數(shù)學建模試驗答案離散模型

實驗09離散模型（2學時）（第8章離散模型）.層次分析模型（驗證，編程）正互反陣最大特征根和特征向量的實用算法p263~264已知正互反陣一1 2 6一A=1/2 1 41/61/41注：[263]定理2n階正互反陣A的最大特征根??！?1)用MATLAB函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運行結(jié)果(見[264]):>>A=[126;1/214;1/61/41];>>[V,D]=eig(A)V=0.8685 -0.8685 -0.86850.4779 0.2390 - 0.4139i 0.2390 + 0.4139i0.1315 0.0658 + 0.1139i 0.0658 - 0.1139iD=3.0092 0 00 -0.0046 + 0.1663i 00 0 -0.0046 - 0.1663i>D=diag(D)D=3.0092-0.0046+0.1663i-0.0046-0.1663i>D=D.*(imag(D)==0)D=3.009200>[lambda,k]=max(D)lambda=3.0092k=>>w=V(:,k)/sum(V(:,k))w=0.58760.32340.0890(2)冪法(見[263])A為口乂口正互反矩陣，算法步驟如下：a.任取n維非負歸一化初始列向量(分量之和為1)匹(。)；b,計算幽k+i)=Aw(k),k=0,1,2,L；1%(k+1)C.船k+1)歸一化，即令W(k+1)= ；￡1%(k+1)i

i=1d.對于預先給定的精度e,當Iw(k+1)-w(k)|<￡ (i=1,2,L,n)時，w(k+1)即為所求的特征向量；否則返回到步驟b；1-1%(k+1)e.計算最大特征根入二￡ i—。n w(k)iTi注：Aw(k)x九w(k)n1%(k+1)x九w(k)nc 1%(k+1)九x—i it1,2,L,nw(k)i函數(shù)式m文件如下：function[lambdaw]=p263MI(A,d)%冪法一一求正互反陣最大特征根和特征向量%A 正互反方陣%d 精度%lambda最大特征根%w 歸一化特征列向量if(nargin==1)%若只輸入一個變量(即A),則d取0.000001d=1e-6;end

n=length(A);%取方陣A的階數(shù)w0=rand(n,1);w0=w0/sum(wO);%任取歸一化初始列向量while1ww=A*w0;w=ww/sum(ww);%歸一化ifall(abs(w-w0)<d)break;endw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;☆(2)用幕法函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運行結(jié)果(見出1)：(3)和法(見[264])A為口乂口正互反矩陣，算法步驟如下：aa.將A的每一列向量歸一化得墳.二一^;"之a(chǎn)ii=1b.對訪..按行求和得訪二子記；ij i ijT?wc.將w歸一化w=-—,w=(w,w,A，w)7即為近似特征向量;i 1T? 12 n乙wii=11日(Aw)d.計算一工 人，作為最大特征根的近似值。ni1w函數(shù)式m文件如下：function[lambdaw]=p264HE(A)%和法一求正互反陣最大特征根和特征向量正互反方陣%lambda最大特征根歸一化特征列向量AA=A/diag(sum(A));%a.將A的每一列向量歸一化ww=sum(AA,2);%b.對AA按行求和，ww為列向量w=ww./sum(ww);%c.歸一化，得w為近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/length(A);%d.計算最大特征根的近似值X☆(3)用和法函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運行結(jié)果(見[264])：(4)根法(見[264])A為口義口正互反矩陣，算法步驟如下:a.... …..?…a.將A的每一列向量歸一化得W.二—j~；

j￡aa.ji=1b.對訪..按行求積并開n次方得記=(邛W)^；ij i j/T~c.將叱歸一化w= i一,w=(w,w,A,w)T即為近似特征向量;I i寸? 1 2n2wii=1d.計算九二1寸AL，作為最大特征根的近似值。ni1w.★(4)編寫根法函數(shù)，用該函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。提示：sum,prod,diag]對矩陣A按行求和的調(diào)用為sum(A,2)。對矩陣A按行求積的調(diào)用為prod(A,2)。diag(V),用向量V構(gòu)造對角矩陣。nargin,存放函數(shù)輸入自變量的數(shù)目。編寫的程序和調(diào)用及運行結(jié)果(見磔41)：function[lambdaw]=p264GEN(A)%根法一求正互反陣最大特征根和特征向量%A 正互反方陣%lambda最大特征根%w 歸一化特征列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A));%a.將A的每一列向量歸一化ww=(prod(AA,2)).A(1/n);%b.對AA按行求積并開n次方，ww為列向量w=ww./sum(ww);%c.歸一化，得w為近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/n;%d.計算最大特征根的近似值11.2（驗證，編程）旅游決策問題p250?256在下面程序中，腳本式m文件p250.m調(diào)用函數(shù)式m文件p250fun.m（求A的最大特征根及歸一化特征列向量、一致性指標值CI、一致性比率值CR）,p250fun.m中調(diào)用另一個函數(shù)式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及歸一化特征列向量）。（1）腳本式m文件如下：%旅游決策問題%文件名：p250.mclear;clc;formatcompact;%層次分析法的基本步驟：%1?建立層次結(jié)構(gòu)模型%見p250圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)%2.構(gòu)造成對比較陣%第2層為準則層：景色、費用、居住、飲食和旅途5個準則A=[11/2433;???21755;...1/41711/21/3;...1/31/5211;1/31/5311];%第3層為方案層：P1、P2和P3等3個供選擇地點B1=[125;1212;1/51/21];B2=[11/31/8;311/3;831];B3=[113;113;1/31/31];B4=[134;1/311;1/411];B5=[111/4;111/4;441];B=['B1,;,B2';'B3,;'B4,;,B5,];%3.計算權(quán)向量并做一致性檢查%第2層[lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A);ifCR2>=0.1%成對比較陣A的一致性檢驗disp([，CR2=，,num2str(CR2),，>0.1A沒有通過一致性檢查！，])return;end%第3層lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5);fork=1:5[lambda3(k)w3k(:,k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,:)));ifCR3k(k)>0.1%成對比較陣B1的一致性檢驗disp([(CR3k(k)='9num2str(CR3k(k))9(>0.19B(9num2str(k)9(沒有通過一致性檢查！，])return;endend%4.計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗w3=w3k*w2;%最下層(第3層)對目標(第1層)的組合權(quán)向量%第3層組合一致性檢驗(從第3層開始)CI3=CI3k*w2;%隨機一致性指標RI的數(shù)值(下標對應成對比較方陣的階數(shù))：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];RI3=RI([3,3,333])*w2;%標量CR3=CI3/RI3;ifCR3>0.1disp(['CR3=,,num2str(CR3)J>0.1,第3層沒有通過組合一致性檢查！1])return;end%最下層(第3層)對第1層的組合一致性比率為CR=CR2+CR3;ifCR>0.1disp(['CR=',num2str(CR)J>0,1,沒有通過組合一致性檢查！1])return;end%添加命令用于顯示有關(guān)結(jié)果：(2)函數(shù)式m文件如下：function[lamdawCICR]=p250fun(A)%求A的最大特征根及歸一化特征列向量、一致性指標值CI、一致性比率值CR%A成對比較陣(正互反方陣)%lamda 最大特征根值%w A的歸一化特征列向量(權(quán)向量)%CI 一致性指標值%CR 一致性比率值[lamdaw]=p264HE(A);%求A的最大特征根及歸一化特征列向量%隨機一致性指標RI的數(shù)值(下標對應成對比較方陣的階數(shù))：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];n=length(A);CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指標，CI=0時A為一致陣；CI越大A的不一致程度越嚴重CR=CI/RI(n);%一致性比率，CR<0.1時認為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)要求：請仔細閱讀以上程序，完成以下實驗：在腳本式m文件后面添加命令，使★①顯示第2層的數(shù)據(jù)。包括：最大特征根解特征向量（權(quán)向量）W；一致性指標CI;一致性比率CR。添加的命令和運行結(jié)果（見的1）：lambda2,w2,CI2,CR2CouandTindovII口IIXFilsEditEsbugDesktoj?、

lamtida2=5.0729=0.26230.47440.05450.09850.1103CI2=0.0182CR2二0.0163A?|OVE★②顯示第3層的數(shù)據(jù)。包括：特征向量（權(quán)向量）W；最大特征根入；一致性指標CI。添加的命令和運行結(jié)果（見儂1表3）：w3k,lambda3,CI3k

