創(chuàng)新設計直線平面簡單幾何體市公開課金獎市賽課一等獎課件

掌握平面和平面所成角概念/掌握兩個平面垂直判定定理和性質定理第46課時平面與平面垂直二面角第1頁1．二面角概念：平面內一條直線把平面分為兩部分，其中每一部分叫做

；從一條直線出發(fā)兩個半平面所組成圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角

，每個半平面叫做二面角

．若棱為l，兩個面分別為α，β二面角記為α-l-β.2．二面角平面角：一個平面垂直于二面角α-l-β棱l，且與兩半平面交線分別為OA，OB，O為垂足，則∠AOB是二面角α-l-β

．半平面棱面平面角第2頁3．兩個平面垂直定義：假如二面角平面角是直角，則稱這個二面角為直二面角；相交成直二面角兩個平面叫做相互垂直平面．4．兩平面垂直判定定理：假如一個平面經過另一個平面

，那么這兩個平面相互垂直．5．兩平面垂直性質定理：若兩個平面相互垂直，那么

垂直于它們交線直線垂直于另一個平面．一條垂線在一個平面內第3頁1．設l，m，n是空間三條直線，α，β是空間兩個平面，則以下選項中正確是()A．當n⊥l時，“n⊥β”是“l(fā)∥β”成立充要條件B．當m?α且n是l在α內射影時，“m⊥n”是“l(fā)⊥m”必要不充分條件C．當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”充分無須要條件D．當m?α，且n?α時，“n∥α”是“m∥n”既不充分也無須要條件第4頁解析：A錯誤，當n⊥β時，可能l?β，當l∥β時，n與β位置關系不能確定，所以是既不充分也無須要條件；B錯誤，由三垂線定理及逆定理可知此為充要條件；C正確；D錯誤，當m∥n時，由已知條件能夠推出n∥α，所以應為必要而不充分條件．答案：C第5頁2．已知二面角α－l－β大小為60°，m、n為異面直線，且m⊥α，

n⊥β，則m、n所成角為()A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B第6頁3．如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成角分別為和.過A、B分別作兩平面交線垂線，垂足為A′、B′，若AB

＝12，則A′B′等于()A．4 B．6C．8 D．9答案：B4．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空間一點，且P到平面α、β距離分別是1、2，則點P到l距離為________．答案：第7頁1.平面與平面垂直問題可轉化為直線與平面垂直問題處理．2．利用平面與平面垂直性質定理，能夠有所選擇地作出一個平面垂線，進而可處理空間成角和距離等問題，所以作平面垂線也是立體幾何中最主要輔助線之一．第8頁【例1】如右圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點

A在直線l上射影為A1，點B在l上射影為B1.已 知AB＝2，AA1＝1，BB1＝，求： (1)直線AB分別與平面α、β所成角大??； (2)二面角A1－AB－B1大?。獯穑喝鐖D，(1)連結A1B，AB1.∵α⊥β，α∩β＝l，AA1⊥l，∴AA1⊥β.A1B為AB在β內射影，∴∠ABA1為AB與β所成角，在Rt△AA1B中，AA1＝1，AB＝2，∴∠ABA1＝30°.同理∠BAB1為AB與α所成角，在Rt△ABB1中，BB1＝，AB＝2，∴∠BAB1＝45°.第9頁(2)由α⊥β知BB1⊥α，則平面α⊥平面ABB1，作A1M⊥平面ABB1垂足為M，作MN⊥AB，垂足為N，連結A1N(如圖)，由三垂線定理知，A1N⊥AB，則∠A1NM為二面角A1－AB－B1平面角，在Rt△AA1B1中，A1M＝，在Rt△AA1B中，A1N＝，在Rt△A1NM中，sin∠A1NM＝，∴∠A1NM＝arcsin，所求二面角A1－AB－B1大小為arcsin.第10頁變式1.如圖所表示，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2正方形，

AE＝EB，F為CE上點，且BF⊥平面ACE. (1)求證AE⊥平面BCE； (2)求二面角B－AC－E大小； (3)求點D到平面ACE距離．解答：(1)證實：在直二面角D－AB－E中，由ABCD是正方形，則CB⊥平面AEB，∴AE⊥BC，又BF⊥平面ACE，則AE⊥BF，∴AE⊥平面BCE.第11頁(2)由(1)知平面AEC⊥平面BCE，又BF⊥平面ACE，則BF⊥EC，連結BD與AC交于O點，連結OF(如圖)，由三垂線定理逆定理知FO⊥AC，又AC⊥BD，則∠BOF為二面角B－AC－E平面角，在Rt△AEB中，BE＝，在Rt△EBC中，BC＝2，∴BF＝，在Rt△BFO中，sin∠BOF＝，∠BOF＝arcsin.(3)由DO＝BO知D點到平面ACE距離為BF＝.第12頁處理二面角問題主要過程是作圖、論證與計算，首先要找出二面角平面角，作二面角平面角方法主要有依據定義，利用三垂線定理和逆定理等．【例2】如右圖所表示，在三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.

