數(shù)學(xué)建模試驗(yàn)答案離散模型

實(shí)驗(yàn)09離散模型（2學(xué)時(shí)）（第8章離散模型）.層次分析模型（驗(yàn)證，編程）正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法p263~264已知正互反陣一1 2 6一A=1/2 1 41/61/41注：[263]定理2n階正互反陣A的最大特征根??！?1)用MATLAB函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運(yùn)行結(jié)果(見[264]):>>A=[126;1/214;1/61/41];>>[V,D]=eig(A)V=0.8685 -0.8685 -0.86850.4779 0.2390 - 0.4139i 0.2390 + 0.4139i0.1315 0.0658 + 0.1139i 0.0658 - 0.1139iD=3.0092 0 00 -0.0046 + 0.1663i 00 0 -0.0046 - 0.1663i>D=diag(D)D=3.0092-0.0046+0.1663i-0.0046-0.1663i>D=D.*(imag(D)==0)D=3.009200>[lambda,k]=max(D)lambda=3.0092k=>>w=V(:,k)/sum(V(:,k))w=0.58760.32340.0890(2)冪法(見[263])A為口乂口正互反矩陣，算法步驟如下：a.任取n維非負(fù)歸一化初始列向量(分量之和為1)匹(。)；b,計(jì)算幽k+i)=Aw(k),k=0,1,2,L；1%(k+1)C.船k+1)歸一化，即令W(k+1)= ；￡1%(k+1)i

i=1d.對(duì)于預(yù)先給定的精度e,當(dāng)Iw(k+1)-w(k)|<￡ (i=1,2,L,n)時(shí)，w(k+1)即為所求的特征向量；否則返回到步驟b；1-1%(k+1)e.計(jì)算最大特征根入二￡ i—。n w(k)iTi注：Aw(k)x九w(k)n1%(k+1)x九w(k)nc 1%(k+1)九x—i it1,2,L,nw(k)i函數(shù)式m文件如下：function[lambdaw]=p263MI(A,d)%冪法一一求正互反陣最大特征根和特征向量%A 正互反方陣%d 精度%lambda最大特征根%w 歸一化特征列向量if(nargin==1)%若只輸入一個(gè)變量(即A),則d取0.000001d=1e-6;end

n=length(A);%取方陣A的階數(shù)w0=rand(n,1);w0=w0/sum(wO);%任取歸一化初始列向量while1ww=A*w0;w=ww/sum(ww);%歸一化ifall(abs(w-w0)<d)break;endw0=w;endlambda=sum(ww./w0)/n;☆(2)用幕法函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運(yùn)行結(jié)果(見出1)：(3)和法(見[264])A為口乂口正互反矩陣，算法步驟如下：aa.將A的每一列向量歸一化得墳.二一^;"之a(chǎn)ii=1b.對(duì)訪..按行求和得訪二子記；ij i ijT?wc.將w歸一化w=-—,w=(w,w,A，w)7即為近似特征向量;i 1T? 12 n乙wii=11日(Aw)d.計(jì)算一工 人，作為最大特征根的近似值。ni1w函數(shù)式m文件如下：function[lambdaw]=p264HE(A)%和法一求正互反陣最大特征根和特征向量正互反方陣%lambda最大特征根歸一化特征列向量AA=A/diag(sum(A));%a.將A的每一列向量歸一化ww=sum(AA,2);%b.對(duì)AA按行求和，ww為列向量w=ww./sum(ww);%c.歸一化，得w為近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/length(A);%d.計(jì)算最大特征根的近似值X☆(3)用和法函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。調(diào)用及運(yùn)行結(jié)果(見[264])：(4)根法(見[264])A為口義口正互反矩陣，算法步驟如下:a.... …..?…a.將A的每一列向量歸一化得W.二—j~；

j￡aa.ji=1b.對(duì)訪..按行求積并開n次方得記=(邛W)^；ij i j/T~c.將叱歸一化w= i一,w=(w,w,A,w)T即為近似特征向量;I i寸? 1 2n2wii=1d.計(jì)算九二1寸AL，作為最大特征根的近似值。ni1w.★(4)編寫根法函數(shù)，用該函數(shù)求A的最大特征根和特征向量。提示：sum,prod,diag]對(duì)矩陣A按行求和的調(diào)用為sum(A,2)。對(duì)矩陣A按行求積的調(diào)用為prod(A,2)。diag(V),用向量V構(gòu)造對(duì)角矩陣。nargin,存放函數(shù)輸入自變量的數(shù)目。編寫的程序和調(diào)用及運(yùn)行結(jié)果(見磔41)：function[lambdaw]=p264GEN(A)%根法一求正互反陣最大特征根和特征向量%A 正互反方陣%lambda最大特征根%w 歸一化特征列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A));%a.將A的每一列向量歸一化ww=(prod(AA,2)).A(1/n);%b.對(duì)AA按行求積并開n次方，ww為列向量w=ww./sum(ww);%c.歸一化，得w為近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/n;%d.計(jì)算最大特征根的近似值11.2（驗(yàn)證，編程）旅游決策問題p250?256在下面程序中，腳本式m文件p250.m調(diào)用函數(shù)式m文件p250fun.m（求A的最大特征根及歸一化特征列向量、一致性指標(biāo)值CI、一致性比率值CR）,p250fun.m中調(diào)用另一個(gè)函數(shù)式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及歸一化特征列向量）。（1）腳本式m文件如下：%旅游決策問題%文件名：p250.mclear;clc;formatcompact;%層次分析法的基本步驟：%1?建立層次結(jié)構(gòu)模型%見p250圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu)%2.構(gòu)造成對(duì)比較陣%第2層為準(zhǔn)則層：景色、費(fèi)用、居住、飲食和旅途5個(gè)準(zhǔn)則A=[11/2433;???21755;...1/41711/21/3;...1/31/5211;1/31/5311];%第3層為方案層：P1、P2和P3等3個(gè)供選擇地點(diǎn)B1=[125;1212;1/51/21];B2=[11/31/8;311/3;831];B3=[113;113;1/31/31];B4=[134;1/311;1/411];B5=[111/4;111/4;441];B=['B1,;,B2';'B3,;'B4,;,B5,];%3.計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢查%第2層[lambda2w2CI2CR2]=p250fun(A);ifCR2>=0.1%成對(duì)比較陣A的一致性檢驗(yàn)disp([，CR2=，,num2str(CR2),，>0.1A沒有通過一致性檢查！，])return;end%第3層lambda3=zeros(1,5);w3k=zeros(3,5);CI3k=zeros(1,5);CR3k=zeros(1,5);fork=1:5[lambda3(k)w3k(:,k)CI3k(k)CR3k(k)]=p250fun(eval(B(k,:)));ifCR3k(k)>0.1%成對(duì)比較陣B1的一致性檢驗(yàn)disp([(CR3k(k)='9num2str(CR3k(k))9(>0.19B(9num2str(k)9(沒有通過一致性檢查！，])return;endend%4.計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)w3=w3k*w2;%最下層(第3層)對(duì)目標(biāo)(第1層)的組合權(quán)向量%第3層組合一致性檢驗(yàn)(從第3層開始)CI3=CI3k*w2;%隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值(下標(biāo)對(duì)應(yīng)成對(duì)比較方陣的階數(shù))：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];RI3=RI([3,3,333])*w2;%標(biāo)量CR3=CI3/RI3;ifCR3>0.1disp(['CR3=,,num2str(CR3)J>0.1,第3層沒有通過組合一致性檢查！1])return;end%最下層(第3層)對(duì)第1層的組合一致性比率為CR=CR2+CR3;ifCR>0.1disp(['CR=',num2str(CR)J>0,1,沒有通過組合一致性檢查！1])return;end%添加命令用于顯示有關(guān)結(jié)果：(2)函數(shù)式m文件如下：function[lamdawCICR]=p250fun(A)%求A的最大特征根及歸一化特征列向量、一致性指標(biāo)值CI、一致性比率值CR%A成對(duì)比較陣(正互反方陣)%lamda 最大特征根值%w A的歸一化特征列向量(權(quán)向量)%CI 一致性指標(biāo)值%CR 一致性比率值[lamdaw]=p264HE(A);%求A的最大特征根及歸一化特征列向量%隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值(下標(biāo)對(duì)應(yīng)成對(duì)比較方陣的階數(shù))：RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];n=length(A);CI=(lamda-n)/(n-1);%一致性指標(biāo)，CI=0時(shí)A為一致陣；CI越大A的不一致程度越嚴(yán)重CR=CI/RI(n);%一致性比率，CR<0.1時(shí)認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)要求：請(qǐng)仔細(xì)閱讀以上程序，完成以下實(shí)驗(yàn)：在腳本式m文件后面添加命令，使★①顯示第2層的數(shù)據(jù)。包括：最大特征根解特征向量（權(quán)向量）W；一致性指標(biāo)CI;一致性比率CR。添加的命令和運(yùn)行結(jié)果（見的1）：lambda2,w2,CI2,CR2CouandTindovII口IIXFilsEditEsbugDesktoj?、

lamtida2=5.0729=0.26230.47440.05450.09850.1103CI2=0.0182CR2二0.0163A?|OVE★②顯示第3層的數(shù)據(jù)。包括：特征向量（權(quán)向量）W；最大特征根入；一致性指標(biāo)CI。添加的命令和運(yùn)行結(jié)果（見儂1表3）：w3k,lambda3,CI3k