★③顯示最下層（第3層）對目標（第1層）的組合權(quán)向量。添加的命令和運行結(jié)果（見儂1）：w3★④顯示第2層和第3層的組合一致性比率，以及最下層對第1層的組合一致性比率。添加的命令和運行結(jié)果（見匹61）：CR2,CR3,CR2.循環(huán)比賽的名次2.1（編程，2.1（編程，p270,271~272驗證）雙向連通競賽圖（4頂點）的名次排序（教材p270中圖3（4））（教材p270中圖3（4））如下:圖是雙向連通圖，屬于第2種類型

該圖的鄰接矩陣為：可通過以下方法給出名次排序。4個頂點的競賽圖4個隊得分（獲勝場數(shù)）為（2,2，1，1）由得分排名為｛（1，2），（3,4）｝，該競賽0001★（1）編寫一個程序，求出1~8級得分向量，并依據(jù)8級得分向量給出排名。給出程序和運行結(jié)果（比較[272]）：clear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣21的酬3);%方陣A的階數(shù)s=A*ones(n,1);disp(s');fork=2:8s=A*s;disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend');%降序k'%排名,'CouandTindov 區(qū)FilsEditIIeBugDesktojiiffiiidowHelp2211321233235533S瑪359S5S13138921179131243A?|ovn(2)求元素互不相等的得分向量法得分向量為s=A*ones~11其中，ones=.11記S(1)=Ss(k)=A*s(k-1)=Ak*ones,k=2,3,… (s因稱為k級得分向量)程序如下：%雙向連通競賽圖的名次排序(求元素不等的得分向量)%文件名：p272_1.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣叫如酬仆);％方陣A的階數(shù)s=A*ones(n,1);k=1;whilelength(unique(s))<n%unique(s)去掉s中的重復元素s=A*s;k=k+1;endk%k級得分向量s'%元素不等的得分列向量[~,kk]=sort(s,'descend');%降序kk'%排名☆(2)運行求元素互不相等的得分向量法程序。運行結(jié)果(比較[272])：(3)特征根法對于n>4個頂點的雙向連通競賽圖，其鄰接矩陣A為素陣(存在正整數(shù)r，使Ar>0),且有「41lim =sk—?入k其中，1為全1列向量，入為最大實特征根且為正，$為其特征列向量。%雙向連通競賽圖的名次排序(特征根法)%文件名：p272_2.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣[VD]=eig(A);%返回A的特征值和特征向量。%其中D為A的特征值構(gòu)成的對角陣，每個特征值%對應的V的列為屬于該特征值的一個特征向量。D=diag(D);%返回矩陣D的對角線元素構(gòu)成列向量。D=D.*(imag(D)==0);%復數(shù)特征值用0代替，實數(shù)的則不變[lamda,k]=max(D);lamdas=V(:,k)/sum(V(:,k));%最大特征根對應的特征列向量(歸一化)[~,k]=sort(s,'descend');%降序s',k'☆(3)運行特征根法程序。給出運行結(jié)果(比較[272])：2.2(驗證)雙向連通競賽圖(6頂點)的名次排序p270,272?2736個頂點的競賽圖(教材p270中圖1)如下:

該圖的鄰接矩陣為:該圖的鄰接矩陣為:11111111000010001100100111000010001100100100100要求：使用上題的程序?！?1)求出1~4級得分向量，并依據(jù)4級得分向量給出排名。運行結(jié)果(比較[272])：

☆(2)運行求元素互不相等的得分向量法程序。運行結(jié)果:☆⑶運行特征根法程序。運行結(jié)果(比較[273])：3.公平的席位分配(驗證)參照慣例的席位分配方法p278-279某學校有甲乙丙三個系共有200名學生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20個代表席位，采用參照慣例的席位分配方法，分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。(2)有21個代表席位，采用參照慣例的席位分配方法，分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。下面是參照慣例的席位分配方法的求解函數(shù):function[qi,ni]=p278fun(p9n)%p 各單位人數(shù)(列向量)%n 總席位(標量)

%qi按比例分配的席位(列向量)%ni參照慣例的結(jié)果(列向量)qi=n*p/sum(p);%按比例各單位所得席位(可能含小數(shù))ni=fix(qi);%各單位所得席位取整m=n-sum(ni);%可能有沒分配完的席位ifm>0%席位沒分完[~,k]=sort(qi-ni,'descend');%按降序排序(缺省為升序)ni(k(1:m))=ni(k(1:m))+1;%排在前m個，加1end要求：①在命令窗口分別調(diào)用以上函數(shù)求解(使用最佳定點或浮點格式(5位數(shù)字)控制命令formatshortg)。②兩個結(jié)果比較，合理嗎？☆題(1)(20個代表席位)的調(diào)用及結(jié)果(比較[279]表1)。CouandTindov nXFileIditDsbugIi^sktcplindo*Help?—過]邛:2由￡皿[口。3」63,34]'」20〉；?[qijni]□ns=10610646.33.4A?||07R

☆題⑵(21個代表席位)的調(diào)用及結(jié)果(比較[279]表1)。CouandTindov nXIdi+DeBugDesktopTfmdowHelp?[qi,nikpZ忍fun[[10a63,34]J,21);?Eqi,ni]ans=1110.SL51136.615357Aa|WR.3.2(驗證)Q值方法p280~281(教材：8.4公平的席位分配)某學校有甲乙丙三個系共有200名學生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20個代表席位，采用Q值法分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。(2)有21個代表席位，采用Q值法分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果工下面是Q值法的求解函數(shù)：function[qi9ni]=p280fun(p,n)%p 各單位人數(shù)(列向量)%n 總席位(標量)%qi按比例分配的席位(列向量)%ni 參照慣例的結(jié)果(列向量)qi=n*p/sum(p);ni=fix(qi);whilesum(ni)<nQi=p.A2J(ni?*(ni+1));%ni>0[ri]=max(Qi);%求最大值元素及下標ni(i)=ni(i)+1;end要求：①在命令窗口分別調(diào)用以上函數(shù)求解(使用最佳定點或浮點格式(5位數(shù)字)控制命令formatshortg)。

