二次函數(shù)與相似問(wèn)題-2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題（全國(guó)通用）（原卷）

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)壓軸題之學(xué)霸秘笈大揭秘專題4二次函數(shù)與相似問(wèn)題函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。②或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解。相似三角形常見的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種基本方法．相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所示在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形．（2）三邊法：三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定定理“兩邊及其夾角法”是常用的解題依據(jù)，一般分三步：尋找一組等角，分兩種情況列比例方程，解方程并檢驗(yàn)．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC與△DEF相似，只要把夾∠A和∠D的兩邊表示出來(lái)，按照對(duì)應(yīng)邊成比例，分和兩種情況列方程．應(yīng)用判定定理“兩角法”解題，先尋找一組等角，再分兩種情況討論另外兩組對(duì)應(yīng)角相等．應(yīng)用判定定理“三邊法”解題不多見，根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例列連比式解方程（組）．還有一種情況，討論兩個(gè)直角三角形相似，如果一組銳角相等，其中一個(gè)直角三角形的銳角三角比是確定的，那么就轉(zhuǎn)化為討論另一個(gè)三角形是直角三角形的問(wèn)題．

【例1】（2022?貴港）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線AB上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．【例2】．（2022?衡陽(yáng)）如圖，已知拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”，圖象W交y軸于點(diǎn)C．（1）寫出圖象W位于線段AB上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若直線y＝﹣x+b與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出b的值；（3）P為x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥y軸交直線BC于點(diǎn)M，交圖象W于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△CMN與△OBC相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【例3】．（2022?桂林）如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【例4】（2022?玉林）如圖，已知拋物線：y＝﹣2x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B（2，0）（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸是直線x＝，P是第一象限內(nèi)拋物線上的任一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)D為線段OC的中點(diǎn)，則△POD能否是等邊三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線與線段BC交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)H，若以P，M，C為頂點(diǎn)的三角形與△BMH相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．1．（2020秋?興城市期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A（4，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，DA，DB，DB與AC相交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，設(shè)△ADE的面積為S1，△BCE的面積為S2，當(dāng)S1＝S2+5時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF∥x軸，點(diǎn)M是直線CF上的一點(diǎn)，MN⊥CF交拋物線于點(diǎn)N，是否存在以C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2020秋?郴州期末）已知拋物線y＝x2﹣3x+與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，若點(diǎn)D是拋物線上在第四象限的點(diǎn)，連接DA并延長(zhǎng)，交y軸于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E．當(dāng)△APO與△ADE的面積比為＝時(shí)．求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，拋物線與y軸相交于點(diǎn)F．若點(diǎn)Q是線段OF上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作與x軸平行的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊）．請(qǐng)問(wèn)是否存在以Q，A，M為頂點(diǎn)的三角形與△QNA相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2020秋?長(zhǎng)垣市期末）如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PB、PC，當(dāng)△PBC的面積為時(shí)，求m值；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線BC和拋物線交于D，E兩點(diǎn)，是否存在以C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△BDM相似，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2021秋?鄒城市期末）如圖，已知拋物線y＝x2+2x的頂點(diǎn)為A，直線y＝x+2與拋物線交于B，C兩點(diǎn)．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作CD⊥x軸于點(diǎn)D，求證：△ODC∽△ABC；（3）若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，則是否還存在除C點(diǎn)外的其他位置的點(diǎn)，使以O(shè)，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出這樣的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2021秋?攸縣期末）如圖，已知直線y＝﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．（1）若拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．①求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；③是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2022?禹城市模擬）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三點(diǎn)．（1）求出拋物線的解析式；（2）P是拋物線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若拋物線上有一點(diǎn)D（點(diǎn)D位于直線AC的上方且不與點(diǎn)B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．7．（2022?祥云縣模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)M是該拋物線上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，ME垂直x軸于點(diǎn)E，交線段BC于點(diǎn)D，MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)N．（1）求拋物線y＝ax2+bx+c的表達(dá)式；（2）若四邊形MNOE是正方形，求該正方形的邊長(zhǎng)；（3）連結(jié)OD，AC，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以C，O，D為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．8．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝x2﹣bx+c過(guò)點(diǎn)B（3，0），C（0，﹣3），D為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）連接BC，CD，DB，求∠CBD的正切值；（3）點(diǎn)C關(guān)于拋物線y＝x2﹣bx+c對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E點(diǎn)，連接BE，直線BE與對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，在（2）的條件下，點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使△CDB和△BMP相似，若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022?平江縣一模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸交于A（﹣2，0）和點(diǎn)B（8，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對(duì)稱軸l交于點(diǎn)E．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)四邊形PBOC和△AOC的面積分別為S四邊形PBOC和S△AOC，記S＝S四邊形PBOC﹣S△AOC，求S最大值點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最大值；（3）點(diǎn)N是對(duì)稱軸l右側(cè)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在射線ED上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．10．（2022?萊州市一模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）且垂直于y軸的直線，連接PO．（1）求拋物線的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）試證明：經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的⊙P與直線l相切；（3）如圖②，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，O及（2）中的切點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2022?鞏義市模擬）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），且OB＝OC．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值分別為多少？（3）設(shè)點(diǎn)C'與點(diǎn)C關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCC'與△POB相似，且PC與PO是對(duì)應(yīng)邊？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2022?澄邁縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線上，點(diǎn)E在該拋物線的對(duì)稱軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在圖3中，若P是y軸左側(cè)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2022?豐南區(qū)二模）如圖①、②，在平面直角坐標(biāo)系中，一邊長(zhǎng)為2的等邊三角板CDE恰好與坐標(biāo)系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點(diǎn)G（G點(diǎn)也是DE的中點(diǎn)），按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．（1）直接寫出C′的坐標(biāo)，并求經(jīng)過(guò)O、A、C′三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，求△C′OP的最大面積；（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過(guò)B點(diǎn)作⊙G的切線與x軸相交于點(diǎn)F，拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2022?萊蕪區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A和點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，平移線段AC，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在二次函數(shù)在第一象限的圖象上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在直線AB上，直接寫出四邊形ACED的形狀，并求出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接CD，交x軸于點(diǎn)M，點(diǎn)P為直線CD下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸，交CD于點(diǎn)F，連接PC，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COM相似？若存在，求出線段FP的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．（2022?臨清市三模）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c的頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，4），且與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)E在x軸上方且在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在拋物線上并且和點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，作矩形EFGH，其中點(diǎn)G，H都在x軸上．（1）求拋物線解析式；（2）設(shè)點(diǎn)F橫坐標(biāo)為m，①用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為（直接填空）；②當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；③連接AD，當(dāng)EG與AD垂直時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）過(guò)頂點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AD于點(diǎn)P，直接寫出△DFP與△DAM相似時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)．16．（2022?成都模擬）如圖①，已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+k交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足OB＝3OA．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P在第一象限，直線y＝x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與直線BC交于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)線段PE的長(zhǎng)度隨著t的增大而減小時(shí)，求t的取值范圍；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線m，與拋物線交于另一點(diǎn)D．點(diǎn)P在直線m上方，點(diǎn)Q在線段AD上，若△CPQ與△AOC相似，且點(diǎn)P與點(diǎn)O是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．17．（2022?東莞市校級(jí)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+2kx+2k2+1與x軸的左交點(diǎn)為A，右交點(diǎn)為B，與y軸的交點(diǎn)為C，對(duì)稱軸為直線l，對(duì)于拋物線上的兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）（x1＜k＜x2），當(dāng)x1+x2＝2時(shí)，y1﹣y2＝0恒成立．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M是第二象限內(nèi)直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于點(diǎn)N，求線段M