《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

第二十四講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示編輯ppt回歸課本編輯ppt1.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.編輯ppt(2)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐標(biāo)表示①在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸?y軸方向相同的兩個單位向量e1,e2作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù)a1、a2,使a=a1e1+a2e2.把有序數(shù)對(a1,a2)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(a1,a2),其中a1叫a在x軸上的坐標(biāo),a2叫a在y軸上的坐標(biāo).編輯ppt②設(shè)=a1e1+a2e2,則向量的坐標(biāo)(a1,a2)就是終點A的坐標(biāo),即若 =(a1,a2),則A點坐標(biāo)為(a1,a2),反之亦成立(O是坐標(biāo)原點).編輯ppt2.平面向量的坐標(biāo)運算(1)加法?減法?數(shù)乘運算向量aba+ba-bλa坐標(biāo)(x1,y1)(x2,y2) (x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)編輯ppt(2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),即一個向量的坐標(biāo)等于該向量終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).(3)平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,則a與b共線a=λbx1y2-x2y1=0.編輯ppt考點陪練編輯ppt1.下列各組向量中,可以作為基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=編輯ppt解析:根據(jù)基底的定義知,非零且不共線的兩個向量才可以作為平面內(nèi)的一組基底.A中顯然e1∥e2;C中e2=2e1,所以e1∥e2;D中e1=4e2,所以e1∥e2.答案:B編輯ppt2.已知a=(-2,3),b=(1,5),則3a+b等于()A.(-5,14) B.(5,14)C.(7,4) D.(5,9)解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案:A編輯ppt3.設(shè)a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c=()A.(-15,12) B.0C.-3 D.-11解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.答案:C編輯ppt編輯ppt答案:2編輯ppt類型一 平面向量基本定理的應(yīng)用解題準(zhǔn)備:已知e1,e2是平面的一組基底,如果向量a,e1,e2共面,那么有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.反之,如果有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,那么a,e1,e2共面.這是平面向量基本定理的一個主要考查點,也是高考本部分知識考查的重點內(nèi)容.編輯ppt編輯ppt編輯ppt編輯ppt[反思感悟](1)本題先利用平面向量基本定理設(shè)出未知向量,然后利用共線向量的條件列出方程組,通過待定系數(shù)法從而確定參數(shù)的值.(2)由平面向量基本定理知:平面內(nèi)的任一向量都可用兩個不共線的向量惟一表示,根據(jù)向量的加法和減法法則及幾何性質(zhì)即可解題.編輯ppt類型二 平面向量的坐標(biāo)運算解題準(zhǔn)備:向量的坐標(biāo)運算,使得向量的線性運算都可用坐標(biāo)來進行,實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.編輯ppt編輯ppt編輯ppt[反思感悟]由A?B?C三點坐標(biāo)易求得坐標(biāo),再根據(jù)向量坐標(biāo)的定義就可以求出M?N的坐標(biāo).向量的坐標(biāo)是向量的另一種表示形式,它只與起點?終點?相對位置有關(guān),三者中給出任意兩個,可求第三個.在求解時,應(yīng)將向量坐標(biāo)看作一“整體”,運用方程的思想求解.向量的坐標(biāo)運算是向量中最常用也是最基本的運算,必須靈活應(yīng)用.

編輯ppt類型三 平面向量共線的坐標(biāo)表示解題準(zhǔn)備:兩平面向量共線的充要條件有兩種形式:①若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2-x2y1=0;②若a∥b(a≠0),則b=λa.編輯ppt【典例3】平面內(nèi)給定三個向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列問題:(1)求3a+b-2c;(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求k;(4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.編輯ppt[分析](1)直接用向量加減法的坐標(biāo)運算公式.(2)借助于向量相等的條件,建立關(guān)于m,n的方程組.(3)利用向量共線的充要條件,建立關(guān)于實數(shù)k的充要條件.(4)利用(d-c)∥(a+b)及|d-c|=1建立關(guān)于x,y的方程組.編輯ppt[解](1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n),編輯ppt(3)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=(4)設(shè)d=(x,y),∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴編輯ppt編輯ppt[反思感悟]向量的坐標(biāo)表示實際上就是向量的代數(shù)表示.在引入向量的坐標(biāo)表示后,可以使向量的運算完全化為代數(shù)運算.這樣就可以將“形”和“數(shù)”緊密結(jié)合在一起.因此,很多幾何問題,特別是共線?共點等較難問題的證明,通過建立坐標(biāo)系,設(shè)出點的坐標(biāo)就可轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算來解決.如:要證平行,只需相關(guān)向量共線,要證垂直,只需相關(guān)向量數(shù)量積等于0.編輯ppt錯源一 遺漏零向量【典例1】若a=(3,2-m)與b=(m,-m)平行,求m的值.[錯解]因為b=(m,-m)=m(1,-1),令c=(1,-1),b∥c,又a∥b,所以a∥c,即3×(-1)-1×(2-m)=0,解得m=5.編輯ppt[剖析]零向量與任一向量平行,當(dāng)m=0時,b為零向量,也與a平行.[正解]由a∥b,得-3m-m(2-m)=0,即m2-5m=0,解得m=5或m=0,所以m的值為0或5.[評析]零向量與任一向量都是平行(共線)向量,這是在解題中常常容易被忽視的.編輯ppt錯源二 忽視平面向量基本定理的使用條件致誤[剖析]本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決,但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時,容易忽視平面向量基本定理的使用條件,出現(xiàn)漏解,漏掉了當(dāng)a,b共線時,t可為任意實數(shù)這個解.編輯ppt[正解]由題設(shè)知,

=d-c=2b-3a,

=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點在一條直線上的充要條件是存在實數(shù)k,使得即(t-3)a+tb=-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.編輯ppt①若a,b共線,則t可為任意實數(shù);②若a,b不共線,則有解之得綜上,a,b共線時,t可為任意實數(shù);a,b不共線時編輯ppt[評析]平面向量基本定理如果e1,e2是一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1?λ2,使a=λ1e1+λ2e2,特別地,當(dāng)a=0時,λ1=λ2=0,本題在a,b不共線時,就是根據(jù)這個定理得出的方程組.在平面向量的知識體系里,平面向量基本定理是基石,共線向量定理是重要工具,在復(fù)習(xí)這部分時要充分注意這兩個定理在解決問題中的作用,在使用平面向量基本定理時要注意其使用是兩個基向量不共線.編輯ppt技法一 基向量法【典例1】在下圖中,對于平行四邊形ABCD,點M是AB的中點,點N在BD上,且.求證:M、N、C三