②兩個結(jié)果比較，合理嗎?☆題（1）（20個代表席位）的調(diào)用及結(jié)果（見圖1］）。CoBAandWindow .口XFilsEditDebugR巨上ktopfirLdfi*Help?[qtdp230fun1口叫63,34]<2。）；?Eqijnil□ns=116311636.33.4A>>☆☆題（2）（21個代表席位）的調(diào)用及結(jié)果（見［281］）。|oo|oo附1:實驗提示附2：第8章離散模型[249]8.1層次分析模型第8章 離散模型一般地說，確定性離散模型包括的范圍很除第6章的差分方程模型外，用整數(shù)規(guī)劃、圖詒、對策論、網(wǎng)絡流等數(shù)學工具都可以建立離散模型.本章選擇了幾個在實際中應用莪廣、涉及的數(shù)學知識又不太深的模型一層次分析模型"和“沖量過程模型”是對社會經(jīng)濟系統(tǒng)進行系統(tǒng)分析的有力工具，“循環(huán)比賽的名次"和”公正的選舉”討論了排序問題「席位分配”是社會政治領域中一個令人關(guān)注的問題.從應用的角度看，這些模型只用到基本的代數(shù)、集合及一點點圖論的知識.8.1層次分析模型人們在日常生活中常常碰到許多決策問題：買一件襯衫，你要在棉的、絲的、滌綸的……及花的、白的、方格的……之中作出抉擇；請朋友吃飯，要籌劃是辦家宴或去愎店，是吃中餐還是西餐或自助餐；假期旅游，是去風光綺麗的蘇杭，還是去迷人的北戴河海濱，或者去山水甲天下的桂林?如果以為這些日常小事不必作為決策問題認真對待的話，那么當你面臨報考學校、挑選專業(yè)，或者選擇工作崗位的時候，就要慎重考慮、反復比莪?盡可能地作出滿意的決策了?從事各種職業(yè)的人也經(jīng)常面對決策：一個廠長要決定購買哪種設備，上馬什么產(chǎn)品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難病癥確定治療方案；經(jīng)理要從若干應試者中選拔秘書；各地區(qū)各部門的官員則要對人口、交通、經(jīng)濟、環(huán)境等領域的發(fā)展規(guī)劃作出決策.人們在處理上面這些決策問題的時候，要考慮的因素有多有少，有大有小,但是一個共同的特點是它侑通常都涉及經(jīng)濟.社會、人文等方面的因素，在作比較、判斷、評價、決策時，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇（當然要根據(jù)客觀實際）會起著相當主要的作用，這就給用一般的數(shù)學方法解決問題帶來本質(zhì)上的困難.T.L.Saaty等人在20世紀70年代提出了一種能有效地處理這樣一類問題的實用方法，稱層次分析法（AnalyticHierarchyPma躺，筒記4HP）,這是一種定249準則層方案層選擇旅游地250準則層方案層選擇旅游地250性和定.量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法,⑶㈤①。,刈一、層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對一個復雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的.不妨用假期旅游為例，假如有片，。2,匕3個旅游勝地供你選擇，你會根據(jù)諸如景色、費用和居住、飲食、旅途條件等一些準則去反復比較那3個候選地點.首先，你會確定這些準則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟寬綽、醉心旅游，自然特別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會優(yōu)先考慮費用，中老年旅游者還會對居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注.其次，你會就每一個準則將3個地點進行對比，譬如匕景色最好,P?次之；P2贄用最低，P,次之；23居住等條件較好等等.最后，你要將這兩個層次的比較判斷進行綜合，在巳，尸2,匕中確定哪個作為最佳地點.上面的思維過程可以加工整理成以下幾個步驟：.將決策問題分解為3個層次，最上層為目標層，即選擇旅游地，最下層為方案層,有匕，233個供選擇地點，中間層為準則層，有景色、費用、居住、飲食、旅途5個準則，各層間的聯(lián)系用相連的直線表示（圖1中費用和飲食的連線從略）.目標層圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu).通過相互比較確定各準則對于目標的權(quán)重，及各方案對于每一準則的權(quán)重.這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重的定量方法..將方案層對準則層的權(quán)重及準則層對目標層的權(quán)重進行綜合，最終確定方案層對目標層的權(quán)重.在層次分析法中要給出進行綜合的計算方法?層次分析法將定性分析與定量計算結(jié)合起來完成上述步驟，給出決策結(jié)果,下面我們來說明如何比較同一層各因素對上層因素的影響（或在其中的重要性），從而確定它們在上層因素中占的權(quán)重.成對比較矩陣和權(quán)向?涉及到社會、經(jīng)濟、人文等因素的決策問題的主要困難在于，這些因素通常不易定量地量測.人們憑自己的經(jīng)驗和知識進行判斷,當因素較多時給出的結(jié)果往往是不全面和不準確的，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受.Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，二是對比時采用相對尺度，以盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準確度.假設要比較某一層〃個因素C、，g,…，C.對上層一個因索。的影響，如旅游決策問題中比較景色等5個準則在選擇旅游地這個目標中的重要性.每次取兩個因素G和G，用氣表示G和6對。的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣=(=(av)>0,ajt=一%(1)表示.由于（1）式給出的Qj,的特點（叼是、的倒數(shù)，,即互反數(shù)）*稱為正互反矩陣.顯然必有4=1.如用孰，。2,…，G依次表示景色、費用、居住、飲食、旅途5個準則,設某人用成對比較法（做C”竽次對比）得到的成對比較陣（正互反陣）為■12A=■12A=1/41/31/31/241 71/711/521/533 3 ■5 51/2 1/31 1(2)251251（2）中aI2=1/2表示景色G與費用G對選擇旅游地這個目標。的重要性之比為1：2；%3=4表示景色G與居住條件。3之比為爾1；。23=7表示費用C2與居住條件C3之比為7：1.可以看出此人在選擇旅游地時，費用因素最重，景色次之，居住條件再次.怎樣由成對比較陣確定諸因素對上層因素。