．圓內(nèi)接正六邊形的邊長為6，則該正六邊形的邊心距為_____．14．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=20°，點O是AB的中點，將OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，當(dāng)△ACP為等腰三角形時，α的值為_____．15．如圖，斜坡長為100米，坡角，現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要，將斜坡改造成坡度的斜坡（、、三點在地面的同一條垂線上），那么由點到點下降了_________米（結(jié)果保留根號）16．如圖，鐵道口的欄桿短臂長1m，長臂長16m．當(dāng)短臂端點下降0.5m時，長臂端點升高_(dá)_____17．如圖是一張長方形紙片ABCD，已知AB=8，AD=7，E為AB上一點，AE=5，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（△AEP），使點P落在長方形ABCD的某一條邊上，則等腰三角形AEP的底邊長是_____________．18．已知實數(shù)x，y滿足，則x+y的最大值為_______．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，BM切⊙O于點B，點P是⊙O上的一個動點(點P不與A，B兩點重合)，連接AP，過點O作OQ∥AP交BM于點Q，過點P作PE⊥AB于點C，交QO的延長線于點E，連接PQ，OP．(1)求證：△BOQ≌△POQ；(2)若直徑AB的長為1．①當(dāng)PE＝時，四邊形BOPQ為正方形；②當(dāng)PE＝時，四邊形AEOP為菱形．20．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)以lcm/s的速度沿折線AC﹣CB運動，過點P作PQ⊥AB于點Q，當(dāng)點P不與點A、B重合時，以線段PQ為邊向右作正方形PQRS，設(shè)正方形PQRS與△ABC的重疊部分面積為S，點P的運動時間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示CP的長度；（2）當(dāng)點S落在BC邊上時，求t的值；（3）當(dāng)正方形PQRS與△ABC的重疊部分不是五邊形時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）連結(jié)CS，當(dāng)直線CS分△ABC兩部分的面積比為1：2時，直接寫出t的值．21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間（0≤t≤6），那么：（1）當(dāng)t為何值時，△QAP是等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？22．（10分）如圖,在△ABC中,D為BC邊上的一點,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC的長23．（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＜BC．（1）利用尺規(guī)作圖，在BC邊上確定點E，使點E到邊AB，AD的距離相等（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若BC=8，CD=5，則CE=．24．（10分）如圖，已知直線與x軸、y軸分別交于點A，B，與雙曲線分別交于點C，D，且點C的坐標(biāo)為.（1）分別求出直線、雙曲線的函數(shù)表達(dá)式.（2）求出點D的坐標(biāo).（3）利用圖象直接寫出：當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時？25．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點M是AB邊的中點.(1)如圖1，若CM=，求△ACB的周長；(2)如圖2，若N為AC的中點，將線段CN以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°，使點N至點D處，連接BD交CM于點F，連接MD，取MD的中點E，連接EF.求證：3EF=2MF.26．如圖，△ABC中，DE//BC，EF//AB．求證：△ADE∽△EFC．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖項與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案.【詳解】①∵圖像開口向下，，∵與y軸的交點B在(0,1)與(0,3)之間，，∵對稱軸為x=1，，∴b=-4a，∴b>0，∴abc<0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A(-1,0)，對稱軸為直線x=1，∴圖像與x軸的另一個交點為(5,0)，∴根據(jù)圖像可以看出，當(dāng)x=3時，函數(shù)值y=9a+3b+c>0，故②正確；③∵點，∴點M到對稱軸的距離為，點N到對稱軸的距離為，∴點M到對稱軸的距離大于點N到對稱軸的距離，∴，故③正確；④根據(jù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)可以設(shè)函數(shù)的關(guān)系式為：y=a（x-5）(x+1)，把x=0代入得y=-5a，∵圖像與y軸的交點B在（0，1）與（0，3）之間，，解不等式組得，故④正確；⑤∵對稱軸為x=1，∴b=-4a，當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a-4a+c=c-3a>0,故⑤正確；綜上分析可知，正確的結(jié)論有5個，故D選項正確.故選D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax1+bx+c（a≠0）的圖象，當(dāng)a＞0，開口向上，函數(shù)有最小值，a＜0，開口向下，函數(shù)有最大值；對稱軸為直線x=，a與b同號，對稱軸在y軸的左側(cè)，a與b異號，對稱軸在y軸的右側(cè)；當(dāng)c＞0，拋物線與y軸的交點在x軸的上方.2、D【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，若使點A在⊙O內(nèi)，則點A到圓心的大小應(yīng)該小于圓的半徑，因此圓的半徑應(yīng)該大于1．故選D考點：點與圓的位置關(guān)系3、B【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可得出答案.【詳解】根據(jù)絕對值的性質(zhì)得：|-1|=1．故選B．