★③顯示最下層（第3層）對(duì)目標(biāo)（第1層）的組合權(quán)向量。添加的命令和運(yùn)行結(jié)果（見儂1）：w3★④顯示第2層和第3層的組合一致性比率，以及最下層對(duì)第1層的組合一致性比率。添加的命令和運(yùn)行結(jié)果（見匹61）：CR2,CR3,CR2.循環(huán)比賽的名次2.1（編程，2.1（編程，p270,271~272驗(yàn)證）雙向連通競(jìng)賽圖（4頂點(diǎn)）的名次排序（教材p270中圖3（4））（教材p270中圖3（4））如下:圖是雙向連通圖，屬于第2種類型

該圖的鄰接矩陣為：可通過以下方法給出名次排序。4個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖4個(gè)隊(duì)得分（獲勝場(chǎng)數(shù)）為（2,2，1，1）由得分排名為｛（1，2），（3,4）｝，該競(jìng)賽0001★（1）編寫一個(gè)程序，求出1~8級(jí)得分向量，并依據(jù)8級(jí)得分向量給出排名。給出程序和運(yùn)行結(jié)果（比較[272]）：clear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣21的酬3);%方陣A的階數(shù)s=A*ones(n,1);disp(s');fork=2:8s=A*s;disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend');%降序k'%排名,'CouandTindov 區(qū)FilsEditIIeBugDesktojiiffiiidowHelp2211321233235533S瑪359S5S13138921179131243A?|ovn(2)求元素互不相等的得分向量法得分向量為s=A*ones~11其中，ones=.11記S(1)=Ss(k)=A*s(k-1)=Ak*ones,k=2,3,… (s因稱為k級(jí)得分向量)程序如下：%雙向連通競(jìng)賽圖的名次排序(求元素不等的得分向量)%文件名：p272_1.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣叫如酬仆);％方陣A的階數(shù)s=A*ones(n,1);k=1;whilelength(unique(s))<n%unique(s)去掉s中的重復(fù)元素s=A*s;k=k+1;endk%k級(jí)得分向量s'%元素不等的得分列向量[~,kk]=sort(s,'descend');%降序kk'%排名☆(2)運(yùn)行求元素互不相等的得分向量法程序。運(yùn)行結(jié)果(比較[272])：(3)特征根法對(duì)于n>4個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圖，其鄰接矩陣A為素陣(存在正整數(shù)r，使Ar>0),且有「41lim =sk—?入k其中，1為全1列向量，入為最大實(shí)特征根且為正，$為其特征列向量。%雙向連通競(jìng)賽圖的名次排序(特征根法)%文件名：p272_2.mclear;clc;formatcompact;formatshortg;A=[0110;0011;0001;1000];%鄰接矩陣[VD]=eig(A);%返回A的特征值和特征向量。%其中D為A的特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，每個(gè)特征值%對(duì)應(yīng)的V的列為屬于該特征值的一個(gè)特征向量。D=diag(D);%返回矩陣D的對(duì)角線元素構(gòu)成列向量。D=D.*(imag(D)==0);%復(fù)數(shù)特征值用0代替，實(shí)數(shù)的則不變[lamda,k]=max(D);lamdas=V(:,k)/sum(V(:,k));%最大特征根對(duì)應(yīng)的特征列向量(歸一化)[~,k]=sort(s,'descend');%降序s',k'☆(3)運(yùn)行特征根法程序。給出運(yùn)行結(jié)果(比較[272])：2.2(驗(yàn)證)雙向連通競(jìng)賽圖(6頂點(diǎn))的名次排序p270,272?2736個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖(教材p270中圖1)如下:

該圖的鄰接矩陣為:該圖的鄰接矩陣為:11111111000010001100100111000010001100100100100要求：使用上題的程序?！?1)求出1~4級(jí)得分向量，并依據(jù)4級(jí)得分向量給出排名。運(yùn)行結(jié)果(比較[272])：

☆(2)運(yùn)行求元素互不相等的得分向量法程序。運(yùn)行結(jié)果:☆⑶運(yùn)行特征根法程序。運(yùn)行結(jié)果(比較[273])：3.公平的席位分配(驗(yàn)證)參照慣例的席位分配方法p278-279某學(xué)校有甲乙丙三個(gè)系共有200名學(xué)生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20個(gè)代表席位，采用參照慣例的席位分配方法，分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。(2)有21個(gè)代表席位，采用參照慣例的席位分配方法，分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。下面是參照慣例的席位分配方法的求解函數(shù):function[qi,ni]=p278fun(p9n)%p 各單位人數(shù)(列向量)%n 總席位(標(biāo)量)

%qi按比例分配的席位(列向量)%ni參照慣例的結(jié)果(列向量)qi=n*p/sum(p);%按比例各單位所得席位(可能含小數(shù))ni=fix(qi);%各單位所得席位取整m=n-sum(ni);%可能有沒分配完的席位ifm>0%席位沒分完[~,k]=sort(qi-ni,'descend');%按降序排序(缺省為升序)ni(k(1:m))=ni(k(1:m))+1;%排在前m個(gè)，加1end要求：①在命令窗口分別調(diào)用以上函數(shù)求解(使用最佳定點(diǎn)或浮點(diǎn)格式(5位數(shù)字)控制命令formatshortg)。②兩個(gè)結(jié)果比較，合理嗎？☆題(1)(20個(gè)代表席位)的調(diào)用及結(jié)果(比較[279]表1)。CouandTindov nXFileIditDsbugIi^sktcplindo*Help?—過]邛:2由￡皿[口。3」63,34]'」20〉；?[qijni]□ns=10610646.33.4A?||07R

☆題⑵(21個(gè)代表席位)的調(diào)用及結(jié)果(比較[279]表1)。CouandTindov nXIdi+DeBugDesktopTfmdowHelp?[qi,nikpZ忍fun[[10a63,34]J,21);?Eqi,ni]ans=1110.SL51136.615357Aa|WR.3.2(驗(yàn)證)Q值方法p280~281(教材：8.4公平的席位分配)某學(xué)校有甲乙丙三個(gè)系共有200名學(xué)生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。(1)有20個(gè)代表席位，采用Q值法分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果”。(2)有21個(gè)代表席位，采用Q值法分別求出甲乙丙系的“席位分配結(jié)果工下面是Q值法的求解函數(shù)：function[qi9ni]=p280fun(p,n)%p 各單位人數(shù)(列向量)%n 總席位(標(biāo)量)%qi按比例分配的席位(列向量)%ni 參照慣例的結(jié)果(列向量)qi=n*p/sum(p);ni=fix(qi);whilesum(ni)<nQi=p.A2J(ni?*(ni+1));%ni>0[ri]=max(Qi);%求最大值元素及下標(biāo)ni(i)=ni(i)+1;end要求：①在命令窗口分別調(diào)用以上函數(shù)求解(使用最佳定點(diǎn)或浮點(diǎn)格式(5位數(shù)字)控制命令formatshortg)。