的權(quán)重呢？仔細分析一下（2）式給出的成對比較陣A可以發(fā)現(xiàn)，既然G與G之比為l：2,g與C3之比為4：1,那么C2與C3之比應為8：1而不是7：1,才能說明成對比較是一致的.但是加個因素要作次成對比較，全部一致的要求是太苛刻了.Saaty等人給出了在成對比較不一致的情況下計算各因素C,,C2,…，Cn對因素O的權(quán)重的方法，并且確定了這種不一致的容許范圍，為了說明這點我們先看成對比較完全一致的情況.設想把一塊單位重量的大石頭。砸成〃塊小石頭g,，2,…，G，如果精確地稱出它們的重量為叫，…，孫，在作成對比較時令%=叫/嗎，那么得到-Wj/w,wt/w2???..wJWn■???..以/孫.加,/加2???■w/wn*> n這些比較顯然是一致的.n塊小石頭對大石頭的權(quán)重（即在大石頭中的重量比）n可用向量W=表示，且Sw.=1.顯然，A的各個列向量與w僅相差一個比例因子.一般地，如果一個正互反陣4滿足與,伽二= …，幾 （4）則A稱為一致性矩陣，簡稱一致陣.（3）式給出的A顯然是一致陣.容易證明n階一致陣4有下列性質(zhì)（習題1）..A的秩為1,4的惟一非零特征根為n；.A的任一列向量都是對應于特征根孔的特征向量.如果得到的成對比較陣是一致陣，像（3）式的A,自然應取對應于特征根n的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素G,對上層因素。的權(quán)重，這個向量稱為權(quán)向■.如果成對比較陣A不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)（下面將說明如何確定這個范圍），Saaty等人建議用對應于A最大特征根（記作人）的特征向摩（歸一化后）作為權(quán)向量w,即w滿足Aw=Aw （5）直觀地看，因為矩陣4的特征根和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素為,所以當、離一致性的要求不遠時,4的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大.（5）式表示的方法稱為由成對比較陣求權(quán)向量的特征根法.求人和w的簡便算法和特征根法更深入的意義，以及其他求權(quán)向量的方法見本節(jié)第三小節(jié).比較尺度當比較兩個可能具有不同性質(zhì)的因素G和q對于一個上層因索。的影響時，采用什么樣的相對尺度、較好呢?Saaty等人提出用1-9尺度，即與的取值范圍是1,2,…，9及其互反數(shù)1,1/2,…，1/9.理由如下..在進行定性的成對比較時，人們頭腦中通常有5種明顯的等級，用1-9尺度可以方便地表示如表1.表11-9尺度%的含義尺度%含義1G與G的影響相同3ct比Cj的影響稍強252 續(xù)表尺度％含義5G比c,的影響強7G比G的影響明顯的強9G比cj的影響絕對的強2,4,6,81,1/2,…，1/9口與J的影響之比在上述兩個相鄰等級之間Cj與G的影晌之比為上面、的互反數(shù).心理學家認為，進行成對比較的因素太多，將超出人的判斷能力，最多大致在7±2范圍.如以9個為限，用1-9尺度表示它們之間的差別正合適..Saaty曾用1-3,1-5,…，1-17,…（d+0.1）-（d+0.9）（d=1,2,3,4）,1〃-9。。=2,3,4,5）等共27種比較尺度，對在不同距離處判斷某光源的亮度等實例構(gòu)造成對比較陣，并算出權(quán)向量.把這些權(quán)向量與按照光強定律等物理知識得到的，或?qū)嶋H測量出的權(quán)向量進行對比發(fā)現(xiàn)，1-9尺度不僅在較簡單的尺度中最好，而且結(jié)果并不劣于較復雜的尺度.目前在層次分析法的應用中，大多數(shù)人都用1-9尺度，（2）式中的4就是這個尺度.關(guān)于不同尺度的討論也一直存在著.一致性檢驗成對比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對應于特征根人的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應在容許范圍內(nèi)?怎樣確定這個范圍呢？前面已經(jīng)給出n階一致陣的特征根是幾，在本節(jié)第三小節(jié)將證明的一個重要定理表明，幾階正互反陣4的最大特征根人才幾，而當人;八時4是一致陣?根據(jù)這個定理和人連續(xù)地依賴于%的事實可知，八比九大得越多4的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大?因而可以用入一九數(shù)值的大小來衡量4的不一致程度.Saaty將（6）幾一1定義為一致性指標,C/=O時4為一致陣；C/越大4的不一致程度越嚴重.注意到A的n個特征根之和恰好等于幾（為什么？），所以C，相當于除A外其余R-l個特征根的平均值（取絕對值）.為了確定A的不一致程度的容許范圍，需要找出衡量通的一致性指標CI的標準.Saaty又引入所謂隨機一致性指標A/,計算RI的過程是,對于固定的n,隨機地構(gòu)造正互反陣4'（它的元素可（i<j）從1?9/?1/9中隨機取值），然后計算4'的一致性指標CL可以想到，4,是非常不一致的，它的C/相當大.如此構(gòu)253[254]題1.2①答案造相當多的A',用它們的CI的平均值作為隨機一致性指標.對于不同的加，用100-500個樣本總'算出的隨機一致性指標RF的數(shù)值如表2電表工隨機一致性指標無『的數(shù)值〔■?■一—―I—町一—l」 —— ]」」n I23 4 5 67 8 91OilRI0 0 。.犯Q.90i,12L241,32L41 1,45r49 1,51表中孔二1,2時膽=0,是因為1,2階的正互反陣總是一致陣.對于冷棄3的成對比薪陣力，將它的一致性指標G與同階（指用相同）的隨機一致性指標也之比稱為一致性比率仃及，當CK=^<S[ ⑺ni時認為4的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量.（7）式中d1的選取是帶有一定主觀信度的.對于4利用（6）,（7）式和表2進行檢驗稱為一致性檢驗.當檢驗不通過時,要重新進行成對比較，或?qū)σ延械?進行修正.對于（2）式給出的4可以算出值，▲=5.073,歸一化的特征向量w=（S263,6475。055,0,099,6110廣由（6）式S=濘小一.=0.。18,在表2中查出□-1R1=V12,按（7）式計算，CR=與喈=0.016<0.I,一致性檢驗通過，上述陟可XBJ./作為權(quán)向量.組合權(quán)向-在旅游決策問題中我們已經(jīng)得到了第2層（準則層）對第1層（目標層，只有一個因素）的權(quán)向量，記作w⑶=（說加，…，如產(chǎn)廣（即由（2）式的A算出的w）.用同樣的方法構(gòu)造第3層（方案層一見圖1）對第2層的每一個準則的成對比較陣,不妨設它們?yōu)镋】=\1/211/52 53E】=\1/211/52 53;口L[兄=3