(1)求證：BD⊥平面SAC； (2)求二面角E－BD－C大?。?3頁解答：(1)證實：∵DE⊥SC且E為SC中點，又SB＝BC，∴BE⊥SC，依據直線與平面垂直判定定理知：SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BD，所以BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC為二面角E－BD－C平面角，又△SAC∽△DEC，∴∠EDC＝∠ASC，在Rt△SAB中，∠A＝90°，設SA＝AB＝1，則SB＝.由SA⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，在Rt△SBC中，SB＝BC＝，∠SBC＝90°，則SC＝2，在Rt△SAC中，∠A＝90°，SA＝1，SC＝2，∴∠ASC＝60°，即二面角E－BD－C大小為60°.第14頁變式2.如圖所表示，在四面體P－ABC中，已知PA＝BC＝6，PC＝AB＝10，

AC＝8，PB＝2.F是線段PB上一點，CF＝，點E在線段AB

上，且EF⊥PB.(1)證實：BP⊥平面CEF；(2)求二面角B－CE－F大小．第15頁解答：(1)證實：∵PA2＋AC2＝PC2，PA2＋AB2＝PB2，PC2＋CB2＝PB2，AC2＋CB2＝AB2.∴∠PAC＝∠PAB＝∠PCB＝∠ACB＝90°，又，∴△PCB∽△PFC.則∠PFC＝90°，又EF⊥PB，所以PB⊥平面CEF.(2)由(1)PA⊥平面ABC，則PA⊥EC，又PB⊥平面CEF，∴CE⊥PB則CE⊥平面PAB，所以CE⊥EF，CE⊥EB，則∠FEB為二面角B－CE－F平面角，在△ABP中，tan∠FEB＝tan∠APB＝，∴∠FEB＝arctan.即二面角B—CE—F大小為arctan.第16頁如圖所表示，已知二面角α—l—β，過α內一點P作PA⊥β于點A，再過點P作PO⊥l于點O，連結OA，因為PA⊥β，l?β，所以PA⊥l，又PO⊥l，PA∩PO＝P，所以l⊥面PAO，所以l⊥OA，所以∠AOP為二面角α—l—β平面角．在計算∠AOP時確定垂足A位置致為關鍵．第17頁【例3】如右圖，已知四棱錐P－ABCD，PB⊥AD，側面PAD為邊長等于2正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成二面角為120°.(1)求點P到平面ABCD距離；(2)求面APB與面CPB所成二面角大小．第18頁解答：(1)如上圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連結OB、OA、OD，OB與AD交于E，連結PE，∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，∵PA＝PD，∴OA＝OD，于是OB平分AD，點E為AD中點，∴PE⊥AD.由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角平面角，∴∠PEB＝120°，∠PEO＝60°.由已知可求得PE＝，∴PO＝PE·sin60°＝

，即點P到平面ABCD距離為.第19頁(2)解法一：如右圖建立直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA.P(0,0，)，B(0，，0)，PB中點G坐標為(0，)，連結AG.又知A(1，，0)，C(－2，，0)，由此得到

＝(1，)，

＝(0，)，

＝(－2,0,0)，于是有

＝0，

＝0，∴

夾角θ等于所求二面角平面角，于是cosθ＝，∴所求二面角大小為π－arccos.第20頁解法二：以下列圖，取PB中點G，PC中點F，連結EG、AG、GF，則AG⊥PB，FG∥BC，FG＝BC.∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，∴∠AGF是所求二面角平面角．∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.又∵PE＝BE，∴EG⊥PB，且∠PEG＝60°.在Rt△PEG中，EG＝PE·cos60°＝，在Rt△GAE中，AE＝AD＝1，于是tan∠GAE＝，又∠AGF＝π－∠GAE，∴所求二面角大小為π－arctan.第21頁1．對于二面角問題多數情況下要作出二面角平面角并加以論證和計算，同時要注意二面角平面角所在平面與二面角棱及兩個面都是相互垂直．2．二面角平面角作法大致可依據定義作；可用垂直于二面角棱平面去截二面角，此平面與二面角兩個半平面交線所成角即為二面角平面角；也可首先確定二面角一個面垂線，由三垂線定理和三垂線定理逆定理，作出二面角平面角，對于這種方法應引發(fā)足夠重視．3．對于直線和平面所成角及二面角大小計算都與平面垂線相關，平面垂線是立體幾何中最主要輔助線之一，而平面與平面垂直性質定理也是最主要作圖理論依據.

【方法規(guī)律】

第22頁(本題滿分5分)已知平面α