小學(xué)數(shù)學(xué)講義暑假五年級第4講枚舉法進(jìn)階優(yōu)秀A版

第四講站牌級秋季合進(jìn)階級秋季數(shù)進(jìn)階級春季

五年級暑假枚舉法進(jìn)階級寒假數(shù)初步合初步用枚舉法計算較復(fù)雜的幾何，數(shù)論等問題釋義第9級上優(yōu)秀A版教師版1引入枚舉法雖然是一種最簡單，最基本的計數(shù)方法，但在生活中有很多的應(yīng)用．例如，破譯電腦密.組合，直到得到正確的密碼．只要有足夠的時間和存儲空間，枚舉密碼原則上是可行的.目標(biāo)1. 掌握枚舉法不重不漏的方法：分類，2. 靈活運用枚舉法解決各種計數(shù)問題．精講枚舉常用的方法有列表法、樹形圖、標(biāo)數(shù)法、找規(guī)律及公式法．（1）列表法例：有一張伍拾元，4張貳拾元，8張拾元．要拿出80元，可以有多少種不同的拿法？（2）樹形圖如他第一天在A市，第五天又回到A市，問他有幾種不同的游覽方案？2 第9級上優(yōu)秀A版教師版第一天第二天第三天第四天第五天

（3）標(biāo)數(shù)法例：如圖，從A到B的最短路線有多少條？（4）找規(guī)律:適用于規(guī)律性強(qiáng)，情形較多的題．用逐一列舉來解．但通過適當(dāng)?shù)姆诸?，逐一分析后，可利用公式解答．思路模塊1：例1-2，樹形圖，標(biāo)數(shù)法；模塊2：例3-4，分類，定序枚舉；1如圖,從起點走到終點,要求取出每個站點上的旗子,并且每個站點只允許通過一次,有法。