,8r1 34一Bt=|1/3111/4】1_1/31/y1 1/33 1r「J風=1,4凡二1J/31i/4'11/4：4 1.1 3]1 31/31小這里矩陣當。=】，…，5）中的元素⑹>是方案（旅游地）？與巴對于準則6（景這里矩陣當。=】①由于隨機性，不同的人用不同的樣本得到的用的數(shù)值會與表2稍有出入.②計算用的是耐便施旅——和法（見本節(jié)第三小節(jié)）.254題1.2②③答案色、費用等）的優(yōu)越性的比4?尺度.由第3層的成對比較陣力計算出權(quán)向量叫打，最大特征根心和一致性指標。乙，結(jié)果列入表3.表:5旅賽決策問題第3層的計算結(jié)果k123455950.0B20.42906330.1660.277U.2360.4290.1930.1660.12966820.1420.1750,668兒3.0053.00233.00930.0030.OOJ00.DOS0 不難看出，由于丹=3時隨機一致性指標股=0.5履表2）,所以上面的5均可通過一致性檢驗.下面的問題是由各準則對目標的權(quán)向量小⑶和各方案對每一準則的權(quán)向量歲了（左二1,…,5）,計算各方案對目標的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向■，記作w⑶“對于方案P,它在景色等5個準則中的權(quán)重用的第1個分量表示（表3中肥產(chǎn)的第1行），而5個鹿則對于目標的權(quán)重又用權(quán)向量期⑵表示，所以方案片在目標中的組合權(quán)重應為它們相應項的兩兩乘積之和，即0.595x0.263+0.082又0.475+0.429x0.055+0.633x0,099+0.166x0,110=0.300同樣可以算出生，尸3在目標中的組合權(quán)重為0.246和0.456,于是組合權(quán)向量w⑴二。.3。。,。2463456）\結(jié)果表明方案?在旅游地選擇中占的權(quán)重近于1/2,遠大于片■匕，應作為第】選擇地點.由上述計算可知，對于3個層次的決策問題，若第1層只有1個因素，第2,3層分別有明機個因素，記第2,3層對第1,2層的權(quán)向量分別為—…,土）T=（*T…，陪）,上=12…小以“產(chǎn)為列向量構(gòu)成矩陣w⑶=［限則第3層對第1層的組合權(quán)向量為W⑶=W⑶*⑶ （8）更一般地，若共有$層，則第立層對第1層（設只有1個因素）的組合權(quán)向髭滿足，的=小,w&",￡=3,4,…，$ （9）其中呼,是以第壺層對第比-I層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣,于是最下層255題1.2④答案（第苫層）對最上層的組合杈向量為中⑺"W'中⑺"W'沖I)…W⑺W⑶(10)組合一致性檢驗在應用層次分析法作重大決策時，除了對每個成對比較陣進行一致性檢驗外，還常要進行所謂組合一致性檢驗，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù).組合一致性檢驗可逐層進行,若第p層的一致性指標為€，臺,…，CI^（n是第"1層因素的數(shù)目），隨機一致性指標為附乙…用了，定義門⑺=［口『），…，（11）TOC\o"1-5"\h\zRI{P}=［HI,，…7/產(chǎn)］棒37 {12）則第P層的組合一致性比率為「尸P）CM=篙77rM=3，4,…，5 （13）第P層通過組合一致性檢驗的條件為CR⑺《0.L定義最下層（第5層）對第1層的組合一致性比率為CR'=.￡以書 （14）/-2對于重大項目，僅當GT適當?shù)匦r，才認為整個層次的比較判斷通過一致性檢驗.在旅游決策問題中可以算出G⑶=0.00176,四⑶=0.58,CR⑶-0.003前面已經(jīng)有CA⑵=0.016,于是ar=0.019,組合一致性檢驗通過，前面得到的組合權(quán)向量W⑶可以作為最終決策的依據(jù).可將層次分析法的基本步驟歸納如下.t.建立層次結(jié)構(gòu)模型在深入分析實際問題的基礎上，將有關(guān)的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次?同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊懀瑫r又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨立.最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有1個或幾個層次，通常為準則或指標層*當準則過多時（比如多于9個）應進一步分解出子準則層?.構(gòu)造成對比較陣從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于（或影響及）上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1-9比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層..計算權(quán)向■井做一致性檢驗對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量（計算方法見本節(jié)第三小節(jié)），利用一致性指禰，隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗.若檢驗通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向曷；若不通過，需重新構(gòu)造成對比較陣.256.計算蛆合權(quán)向■并做組合一致性檢驗利用（1。）式計算最下層對目標的組合權(quán)向量，并酌情作組合一致性檢驗.若檢驗通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進行決策，否則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR較大的成對比較陣.二、層次分析法的廣泛應用層次分析法在T.L.Saaty正式提出來之后，由于它在處理復雜的決策問題上的實用性和有效性，很，快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和廣泛的應用.二三十年來它的應用已遍及經(jīng)濟計劃和管理、能源政策和分配、行為科學、軍事指揮、運輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療、環(huán)境等領域.從處理問題的類型看，主要是決策、評價、分析、預測等.這個方法在20世紀80年代初引入我國，也很快為廣大的應用數(shù)學工作者和有關(guān)領域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應用.從上面介紹的層次分析法的基本步驟看，建立層次結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵的一步，下面給出應用實例時即以這一步為主.構(gòu)造成對比較陣是整個工作的數(shù)量依據(jù)，當然是重要的，應當由經(jīng)驗和知識豐富、判斷力強的專家給出，還不妨采用群體判斷的方式.至于第3,4步的計算工作，數(shù)學工作者是容易完成的.例1管理信息系統(tǒng)綜合評價當今任何部門每天都會接觸到大量的信息，信息管理水平的高低直接關(guān)系著工作效率,甚至生存條件.財務、庫存、銷售、行政……各種各樣的管理信息系統(tǒng)（MIS）開發(fā)完成或準備推廣時，通常要作全面的檢查、測試和分析，AHP是進行綜合評價的方法之一.某一類管理信息系統(tǒng)的綜合評價指標體系如下：1.系統(tǒng)建設當科學性Cn規(guī)劃目標的科學性，經(jīng)濟、技術(shù)、管理上的可行性；實現(xiàn)程度CX2是否達到系統(tǒng)分析階段提出的目標；先進性。門融合了先進的管理科學知識，有較強的適應性；經(jīng)濟性弓4投資一功能比；資源利用率Gs對軟硬件、信息資源的利用程度；規(guī)范性Ge遵循國際標準、國家標準或行業(yè)標準，易于使用、維護和擴充.2.系統(tǒng)性能凡可靠性主要是軟硬件系統(tǒng)的可靠性；系統(tǒng)效率C22系統(tǒng)響應時間、周轉(zhuǎn)時間、吞吐量等；可維護性c23確定、修正系統(tǒng)的錯誤所需的代價；可擴充性C24系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、硬件設備、軟件功能的可擴充程度；257