②兩個(gè)結(jié)果比較，合理嗎?☆題（1）（20個(gè)代表席位）的調(diào)用及結(jié)果（見圖1］）。CoBAandWindow .口XFilsEditDebugR巨上ktopfirLdfi*Help?[qtdp230fun1口叫63,34]<2。）；?Eqijnil□ns=116311636.33.4A>>☆☆題（2）（21個(gè)代表席位）的調(diào)用及結(jié)果（見［281］）。|oo|oo附1:實(shí)驗(yàn)提示附2：第8章離散模型[249]8.1層次分析模型第8章 離散模型一般地說，確定性離散模型包括的范圍很除第6章的差分方程模型外，用整數(shù)規(guī)劃、圖詒、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流等數(shù)學(xué)工具都可以建立離散模型.本章選擇了幾個(gè)在實(shí)際中應(yīng)用莪廣、涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)又不太深的模型一層次分析模型"和“沖量過程模型”是對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析的有力工具，“循環(huán)比賽的名次"和”公正的選舉”討論了排序問題「席位分配”是社會(huì)政治領(lǐng)域中一個(gè)令人關(guān)注的問題.從應(yīng)用的角度看，這些模型只用到基本的代數(shù)、集合及一點(diǎn)點(diǎn)圖論的知識(shí).8.1層次分析模型人們?cè)谌粘Ｉ钪谐３Ｅ龅皆S多決策問題：買一件襯衫，你要在棉的、絲的、滌綸的……及花的、白的、方格的……之中作出抉擇；請(qǐng)朋友吃飯，要籌劃是辦家宴或去愎店，是吃中餐還是西餐或自助餐；假期旅游，是去風(fēng)光綺麗的蘇杭，還是去迷人的北戴河海濱，或者去山水甲天下的桂林?如果以為這些日常小事不必作為決策問題認(rèn)真對(duì)待的話，那么當(dāng)你面臨報(bào)考學(xué)校、挑選專業(yè)，或者選擇工作崗位的時(shí)候，就要慎重考慮、反復(fù)比莪?盡可能地作出滿意的決策了?從事各種職業(yè)的人也經(jīng)常面對(duì)決策：一個(gè)廠長(zhǎng)要決定購買哪種設(shè)備，上馬什么產(chǎn)品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難病癥確定治療方案；經(jīng)理要從若干應(yīng)試者中選拔秘書；各地區(qū)各部門的官員則要對(duì)人口、交通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出決策.人們?cè)谔幚砩厦孢@些決策問題的時(shí)候，要考慮的因素有多有少，有大有小,但是一個(gè)共同的特點(diǎn)是它侑通常都涉及經(jīng)濟(jì).社會(huì)、人文等方面的因素，在作比較、判斷、評(píng)價(jià)、決策時(shí)，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇（當(dāng)然要根據(jù)客觀實(shí)際）會(huì)起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問題帶來本質(zhì)上的困難.T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了一種能有效地處理這樣一類問題的實(shí)用方法，稱層次分析法（AnalyticHierarchyPma躺，筒記4HP）,這是一種定249準(zhǔn)則層方案層選擇旅游地250準(zhǔn)則層方案層選擇旅游地250性和定.量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法,⑶㈤①。,刈一、層次分析法的基本步驟層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的.不妨用假期旅游為例，假如有片，。2,匕3個(gè)旅游勝地供你選擇，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較那3個(gè)候選地點(diǎn).首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟(jì)寬綽、醉心旅游，自然特別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對(duì)居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注.其次，你會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比，譬如匕景色最好,P?次之；P2贄用最低，P,次之；23居住等條件較好等等.最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在巳，尸2,匕中確定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn).上面的思維過程可以加工整理成以下幾個(gè)步驟：.將決策問題分解為3個(gè)層次，最上層為目標(biāo)層，即選擇旅游地，最下層為方案層,有匕，233個(gè)供選擇地點(diǎn)，中間層為準(zhǔn)則層，有景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途5個(gè)準(zhǔn)則，各層間的聯(lián)系用相連的直線表示（圖1中費(fèi)用和飲食的連線從略）.目標(biāo)層圖1選擇旅游地的層次結(jié)構(gòu).通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)于每一準(zhǔn)則的權(quán)重.這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的，而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重的定量方法..將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重.在層次分析法中要給出進(jìn)行綜合的計(jì)算方法?層次分析法將定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來完成上述步驟，給出決策結(jié)果,下面我們來說明如何比較同一層各因素對(duì)上層因素的影響（或在其中的重要性），從而確定它們?cè)谏蠈右蛩刂姓嫉臋?quán)重.成對(duì)比較矩陣和權(quán)向?涉及到社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、人文等因素的決策問題的主要困難在于，這些因素通常不易定量地量測(cè).人們憑自己的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)進(jìn)行判斷,當(dāng)因素較多時(shí)給出的結(jié)果往往是不全面和不準(zhǔn)確的，如果只是定性的結(jié)果，則常常不容易被別人接受.Saaty等人的作法，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對(duì)比，二是對(duì)比時(shí)采用相對(duì)尺度，以盡可能地減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高準(zhǔn)確度.假設(shè)要比較某一層〃個(gè)因素C、，g,…，C.對(duì)上層一個(gè)因索。的影響，如旅游決策問題中比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)中的重要性.每次取兩個(gè)因素G和G，用氣表示G和6對(duì)。的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對(duì)比較矩陣=(=(av)>0,ajt=一%(1)表示.由于（1）式給出的Qj,的特點(diǎn)（叼是、的倒數(shù)，,即互反數(shù)）*稱為正互反矩陣.顯然必有4=1.如用孰，。2,…，G依次表示景色、費(fèi)用、居住、飲食、旅途5個(gè)準(zhǔn)則,設(shè)某人用成對(duì)比較法（做C”竽次對(duì)比）得到的成對(duì)比較陣（正互反陣）為■12A=■12A=1/41/31/31/241 71/711/521/533 3 ■5 51/2 1/31 1(2)251251（2）中aI2=1/2表示景色G與費(fèi)用G對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)。的重要性之比為1：2；%3=4表示景色G與居住條件。3之比為爾1；。23=7表示費(fèi)用C2與居住條件C3之比為7：1.可以看出此人在選擇旅游地時(shí)，費(fèi)用因素最重，景色次之，居住條件再次.怎樣由成對(duì)比較陣確定諸因素對(duì)上層因素。的權(quán)重呢？仔細(xì)分析一下（2）式給出的成對(duì)比較陣A可以發(fā)現(xiàn)，既然G與G之比為l：2,g與C3之比為4：1,那么C2與C3之比應(yīng)為8：1而不是7：1,才能說明成對(duì)比較是一致的.但是加個(gè)因素要作次成對(duì)比較，全部一致的要求是太苛刻了.Saaty等人給出了在成對(duì)比較不一致的情況下計(jì)算各因素C,,C2,…，Cn對(duì)因素O的權(quán)重的方法，并且確定了這種不一致的容許范圍，為了說明這點(diǎn)我們先看成對(duì)比較完全一致的情況.設(shè)想把一塊單位重量的大石頭。砸成〃塊小石頭g,，2,…，G，如果精確地稱出它們的重量為叫，…，孫，在作成對(duì)比較時(shí)令%=叫/嗎，那么得到-Wj/w,wt/w2???..wJWn■???..以/孫.加,/加2???■w/wn*> n這些比較顯然是一致的.n塊小石頭對(duì)大石頭的權(quán)重（即在大石頭中的重量比）n可用向量W=表示，且Sw.=1.顯然，A的各個(gè)列向量與w僅相差一個(gè)比例因子.一般地，如果一個(gè)正互反陣4滿足與,伽二= …，幾 （4）則A稱為一致性矩陣，簡(jiǎn)稱一致陣.（3）式給出的A顯然是一致陣.容易證明n階一致陣4有下列性質(zhì)（習(xí)題1）..A的秩為1,4的惟一非零特征根為n；.A的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于特征根孔的特征向量.如果得到的成對(duì)比較陣是一致陣，像（3）式的A,自然應(yīng)取對(duì)應(yīng)于特征根n的、歸一化的特征向量（即分量之和為1）表示諸因素G,對(duì)上層因素。的權(quán)重，這個(gè)向量稱為權(quán)向■.如果成對(duì)比較陣A不是一致陣，但在不一致的容許范圍內(nèi)（下面將說明如何確定這個(gè)范圍），Saaty等人建議用對(duì)應(yīng)于A最大特征根（記作人）的特征向摩（歸一化后）作為權(quán)向量w,即w滿足Aw=Aw （5）直觀地看，因?yàn)榫仃?的特征根和特征向量連續(xù)地依賴于矩陣的元素為,所以當(dāng)、離一致性的要求不遠(yuǎn)時(shí),4的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大.（5）式表示的方法稱為由成對(duì)比較陣求權(quán)向量的特征根法.求人和w的簡(jiǎn)便算法和特征根法更深入的意義，以及其他求權(quán)向量的方法見本節(jié)第三小節(jié).比較尺度當(dāng)比較兩個(gè)可能具有不同性質(zhì)的因素G和q對(duì)于一個(gè)上層因索。的影響時(shí)，采用什么樣的相對(duì)尺度、較好呢?Saaty等人提出用1-9尺度，即與的取值范圍是1,2,…，9及其互反數(shù)1,1/2,…，1/9.理由如下..在進(jìn)行定性的成對(duì)比較時(shí)，人們頭腦中通常有5種明顯的等級(jí)，用1-9尺度可以方便地表示如表1.表11-9尺度%的含義尺度%含義1G與G的影響相同3ct比Cj的影響稍強(qiáng)252 續(xù)表尺度％含義5G比c,的影響強(qiáng)7G比G的影響明顯的強(qiáng)9G比cj的影響絕對(duì)的強(qiáng)2,4,6,81,1/2,…，1/9口與J的影響之比在上述兩個(gè)相鄰等級(jí)之間Cj與G的影晌之比為上面、的互反數(shù).心理學(xué)家認(rèn)為，進(jìn)行成對(duì)比較的因素太多，將超出人的判斷能力，最多大致在7±2范圍.如以9個(gè)為限，用1-9尺度表示它們之間的差別正合適..Saaty曾用1-3,1-5,…，1-17,…（d+0.1）-（d+0.9）（d=1,2,3,4）,1〃-9。。=2,3,4,5）等共27種比較尺度，對(duì)在不同距離處判斷某光源的亮度等實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，并算出權(quán)向量.把這些權(quán)向量與按照光強(qiáng)定律等物理知識(shí)得到的，或?qū)嶋H測(cè)量出的權(quán)向量進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1-9尺度不僅在較簡(jiǎn)單的尺度中最好，而且結(jié)果并不劣于較復(fù)雜的尺度.目前在層次分析法的應(yīng)用中，大多數(shù)人都用1-9尺度，（2）式中的4就是這個(gè)尺度.關(guān)于不同尺度的討論也一直存在著.一致性檢驗(yàn)成對(duì)比較陣通常不是一致陣，但是為了能用它的對(duì)應(yīng)于特征根人的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許范圍內(nèi)?怎樣確定這個(gè)范圍呢？前面已經(jīng)給出n階一致陣的特征根是幾，在本節(jié)第三小節(jié)將證明的一個(gè)重要定理表明，幾階正互反陣4的最大特征根人才幾，而當(dāng)人;八時(shí)4是一致陣?根據(jù)這個(gè)定理和人連續(xù)地依賴于%的事實(shí)可知，八比九大得越多4的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大?因而可以用入一九數(shù)值的大小來衡量4的不一致程度.Saaty將（6）幾一1定義為一致性指標(biāo),C/=O時(shí)4為一致陣；C/越大4的不一致程度越嚴(yán)重.注意到A的n個(gè)特征根之和恰好等于幾（為什么？），所以C，相當(dāng)于除A外其余R-l個(gè)特征根的平均值（取絕對(duì)值）.為了確定A的不一致程度的容許范圍，需要找出衡量通的一致性指標(biāo)CI的標(biāo)準(zhǔn).Saaty又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)A/,計(jì)算RI的過程是,對(duì)于固定的n,隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣4'（它的元素可（i<j）從1?9/?1/9中隨機(jī)取值），然后計(jì)算4'的一致性指標(biāo)CL可以想到，4,是非常不一致的，它的C/相當(dāng)大.如此構(gòu)253[254]題1.2①答案造相當(dāng)多的A',用它們的CI的平均值作為隨機(jī)一致性指標(biāo).對(duì)于不同的加，用100-500個(gè)樣本總'算出的隨機(jī)一致性指標(biāo)RF的數(shù)值如表2電表工隨機(jī)一致性指標(biāo)無『的數(shù)值〔■?■一—―I—町一—l」 —— ]」」n I23 4 5 67 8 91OilRI0 0 。.犯Q.90i,12L241,32L41 1,45r49 1,51表中孔二1,2時(shí)膽=0,是因?yàn)?,2階的正互反陣總是一致陣.對(duì)于冷棄3的成對(duì)比薪陣力，將它的一致性指標(biāo)G與同階（指用相同）的隨機(jī)一致性指標(biāo)也之比稱為一致性比率仃及，當(dāng)CK=^<S[ ⑺ni時(shí)認(rèn)為4的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量.（7）式中d1的選取是帶有一定主觀信度的.對(duì)于4利用（6）,（7）式和表2進(jìn)行檢驗(yàn)稱為一致性檢驗(yàn).當(dāng)檢驗(yàn)不通過時(shí),要重新進(jìn)行成對(duì)比較，或?qū)σ延械?進(jìn)行修正.對(duì)于（2）式給出的4可以算出值，▲=5.073,歸一化的特征向量w=（S263,6475。055,0,099,6110廣由（6）式S=濘小一.=0.。18,在表2中查出□-1R1=V12,按（7）式計(jì)算，CR=與喈=0.016<0.I,一致性檢驗(yàn)通過，上述陟可XBJ./作為權(quán)向量.組合權(quán)向-在旅游決策問題中我們已經(jīng)得到了第2層（準(zhǔn)則層）對(duì)第1層（目標(biāo)層，只有一個(gè)因素）的權(quán)向量，記作w⑶=（說加，…，如產(chǎn)廣（即由（2）式的A算出的w）.用同樣的方法構(gòu)造第3層（方案層一見圖1）對(duì)第2層的每一個(gè)準(zhǔn)則的成對(duì)比較陣,不妨設(shè)它們?yōu)镋】=\1/211/52 53E】=\1/211/52 53;口L[兄=3

