分段函數及映射課件

分段函數及映射分段函數及映射一、分段函數的定義在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的_________的函數.對應關系一、分段函數的定義對應關系判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分段函數有幾段，它的圖象就有幾段，它們之間不連續(xù).()(2)若D1，D2分別是分段函數的兩個不同對應關系的值域，則D1∩D2=?.()(3)函數是分段函數.()判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)提示：(1)錯誤.分段函數的圖象可以是一條連續(xù)的曲線，也可以是點或幾段圖象.(2)錯誤.雖然分段函數在x的不同取值范圍，對應不同的對應關系，但D1∩D2可能不是空集，如函數(3)正確.它符合分段函數的定義.答案：(1)×(2)×(3)√提示：(1)錯誤.分段函數的圖象可以是一條連續(xù)的曲線，也可二、映射非空唯一確定從集合A到集合B二、映射非空唯一確定從集合A到集合B思考：映射與函數有什么區(qū)別與聯系?提示：區(qū)別：映射中集合A，B可以是數集，也可以是其他集合，函數中集合A，B必須是數集.聯系：函數是特殊的映射，映射是函數的推廣.思考：映射與函數有什么區(qū)別與聯系?【知識點撥】1.對分段函數的認識(1)對應關系：對分段函數來說，在不同自變量的取值范圍內其對應關系不同，但分段函數是一個函數.(2)定義域：分段函數定義域為各段定義域的并集.(3)值域：分段函數值域為各段函數值的并集.(4)圖象：其圖象由幾段曲線構成，在作圖時注意銜接點的虛實.【知識點撥】2.對映射概念的理解(1)非空集合：集合A,B可以是數集、點集或其他集合，但一定是非空的.(2)順序性：集合A，B有先后順序，從A到B的映射和從B到A的映射是不同的.(3)唯一性：A中每一個元素在B中都有唯一的元素和它對應，即要求對應是“一對一”或“多對一”.2.對映射概念的理解類型一分段函數求值問題【典型例題】1.(2012·江西高考)設函數則f(f(3))=()A.B.3C.D.2.(2013·溫州高一檢測)設函數若f(a)=4,則實數a=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2類型一分段函數求值問題【解題探究】1.形如f(f(x))的求值問題應如何求？2.在已知分段函數值的情況下如何確定自變量的值？探究提示：1.形如f(f(x))的求值問題可從里向外求，先求f(x)的值，再求f(f(x))的值.2.在已知分段函數值的情況下，應通過分類討論來確定自變量的值，即在分段函數不同的定義子區(qū)間內分別求.【解題探究】1.形如f(f(x))的求值問題應如何求？【解析】1.選D.f(3)=f(f(3))=f()=2.選B.當a≤0時，由-a=4,得a=-4;當a＞0時，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).綜上a=-4或2.【解析】1.選D.f(3)=f(f(3))=f()【互動探究】題1條件不變，若f(a)+f(-1)=4,求a的值.【解析】因為-1≤1,所以f(-1)=2,又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2,當a≤1時，由a2+1=2,得a=±1;當a＞1時，由=2,得a=1(舍去)，所以a=±1.綜上，a=±1.【互動探究】題1條件不變，若f(a)+f(-1)=4,求a的【拓展提升】1.求分段函數函數值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值.【拓展提升】2.已知函數值求字母取值的步驟(1)先對字母的取值范圍分類討論.(2)然后代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出字母的值.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內.2.已知函數值求字母取值的步驟類型二分段函數的圖象及應用問題