可移植性Cu將系統(tǒng)移植到另一種軟硬件環(huán)境的代價；安全性。26當自然或人為故障造成系統(tǒng)破壞時的有效對策.3.系統(tǒng)應用4經(jīng)濟效益Gi降低成本、增加利潤、提高競爭力、改進服務質(zhì)量等；社會效益J提高科技水平、合理利用資源、增進社會福利、保護生態(tài)環(huán)境等；用戶滿意度c”人機界面友好、操作方便、容錯性強、有幫助功能等；功能應用程度G”是否達到預期的技術(shù)指標.用以上各評價指標構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)，形成目標層4、準則層8、子準則層C和方案層D,如圖2.————功能應用程度5——用戶滿意度分I—社會效益——經(jīng)妥益q——「安全性4 ——可移植性——可擴充性以————可維護性』————系統(tǒng)效率?！猺可靠性& ——規(guī)范性』 —資源利用率G——經(jīng)濟性CM?——先進性％ —實現(xiàn)程度4———科學性g 圖2MIS綜合評價的層次結(jié)構(gòu)由專家和用戶組成的小組對3個MIS系統(tǒng)D,，氏，％進行綜合評價，將成對比較陣略去，得到的權(quán)向量及一致性檢驗的結(jié)果如下：準則層8對目標層4的權(quán)向量“⑵=(0.162,0.309,0.529",一致性指標C/(2)=0,0056.子準則層C對當，也，斗的權(quán)向量分別為w⑶)二(0.101,0.177,0.177,0.312,0.056,0.177),w⑶)=(0.350,0,126,0.230,0.126,0.043,0.126),v(33)=(0.336,0.161,0.420,0.082),一致性指標分別為CI(3,)=0.0043,C/"2)=0.。048,C7(33)=0.0061.258方案層D對子準則層C(共16個因素)的權(quán)向量wr和一致性指標CI^=1,2,…，16)列入表4,其中C對力的權(quán)向量”⑶=W⑶”⑵，而w⑶是以訪⑶)，才⑶)，訪(劃為列向量的16x3矩陣(見(8)式)，［⑶,=(>P<3I),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)T,w(32)=(0,0,0,0,0,0,132),0,0,0,0/, =(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4)T.以表4中的16個權(quán)向量w1)為列向量構(gòu)成3X16矩陣則方案層D對目標層4的組合權(quán)向量為W⑷=Ww⑶=(0.315,0.478,0.207)T.各層的一致性檢驗及組合一致性檢驗全部通過，上面得到的組合權(quán)向量可以作為3個MIS系統(tǒng)綜合評價的依據(jù)，即系統(tǒng)5最優(yōu),，次之.表4MIS綜合評價中方案層D對于準則層C的計算結(jié)果廠Cua?C13G,G,C16C220.0160.0290.0290.0510.0090.0290.1080.039*。0.4620.3440.4620.1620.5350.4620.3330.4620.3690.5350.3690.3090.3440.3690.4760.3690.1690.1210.1690.5290.1210.1690.1900.169c/?。?.01110.01270.01110.00560.01270.01110.03040.0111qCuC”JC3IC”C3i0.0710.0390.0130.0390.1780.0850.2230,0430.1090.3090.3090.1090.4620.2310.2740.3090.5700.5290.5290.5700.3690.5540.6320.1620.3210.1620.1620.3210.1690.2150.0950.5290.00270.00560.00560.00270.01110.01030.01360.0056例2橫渡江河、海峽方案的抉擇1970年南京長江大橋的建成結(jié)束了津浦鐵路輪渡長江的歷史，穿越英吉利海峽的隧道為英法兩國的交通帶來了巨大的方便，跨越瓊州海峽、連接海南島和雷州半島的輪渡已經(jīng)實現(xiàn)，有人甚至在醞釀橫越臺灣海峽的海底隧道了.渡江越海的辦法主要有建橋梁、修隧道、輪渡三種，進行抉擇時不外乎要從效益和代價兩方面考慮，這兩方面又各有若干準則加以度量，用AHP方法處理應將效益和代價作為兩個目標，分別建立層次結(jié)構(gòu)，圖3和圖4中表述的是某部門對準則的選擇，僅供參考，因為它們的含義都容易從字面上理解，這里就不一一解釋了.構(gòu)造成對比較陣和計算權(quán)向量的部分從略.259?—美化C——O——進出方便G1——舒適G—— 自豪感C81——交往溝通G————安全可靠G————建筑就業(yè)4「——當?shù)厣虡I(yè)C4——岸間商業(yè)G——一收入6—一I節(jié)省時間G—圖3渡江越海評價效益的層次結(jié)構(gòu)圖4渡江越海評價代價的層次結(jié)構(gòu)260例3科技成果的綜合評價科技成果涉及的領域很廣，種類很多，這里指的是直接應用于國民經(jīng)濟的某個生產(chǎn)部門后，可迅速轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力，帶來可定量計算的經(jīng)濟效益的那一類成果.評價準則先分為效益G、水平G、規(guī)模c3共3類，再在每類中確定若干具體指標，如此構(gòu)造的層次結(jié)構(gòu)由圖5給出.圖5科技成果評價的層次結(jié)構(gòu)當對科技成果進行相對評價時，可直接利用層次分析法確定出它們對于綜合評價的優(yōu)劣順序.當對科技成果進行絕對評價時，應先用層次分析法得到，G2…各項具體指標在綜合評價中的相對權(quán)重，再給出這些指標的等級標準，如對于G），年經(jīng)濟效益在1000萬元以上為1等（9分）；100萬元以上為2等（7分）；……1萬元以下為5等（1分）.對于C23,達到國際水平為1等（9分）；部分達到或全面接近國際水平為2等（7分）；國內(nèi)先進水平為3等（5分）；國內(nèi)水平為4等（3分）；一般水平為5等（1分）.當某項成果在各指標中的等級被主管部門認定后，將各個分值乘以各指標在綜合評價中的權(quán)重并求和，即為這項成果的綜合絕對評價的分值.例4工作選擇一個剛獲得學位的大學畢業(yè)生面臨選擇工作崗位，他將要考慮的準則有：能夠發(fā)揮自己的才干為國家作貢獻；豐厚的收入；適合個人的興趣及發(fā)展；良好的聲譽；人際關(guān)系；地理位置等，于是他可以構(gòu)造如圖6的層次結(jié)構(gòu)，用層次分析法確定可供選擇的工作的優(yōu)先順序.你認為這些準則合適嗎？試給出準則層對目標的成對比較陣?