,8r1 34一Bt=|1/3111/4】1_1/31/y1 1/33 1r「J風(fēng)=1,4凡二1J/31i/4'11/4：4 1.1 3]1 31/31小這里矩陣當(dāng)。=】，…，5）中的元素⑹>是方案（旅游地）？與巴對(duì)于準(zhǔn)則6（景這里矩陣當(dāng)。=】①由于隨機(jī)性，不同的人用不同的樣本得到的用的數(shù)值會(huì)與表2稍有出入.②計(jì)算用的是耐便施旅——和法（見本節(jié)第三小節(jié)）.254題1.2②③答案色、費(fèi)用等）的優(yōu)越性的比4?尺度.由第3層的成對(duì)比較陣力計(jì)算出權(quán)向量叫打，最大特征根心和一致性指標(biāo)。乙，結(jié)果列入表3.表:5旅賽決策問題第3層的計(jì)算結(jié)果k123455950.0B20.42906330.1660.277U.2360.4290.1930.1660.12966820.1420.1750,668兒3.0053.00233.00930.0030.OOJ00.DOS0 不難看出，由于丹=3時(shí)隨機(jī)一致性指標(biāo)股=0.5履表2）,所以上面的5均可通過一致性檢驗(yàn).下面的問題是由各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量?、呛透鞣桨笇?duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)向量歲了（左二1,…,5）,計(jì)算各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向■，記作w⑶“對(duì)于方案P,它在景色等5個(gè)準(zhǔn)則中的權(quán)重用的第1個(gè)分量表示（表3中肥產(chǎn)的第1行），而5個(gè)鹿則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重又用權(quán)向量期⑵表示，所以方案片在目標(biāo)中的組合權(quán)重應(yīng)為它們相應(yīng)項(xiàng)的兩兩乘積之和，即0.595x0.263+0.082又0.475+0.429x0.055+0.633x0,099+0.166x0,110=0.300同樣可以算出生，尸3在目標(biāo)中的組合權(quán)重為0.246和0.456,于是組合權(quán)向量w⑴二。.3。。,。2463456）\結(jié)果表明方案?在旅游地選擇中占的權(quán)重近于1/2,遠(yuǎn)大于片■匕，應(yīng)作為第】選擇地點(diǎn).由上述計(jì)算可知，對(duì)于3個(gè)層次的決策問題，若第1層只有1個(gè)因素，第2,3層分別有明機(jī)個(gè)因素，記第2,3層對(duì)第1,2層的權(quán)向量分別為—…,土）T=（*T…，陪）,上=12…小以“產(chǎn)為列向量構(gòu)成矩陣w⑶=［限則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量為W⑶=W⑶*⑶ （8）更一般地，若共有$層，則第立層對(duì)第1層（設(shè)只有1個(gè)因素）的組合權(quán)向髭滿足，的=小,w&",￡=3,4,…，$ （9）其中呼,是以第壺層對(duì)第比-I層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣,于是最下層255題1.2④答案（第苫層）對(duì)最上層的組合杈向量為中⑺"W'中⑺"W'沖I)…W⑺W⑶(10)組合一致性檢驗(yàn)在應(yīng)用層次分析法作重大決策時(shí)，除了對(duì)每個(gè)成對(duì)比較陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)外，還常要進(jìn)行所謂組合一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù).組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行,若第p層的一致性指標(biāo)為€，臺(tái),…，CI^（n是第"1層因素的數(shù)目），隨機(jī)一致性指標(biāo)為附乙…用了，定義門⑺=［口『），…，（11）TOC\o"1-5"\h\zRI{P}=［HI,，…7/產(chǎn)］棒37 {12）則第P層的組合一致性比率為「尸P）CM=篙77rM=3，4,…，5 （13）第P層通過組合一致性檢驗(yàn)的條件為CR⑺《0.L定義最下層（第5層）對(duì)第1層的組合一致性比率為CR'=.￡以書 （14）/-2對(duì)于重大項(xiàng)目，僅當(dāng)GT適當(dāng)?shù)匦r(shí)，才認(rèn)為整個(gè)層次的比較判斷通過一致性檢驗(yàn).在旅游決策問題中可以算出G⑶=0.00176,四⑶=0.58,CR⑶-0.003前面已經(jīng)有CA⑵=0.016,于是ar=0.019,組合一致性檢驗(yàn)通過，前面得到的組合權(quán)向量W⑶可以作為最終決策的依據(jù).可將層次分析法的基本步驟歸納如下.t.建立層次結(jié)構(gòu)模型在深入分析實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次?同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用，而同一層的各因素之間盡量相互獨(dú)立.最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以有1個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層*當(dāng)準(zhǔn)則過多時(shí)（比如多于9個(gè)）應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層?.構(gòu)造成對(duì)比較陣從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對(duì)于從屬于（或影響及）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對(duì)比較法和1-9比較尺度構(gòu)造成對(duì)比較陣，直到最下層..計(jì)算權(quán)向■井做一致性檢驗(yàn)對(duì)于每一個(gè)成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根及對(duì)應(yīng)特征向量（計(jì)算方法見本節(jié)第三小節(jié)），利用一致性指禰，隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn).若檢驗(yàn)通過，特征向量（歸一化后）即為權(quán)向曷；若不通過，需重新構(gòu)造成對(duì)比較陣.256.計(jì)算蛆合權(quán)向■并做組合一致性檢驗(yàn)利用（1。）式計(jì)算最下層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量，并酌情作組合一致性檢驗(yàn).若檢驗(yàn)通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行決策，否則需重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率CR較大的成對(duì)比較陣.二、層次分析法的廣泛應(yīng)用層次分析法在T.L.Saaty正式提出來之后，由于它在處理復(fù)雜的決策問題上的實(shí)用性和有效性，很，快就在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和廣泛的應(yīng)用.二三十年來它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療、環(huán)境等領(lǐng)域.從處理問題的類型看，主要是決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等.這個(gè)方法在20世紀(jì)80年代初引入我國(guó)，也很快為廣大的應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和有關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)人員所接受，得到了成功的應(yīng)用.從上面介紹的層次分析法的基本步驟看，建立層次結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵的一步，下面給出應(yīng)用實(shí)例時(shí)即以這一步為主.構(gòu)造成對(duì)比較陣是整個(gè)工作的數(shù)量依據(jù)，當(dāng)然是重要的，應(yīng)當(dāng)由經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出，還不妨采用群體判斷的方式.至于第3,4步的計(jì)算工作，數(shù)學(xué)工作者是容易完成的.例1管理信息系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)當(dāng)今任何部門每天都會(huì)接觸到大量的信息，信息管理水平的高低直接關(guān)系著工作效率,甚至生存條件.財(cái)務(wù)、庫存、銷售、行政……各種各樣的管理信息系統(tǒng)（MIS）開發(fā)完成或準(zhǔn)備推廣時(shí)，通常要作全面的檢查、測(cè)試和分析，AHP是進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)的方法之一.某一類管理信息系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)體系如下：1.系統(tǒng)建設(shè)當(dāng)科學(xué)性Cn規(guī)劃目標(biāo)的科學(xué)性，經(jīng)濟(jì)、技術(shù)、管理上的可行性；實(shí)現(xiàn)程度CX2是否達(dá)到系統(tǒng)分析階段提出的目標(biāo)；先進(jìn)性。門融合了先進(jìn)的管理科學(xué)知識(shí)，有較強(qiáng)的適應(yīng)性；經(jīng)濟(jì)性弓4投資一功能比；資源利用率Gs對(duì)軟硬件、信息資源的利用程度；規(guī)范性Ge遵循國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)、國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，易于使用、維護(hù)和擴(kuò)充.2.系統(tǒng)性能凡可靠性主要是軟硬件系統(tǒng)的可靠性；系統(tǒng)效率C22系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間、周轉(zhuǎn)時(shí)間、吞吐量等；可維護(hù)性c23確定、修正系統(tǒng)的錯(cuò)誤所需的代價(jià)；可擴(kuò)充性C24系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、硬件設(shè)備、軟件功能的可擴(kuò)充程度；257