【典型例題】1.已知函數f(x)定義在［-1,1］上，圖象如圖所示，那么f(x)的解析式是()A.B.C.D.類型二分段函數的圖象及應用問題2.某市出租車的計價標準是：4km以內10元，超過4km且不超過18km的部分1.2元/km，超過18km的部分1.8元/km.(1)如果不計等待時間的費用，建立車費與行車里程的函數關系式.(2)如果某人乘車行駛了20km，他要付多少車費？【解題探究】1.已知函數圖象，一般用什么方法求其解析式?2.怎樣建立題2中的函數關系？2.某市出租車的計價標準是：4km以內10元，超過4km且不探究提示：1.已知函數圖象,一般用待定系數法求其函數解析式.2.本題中由于不同里程內的計價標準不同，因此需建立分段函數來刻畫車費和行車里程之間的函數關系.探究提示：【解析】1.選C.當x∈［-1,0］時，設f(x)=ax+b,由圖象過點(-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;當x∈(0,1］時，設f(x)=ax,由圖象過(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x.所以【解析】1.選C.當x∈［-1,0］時，設f(x)=ax+b2.(1)設車費為y元，行車里程為xkm.則根據題意得(2)當x=20時，y=1.8×20-5.6=30.4,即當乘車20km時，要付車費30.4元.2.(1)設車費為y元，行車里程為xkm.【拓展提升】1.由分段函數的圖象確定函數解析式的方法(1)定類型：根據自變量在不同范圍內的圖象的特點，先確定函數的類型.(2)設函數式：設出函數的解析式.(3)列方程(組)：根據圖象中的已知點，列出方程(組)，求出該段內的解析式.(4)下結論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.【拓展提升】2.利用分段函數求解實際應用題的策略(1)首要條件：把文字語言轉換為數學語言.(2)解題關鍵：建立恰當的分段函數模型.(3)思想方法：解題過程中運用分類討論的思想方法.2.利用分段函數求解實際應用題的策略類型三映射及映射的判斷

【典型例題】1.(2013·安慶高一檢測)設集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4}，則下述對應關系f中，不能構成A到B的映射的是()A.f:x→y=x2B.f:x→y=3x-2C.f:x→y=-x+4D.f:x→y=4-x2類型三映射及映射的判斷2.下列對應是不是從A到B的映射，為什么？(1)A=(0,+∞),B=R,對應關系是“求平方根”.(2)A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},對應關系是f:x→y=(其中x∈A,y∈B).(3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},對應關系是f:x→y=(x-2)2(其中x∈A,y∈B).(4)A={x|x∈N},B={-1,1},對應關系是f:x→y=(-1)x(其中x∈A,y∈B).2.下列對應是不是從A到B的映射，為什么？【解題探究】1.從集合A到B的映射中元素是怎樣對應的？2.怎樣判斷一個對應是映射？探究提示：1.映射中要求元素對應是“一對一”或“多對一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素與之對應.2.判斷一個對應是映射要根據定義，關鍵是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素與之對應.【解題探究】1.從集合A到B的映射中元素是怎樣對應的？【解析】1.選D.對于D，當x=2時，由對應關系y=4-x2,得y=0,在集合B中沒有元素與之對應，所以D選項不能構成A到B的映射.2.(1)不是從A到B的映射.因為任何正數的平方根都有兩個，所以對A中任何一個元素，在B中都有兩個元素與之對應.(2)是從A到B的映射.因為A中每個數的平方除以4后，都在B中有唯一的數與之對應.(3)不是從A到B的映射.因為A中有的元素在B中無元素與之對應.如0∈A,而(0-2)2=4?B.【解析】1.選D.對于D，當x=2時，由對應關系y=4-x2(4)是從A到B的映射.因為A中每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應.(4)是從A到B的映射.因為A中每一個元素在B中都有唯一的元【拓展提升】判斷一個對應是不是映射的方法判斷一個對應是不是映射，主要是依據定義，看是否滿足：(1)集合A中元素在B中都有元素與之對應且唯一.(2)對應是一對一或多對一.【拓展提升】判斷一個對應是不是映射的方法