種不同的走第9級上優(yōu)秀A版教師版3 ,：

共4種不同的走法。2如圖為一幅街道圖，從A出發(fā)經(jīng)過十字路口B，但不經(jīng)過C走到D的不同的最短路線有 條.D

18B

C

B A A 1 【分析】到各點的走法數(shù)如右圖所示.所以最短路徑有條.想想練練：一只兔子沿著方格的邊從A到

B,規(guī)定上只能往上或往右走，但是必須經(jīng)過一座獨木橋MN,這只兔子有_____種不同的走法

【分析】標(biāo)數(shù)法，如右圖．4 第9級上優(yōu)秀A版教師版【鋪墊】如圖所示，沿線段從A到B有多少條最短路線？

3 6

F點的走法數(shù)．如圖所示，使用標(biāo)數(shù)法得到從A到B共有10種不同的走法．

A

B【拓展】小強(qiáng)從A點出發(fā)，到達(dá)B點的最短路線有________條．

【分析】標(biāo)數(shù)法，如右圖，132條．第9級上優(yōu)秀A版教師版5舉法與密碼破譯窮舉法是一種針對于密碼的破譯方法。這種方法很像數(shù)學(xué)上的“完全歸納法”，并在密碼能找到真正的密碼。利用這種方法我們可以運用計算機(jī)來進(jìn)行逐個推算，也就是說我們破解一個密碼也都只是一個時間問題。當(dāng)然如果破譯一個有8位而且可能擁有大小寫字母、數(shù)字以及符號的密碼用普通的家用電腦可能會用掉幾個月甚至更多的時間去計算，其組合方法可能有幾千萬億種組合。這樣長”密碼范圍，很大程度上縮短了破譯時間。3數(shù)一數(shù)圖中共有多少個正方形想想練練：數(shù)一數(shù)圖中共有多少個三角形？【分析】把圖中最小三角形作為基數(shù)，然后按含有幾個基數(shù)的三角形分類進(jìn)行枚舉．含一個基數(shù)的三角形共有8個；含兩個基數(shù)的三角形共有4個；含四個基數(shù)的三角形共有4個；綜上，整個圖形中共有三角形84416個．6 第9級上優(yōu)秀A版教師版4三條邊的邊長均為整數(shù),且最長邊的邊長是8厘米,這樣的三角形共有多少種？(提示：三角形兩邊邊長之和大于第三邊),71,（1,）（8,）5(學(xué)生版中僅有4)(1)從1～10中每次取兩個不同的整數(shù)相加,和大于10的共有多少種取法？(3)從1～10中每次取兩個不同的整數(shù)相加,和大于11的共有多少種取法？(5)從1～100中每次取兩個不同的偶數(shù)相加,和大于101的共有多少種取法？(6)從1～100中每次取兩個不同的奇數(shù)相加,和大于101的共有多少種取法？(7)從1～100中每次取兩個不同的整數(shù)相加,和不超過150的共有多少種取法？因此,根據(jù)加法原理,共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25種取法使和大于10．通過枚舉也要能發(fā),,擇．因此此題答案為1+2+3+…+49+50+49+…+3+2+1=2500.第9級上優(yōu)秀A版教師版7(3)同(1)題的方法,枚舉如下：,101010,10共有1+2+3+4+4+3+2+1=20種取法．此題中間的“拐彎”數(shù)有兩個,需要注意．(4)同(3)題,答案為1+2+3+…+49+49+…+3+2+1=2450.(5)枚舉找規(guī)律．98,10096,98,10054,56,…,10052,54,…,10054,…,100因此答案為1+2+3+…+24+25+24+…+3+2+1=625(律．97,9995,97,9953,55,…,9953,55,…,99因此答案為1+2+3+…+24+24+…+3+2+1=600(7)枚舉找規(guī)律．50--1008 第9級上優(yōu)秀A版教師版51--1002--993--984--9775,76因此答案為(99+98+97+…+51)+(50+48+…+4+2)=3675+650=4325想想練練：從1～10中每次取兩個不同的整數(shù)相加,和小于12的共有多少種取法？【分析】設(shè)第一個數(shù)小于第二個數(shù)．枚舉如下：Q先生和S先生、P先生在一起做游戲.Q先生用兩張小紙片，各寫一個數(shù).這兩個數(shù)都人只能看見對方額頭上的數(shù)Q先生不斷地問：你們誰能猜到自己頭上的數(shù)嗎?“.”P先生說：“我也猜不到.”S先生又說：“我還是猜不到.”P先生又說：“我也猜不到.”S先生仍然猜不到；P先生也猜不到.S先生和P先生都已經(jīng)三次猜不到了.可是，到了第四次，S先生喊起來：“我知道了!”P先生也喊道：“我也知道了!”問：S先生和P先生頭上各是什么數(shù)?點總結(jié)第9級上優(yōu)秀A版教師版9枚舉法的核心是分類，有序枚舉常用的方法：列表法、樹形圖、標(biāo)數(shù)法、找規(guī)律、公式法．提高,(提示：三角形兩邊邊長之和大于第三邊)【分析】三角形兩邊之和大于第三邊．分類如下：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(，6，7)，(2，7，8)，(2，8，997，9)，(4，8，9)(5，6，7)，(5，6，8)，(5，6，9)，(，7，8)，(5，7，9)，(5，8，9(6，7，8)，(6，7，9)，(6，8，9)(78，9共計：6+8+9+6+3+1=33種．1. 【分析】小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為26，只需其余三位數(shù)字和是25．因為十9總計共1＋2＋3=6個．2. 【分析】小于2000的四位數(shù)千位數(shù)字是1，要它數(shù)字和為24，只需其余三位數(shù)字和是23．因為十百位為5時，只有1599一個；根據(jù)加法原理，總計共1234515個．3. 10第9級上優(yōu)秀A版教師版別為1元、2元、3元、4元,而且每種書至少買了一本．那么,共有多少種不同的購買方法？【分析】先從25元中各買四種書1冊，這樣還剩下25-1-2-3-4=15元錢，用15元錢買6本書，可有書不買．列表如下：4.

3元、4元,而且每種書至少買了一本．那么,共有多少種不同的購買方法？24-下：共2種．5.