工作選擇例5國家實力分析一些高層研究人員要對美、俄、中、英、法、日、德等大國的國家綜合實力進行分析判斷，層次分析法為其提供了一種手段.這里的關(guān)鍵是確定合適的準則及進行實事求是的對比,一個供參考的層次結(jié)構(gòu)如圖7所示.圖7國家綜合實力分析的層次結(jié)構(gòu)通過以上列舉的幾個實例可以大體上看出層次分析法的應用模式和涉及范圍.順便指出，在這個方法提出和完善的20世紀70年代，Saaty等人曾用它解決過一些國際或國家級的重大課題，如1985年世界石油價格的預測，蘇丹運輸系統(tǒng)的研究，美國未來高等教育(1985—2000)的規(guī)劃等收刈.三、層次分析法的若干問題層次分析法問世以來不僅得到廣泛的應用，而且在理論體系、計算方法以及建立更復雜的層次結(jié)構(gòu)等方面都有很快的發(fā)展?本節(jié)將著重從應用的角度討論幾個問題，對它的公理化體系等方面有興趣的讀者可參看[65,90].262[263]題1.1(2)幕法1正互反陣最大特征根和對應特征向量的性質(zhì)成對比較陣是正互反陣.層次分析中用對應它的最大特征根的特征向量作為權(quán)向用，用最大特征根定義一致性指標（6）式進行一致性檢驗.這里人們首先碰到的問題是:正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量工一致性指標的大小是否反映它接近一致陣的程度,特別,當一致性指標為零時，它是否就變?yōu)橐恢玛?下面兩個定理可以回答這些問題.定理1對于正矩陣A（4的所有元素為正數(shù)八1）4的最大特征根是正單根R;A對應正特征向量皿小的所有分量為正數(shù)）;J吧［得=w，其中1=（1,1,…/）『產(chǎn)是對應X的歸一化特征向量.定理的1）,2）是著名的Pemm-FmAnius定理的一部分,3）可通過將4化為標準形證明（略）.定理2n階正互反陣A的最大特征根九Nr*當八=/i時4是一致陣.證明見［83］定理2和前面所述的一致陣的性質(zhì)表明川階正互反陣△是一致陣的充要條件為，4的最大特征根入二%上述結(jié)論為特征根法用于層次分析提供了一定的理論依據(jù).2.正互反陣最大特征報和特征向量的實用算法眾所周知，用定義計算矩陣的特征根和特征向量是相當困難的，特別是矩陣階數(shù)較高的時候,另方面，因為成對比較陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對它作精確計算是不必要的，所以完全可以用簡便的近似方法計算其特征根和特征向量，下面介紹幾種.（1）靠法步驟如下：a.任取言維歸一化初始向量”⑼孑b.計算命 =Aw㈤,4=0,1,2,…；C.守仆⑴歸,-化.即令班3"=- ；￡嘰…i-3d.對于預先給定的精度￡,當|知:"■好（共］=1,2,,,,7）時即為所求的特征向量；否則返回公1:wti+l?e+計算最大特征根A二2V這是求最大特征根對應特征向量的迭代方法，其收斂性由定理1的3）保263[264]題1.1(3)(4)和法、根法，答案證.W⑺可任選或取為下面方法得到的結(jié)果.(2)和法相驟如下：必將力的每一列向量歸一化得茄/二I=1nb.對正u按行求和得/=SW,；7=1加J ?C.將近i歸一化叫"-；一1一，M=(叫,w2，…，％),即為近似特征向量①；￡*i,口t"(Aw)J.計算八二上W-一~作為最大特征根的近似值.這個方法實際上是將A的列向量歸一化后取平均值，作為4的特征向量.因為當A為一致陣時它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴重，則取A的列向量(歸一化后)的平均值作為近似特征向量是合理的.(3)根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對加爐按行求積并開口次方，即%=(n樂廣.J-1根法是將和法中求列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值.以上3個方法中以和法最為簡便.試用它計算一個例子。、」fL匹九0」740.268\nnQ"-3(反5870.3240.089)一,.精確計算給出核=(0.588,0.322,0.090)T,A=3.010.二者相比，相差甚微.3,為什么用成對比較陣的特征向量作為權(quán)向量我們知道，當成對比較陣4是一致陣時，力與權(quán)向量卬*(叫，…，叫)t的關(guān)m W-系滿足％=,，那么當A不是一致陣時，權(quán)向量w的選擇應使得氣與‘相差vw.①在和法中E由：二%于是%=笳但對根法則不具有這種方便性,264（對所有的ij）盡量地小.這樣，如果從擬合的角度看，確定“可以化為如下的最小二乘問題：TOC\o"1-5"\h\zmin （15）由（15）式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同.因為（15）式將導致求解關(guān)于孫的非線性方程組，計算復雜，且不能保證得到全局最優(yōu)解，沒有實用價值.如果改為對數(shù)最小二乘問題nn 2minYVIIna..-In—I （16）…,Q￡￡\ Wj）則化為求解關(guān)于In孫的線性方程組.可以驗證，如此解得的9恰是前面根法計算的結(jié)果（習題3）.特征根法解決這個問題的途徑可通過對定理2的證明看出㈤），由上可知，用不同標準確定的權(quán)向量是不同的（當然，若A為一致陣，則用所有標準確定的權(quán)向量應相同）.那么，相對其他方法而言特征根法有什么優(yōu)越性呢？當比較孰，Q,…，G幾個因素對上層某因素的影響時，旬是G對弓（直接比較）的強度，不妨稱為1步強度.若記］=（*））,則不難得到*）=?%.,川即點）是G通過3（$=1,2「??小）對Cj比較的強度之和，稱2步強度，它已包含了1步強度％（因為和式中包括S=iJ）.顯然42）比%更能反映G對Ci的強度.類似地，記4*二（&?）,*＞是“步強度，它包含了】步至1-1步強度.A越大，吟）越能全面地反映G對C,的強度.可以認為體現(xiàn)了相互比較的多步累積效應.的度量，即以券j（i更進一步可以證明,對于正互反陣A和每一對（ij）,存在鼠,當k〉k。時,Na2或W*,對所有式1?！┏闪?，這表明對于足夠大的的第i行元素給出了G在全部因素中排序權(quán)重的信息，可以用這行元素之和作為G的度量，即以券j（i二（1,1,…，1/）為諸因素的權(quán)向量，其中分母是歸一化的需要,回顧本小節(jié)定理1的3）.當及一＞8時9這個權(quán)向量正是4的特征向量W,即(17)由（17）式用級數(shù)理論還不難證明(18)圖8評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)圖8評價教師貢獻的層次結(jié)構(gòu)266以上分析表明，無論從全面反映因素間強度對比的多步累積效應的意義上（（17）式），還是從各個多步累積效應的平均的意義上（（18）式），用特征向鼠作權(quán)向量優(yōu)于用其他方法得到的權(quán)向量..不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向■的計算在前兩節(jié)列舉的大多數(shù)層次結(jié)構(gòu)模型中，上一層的每個因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，如圖1、6、7,這種層次結(jié)構(gòu)稱為完全的.但是也有的層次結(jié)構(gòu)不是這樣，如圖2、3、4、5,那里準則層中的一個因素，只支配子準則層的一部分因素，這種層次結(jié)構(gòu)稱為不完全的.不過，這類只出現(xiàn)在各準則層中的不完全性容易處理，如第二小節(jié)例】中，我們將不支配的那些因素的權(quán)向量分量簡單地置0,就可以用完全層次結(jié)構(gòu)的辦法處理，這顯然也是合理的.但是如果不完全結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在準則層與方案層之間，事情就有些麻煩，試看下例.學校要評價教師的貢獻，粗略地只考慮教學與科研兩個指標，若巴，尸2,匕，匕4位教師中只從事教學，匕只搞科研，P3則二者兼顧，那么層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.G,G支配因素的數(shù)目不等.先看看將不支配因素的權(quán)向量分量簡單置0有什么后果.設CX9C2對第1層的權(quán)向量w⑶=（小2）,初產(chǎn)）T已經(jīng)確定，a支配第3層的因素尸「匕，尸3，。2支配P3,匕，記兩個權(quán)向量為吟、=（若。陪，*,O）T和=（0,0,*,卬手）,按照（8）式應有w⑶二W⑶ ⑶（19）考察一個特殊情況：教學與科研兩個準則的重要性相同，即“⑵=（1/2,1/2）,,4位教師不論從事教學或科研，能力都相同，即“儼=（1/3,1/3,1/3,=（0,0,l/2,l/2）T.公正的評價應是，被安排只搞教學或科研的？產(chǎn)2,P43人的貢獻相同，而P3的貢獻為他們的一倍.但是按照（19）式得到的是w⑴=（1/6,1/6,5/12,1/4）t.怎樣才能得到合理的結(jié)果呢？一種辦法是用支配因素的數(shù)量對權(quán)向量”⑵進行加權(quán)，修正為q（2），再計算w⑶.G,。2支配因素的數(shù)量分別記為。，％，令聲⑶=（%?。?七小），/（%叫⑵+%加產(chǎn)） （20）“）=W⑶》《2） （21）其中，（20）右端的分母是歸一化的需要.利用上面W⑵，W⑶的數(shù)據(jù)，并注意到%=3,%=2,由（20）,（21）式可得w⑶=（1/5,1/5,2/5,1/5）「與公正的評價吻合.從實際考慮，這種支配因素越多權(quán)重越大的修正辦法，只適合于教師從事教學和（或）科研完全由上級安排的情況，在能力相同的條件下，承擔雙份工作的P3的貢獻自然大一倍.但是如果教師從事教學和科研完全靠發(fā)揮個人的積極性，而且上級希望每位教師都二者兼顧，并鼓勵從事人數(shù)較少的那一類工作，就可以用支配因索數(shù)量加權(quán)，（20）式變?yōu)?22)(22)不妨用上面的數(shù)據(jù)按照（22）和（21）式算一下，看看這種情況下4位教師的貢獻如何..成對比較陣殘缺時的處理專家或有關(guān)人士由于某種原因會無法或不愿對某兩個因素給出相互對比的結(jié)果與，于是成對比較陣出現(xiàn)殘缺（不能補0,因為要求%>0）,如何對此作修正，以便繼續(xù)進行權(quán)向量的計算呢，下面通過簡例介紹一種辦法.-1 2 8] '設一成對比較陣為A=1/2 1 2，其中符號。表示殘缺.記由A要計.01/21.算的權(quán)向量為W=（叫，叫，孫）丁，用w./w3代替殘缺的?是合理的，所以構(gòu)造一-1 2 %/%?個輔助矩陣C二1/2 1 2 ，則（5）式可以代之以TOC\o"1-5"\h\zw3/w. 1/2 1Cw =A.w （23）但是C中包含未知量叼，%，（23）式無法求解，而如果將4修正為彳=?2 2（T1/2 1 2，不難驗證.0 1/22.Aw=Av （24）與（23）式等價.由（24）式可以得到權(quán)向量為w=（0.5714,0.2857,0.1439）1一般地，由殘缺陣4=（%）構(gòu)造修正陣彳=（3P的方法是令a產(chǎn)?,；=0, 4=8,i#j （25）267叫+1,人為第i行8的個數(shù),i=j