映射與函數的關系【典型例題】1.下列對應為A到B的函數的是()A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0映射與函數的關系2.根據所給的對應關系，回答下面的問題：①A=N*,B=Z,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B；②A={x|x為高一(2)班的同學}，B={x|x為身高},f:每個同學對應自己的身高;③A=R,B=N,f:x→y=x∈A,y∈B.上述三個對應關系中，是映射的是______，是函數的是______.2.根據所給的對應關系，回答下面的問題：【解析】1.選D.由函數的定義可知，對于A，0∈R,且|0|=0?B,故A不是A到B的函數；對于B，0∈Z,且02=0?N*,故B不是A到B的函數；對于C，當x＜0時，如-2∈Z,但無意義，故C不是A到B的函數；對于D，是多對一的情形，符合函數的定義，是A到B的函數.2.①②是映射，但②中A不是數集，所以②只能是映射，而不是函數.③中當x=0時，在集合B中沒有元素與之對應.答案：①②①【解析】1.選D.由函數的定義可知，對于A，0∈R,且|0|【拓展提升】判斷對應是否為函數的關鍵點(1)兩個集合是否為非空數集.(2)對集合A中的每一個元素，在集合B中是否都有元素與之對應.(3)集合A中任一元素在集合B中的對應是否唯一.【拓展提升】判斷對應是否為函數的關鍵點【規(guī)范解答】由分段函數值求自變量的值(范圍)【規(guī)范解答】由f(a)=3，結合f(x)的解析式知，按a≤-1,-1＜a＜2和a≥2進行討論.……1分①當a≤-1時，f(a)=a+2,……2分由a+2=3,【典例】

【條件分析】【規(guī)范解答】由分段函數值求自變量的值(范圍)【典例】【條件得a=1,與a≤-1相矛盾，應舍去①.……4分②當-1＜a＜2時，f(a)=2a,……5分由2a=3,得a=滿足-1＜a＜2.……7分③當a≥2時，f(a)=……8分由=3,得a=又a≥2,∴a=

①

……10分綜上可知，a的取值為或

②.……12分得a=1,與a≤-1相矛盾，應舍去①.……【失分警示】【失分警示】【防范措施】1.正確理解分段函數的含義分段函數是一個函數，只是在定義域的不同子區(qū)間內對應關系不同，因此在求值時要注意自變量的取值.如本例，若不對自變量取值進行討論，則易出錯.2.分類標準要明確已知分段函數值求自變量的值時，要注意分類討論，確定討論標準是關鍵，討論一般是以子區(qū)間的端點為標準.如本例是以-1和2為分界點來討論的.

【防范措施】【類題試解】1.已知函數若f(a)+f(1)=0,則求實數a的值.【解析】當a＞0時，由f(a)+f(1)=0得,2a+2=0，解得a=-1,舍去；當a≤0時，由f(a)+f(1)=0得,a+1+2=0，解得a=-3.【類題試解】1.已知函數若f(2.(2013·安慶高一檢測)設集合A=［0,),B=［1］，函數若x0∈A,且f(f(x0))∈A,則求x0的取值范圍.【解析】因為x0∈A,所以0≤x0＜且f(x0)=x0+又