8元錢去商店買冰激凌有三種冰激凌售價分別是

5元一支、2元一支和1元一支．如8,？【分析】有順序地思考買法,如下表：5218(元)248(元)22148(元)所以,共有7種不同的買法．6. 巍巍給他的四個小伙伴每人寫了一張賀卡并且裝在信封里錯了信封，問一共有多少種錯裝信封的可能？第9級上優(yōu)秀A版教師版11 所以，共有9種可能．情況，因此共有3×3=9種可能．7. 的路線共有多少條？—A —A —P—P—A |1—3—1| | 1——7—21| | | | 1—2—4—15—4—2—1| | | | | | 1—2—4—8—31—8—4—2—1【分析】要想拼出英語“APPLE”的單詞，必須按照“A→P→P→L→E”的次序拼寫．在圖中的每一種318. 圖形．?dāng)?shù)一數(shù)圖中共有多少個三角形？【分析】法1：分類枚舉按三角形的邊長分類枚舉，設(shè)最小的等邊三角形邊長為1，則邊長為2的三角形有122319個；邊長為3的三角形有1225個；邊長為4的三角形有123個；邊長為5的三角形有1個；12第9級上優(yōu)秀A版教師版 如果把這條線段補(bǔ)上，共有48個三角形；擦掉線段后，三角形減少241007個，9. 的選法？【分析】設(shè)每邊長度為n,

12394n

解得7

n11.25

共1+1+5+1+1=9種選法．作業(yè)1.一個學(xué)生假期往A、B、C三個城市游覽．他今天在這個城市，明天就到另一個城市．假如他AA？ 【分析】 AAA2.在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？CA

B

A等于到它左側(cè)點的走法數(shù)與到它下側(cè)點的走法數(shù)之和．而C是一個特殊的點，因為不能通行，所以不可能有路線經(jīng)過C，可以認(rèn)為到達(dá)C點的走法數(shù)是0．接下來，可以從左下角開始，按照加法原理，依次向上向右填上到各點的走法數(shù)．如圖，從A到B的最短路線有6條．第9級上優(yōu)秀A版教師版133.把等邊三角形的每一條邊都4等分，過各分點作邊的平行線，得到如下圖形．?dāng)?shù)一數(shù)圖中共有多少個三角形？【分析】按三角形的邊長分類枚舉，設(shè)最小的等邊三角形邊長為1，則邊長為2的三角形有12317個；邊長為3的三角形有123個；綜上，共有1673127個．4.有長度分別為2,3,4,5,6的線段各一條,從中選出三條來組成三角形．那么有多少種不同的選法？【分析】三角形兩邊之和大于第三邊．分類如下：(2,34)(2,4,5)(,5,6(3,4,5)(3,4,6)(3,5,6);(4,5,6).共有7種不同的選法．5.從1～8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法？【分析一共有3+2+2+1+1=9種取法．6種可能．【分析】白球的數(shù)最多，紅球的數(shù)最少，可以通過紅球分類，最后用白球的數(shù)來補(bǔ)充剩下的．枚舉如下(注：當(dāng)其他球確定后，白球也就定下來了．此表中白球并未寫出)：紅球(不超過3)黃球(不超過4)白球(不超過5)1114第9級上優(yōu)秀A版教師版版?zhèn)髑蚝?，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？A5種不同方式．所以，不同的傳球方式共有55=10種．

中向右向下的方向走）小君家

學(xué)校1 1 1 1 【分析】如右圖，標(biāo)數(shù)法．共10種．【學(xué)案3】把等邊三角形的每一條邊都4等分，過各分點作邊的平行線，然后再擦掉一條線段，得到如下圖形．?dāng)?shù)一數(shù)圖中共有多少個三角形？【分析】法1：分類枚舉按三角形的邊長分類枚舉，設(shè)最小的等邊三角形邊長為1，則邊長為2的三角形有11215個；第9級上優(yōu)秀A版教師版15邊長為3的三角形有112個；邊長為4的三角形有1個；綜上，共有1452122個．如果把這條線段補(bǔ)上，共有27個三角形；擦掉線段后，三角形減少22105個，所1,成多少個不同的三角形?(