可移植性Cu將系統(tǒng)移植到另一種軟硬件環(huán)境的代價(jià)；安全性。26當(dāng)自然或人為故障造成系統(tǒng)破壞時(shí)的有效對(duì)策.3.系統(tǒng)應(yīng)用4經(jīng)濟(jì)效益Gi降低成本、增加利潤(rùn)、提高競(jìng)爭(zhēng)力、改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量等；社會(huì)效益J提高科技水平、合理利用資源、增進(jìn)社會(huì)福利、保護(hù)生態(tài)環(huán)境等；用戶滿意度c”人機(jī)界面友好、操作方便、容錯(cuò)性強(qiáng)、有幫助功能等；功能應(yīng)用程度G”是否達(dá)到預(yù)期的技術(shù)指標(biāo).用以上各評(píng)價(jià)指標(biāo)構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)，形成目標(biāo)層4、準(zhǔn)則層8、子準(zhǔn)則層C和方案層D,如圖2.————功能應(yīng)用程度5——用戶滿意度分I—社會(huì)效益——經(jīng)妥益q——「安全性4 ——可移植性——可擴(kuò)充性以————可維護(hù)性』————系統(tǒng)效率?！猺可靠性& ——規(guī)范性』 —資源利用率G——經(jīng)濟(jì)性CM?——先進(jìn)性％ —實(shí)現(xiàn)程度4———科學(xué)性g 圖2MIS綜合評(píng)價(jià)的層次結(jié)構(gòu)由專家和用戶組成的小組對(duì)3個(gè)MIS系統(tǒng)D,，氏，％進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，將成對(duì)比較陣略去，得到的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)的結(jié)果如下：準(zhǔn)則層8對(duì)目標(biāo)層4的權(quán)向量“⑵=(0.162,0.309,0.529",一致性指標(biāo)C/(2)=0,0056.子準(zhǔn)則層C對(duì)當(dāng)，也，斗的權(quán)向量分別為w⑶)二(0.101,0.177,0.177,0.312,0.056,0.177),w⑶)=(0.350,0,126,0.230,0.126,0.043,0.126),v(33)=(0.336,0.161,0.420,0.082),一致性指標(biāo)分別為CI(3,)=0.0043,C/"2)=0.。048,C7(33)=0.0061.258方案層D對(duì)子準(zhǔn)則層C(共16個(gè)因素)的權(quán)向量wr和一致性指標(biāo)CI^=1,2,…，16)列入表4,其中C對(duì)力的權(quán)向量”⑶=W⑶”⑵，而w⑶是以訪⑶)，才⑶)，訪(劃為列向量的16x3矩陣(見(8)式)，［⑶,=(>P<3I),0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)T,w(32)=(0,0,0,0,0,0,132),0,0,0,0/, =(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4)T.以表4中的16個(gè)權(quán)向量w1)為列向量構(gòu)成3X16矩陣則方案層D對(duì)目標(biāo)層4的組合權(quán)向量為W⑷=Ww⑶=(0.315,0.478,0.207)T.各層的一致性檢驗(yàn)及組合一致性檢驗(yàn)全部通過，上面得到的組合權(quán)向量可以作為3個(gè)MIS系統(tǒng)綜合評(píng)價(jià)的依據(jù)，即系統(tǒng)5最優(yōu),，次之.表4MIS綜合評(píng)價(jià)中方案層D對(duì)于準(zhǔn)則層C的計(jì)算結(jié)果廠Cua?C13G,G,C16C220.0160.0290.0290.0510.0090.0290.1080.039*。0.4620.3440.4620.1620.5350.4620.3330.4620.3690.5350.3690.3090.3440.3690.4760.3690.1690.1210.1690.5290.1210.1690.1900.169c/丁）0.01110.01270.01110.00560.01270.01110.03040.0111qCuC”JC3IC”C3i0.0710.0390.0130.0390.1780.0850.2230,0430.1090.3090.3090.1090.4620.2310.2740.3090.5700.5290.5290.5700.3690.5540.6320.1620.3210.1620.1620.3210.1690.2150.0950.5290.00270.00560.00560.00270.01110.01030.01360.0056例2橫渡江河、海峽方案的抉擇1970年南京長(zhǎng)江大橋的建成結(jié)束了津浦鐵路輪渡長(zhǎng)江的歷史，穿越英吉利海峽的隧道為英法兩國(guó)的交通帶來了巨大的方便，跨越瓊州海峽、連接海南島和雷州半島的輪渡已經(jīng)實(shí)現(xiàn)，有人甚至在醞釀橫越臺(tái)灣海峽的海底隧道了.渡江越海的辦法主要有建橋梁、修隧道、輪渡三種，進(jìn)行抉擇時(shí)不外乎要從效益和代價(jià)兩方面考慮，這兩方面又各有若干準(zhǔn)則加以度量，用AHP方法處理應(yīng)將效益和代價(jià)作為兩個(gè)目標(biāo)，分別建立層次結(jié)構(gòu)，圖3和圖4中表述的是某部門對(duì)準(zhǔn)則的選擇，僅供參考，因?yàn)樗鼈兊暮x都容易從字面上理解，這里就不一一解釋了.構(gòu)造成對(duì)比較陣和計(jì)算權(quán)向量的部分從略.259?—美化C——O——進(jìn)出方便G1——舒適G—— 自豪感C81——交往溝通G————安全可靠G————建筑就業(yè)4「——當(dāng)?shù)厣虡I(yè)C4——岸間商業(yè)G——一收入6—一I節(jié)省時(shí)間G—圖3渡江越海評(píng)價(jià)效益的層次結(jié)構(gòu)圖4渡江越海評(píng)價(jià)代價(jià)的層次結(jié)構(gòu)260例3科技成果的綜合評(píng)價(jià)科技成果涉及的領(lǐng)域很廣，種類很多，這里指的是直接應(yīng)用于國(guó)民經(jīng)濟(jì)的某個(gè)生產(chǎn)部門后，可迅速轉(zhuǎn)化為生產(chǎn)力，帶來可定量計(jì)算的經(jīng)濟(jì)效益的那一類成果.評(píng)價(jià)準(zhǔn)則先分為效益G、水平G、規(guī)模c3共3類，再在每類中確定若干具體指標(biāo)，如此構(gòu)造的層次結(jié)構(gòu)由圖5給出.圖5科技成果評(píng)價(jià)的層次結(jié)構(gòu)當(dāng)對(duì)科技成果進(jìn)行相對(duì)評(píng)價(jià)時(shí)，可直接利用層次分析法確定出它們對(duì)于綜合評(píng)價(jià)的優(yōu)劣順序.當(dāng)對(duì)科技成果進(jìn)行絕對(duì)評(píng)價(jià)時(shí)，應(yīng)先用層次分析法得到，G2…各項(xiàng)具體指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的相對(duì)權(quán)重，再給出這些指標(biāo)的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，如對(duì)于G），年經(jīng)濟(jì)效益在1000萬元以上為1等（9分）；100萬元以上為2等（7分）；……1萬元以下為5等（1分）.對(duì)于C23,達(dá)到國(guó)際水平為1等（9分）；部分達(dá)到或全面接近國(guó)際水平為2等（7分）；國(guó)內(nèi)先進(jìn)水平為3等（5分）；國(guó)內(nèi)水平為4等（3分）；一般水平為5等（1分）.當(dāng)某項(xiàng)成果在各指標(biāo)中的等級(jí)被主管部門認(rèn)定后，將各個(gè)分值乘以各指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中的權(quán)重并求和，即為這項(xiàng)成果的綜合絕對(duì)評(píng)價(jià)的分值.例4工作選擇一個(gè)剛獲得學(xué)位的大學(xué)畢業(yè)生面臨選擇工作崗位，他將要考慮的準(zhǔn)則有：能夠發(fā)揮自己的才干為國(guó)家作貢獻(xiàn)；豐厚的收入；適合個(gè)人的興趣及發(fā)展；良好的聲譽(yù)；人際關(guān)系；地理位置等，于是他可以構(gòu)造如圖6的層次結(jié)構(gòu)，用層次分析法確定可供選擇的工作的優(yōu)先順序.你認(rèn)為這些準(zhǔn)則合適嗎？試給出準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣?