【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)，需要掌握非負(fù)數(shù)的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).4、B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)與各項系數(shù)的關(guān)系即可判斷A；根據(jù)拋物線的對稱軸即可判斷B；根據(jù)拋物線與x軸的交點個數(shù)即可判斷C；根據(jù)當(dāng)x＝﹣1時y＜0，即可判斷D.【詳解】A、如圖所示，拋物線經(jīng)過原點，則c＝0，所以abc＝0，故不符合題意；B、如圖所示，對稱軸在直線x＝﹣1的左邊，則﹣＜﹣1，又a＞0，所以2a﹣b＜0，故符合題意；C、如圖所示，圖象與x軸有2個交點，依據(jù)根的判別式可知b2﹣4ac＞0，故不符合題意；D、如圖所示，當(dāng)x＝﹣1時y＜0，即a﹣b+c＜0，但無法判定a﹣b+c與﹣1的大小，故不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)與各項系數(shù)的關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵.5、C【解析】從上往下看，總體上是一個矩形，中間隔著一個豎直的同寬的小矩形，而挖空后長方體內(nèi)的剩余部分用虛線表示為左右對稱的兩條靠近寬的線，選項C中圖象便是俯視圖.故選：C.6、D【解析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．解答：解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點O1即為圓心，且坐標(biāo)是（3，1）．故選D．7、D【解析】試題分析：∵∠ACB和∠AOB是⊙O中同弧所對的圓周角和圓心角，且∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故選D．8、B【分析】根據(jù)光線從點出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到大廈的頂端處，可知，再由，可得，從而可以得到，即可求出CD的長．【詳解】∵光線從點出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到大廈的頂端處∴∵∴∴∴∵米，米，米∴∴CD=16（米）【點睛】本題考查的知識點是相似三角形的性質(zhì)與判定，通過判定三角形相似得到對應(yīng)線段成比例，構(gòu)成比例是關(guān)鍵．9、B【解析】現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：69，故選B．10、B【分析】根據(jù)圖表列出算式，然后把x=-2代入算式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：把x＝﹣2代入得：1﹣2×（﹣2）＝1+4＝1．故選：B．【點睛】此題考查代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵在于掌握運算法則.11、C【解析】試題分析：如圖所示，連接OA、OB，過O作OF⊥AB，則AF=FB，∠AOF=∠FOB，∵OA=3，AB=，∴AF=AB=，∴sin∠AOF=，∴∠AOF=45°，∴∠AOB=2∠AOF=90°，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°．故選C.考點:1.垂徑定理；2.圓周角定理；3.特殊角的三角函數(shù)值．12、A【解析】方差是刻畫波動大小的一個重要的數(shù)字.與平均數(shù)一樣，仍采用樣本的波動大小去估計總體的波動大小的方法，方差越小則波動越小，穩(wěn)定性也越好.【詳解】因為s＝0.002<s＝0.03，所以，甲比乙的產(chǎn)量穩(wěn)定.故選A【點睛】本題考核知識點：方差.解題關(guān)鍵點：理解方差意義.二、填空題（每題4分，共24分）13、3【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義直接計算即可．【詳解】如圖所示，連接OB、OC，過O作OG⊥BC于G．∵此多邊形是正六邊形，∴△OBC是等邊三角形，∴∠OBG=60°，∴邊心距OG=OB?sin∠OBG=6(cm)．故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形與圓、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟知正六邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14、40°或70°或100°．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．先連結(jié)AP，如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OP=OB，則可判斷點P、C在以AB為直徑的圓上，利用圓周角定理得∠BAP=∠BOP=α，∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，然后分類討論：當(dāng)AP=AC時，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°；當(dāng)PA=PC時，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，；當(dāng)CP=CA時，∠CAP=∠CAP，即α+20°=70°，再分別解關(guān)于α的方程即可．【詳解】連結(jié)AP，如圖，∵點O是AB的中點，∴OA=OB，∵OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角時（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP=OB，∴點P在以AB為直徑的圓上，∴∠BAP=∠BOP=α，∠APC=∠ABC=70°，∵∠ACB=90°，∴點P、C在以AB為直徑的圓上，∴∠ACP=∠ABP=90°﹣α，∠APC=∠ABC=70°，當(dāng)AP=AC時，∠APC=∠ACP，即90°﹣α=70°，解得α=40°；當(dāng)PA=PC時，∠PAC=∠ACP，即α+20°=90°﹣α，解得α=70°；當(dāng)CP=CA時，∠CAP=∠CPA，即α+20°=70°，解得α=100°，綜上所述，α的值為40°或70°或100°．故答案為40°或70°或100°．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).15、【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)坡度的概念求出CD，結(jié)合圖形計算，得到答案．【詳解】在Rt△ABC中，∠ABC=30°，