≤x0+＜1,所以(x0+)∈B,所以f(f(x0))=2(1-x0-)=2(-x0),又f(f(x0))∈A,所以0≤2(-x0)＜所以＜x0≤2.(2013·安慶高一檢測)設集合A=［0,),B=［分段函數及映射分段函數及映射一、分段函數的定義在函數的定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的_________的函數.對應關系一、分段函數的定義對應關系判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分段函數有幾段，它的圖象就有幾段，它們之間不連續(xù).()(2)若D1，D2分別是分段函數的兩個不同對應關系的值域，則D1∩D2=?.()(3)函數是分段函數.()判斷：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)提示：(1)錯誤.分段函數的圖象可以是一條連續(xù)的曲線，也可以是點或幾段圖象.(2)錯誤.雖然分段函數在x的不同取值范圍，對應不同的對應關系，但D1∩D2可能不是空集，如函數(3)正確.它符合分段函數的定義.答案：(1)×(2)×(3)√提示：(1)錯誤.分段函數的圖象可以是一條連續(xù)的曲線，也可二、映射非空唯一確定從集合A到集合B二、映射非空唯一確定從集合A到集合B思考：映射與函數有什么區(qū)別與聯系?提示：區(qū)別：映射中集合A，B可以是數集，也可以是其他集合，函數中集合A，B必須是數集.聯系：函數是特殊的映射，映射是函數的推廣.思考：映射與函數有什么區(qū)別與聯系?【知識點撥】1.對分段函數的認識(1)對應關系：對分段函數來說，在不同自變量的取值范圍內其對應關系不同，但分段函數是一個函數.(2)定義域：分段函數定義域為各段定義域的并集.(3)值域：分段函數值域為各段函數值的并集.(4)圖象：其圖象由幾段曲線構成，在作圖時注意銜接點的虛實.【知識點撥】2.對映射概念的理解(1)非空集合：集合A,B可以是數集、點集或其他集合，但一定是非空的.(2)順序性：集合A，B有先后順序，從A到B的映射和從B到A的映射是不同的.(3)唯一性：A中每一個元素在B中都有唯一的元素和它對應，即要求對應是“一對一”或“多對一”.2.對映射概念的理解類型一分段函數求值問題【典型例題】1.(2012·江西高考)設函數則f(f(3))=()A.B.3C.D.2.(2013·溫州高一檢測)設函數若f(a)=4,則實數a=()A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2類型一分段函數求值問題【解題探究】1.形如f(f(x))的求值問題應如何求？2.在已知分段函數值的情況下如何確定自變量的值？探究提示：1.形如f(f(x))的求值問題可從里向外求，先求f(x)的值，再求f(f(x))的值.2.在已知分段函數值的情況下，應通過分類討論來確定自變量的值，即在分段函數不同的定義子區(qū)間內分別求.【解題探究】1.形如f(f(x))的求值問題應如何求？【解析】1.選D.f(3)=f(f(3))=f()=2.選B.當a≤0時，由-a=4,得a=-4;當a＞0時，由a2=4,得a=2(a=-2舍去).綜上a=-4或2.【解析】1.選D.f(3)=f(f(3))=f()【互動探究】題1條件不變，若f(a)+f(-1)=4,求a的值.【解析】因為-1≤1,所以f(-1)=2,又f(a)+f(-1)=4,所以f(a)=2,當a≤1時，由a2+1=2,得a=±1;當a＞1時，由=2,得a=1(舍去)，所以a=±1.綜上，a=±1.【互動探究】題1條件不變，若f(a)+f(-1)=4,求a的【拓展提升】1.求分段函數函數值的方法(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當出現f(f(x0))的形式時，應從內到外依次求值.【拓展提升】2.已知函數值求字母取值的步驟(1)先對字母的取值范圍分類討論.(2)然后代入到不同的解析式中.(3)通過解方程求出字母的值.(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內.2.已知函數值求字母取值的步驟類型二分段函數的圖象及應用問題

【典型例題】1.已知函數f(x)定義在［-1,1］上，圖象如圖所示，那么f(x)的解析式是()A.B.C.D.類型二分段函數的圖象及應用問題2.某市出租車的計價標準是：4km以內10元，超過4km且不超過18km的部分1.2元/km，超過18km的部分1.8元/km.(1)如果不計等待時間的費用，建立車費與行車里程的函數關系式.(2)如果某人乘車行駛了20km，他要付多少車費？【解題探究】1.已知函數圖象，一般用什么方法求其解析式?2.怎樣建立題2中的函數關系？2.某市出租車的計價標準是：4km以內10元，超過4km且不探究提示：1.已知函數圖象,一般用待定系數法求其函數解析式.2.本題中由于不同里程內的計價標準不同，因此需建立分段函數來刻畫車費和行車里程之間的函數關系.探究提示：【解析】1.選C.當x∈［-1,0］時，設f(x)=ax+b,由圖象過點(-1,0)和(0,1),代入求得a=1,b=1,所以f(x)=x+1;當x∈(0,1］時，設f(x)=ax,由圖象過(1,-1)，得a=-1,所以f(x)=-x.所以【解析】1.選C.當x∈［-1,0］時，設f(x)=ax+b2.(1)設車費為y元，行車里程為xkm.則根據題意得(2)當x=20時，y=1.8×20-5.6=30.4,即當乘車20km時，要付車費30.4元.2.(1)設車費為y元，行車里程為xkm.【拓展提升】1.由分段函數的圖象確定函數解析式的方法(1)定類型：根據自變量在不同范圍內的圖象的特點，先確定函數的類型.(2)設函數式：設出函數的解析式.(3)列方程(組)：根據圖象中的已知點，列出方程(組)，求出該段內的解析式.(4)下結論：最后用“{”表示出各段解析式，注意自變量的取值范圍.【拓展提升】2.利用分段函數求解實際應用題的策略(1)首要條件：把文字語言轉換為數學語言.(2)解題關鍵：建立恰當的分段函數模型.(3)思想方法：解題過程中運用分類討論的思想方法.2.利用分段函數求解實際應用題的策略類型三映射及映射的判斷