工作選擇例5國(guó)家實(shí)力分析一些高層研究人員要對(duì)美、俄、中、英、法、日、德等大國(guó)的國(guó)家綜合實(shí)力進(jìn)行分析判斷，層次分析法為其提供了一種手段.這里的關(guān)鍵是確定合適的準(zhǔn)則及進(jìn)行實(shí)事求是的對(duì)比,一個(gè)供參考的層次結(jié)構(gòu)如圖7所示.圖7國(guó)家綜合實(shí)力分析的層次結(jié)構(gòu)通過以上列舉的幾個(gè)實(shí)例可以大體上看出層次分析法的應(yīng)用模式和涉及范圍.順便指出，在這個(gè)方法提出和完善的20世紀(jì)70年代，Saaty等人曾用它解決過一些國(guó)際或國(guó)家級(jí)的重大課題，如1985年世界石油價(jià)格的預(yù)測(cè)，蘇丹運(yùn)輸系統(tǒng)的研究，美國(guó)未來高等教育(1985—2000)的規(guī)劃等收刈.三、層次分析法的若干問題層次分析法問世以來不僅得到廣泛的應(yīng)用，而且在理論體系、計(jì)算方法以及建立更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)等方面都有很快的發(fā)展?本節(jié)將著重從應(yīng)用的角度討論幾個(gè)問題，對(duì)它的公理化體系等方面有興趣的讀者可參看[65,90].262[263]題1.1(2)幕法1正互反陣最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量的性質(zhì)成對(duì)比較陣是正互反陣.層次分析中用對(duì)應(yīng)它的最大特征根的特征向量作為權(quán)向用，用最大特征根定義一致性指標(biāo)（6）式進(jìn)行一致性檢驗(yàn).這里人們首先碰到的問題是:正互反陣是否存在正的最大特征根和正的特征向量工一致性指標(biāo)的大小是否反映它接近一致陣的程度,特別,當(dāng)一致性指標(biāo)為零時(shí)，它是否就變?yōu)橐恢玛?下面兩個(gè)定理可以回答這些問題.定理1對(duì)于正矩陣A（4的所有元素為正數(shù)八1）4的最大特征根是正單根R;A對(duì)應(yīng)正特征向量皿小的所有分量為正數(shù)）;J吧［得=w，其中1=（1,1,…/）『產(chǎn)是對(duì)應(yīng)X的歸一化特征向量.定理的1）,2）是著名的Pemm-FmAnius定理的一部分,3）可通過將4化為標(biāo)準(zhǔn)形證明（略）.定理2n階正互反陣A的最大特征根九Nr*當(dāng)八=/i時(shí)4是一致陣.證明見［83］定理2和前面所述的一致陣的性質(zhì)表明川階正互反陣△是一致陣的充要條件為，4的最大特征根入二%上述結(jié)論為特征根法用于層次分析提供了一定的理論依據(jù).2.正互反陣最大特征報(bào)和特征向量的實(shí)用算法眾所周知，用定義計(jì)算矩陣的特征根和特征向量是相當(dāng)困難的，特別是矩陣階數(shù)較高的時(shí)候,另方面，因?yàn)槌蓪?duì)比較陣是通過定性比較得到的比較粗糙的量化結(jié)果，對(duì)它作精確計(jì)算是不必要的，所以完全可以用簡(jiǎn)便的近似方法計(jì)算其特征根和特征向量，下面介紹幾種.（1）靠法步驟如下：a.任取言維歸一化初始向量”⑼孑b.計(jì)算命 =Aw㈤,4=0,1,2,…；C.守仆⑴歸,-化.即令班3"=- ；￡嘰…i-3d.對(duì)于預(yù)先給定的精度￡,當(dāng)|知:"■好（共］=1,2,,,,7）時(shí)即為所求的特征向量；否則返回公1:wti+l?e+計(jì)算最大特征根A二2V這是求最大特征根對(duì)應(yīng)特征向量的迭代方法，其收斂性由定理1的3）保263[264]題1.1(3)(4)和法、根法，答案證.W⑺可任選或取為下面方法得到的結(jié)果.(2)和法相驟如下：必將力的每一列向量歸一化得茄/二I=1nb.對(duì)正u按行求和得/=SW,；7=1加J ?C.將近i歸一化叫"-；一1一，M=(叫,w2，…，％),即為近似特征向量①；￡*i,口t"(Aw)J.計(jì)算八二上W-一~作為最大特征根的近似值.這個(gè)方法實(shí)際上是將A的列向量歸一化后取平均值，作為4的特征向量.因?yàn)楫?dāng)A為一致陣時(shí)它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不嚴(yán)重，則取A的列向量(歸一化后)的平均值作為近似特征向量是合理的.(3)根法步驟與和法基本相同，只是將步驟b改為對(duì)加爐按行求積并開口次方，即%=(n樂廣.J-1根法是將和法中求列向量的算術(shù)平均值改為求幾何平均值.以上3個(gè)方法中以和法最為簡(jiǎn)便.試用它計(jì)算一個(gè)例子。、」fL匹九0」740.268\nnQ"-3(反5870.3240.089)一,.精確計(jì)算給出核=(0.588,0.322,0.090)T,A=3.010.二者相比，相差甚微.3,為什么用成對(duì)比較陣的特征向量作為權(quán)向量我們知道，當(dāng)成對(duì)比較陣4是一致陣時(shí)，力與權(quán)向量卬*(叫，…，叫)t的關(guān)m W-系滿足％=,，那么當(dāng)A不是一致陣時(shí)，權(quán)向量w的選擇應(yīng)使得氣與‘相差vw.①在和法中E由：二%于是%=笳但對(duì)根法則不具有這種方便性,264（對(duì)所有的ij）盡量地小.這樣，如果從擬合的角度看，確定“可以化為如下的最小二乘問題：TOC\o"1-5"\h\zmin （15）由（15）式得到的最小二乘權(quán)向量一般與特征根法得到的不同.因?yàn)椋?5）式將導(dǎo)致求解關(guān)于孫的非線性方程組，計(jì)算復(fù)雜，且不能保證得到全局最優(yōu)解，沒有實(shí)用價(jià)值.如果改為對(duì)數(shù)最小二乘問題nn 2minYVIIna..-In—I （16）…,Q￡￡\ Wj）則化為求解關(guān)于In孫的線性方程組.可以驗(yàn)證，如此解得的9恰是前面根法計(jì)算的結(jié)果（習(xí)題3）.特征根法解決這個(gè)問題的途徑可通過對(duì)定理2的證明看出㈤），由上可知，用不同標(biāo)準(zhǔn)確定的權(quán)向量是不同的（當(dāng)然，若A為一致陣，則用所有標(biāo)準(zhǔn)確定的權(quán)向量應(yīng)相同）.那么，相對(duì)其他方法而言特征根法有什么優(yōu)越性呢？當(dāng)比較孰，Q,…，G幾個(gè)因素對(duì)上層某因素的影響時(shí)，旬是G對(duì)弓（直接比較）的強(qiáng)度，不妨稱為1步強(qiáng)度.若記］=（*））,則不難得到*）=?%.,川即點(diǎn)）是G通過3（$=1,2「???。?duì)Cj比較的強(qiáng)度之和，稱2步強(qiáng)度，它已包含了1步強(qiáng)度％（因?yàn)楹褪街邪⊿=iJ）.顯然42）比%更能反映G對(duì)Ci的強(qiáng)度.類似地，記4*二（&?）,*＞是“步強(qiáng)度，它包含了】步至1-1步強(qiáng)度.A越大，吟）越能全面地反映G對(duì)C,的強(qiáng)度.可以認(rèn)為體現(xiàn)了相互比較的多步累積效應(yīng).的度量，即以券j（i更進(jìn)一步可以證明,對(duì)于正互反陣A和每一對(duì)（ij）,存在鼠,當(dāng)k〉k。時(shí),Na2或W*,對(duì)所有式1?！┏闪?，這表明對(duì)于足夠大的的第i行元素給出了G在全部因素中排序權(quán)重的信息，可以用這行元素之和作為G的度量，即以券j（i二（1,1,…，1/）為諸因素的權(quán)向量，其中分母是歸一化的需要,回顧本小節(jié)定理1的3）.當(dāng)及一＞8時(shí)9這個(gè)權(quán)向量正是4的特征向量W,即(17)由（17）式用級(jí)數(shù)理論還不難證明(18)圖8評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)圖8評(píng)價(jià)教師貢獻(xiàn)的層次結(jié)構(gòu)266以上分析表明，無論從全面反映因素間強(qiáng)度對(duì)比的多步累積效應(yīng)的意義上（（17）式），還是從各個(gè)多步累積效應(yīng)的平均的意義上（（18）式），用特征向鼠作權(quán)向量?jī)?yōu)于用其他方法得到的權(quán)向量..不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向■的計(jì)算在前兩節(jié)列舉的大多數(shù)層次結(jié)構(gòu)模型中，上一層的每個(gè)因素都支配著下一層的所有因素，或被下一層所有因素影響，如圖1、6、7,這種層次結(jié)構(gòu)稱為完全的.但是也有的層次結(jié)構(gòu)不是這樣，如圖2、3、4、5,那里準(zhǔn)則層中的一個(gè)因素，只支配子準(zhǔn)則層的一部分因素，這種層次結(jié)構(gòu)稱為不完全的.不過，這類只出現(xiàn)在各準(zhǔn)則層中的不完全性容易處理，如第二小節(jié)例】中，我們將不支配的那些因素的權(quán)向量分量簡(jiǎn)單地置0,就可以用完全層次結(jié)構(gòu)的辦法處理，這顯然也是合理的.但是如果不完全結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在準(zhǔn)則層與方案層之間，事情就有些麻煩，試看下例.學(xué)校要評(píng)價(jià)教師的貢獻(xiàn)，粗略地只考慮教學(xué)與科研兩個(gè)指標(biāo)，若巴，尸2,匕，匕4位教師中只從事教學(xué)，匕只搞科研，P3則二者兼顧，那么層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.G,G支配因素的數(shù)目不等.先看看將不支配因素的權(quán)向量分量簡(jiǎn)單置0有什么后果.設(shè)CX9C2對(duì)第1層的權(quán)向量w⑶=（小2）,初產(chǎn)）T已經(jīng)確定，a支配第3層的因素尸「匕，尸3，。2支配P3,匕，記兩個(gè)權(quán)向量為吟、=（若。陪，*,O）T和=（0,0,*,卬手）,按照（8）式應(yīng)有w⑶二W⑶ ⑶（19）考察一個(gè)特殊情況：教學(xué)與科研兩個(gè)準(zhǔn)則的重要性相同，即“⑵=（1/2,1/2）,,4位教師不論從事教學(xué)或科研，能力都相同，即“儼=（1/3,1/3,1/3,=（0,0,l/2,l/2）T.公正的評(píng)價(jià)應(yīng)是，被安排只搞教學(xué)或科研的？產(chǎn)2,P43人的貢獻(xiàn)相同，而P3的貢獻(xiàn)為他們的一倍.但是按照（19）式得到的是w⑴=（1/6,1/6,5/12,1/4）t.怎樣才能得到合理的結(jié)果呢？一種辦法是用支配因素的數(shù)量對(duì)權(quán)向量”⑵進(jìn)行加權(quán)，修正為q（2），再計(jì)算w⑶.G,。2支配因素的數(shù)量分別記為。，％，令聲⑶=（%小）,七?。?，/（%叫⑵+%加產(chǎn)） （20）“）=W⑶》《2） （21）其中，（20）右端的分母是歸一化的需要.利用上面W⑵，W⑶的數(shù)據(jù)，并注意到%=3,%=2,由（20）,（21）式可得w⑶=（1/5,1/5,2/5,1/5）「與公正的評(píng)價(jià)吻合.從實(shí)際考慮，這種支配因素越多權(quán)重越大的修正辦法，只適合于教師從事教學(xué)和（或）科研完全由上級(jí)安排的情況，在能力相同的條件下，承擔(dān)雙份工作的P3的貢獻(xiàn)自然大一倍.但是如果教師從事教學(xué)和科研完全靠發(fā)揮個(gè)人的積極性，而且上級(jí)希望每位教師都二者兼顧，并鼓勵(lì)從事人數(shù)較少的那一類工作，就可以用支配因索數(shù)量加權(quán)，（20）式變?yōu)?22)(22)不妨用上面的數(shù)據(jù)按照（22）和（21）式算一下，看看這種情況下4位教師的貢獻(xiàn)如何..成對(duì)比較陣殘缺時(shí)的處理專家或有關(guān)人士由于某種原因會(huì)無法或不愿對(duì)某兩個(gè)因素給出相互對(duì)比的結(jié)果與，于是成對(duì)比較陣出現(xiàn)殘缺（不能補(bǔ)0,因?yàn)橐?>0）,如何對(duì)此作修正，以便繼續(xù)進(jìn)行權(quán)向量的計(jì)算呢，下面通過簡(jiǎn)例介紹一種辦法.-1 2 8] '設(shè)一成對(duì)比較陣為A=1/2 1 2，其中符號(hào)。表示殘缺.記由A要計(jì).01/21.算的權(quán)向量為W=（叫，叫，孫）丁，用w./w3代替殘缺的?是合理的，所以構(gòu)造一-1 2 %/%?個(gè)輔助矩陣C二1/2 1 2 ，則（5）式可以代之以TOC\o"1-5"\h\zw3/w. 1/2 1Cw =A.w （23）但是C中包含未知量叼，%，（23）式無法求解，而如果將4修正為彳=?2 2（T1/2 1 2，不難驗(yàn)證.0 1/22.Aw=Av （24）與（23）式等價(jià).由（24）式可以得到權(quán)向量為w=（0.5714,0.2857,0.1439）1一般地，由殘缺陣4=（%）構(gòu)造修正陣彳=（3P的方法是令a產(chǎn)?,；=0, 4=8,i#j （25）267叫+1,人為第i行8的個(gè)數(shù),i=j