∴AC=AB=50，BC=AB?cos∠ABC=50，

∵斜坡BD的坡度i=1：5，

∴DC：BC=1：5，

∴DC=10，

則AD=50-10，

故答案為：50-10．【點睛】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．16、8m【分析】由題意證△ABO∽△CDO，可得，即，解之可得．【詳解】如圖，

由題意知∠BAO=∠C=90°，

∵∠AOB=∠COD，

∴△ABO∽△CDO，

∴，即，

解得：CD=8，

故答案為：8m．【點睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17、或或1【詳解】如圖所示：①當(dāng)AP=AE=1時，∵∠BAD=90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底邊PE=AE=；②當(dāng)PE=AE=1時，∵BE=AB﹣AE=8﹣1=3，∠B=90°，∴PB==4，∴底邊AP===；③當(dāng)PA=PE時，底邊AE=1；綜上所述：等腰三角形AEP的對邊長為或或1；故答案為或或1．18、4【解析】用含x的代數(shù)式表示y，計算x+y并進(jìn)行配方即可.【詳解】∵∴∴∴當(dāng)x=-1時，x+y有最大值為4故答案為4【點睛】本題考查的是求代數(shù)式的最大值，解題的關(guān)鍵是配方法的應(yīng)用.三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）①6，②6．【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得∠OBQ＝90°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，加上∠OPA＝∠OAP，則∠POQ＝∠BOQ，于是根據(jù)“SAS”可判斷△BOQ≌△POQ；(2)①利用△BOQ≌△POQ得到∠OPQ＝∠OBQ＝90°，由于OB＝OP，所以當(dāng)∠BOP＝90°，四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，于是PE＝PO＝6；②根據(jù)菱形的判定，當(dāng)OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，則OC＝OA＝3，然后利用勾股定理計算出PC，從而得到PE的長．【詳解】(1)證明：∵BM切⊙O于點B，∴OB⊥BQ，∴∠OBQ＝90°，∵PA∥OQ，∴∠APO＝∠POQ，∠OAP＝∠BOQ，而OA＝OP，∴∠OPA＝∠OAP，∴∠POQ＝∠BOQ，在△BOQ和△POQ中，∴△BOQ≌△POQ；(2)解：①∵△BOQ≌△POQ，∴∠OPQ＝∠OBQ＝90°，當(dāng)∠BOP＝90°，四邊形OPQB為矩形，而OB＝OP，則四邊形OPQB為正方形，此時點C、點E與點O重合，PE＝PO＝AB＝6；②∵PE⊥AB，∴當(dāng)OC＝AC，PC＝EC，四邊形AEOP為菱形，∵OC＝OA＝3，∴PC＝，∴PE＝2PC＝6．故答案為6，6．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和菱形、正方形的判定方法；綜合應(yīng)用所學(xué)知識是解答本題的關(guān)鍵．20、（1）當(dāng)0＜t＜4時，CP＝4﹣t，當(dāng)4≤t＜8時，CP＝t﹣4；（1）；（3）S＝；（4）或【分析】（1）分兩種情形分別求解即可．（1）根據(jù)PA+PC＝4，構(gòu)建方程即可解決問題．（3）分兩種情形：如圖1中，當(dāng)0＜t≤時，重疊部分是正方形PQRS，當(dāng)4＜t＜8時，重疊部分是△PQB，分別求解即可．（4）設(shè)直線CS交AB于E．