267在上面的例子中雖然因為元素?殘缺，沒有比較1,3兩個因索的直接信息，但是二者的比較可以通過〃和％3這樣的間接信息獲得?一個應該提出的問題是，怎樣的殘缺陣才是可以接受的，即其殘缺元素都能夠由已有元素的關(guān)系得到.已經(jīng)證明可以接受的殘缺陣A的充分必要條件是4為不可約矩陣①.6?遞階層次結(jié)構(gòu)和更復雜的層次結(jié)構(gòu)以上討論的所有層次結(jié)構(gòu)模型有兩個共同的特點，一是模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略；二是層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對上層的反饋作用，或?qū)娱g的循環(huán)影響.具有這些特點的稱為遞階層次結(jié)構(gòu)，前面介紹的全部算法都是針對這種層次結(jié)構(gòu)的.更復雜的層次結(jié)構(gòu)有以下幾種情況.(1)層次內(nèi)部因素之間存在相互影響.例如以行駛性能為目標對各種型號汽車作評價時,準則層有剎車、轉(zhuǎn)向、運行、加速等，這些準則之間就是相關(guān)的，如圖9.圖9汽車行駛性能的層次結(jié)構(gòu)(2)下層反過來對上層有支配作用，形成循環(huán)，從而無法區(qū)分上下層.例如可以用教學、科研等每一項指標評價幾位教師，也可以反過來對于每一位教師比較他的教學、科研等哪一方面表現(xiàn)最為出色，從而在指標層和對象層之間形成循環(huán).(3)既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，又在層次之間存在反饋作用,復雜的社會經(jīng)濟系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)就是這種情況，它的一個簡化模型如圖18產(chǎn)業(yè)、rO-I①非負方陣A若能通過行列置換化為IaJ形式(其中A，4為方陣)，稱①非負方陣A若能通過行列置換化為則，稱A是不可約矩陣.268[269]8.2循環(huán)比賽的名次需求、政策等6個層次（或稱子系統(tǒng)）之間存在復雜的相互關(guān)系（用帶箭頭的直圖10社會經(jīng)濟系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)線表示），在每層內(nèi)部各因素（如產(chǎn)業(yè)包括農(nóng)業(yè)“工業(yè)、第三產(chǎn)業(yè),需求包括生活資料'社會發(fā)展資料、社會福利、國家安全等等）之間也有相圖10社會經(jīng)濟系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)用層次分析法研究這些更復雜的層次結(jié)構(gòu)，需要引入超矩陣、極限相對權(quán)向量、極限絕對權(quán)向量等概念，并建立相應的算法9皿.評注從層次分析法的原理、步驟、應用等方面的討論不難看出它有以下優(yōu)點，（1）系統(tǒng)性層次分析把研究對象作為一個系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統(tǒng)計分析之后發(fā)屣起來的系統(tǒng)分析的重要工具.（2）實用性層次分析把定性和定量方法給合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實際問題，應用范周很廣.同時■這種方法將決策者與決策分析者相互溝通，決策者甚至可以直接應用它,這就增加了決策的有效性.（3）簡潔性具有中等文化程度的人即可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計算也非常簡便，并且所得結(jié)果簡單明確，容易為決策者了解和掌握.層次分析法的局限性可以用囿舊、粗略、主觀等詞來概括,就是說，第一，它只能從原有方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第二，它的比較、判斷直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問題;第二，從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對比較矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受.當然,采取專家群體判斷的辦法是克服這個缺點的一種途徑.8.2循環(huán)比賽的名次若干支球隊參加單循環(huán)比賽，各隊兩兩交鋒，假設每場比賽只計勝負，不計比分，且不允許平局.在循環(huán)賽結(jié)束后怎樣根據(jù)他們的比賽結(jié)果排列名次呢□土有幾種表述比賽結(jié)果的辦法，莪直觀的一種是用圖的頂點表示球隊，而用連接兩個頂點的、以僭頭標明方向的邊表示兩支球隊的比賽結(jié)果.圖1給出了6支球隊的比賽結(jié)果，即1隊戰(zhàn)勝2,4,5,6隊，而輸給了3隊；5隊戰(zhàn)勝3,6隊，而輸給1,2,4隊等等.根據(jù)比賽結(jié)果排名次的一個辦法是在圖中順箭頭方向?qū)ふ乙粭l通過全部6個頂點的路徑，如3一1-2-4-5-6,這表示3隊勝1隊，1隊勝2隊，…，于是3269圖16支球隊的比賽結(jié)果圖16支球隊的比賽結(jié)果隊為冠軍，1隊為亞軍等等.但是還可以找出其他路徑，如1-4T6T3-2-5,4-5T6t3t1t2等.所以用這種方法顯然不能決定誰是冠亞軍.排名次的另一個辦法是計算得分，即每支球隊獲勝的場次.上例中1隊勝4場，2,3隊各勝3場,4,5隊各勝2場，6隊勝1場.由此雖可決定1隊為冠軍，但2,3隊之間與4,5隊之間無法決出高低.如果只因為有3-2,4-5,就將3排在2之前、4排在5之前，則未考慮它們與其他隊的比賽結(jié)果，是不恰當?shù)?下面利用圖論的有關(guān)知識解決這個問題.競賽圖及其性質(zhì)在每條邊上都標出方向的圖稱為有向圖（Digraph）.每對頂點之間都有一條邊相連的有向圖稱為競賽圖（Tournament）.只計勝負、沒有平局的循環(huán)比賽的結(jié)果可用競賽圖表示，如圖1.問題歸結(jié)為如何由競賽圖排出頂點的名次.2個頂點的競賽圖排名次不成問題.3個頂點的競賽圖只有圖2的兩種形式（不考慮頂點的標號）.對于（1）,3個隊的名次排序顯然應是“，2,31；對于（2）,則3個隊名次相同，因為他們各勝一場.圖23個頂點的競賽圖4個頂點的競賽圖共有圖3所示的4種形式，下面分別進行討論.圖34個頂點的競賽圖（1）有唯一的通過全部頂點的有向路徑1—213T4,這種路徑稱完全路徑;4個隊得分為（3,2,1,0）.名次排序無疑應為|1,2,3,4|.（2）點2顯然應排在第1,其余3點如圖2（2）形式，名次相同;4個隊得分270為(1,3,1,1).名次排序記作3,4)1.(3)點2排在最后，其余3點名次相同；得分為(2,0,2,2).名次排序記作1(1,3,4),2).(4)有不只一條完全路徑，如1-2T3-4,3-4-1-2無法排名次;得分為(2,2,1,1).由得分只能排名為1(1,2),(3,4)],如果由1—2,3-4就簡單地排名為[1,2,3,4|是不合適的.這種情形是研究的重點.還可以注意到，(4)具有(1)~(3)所沒有的性質(zhì)：對于任何一對頂點，存在兩條有向路徑(每條路徑由一條或幾條邊組成)，使兩頂點可以相互連通，這種有向圖稱為雙向連通的(Biconnected).5個頂點以上的競賽圖雖然更加復雜，但基本類型仍如圖3所給出的3種：第1種類型：有唯一完全路徑的競賽圖，如(1);第2種類型：雙向連通競賽圖，如(4)；第3種類型：不屬于以上類型，如(2),(3).一般的幾個頂點的競賽圖具有以下性質(zhì)：1)競賽圖必存在完全路徑(可用歸納法證明).2)若存在唯一的完全路徑，則由完全路徑確定的頂點的順序，與按得分多少排列的順序相一致,這里一個頂點的得分指由它按箭頭方向引出的邊的數(shù)目.顯然，性質(zhì)2給出了第1種類型競賽圖的排名次方法，第3種類型競賽圖無法全部排名，下面只討論第2種類型.雙向連通競賽圖的名次排序3個頂點的雙向連通競賽圖，如圖2(2),名次排序相同.以下討論幾(24)個頂點的雙向連通競賽圖?為了用代數(shù)方法進行研究，定義競賽圖的鄰接矩陣4=(4Lx.如下：1,存在從頂點i到了的有向邊0,否則依此，圖3(4)的鄰接矩陣為若記頂點的得分向量為$=(s…2,…，與)二其中s，是頂點i的得分，則由(1)不難知道Al,1=（1,1,…，1）由(2),(3)式容易算出雙向連通的圖3(4)的得分向量是5=(2,2,1,1)丁，正如前面已經(jīng)給出的.由$無法排出全部名次，記s=s⑴，稱為1級得分向量，進一步計算[272]題2.1、2.2(1)答案稱為2綾得分向量.每支球隊（頂點）的2級得分是他戰(zhàn)勝的各個球隊的（1級）得分之和，與1級得分相比,2級得分更有理由作為排名次的依據(jù).對于圖3（4）,=（2,2,1,1客⑵=（3,2,1,2）1繼續(xù)這個程序，得到k級得分向量.對于圖3（4）有=(3,3,2,3)、=(8,6,3,5)、二(13,13,8,9)、?8>二(5,5,3,3)「二(9淮,5,8)，=(2]，17,9,13尸,k越大，用作為排名次的依據(jù)越合理，如果萬一8時,$"）收斂于某個極限得分向量（為了不使它無限變大，應進行歸一化），那么就可以用這個向量作為排名次的依據(jù).極限得分向量是否存在呢？答案是肯定的.因為對于n[N4）個頂點的雙向連通競賽圈.存在正整數(shù)「，使得鄰接矩陣A滿足A'O.這樣的月稱為素陣.再利用著名的Perron-Frcrbemus定理，素陣A的最大特征根為正單根A,A對應正特征向量九且有①與（5）式比較可知，左級得分向量時（歸一化后）將趨向A的對應于最大特征根的特征向量就是作為排名次依據(jù)的極限得分向量，如對圖3（4）,算出其鄰接矩陣4（（2）式）的最大特征根A=L4和對應特征向量$=（S323,0.280,0,167,0.230）,從而確定名次排列為門,2,4,31.可以看出，雖然3勝了4,但由于4故勝了最強大的1,所以4排名在3之前，對于本節(jié)開始提訊的6支球隊循環(huán)比賽的結(jié)果（圖1）,不難看出這個競賽圖是雙向連通的.寫出其鄰接矩陣ro00000由(5)式可以算出各級得分向量為?J(4,3,3,2,2,1), 留⑶=(8,5,9,3,4,3),產(chǎn)=(15,10,16,7,12,9)、sf4]=(38,28,32,21,25,16)\①這里的結(jié)果與8.1節(jié)第三小節(jié)定理】是一致的.272-[273]題2.2(3)答案****本節(jié)完****進一步算出A的最大特征報A=2.232和特征向量,二（0.2g，0.184,0.231,0.113,515%。.104”,排出名次為11,3,2,5,40.8.3社會經(jīng)濟系統(tǒng)的沖量過程本節(jié)用一個能源利用系統(tǒng)預測的例子說明用沖量過程建模的方法.考察某地區(qū)的能源利用狀況.先界定系統(tǒng)的范圍，比如只考慮能源利用量、價格、生產(chǎn)率、環(huán)境質(zhì)量、工業(yè)產(chǎn)值、就業(yè)機會及人U總數(shù)7個因素，它們之間相當復雜的關(guān)系可以簡化為一個因素對另外因素直接的促進或促退作用.要研究的問題是，當某個因素突然發(fā)生改變時，預測系統(tǒng)各因素的演變過程和趨勢詠定性模型與定量模型能源利用系統(tǒng)的每個因素用圖的一個頂點表不，因素間的直接影響用帶方向的邊表示，構(gòu)成&2節(jié)中提到的有向圖.為了表明因素間的影響作用是促進的（正面的）還是促退的（負面的），在箭頭旁分別標以十號或一號.于是整個系統(tǒng)可以用帶符號的有向圖（SignedDigraph）6,表示，如圖L這里有兩點需要說明:第一，兩頂點之間的有向邊表示兩因素間的直接影響，如3帶十號表示某時段能源利用量%的增加導致下一時段能源生產(chǎn)率%的增長，明內(nèi)帶-號則表示陰的增加導致下一時段環(huán)境質(zhì)量3的降低.因素間的問接影響是由幾條相連的同向邊反映出來的，如明的增加導致下時段%的增長，又引起再下時段［:業(yè)產(chǎn)值%的增長.有些因素間的影響是雙向的，如v,的增加導致下時段能源價格嗎的降低，%的降低又引起再下時段%的增長.第，像能源利用這樣的社會經(jīng)濟系統(tǒng)，因素之間的影響關(guān)系十分復雜，應該合理、簡化地