中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)習(xí)課件第15講-二次函數(shù)應(yīng)用

利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題步驟：1.分析問(wèn)題，建立模型．2．設(shè)自變量，求函數(shù)的解析式．確定自變量的取值范圍．根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最大值或最小值(在自變量取值范圍內(nèi))．實(shí)物拋物線【例1】如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE，ED，DB組成，已知河底ED是水平的，ED＝16

m，AE＝8

m，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11

m，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．求拋物線的解析式；已知從某時(shí)刻開始的40 h內(nèi)，水面與河底ED的距離h(單位：m

1

128(t－19)2＋隨時(shí)間t(單位：h)的變化滿足函數(shù)關(guān)系h＝－8(0≤t≤40)且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5

m時(shí)，需船只船只通通行，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)行？解：(1)依題意有頂點(diǎn)C

的坐標(biāo)為(0，11)，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為(8，8)，設(shè)拋物線解2析式為y＝ax

＋c，有11＝c，解得3648＝64a＋c，

a＝－

，c＝11，∴拋物線解析式為y＝－3

x2＋1164

128

1

1(2)令－

(t－19)2＋8＝11－5，解得

t1＝35，t2＝3.因?yàn)?/p>

a＝－

＜128船只通行0，所以當(dāng)3≤t≤35時(shí)，水面到頂點(diǎn)C

的距離不大于5米，需船只通行時(shí)間為35－3＝32(時(shí))利用二次函數(shù)解決實(shí)物拋物線形問(wèn)題，一般是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出合適的解析式，把實(shí)際問(wèn)題中已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解，最后再把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的答案．【例2】(2014·青島)某企業(yè)設(shè)計(jì)了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價(jià)，投放市場(chǎng)進(jìn)行試銷，據(jù)市場(chǎng)，銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本．(1)求出每天的銷售利潤(rùn)y(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求出銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？二次函數(shù)在銷售利潤(rùn)中的應(yīng)用(3)如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元，且每天的總成本不超過(guò)7000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？(每天的總成本＝每件的成本×每天的銷售量)解：(1)y＝(x－50)[50＋5(100－x)]＝(x－50)(－5x＋550)＝－5x2＋800x－27500，∴y＝－5x2＋800x－27500

(2)y＝－5x2＋800x－27500＝－5(x－80)2＋4500，∵a＝－5＜0，∴拋物線開口向下，∵50≤x≤100，對(duì)稱軸是直線x＝80，∴當(dāng)x＝80時(shí)，y最大值＝4500(3)當(dāng)y＝4000時(shí)，－5(x－80)2＋4500＝4000，解得x1＝70，x2＝90，∴當(dāng)70≤x≤90時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)不低于4000元．由每天的總成本不超過(guò)7000元，得50(－5x＋550)≤7000，解得x≥82，∴82≤x≤90，即銷售單價(jià)應(yīng)該控制在82元至90元之間讀懂題目，理解題意―→找出合適的等量關(guān)系―→列函數(shù)關(guān)系式―→求出函數(shù)的最大值．注意：結(jié)合圖象由利潤(rùn)確定銷售單價(jià)的范圍．二次函數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用【例3】(2014·黃岡)如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸于

C，A(1，－1)，B(3，－1)，動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向以2個(gè)單

位/秒的速度運(yùn)動(dòng)．過(guò)P作PQ⊥OA于Q.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒(0＜t＜2)，△OPQ與四邊形OABC

的面積為S.(1)求經(jīng)過(guò)O，A，B三點(diǎn)的拋物線的解析式并確定頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)用含t的代數(shù)式表示P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將△OPQ繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)O或Q落在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)求S與t的函數(shù)解析式；解：(1)設(shè)y＝ax2＋bx＋c，代入點(diǎn)

A，B，O

的坐標(biāo)得

y＝1x2－3

3

34x，∴頂點(diǎn)

M(2，－4)(2)∵A(1，－1)，∴∠COA＝45°，∴△OPQ

為等腰

Rt△，過(guò)Q

作QD⊥x

軸于

D，∵OP1

12

2＝2t，∴OD＝

OP＝t，DQ＝

OP＝t，∴P(2t，0)，Q(t，－t)

(3)當(dāng)△OPQ

繞點(diǎn)

P

逆時(shí)針3

32

21

4x

1

43

3旋轉(zhuǎn)

90°后，點(diǎn)

O

為(2t，－2t)，點(diǎn)

Q(3t，－t)．①若點(diǎn)

O

在

y＝

x

－ 上，則

·(2t)

－

×2t1＝－2t，∴2t2－t＝0，∴t

＝0，t2＝

，∵1

1

10＜t＜2，∴t＝

，∴t＝時(shí)，點(diǎn)O(1，－1)在y＝12

2

2

3x224

1

413

3

3

32432—x

上；②若點(diǎn)