分兩種情形：如圖4﹣1中，當(dāng)AE＝AB＝時，滿足條件．如圖4﹣1中，當(dāng)AE＝AB時，滿足條件．分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）當(dāng)0＜t＜4時，∵AC＝4，AP＝t，∴PC＝AC﹣AP＝4﹣t；當(dāng)4≤t＜8時，CP＝t﹣4；（1）如圖1中，點S落在BC邊上，∵PA＝t，AQ＝QP，∠AQP＝90°，∴AQ＝PQ＝PS＝t，∵CP＝CS，∠C＝90°，∴PC＝CS＝t，∵AP+PC＝BC＝4，∴t+t＝4，解得t＝．（3）如圖1中，當(dāng)0＜t≤時，重疊部分是正方形PQRS，S＝（t）1＝t1．當(dāng)4＜t＜8時，重疊部分是△PQB，S＝（8﹣t）1．綜上所述，S＝．（4）設(shè)直線CS交AB于E．如圖4﹣1中，當(dāng)AE＝AB＝時，滿足條件，∵PS∥AE，∴，∴，解得t＝．如圖4﹣1中，當(dāng)AE＝AB時，滿足條件．同法可得：，解得t＝，綜上所述，滿足條件的t的值為或．【點睛】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21、（1）t=2s；（2）t=1.2s或3s．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得QA=AP，從而可以求得結(jié)果；（2）分與兩種情況結(jié)合相似三角形的性質(zhì)討論即可.【詳解】（1）由QA=AP，即6-t=2t，得t=2(秒)；（2）當(dāng)時，△QAP～△ABC，則，解得t=1.2(秒)當(dāng)時，△QAP～△ABC，則，解得t=3(秒)∴當(dāng)t=1.2或3時，△QAP～△ABC.22、【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC.【詳解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD∽△CBA∴∴解得：或（舍去）即.【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握有兩組對應(yīng)角相等的兩個三角形相似和相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解決此題的關(guān)鍵.23、（1）見解析；（2）1．【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等知作出∠A的平分線即可；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AB=CD=5，AD∥BC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BAE=∠BEA，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）如圖所示：E點即為所求．（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE是∠A的平分線，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴BE=BA=5，∴CE=BC﹣BE=1．考點：作圖—復(fù)雜作圖；平行四邊形的性質(zhì)24、（1），；（2）點D的坐標(biāo)是；（3）【解析】（1）把C（-1，2）代入y1=x+m得到m的值，把C（-1，2）代入雙曲線得到k的值；（2）解由兩個函數(shù)的解析式組成的方程組，即可得交點坐標(biāo)D；

（3）觀察圖象得到當(dāng)-3＜x＜-2時一次函數(shù)的函數(shù)值比反比例函數(shù)的函數(shù)值要大．【詳解】解：（1）∵點在的圖象上；∴，解得，則.∵在的圖象上，∴，解