267在上面的例子中雖然因?yàn)樵?殘缺，沒有比較1,3兩個(gè)因索的直接信息，但是二者的比較可以通過〃和％3這樣的間接信息獲得?一個(gè)應(yīng)該提出的問題是，怎樣的殘缺陣才是可以接受的，即其殘缺元素都能夠由已有元素的關(guān)系得到.已經(jīng)證明可以接受的殘缺陣A的充分必要條件是4為不可約矩陣①.6?遞階層次結(jié)構(gòu)和更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)以上討論的所有層次結(jié)構(gòu)模型有兩個(gè)共同的特點(diǎn)，一是模型所涉及的各因素可以組合為屬性基本相同的若干層次，層次內(nèi)部因素之間不存在相互影響或支配作用，或者這種影響作用可以忽略；二是層次之間存在自上而下、逐層傳遞的支配關(guān)系，沒有下層對(duì)上層的反饋?zhàn)饔?，或?qū)娱g的循環(huán)影響.具有這些特點(diǎn)的稱為遞階層次結(jié)構(gòu)，前面介紹的全部算法都是針對(duì)這種層次結(jié)構(gòu)的.更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)有以下幾種情況.(1)層次內(nèi)部因素之間存在相互影響.例如以行駛性能為目標(biāo)對(duì)各種型號(hào)汽車作評(píng)價(jià)時(shí),準(zhǔn)則層有剎車、轉(zhuǎn)向、運(yùn)行、加速等，這些準(zhǔn)則之間就是相關(guān)的，如圖9.圖9汽車行駛性能的層次結(jié)構(gòu)(2)下層反過來對(duì)上層有支配作用，形成循環(huán)，從而無法區(qū)分上下層.例如可以用教學(xué)、科研等每一項(xiàng)指標(biāo)評(píng)價(jià)幾位教師，也可以反過來對(duì)于每一位教師比較他的教學(xué)、科研等哪一方面表現(xiàn)最為出色，從而在指標(biāo)層和對(duì)象層之間形成循環(huán).(3)既在層次內(nèi)部因素之間存在相互影響，又在層次之間存在反饋?zhàn)饔?復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)就是這種情況，它的一個(gè)簡(jiǎn)化模型如圖18產(chǎn)業(yè)、rO-I①非負(fù)方陣A若能通過行列置換化為IaJ形式(其中A，4為方陣)，稱①非負(fù)方陣A若能通過行列置換化為則，稱A是不可約矩陣.268[269]8.2循環(huán)比賽的名次需求、政策等6個(gè)層次（或稱子系統(tǒng)）之間存在復(fù)雜的相互關(guān)系（用帶箭頭的直圖10社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)線表示），在每層內(nèi)部各因素（如產(chǎn)業(yè)包括農(nóng)業(yè)“工業(yè)、第三產(chǎn)業(yè),需求包括生活資料'社會(huì)發(fā)展資料、社會(huì)福利、國(guó)家安全等等）之間也有相圖10社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的層次結(jié)構(gòu)用層次分析法研究這些更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)，需要引入超矩陣、極限相對(duì)權(quán)向量、極限絕對(duì)權(quán)向量等概念，并建立相應(yīng)的算法9皿.評(píng)注從層次分析法的原理、步驟、應(yīng)用等方面的討論不難看出它有以下優(yōu)點(diǎn)，（1）系統(tǒng)性層次分析把研究對(duì)象作為一個(gè)系統(tǒng)，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策，成為繼機(jī)理分析、統(tǒng)計(jì)分析之后發(fā)屣起來的系統(tǒng)分析的重要工具.（2）實(shí)用性層次分析把定性和定量方法給合起來，能處理許多用傳統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù)無法著手的實(shí)際問題，應(yīng)用范周很廣.同時(shí)■這種方法將決策者與決策分析者相互溝通，決策者甚至可以直接應(yīng)用它,這就增加了決策的有效性.（3）簡(jiǎn)潔性具有中等文化程度的人即可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計(jì)算也非常簡(jiǎn)便，并且所得結(jié)果簡(jiǎn)單明確，容易為決策者了解和掌握.層次分析法的局限性可以用囿舊、粗略、主觀等詞來概括,就是說，第一，它只能從原有方案中選優(yōu)，不能生成新方案；第二，它的比較、判斷直到結(jié)果都是粗糙的，不適于精度要求很高的問題;第二，從建立層次結(jié)構(gòu)模型到給出成對(duì)比較矩陣，人的主觀因素的作用很大，這就使得決策結(jié)果可能難以為眾人接受.當(dāng)然,采取專家群體判斷的辦法是克服這個(gè)缺點(diǎn)的一種途徑.8.2循環(huán)比賽的名次若干支球隊(duì)參加單循環(huán)比賽，各隊(duì)兩兩交鋒，假設(shè)每場(chǎng)比賽只計(jì)勝負(fù)，不計(jì)比分，且不允許平局.在循環(huán)賽結(jié)束后怎樣根據(jù)他們的比賽結(jié)果排列名次呢□土有幾種表述比賽結(jié)果的辦法，莪直觀的一種是用圖的頂點(diǎn)表示球隊(duì)，而用連接兩個(gè)頂點(diǎn)的、以僭頭標(biāo)明方向的邊表示兩支球隊(duì)的比賽結(jié)果.圖1給出了6支球隊(duì)的比賽結(jié)果，即1隊(duì)?wèi)?zhàn)勝2,4,5,6隊(duì)，而輸給了3隊(duì)；5隊(duì)?wèi)?zhàn)勝3,6隊(duì)，而輸給1,2,4隊(duì)等等.根據(jù)比賽結(jié)果排名次的一個(gè)辦法是在圖中順箭頭方向?qū)ふ乙粭l通過全部6個(gè)頂點(diǎn)的路徑，如3一1-2-4-5-6,這表示3隊(duì)勝1隊(duì)，1隊(duì)勝2隊(duì)，…，于是3269圖16支球隊(duì)的比賽結(jié)果圖16支球隊(duì)的比賽結(jié)果隊(duì)為冠軍，1隊(duì)為亞軍等等.但是還可以找出其他路徑，如1-4T6T3-2-5,4-5T6t3t1t2等.所以用這種方法顯然不能決定誰是冠亞軍.排名次的另一個(gè)辦法是計(jì)算得分，即每支球隊(duì)獲勝的場(chǎng)次.上例中1隊(duì)勝4場(chǎng)，2,3隊(duì)各勝3場(chǎng),4,5隊(duì)各勝2場(chǎng)，6隊(duì)勝1場(chǎng).由此雖可決定1隊(duì)為冠軍，但2,3隊(duì)之間與4,5隊(duì)之間無法決出高低.如果只因?yàn)橛?-2,4-5,就將3排在2之前、4排在5之前，則未考慮它們與其他隊(duì)的比賽結(jié)果，是不恰當(dāng)?shù)?下面利用圖論的有關(guān)知識(shí)解決這個(gè)問題.競(jìng)賽圖及其性質(zhì)在每條邊上都標(biāo)出方向的圖稱為有向圖（Digraph）.每對(duì)頂點(diǎn)之間都有一條邊相連的有向圖稱為競(jìng)賽圖（Tournament）.只計(jì)勝負(fù)、沒有平局的循環(huán)比賽的結(jié)果可用競(jìng)賽圖表示，如圖1.問題歸結(jié)為如何由競(jìng)賽圖排出頂點(diǎn)的名次.2個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖排名次不成問題.3個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖只有圖2的兩種形式（不考慮頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)）.對(duì)于（1）,3個(gè)隊(duì)的名次排序顯然應(yīng)是“，2,31；對(duì)于（2）,則3個(gè)隊(duì)名次相同，因?yàn)樗麄兏鲃僖粓?chǎng).