Q

在y＝

x

－x

上，則×(3t)－×(3t)＝－t，∴t

－t＝0，∴t1＝0，t212＝1，又0＜t＜2，∴t＝1，∴t＝1

時(shí)，點(diǎn)Q(3，－1)在y＝

x

－4x

上

(4)如圖，分三種情況12△OPQ

＝

×3

32t×t＝t2；②當(dāng)1＜t32≤時(shí)，S＝S△OPQ△AEQ－S

＝t2：①當(dāng)0＜t≤1

時(shí)，S＝S－(t－1)2＝2t－1；解幾何圖形最值問(wèn)題常用的方法是要先求出面積的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)是二次函數(shù)就可以利用配方法或利用頂點(diǎn)公式求最值，但要注意x的取值范圍．③當(dāng)2112＋8t－

.綜上可知，S＝22t－1（1＜t≤

）－2t2＋8t11

32—

2（

＜t＜2）【例4】(2013·售量y(萬(wàn)個(gè))與)某公司銷售一種進(jìn)價(jià)為20元/個(gè)的計(jì)算器，其銷x(元/個(gè))的變化如下表：同時(shí)，銷售過(guò)程中的其他開支(不含進(jìn)價(jià))總計(jì)40萬(wàn)元．(1)觀察并分析表中的y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)寫出y(萬(wàn)個(gè))與x(元/個(gè))的函數(shù)解析式；(2)求出該公司銷售這種計(jì)算器的凈得利潤(rùn)z(萬(wàn)元)與 x(元/個(gè))的函數(shù)解析式，

定為多少元時(shí)凈得利潤(rùn)最大，最大值是多少？一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)的選用價(jià)格x(元/個(gè))…30405060…銷售量y(萬(wàn)個(gè))…5432…(3)該公司要求凈得利潤(rùn)不能低于40萬(wàn)元，請(qǐng)寫出取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，x(元/個(gè))的應(yīng)定為多少元？解：(1)經(jīng)描點(diǎn)、連線可知，表中的y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為一次函數(shù)關(guān)系，可求y與x的函數(shù)解析式為y＝－0.1x＋8

(2)由題意，得z＝(x－20)y－40＝(x－20)(－0.1x＋8)－40＝－0.1x2＋10x－200＝－0.1(x－50)2＋50，∴當(dāng)x＝50時(shí)，z最大值＝50，即z與x的函數(shù)解析式為z＝－0.1x2＋

10x－200，定為50元時(shí)凈得利潤(rùn)最大，最大值是50萬(wàn)元

(3)當(dāng)z＝40時(shí)，－0.1(x－50)2＋50＝40，解得x＝40或60.又∵該公司要求凈得利潤(rùn)不能低于40萬(wàn)元，∴40≤x≤60.又∵還需考慮銷售量盡可能大，即y盡可能大，x盡可能小，∴x＝40.即40≤x≤60，若還需考慮銷售量盡可能大，x(元/個(gè))的取值范圍是應(yīng)定為40元/個(gè)(1)建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)描點(diǎn)，連線等方法觀察函數(shù)圖象的大致形狀―→函數(shù)類型；(2)一般式―→頂點(diǎn)式即可；(3)觀察圖象―→銷售的價(jià)格．熱身A53．(2014·紹興)如圖的一座拱橋，當(dāng)水面寬

AB

為12

m

時(shí)，橋洞頂部離水面

4

m，已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向?yàn)?/p>

x

軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若選取點(diǎn)

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是

y＝－1

－6)2＋4，則9(x1選取點(diǎn)

B

為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是

9

．y＝－

(x＋6)2＋44．(2014·沈陽(yáng))某種商品每件進(jìn)價(jià)為20元，

表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元(20≤x≤30，且x為整數(shù))出售，可賣出(30－x)件．若使利潤(rùn)最大，每件的售價(jià)應(yīng)為

元．5．(201245·咸寧)科學(xué)家為了推測(cè)最適合某種珍奇植物生長(zhǎng)的溫度，將這種植物

分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，測(cè)出這種植物高度的增長(zhǎng)情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：科學(xué)家經(jīng)過(guò)猜想最適合這種植物生長(zhǎng)的溫度為

℃.溫度t/℃－4－2014植物高度增長(zhǎng)量，推測(cè)出l/ml與mt之間是二4次1

函數(shù)49關(guān)系49．由4此6

可2以5

推測(cè)－16．(2014·泰州)某將某種材料加熱到1000

℃時(shí)停止加熱，并立即將材料分為A，B兩組，采用不同工藝做降溫對(duì)比實(shí)驗(yàn)，設(shè)降溫開始后經(jīng)過(guò)x

min時(shí)，A，B兩組材料的溫度分別為yA℃，yB℃，y

，y

與x)，的函數(shù)關(guān)系式分別為yA＝kx＋b，yB＝(x－60)2＋m(部分圖象當(dāng)x＝40時(shí)，兩組材料的溫度相同．(1)分別求yA，yB關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)A組材料的溫度降至120

℃時(shí)，B組材料的溫度是多少？(3)在0＜x＜40的什么時(shí)刻，兩組材料溫差最大？解：(1)由題意