【典型例題】1.(2013·安慶高一檢測)設集合A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4}，則下述對應關系f中，不能構成A到B的映射的是()A.f:x→y=x2B.f:x→y=3x-2C.f:x→y=-x+4D.f:x→y=4-x2類型三映射及映射的判斷2.下列對應是不是從A到B的映射，為什么？(1)A=(0,+∞),B=R,對應關系是“求平方根”.(2)A={x|-2≤x≤2},B={y|0≤y≤1},對應關系是f:x→y=(其中x∈A,y∈B).(3)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤1},對應關系是f:x→y=(x-2)2(其中x∈A,y∈B).(4)A={x|x∈N},B={-1,1},對應關系是f:x→y=(-1)x(其中x∈A,y∈B).2.下列對應是不是從A到B的映射，為什么？【解題探究】1.從集合A到B的映射中元素是怎樣對應的？2.怎樣判斷一個對應是映射？探究提示：1.映射中要求元素對應是“一對一”或“多對一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素與之對應.2.判斷一個對應是映射要根據定義，關鍵是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素與之對應.【解題探究】1.從集合A到B的映射中元素是怎樣對應的？【解析】1.選D.對于D，當x=2時，由對應關系y=4-x2,得y=0,在集合B中沒有元素與之對應，所以D選項不能構成A到B的映射.2.(1)不是從A到B的映射.因為任何正數的平方根都有兩個，所以對A中任何一個元素，在B中都有兩個元素與之對應.(2)是從A到B的映射.因為A中每個數的平方除以4后，都在B中有唯一的數與之對應.(3)不是從A到B的映射.因為A中有的元素在B中無元素與之對應.如0∈A,而(0-2)2=4?B.【解析】1.選D.對于D，當x=2時，由對應關系y=4-x2(4)是從A到B的映射.因為A中每一個元素在B中都有唯一的元素與之對應.(4)是從A到B的映射.因為A中每一個元素在B中都有唯一的元【拓展提升】判斷一個對應是不是映射的方法判斷一個對應是不是映射，主要是依據定義，看是否滿足：(1)集合A中元素在B中都有元素與之對應且唯一.(2)對應是一對一或多對一.【拓展提升】判斷一個對應是不是映射的方法

映射與函數的關系【典型例題】1.下列對應為A到B的函數的是()A.A=R,B={x|x＞1},f:x→y=|x|B.A=Z,B=N*,f:x→y=x2C.A=Z,B=Z,f:x→y=D.A=［-1,1］,B={0},f:x→y=0映射與函數的關系2.根據所給的對應關系，回答下面的問題：①A=N*,B=Z,f:x→y=3x+1,x∈A,y∈B；②A={x|x為高一(2)班的同學}，B={x|x為身高},f:每個同學對應自己的身高;③A=R,B=N,f:x→y=x∈A,y∈B.上述三個對應關系中，是映射的是______，是函數的是______.2.根據所給的對應關系，回答下面的問題：【解析】1.選D.由函數的定義可知，對于A，0∈R,且|0|=0?B,故A不是A到B的函數；對于B，0∈Z,且02=0?N*,故B不是A到B的函數；對于C，當x＜0時，如-2∈Z,但無意義，故C不是A到B的函數；對于D，是多對一的情形，符合函數的定義，是A到B的函數.2.①②是映射，但②中A不是數集，所以②只能是映射，而不是函數.③中當x=0時，在集合B中沒有元素與之對應.答案：①②①【解析】1.選D.由函數的定義可知，對于A，0∈R,且|0|【拓展提升】判斷對應是否為函數的關鍵點(1)兩個集合是否為非空數集.(2)對集合A中的每一個元素，在集合B中是否都有元素與之對應.(3)集合A中任一元素在集合B中的對應是否唯一.【拓展提升】判斷對應是否為函數