圖23個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖4個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖共有圖3所示的4種形式，下面分別進(jìn)行討論.圖34個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖（1）有唯一的通過全部頂點(diǎn)的有向路徑1—213T4,這種路徑稱完全路徑;4個(gè)隊(duì)得分為（3,2,1,0）.名次排序無疑應(yīng)為|1,2,3,4|.（2）點(diǎn)2顯然應(yīng)排在第1,其余3點(diǎn)如圖2（2）形式，名次相同;4個(gè)隊(duì)得分270為(1,3,1,1).名次排序記作3,4)1.(3)點(diǎn)2排在最后，其余3點(diǎn)名次相同；得分為(2,0,2,2).名次排序記作1(1,3,4),2).(4)有不只一條完全路徑，如1-2T3-4,3-4-1-2無法排名次;得分為(2,2,1,1).由得分只能排名為1(1,2),(3,4)],如果由1—2,3-4就簡(jiǎn)單地排名為[1,2,3,4|是不合適的.這種情形是研究的重點(diǎn).還可以注意到，(4)具有(1)~(3)所沒有的性質(zhì)：對(duì)于任何一對(duì)頂點(diǎn)，存在兩條有向路徑(每條路徑由一條或幾條邊組成)，使兩頂點(diǎn)可以相互連通，這種有向圖稱為雙向連通的(Biconnected).5個(gè)頂點(diǎn)以上的競(jìng)賽圖雖然更加復(fù)雜，但基本類型仍如圖3所給出的3種：第1種類型：有唯一完全路徑的競(jìng)賽圖，如(1);第2種類型：雙向連通競(jìng)賽圖，如(4)；第3種類型：不屬于以上類型，如(2),(3).一般的幾個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖具有以下性質(zhì)：1)競(jìng)賽圖必存在完全路徑(可用歸納法證明).2)若存在唯一的完全路徑，則由完全路徑確定的頂點(diǎn)的順序，與按得分多少排列的順序相一致,這里一個(gè)頂點(diǎn)的得分指由它按箭頭方向引出的邊的數(shù)目.顯然，性質(zhì)2給出了第1種類型競(jìng)賽圖的排名次方法，第3種類型競(jìng)賽圖無法全部排名，下面只討論第2種類型.雙向連通競(jìng)賽圖的名次排序3個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圖，如圖2(2),名次排序相同.以下討論幾(24)個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圖?為了用代數(shù)方法進(jìn)行研究，定義競(jìng)賽圖的鄰接矩陣4=(4Lx.如下：1,存在從頂點(diǎn)i到了的有向邊0,否則依此，圖3(4)的鄰接矩陣為若記頂點(diǎn)的得分向量為$=(s…2,…，與)二其中s，是頂點(diǎn)i的得分，則由(1)不難知道Al,1=（1,1,…，1）由(2),(3)式容易算出雙向連通的圖3(4)的得分向量是5=(2,2,1,1)丁，正如前面已經(jīng)給出的.由$無法排出全部名次，記s=s⑴，稱為1級(jí)得分向量，進(jìn)一步計(jì)算[272]題2.1、2.2(1)答案稱為2綾得分向量.每支球隊(duì)（頂點(diǎn)）的2級(jí)得分是他戰(zhàn)勝的各個(gè)球隊(duì)的（1級(jí)）得分之和，與1級(jí)得分相比,2級(jí)得分更有理由作為排名次的依據(jù).對(duì)于圖3（4）,=（2,2,1,1客⑵=（3,2,1,2）1繼續(xù)這個(gè)程序，得到k級(jí)得分向量.對(duì)于圖3（4）有=(3,3,2,3)、=(8,6,3,5)、二(13,13,8,9)、?8>二(5,5,3,3)「二(9淮,5,8)，=(2]，17,9,13尸,k越大，用作為排名次的依據(jù)越合理，如果萬一8時(shí),$"）收斂于某個(gè)極限得分向量（為了不使它無限變大，應(yīng)進(jìn)行歸一化），那么就可以用這個(gè)向量作為排名次的依據(jù).極限得分向量是否存在呢？答案是肯定的.因?yàn)閷?duì)于n[N4）個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圈.存在正整數(shù)「，使得鄰接矩陣A滿足A'O.這樣的月稱為素陣.再利用著名的Perron-Frcrbemus定理，素陣A的最大特征根為正單根A,A對(duì)應(yīng)正特征向量九且有①與（5）式比較可知，左級(jí)得分向量時(shí)（歸一化后）將趨向A的對(duì)應(yīng)于最大特征根的特征向量就是作為排名次依據(jù)的極限得分向量，如對(duì)圖3（4）,算出其鄰接矩陣4（（2）式）的最大特征根A=L4和對(duì)應(yīng)特征向量$=（S323,0.280,0,167,0.230）,從而確定名次排列為門,2,4,31.可以看出，雖然3勝了4,但由于4故勝了最強(qiáng)大的1,所以4排名在3之前，對(duì)于本節(jié)開始提訊的6支球隊(duì)循環(huán)比賽的結(jié)果（圖1）,不難看出這個(gè)競(jìng)賽圖是雙向連通的.寫出其鄰接矩陣ro00000由(5)式可以算出各級(jí)得分向量為?J(4,3,3,2,2,1), 留⑶=(8,5,9,3,4,3),產(chǎn)=(15,10,16,7,12,9)、sf4]=(38,28,32,21,25,16)\①這里的結(jié)果與8.1節(jié)第三小節(jié)定理】是一致的.272-[273]題2.2(3)答案****本節(jié)完****進(jìn)一步算出A的最大特征報(bào)A=2.232和特征向量,二（0.2g，0.184,0.231,0.113,515%。.104”,排出名次為11,3,2,5,40.8.3社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過程本節(jié)用一個(gè)能源利用系統(tǒng)預(yù)測(cè)的例子說明用沖量過程建模的方法.考察某地區(qū)的能源利用狀況.先界定系統(tǒng)的范圍，比如只考慮能源利用量、價(jià)格、生產(chǎn)率、環(huán)境質(zhì)量、工業(yè)產(chǎn)值、就業(yè)機(jī)會(huì)及人U總數(shù)7個(gè)因素，它們之間相當(dāng)復(fù)雜的關(guān)系可以簡(jiǎn)化為一個(gè)因素對(duì)另外因素直接的促進(jìn)或促退作用.要研究的問題是，當(dāng)某個(gè)因素突然發(fā)生改變時(shí)，預(yù)測(cè)系統(tǒng)各因素的演變過程和趨勢(shì)詠定性模型與定量模型能源利用系統(tǒng)的每個(gè)因素用圖的一個(gè)頂點(diǎn)表不，因素間的直接影響用帶方向的邊表示，構(gòu)成&2節(jié)中提到的有向圖.為了表明因素間的影響作用是促進(jìn)的（正面的）還是促退的（負(fù)面的），在箭頭旁分別標(biāo)以十號(hào)或一號(hào).于是整個(gè)系統(tǒng)可以用帶符號(hào)的有向圖（SignedDigraph）6,表示，如圖L這里有兩點(diǎn)需要說明:第一，兩頂點(diǎn)之間的有向邊表示兩因素間的直接影響，如3帶十號(hào)表示某時(shí)段能源利用量%的增加導(dǎo)致下一時(shí)段能源生產(chǎn)率%的增長(zhǎng)，明內(nèi)帶-號(hào)則表示陰的增加導(dǎo)致下一時(shí)段環(huán)境質(zhì)量3的降低.因素間的問接影響是由幾條相連的同向邊反映出來的，如明的增加導(dǎo)致下時(shí)段%的增長(zhǎng)，又引起再下時(shí)段［:業(yè)產(chǎn)值%的增長(zhǎng).有些因素間的影響是雙向的，如v,的增加導(dǎo)致下時(shí)段能源價(jià)格嗎的降低，%的降低又引起再下時(shí)段%的增長(zhǎng).第，像能源利用這樣的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，因素之間的影響關(guān)系十分復(fù)雜，應(yīng)該合理、簡(jiǎn)化地