初三經(jīng)典幾何證明練習(xí)題(含答案)

-.z.初三幾何證明題經(jīng)典題（一）1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求證：CD＝GF．2、已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝15°。求證：△PBC是正三角形．（初二）3、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線交MN于E、F．求證：∠DEN＝∠F．經(jīng)典題（二）1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M．（1）求證：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．2、設(shè)MN是圓O外一條直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條割線交圓O于B、C及D、E，連接CD并延長(zhǎng)交MN于Q，連接EB并延長(zhǎng)交MN于P.求證：AP＝AQ．3、如圖,分別以△ABC的AB和AC為一邊,在△ABC的外側(cè)作正方形ABFG和正方形ACDE，點(diǎn)O是DF的中點(diǎn)，OP⊥BC求證：BC=2OP證明：分別過F、A、D作直線BC的垂線，垂足分別是L、M、N∵OF=OD，DN∥OP∥FL∴PN=PL∴OP是梯形DFLN的中位線∴DN+FL=2OP∵ABFG是正方形∴∠ABM+∠FBL=90°又∠BFL+∠FBL=90°∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB∴△BFL≌△ABM∴FL=BM同理△AMC≌△CND∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN∴BC=FL+DN=2OP經(jīng)典題（三）1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．求證：CE＝CF．證明：連接BD交AC于O。過點(diǎn)E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC又EG⊥AC∴BD∥EG又DE∥AC∴ODEG是平行四邊形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=BD=AC=AE∴∠EAG=30°∵AC=AE∴∠ACE=∠AEC=75°又∠AFD=90°-15°=75°∴∠CFE=∠AFD=75°=∠AEC∴CE=CF2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長(zhǎng)線于F．求證：AE＝AF．證明：連接BD，過點(diǎn)E作EG⊥AC于G∵ABCD是正方形∴BD⊥AC，又EG⊥AC∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°在△∴∠CAE=∠CEA=∠GCE=15°在△AFC中∠F=180°-∠FAC-∠ACF=180°-∠FAC-∠GCE=180°-135°-30°=15°∴∠F=∠CEA∴AE=AF∴ODEG是平行四邊形又∠COD=90°∴ODEG是矩形∴EG=OD=BD=AC=CE∴∠GCE=30°∵AC=EC3、設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE．求證：PA＝PF．（初二）證明：過點(diǎn)F作FG⊥CE于G，F(xiàn)H⊥CD于H∵CD⊥CG∴HCGF是矩形∵∠HCF=∠GCF∴FH=FG∴HCGF是正方形設(shè)AB=*設(shè)AB=*，BP=y，CG=zz：y=（*-y+z）：*化簡(jiǎn)得（*-y）·y=（*-y）·z∵*-y≠0∴y=z即BP=FG∴△ABP≌△PGF∵AP⊥FP∴∠APB+∠FPG=90°∵∠APB+∠BAP=90°∴∠FPG=∠BAP又∠FGP=∠PBA∴△FGP∽△PBA∴FG：PB=PG：AB4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）證明：過點(diǎn)E作EK∥BD，分別交AC、AF于M、K，取EF的中點(diǎn)H，連接OH、MH、EC∵EH=FH∴EM=KM∵EK∥BD∴∴OB=OD∴EM=KM∵EK∥BD∴∴OB=OD又AO=CO∴四邊形ABCD的對(duì)角線互相平分∴ABCD是平行四邊形∴AB=DC，BC=AD又PC⊥OC，∴∠POC=90°∴P、C、H、O四點(diǎn)共圓∴∠HCO=∠HPO又EK∥BD，∴∠HPO=∠HEK∴∠HCM=∠HEM∴H、C、E、M四點(diǎn)共圓∴∠ECM=∠EHM又∠ECM=∠EFA∴∠EHM=∠EFA∴HM∥AC∵EH=FH經(jīng)典題(四)1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度數(shù)．（初二）解：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△BCQ，連接PQ則△BPQ是正三角形∴∠BQP=60°，PQ=PB=3在△PQC中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5∴△PQC是直角三角形∴∠PQC=90°∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°∴∠APB=∠BQC=150°2、設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA．求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）證明：過點(diǎn)P作AD的平行線，過點(diǎn)A作PD的平行線，兩平行線相交于點(diǎn)E，連接BE∵PE∥AD，AE∥PD∴ADPE是平行四邊形∴PE=AD，又ABCD是平行四邊形∴AD=BC∴PE=BC又∠ADP=∠ABP∴∠AEP=∠ABP又∠ADP=∠ABP∴∠AEP=∠ABP∴A、E、B、P四點(diǎn)共圓∴∠BEP=∠PAB∴∠PAB=∠PCB∴PE∥BC∴BCPE是平行四邊形∴∠BEP=∠PCB∵ADPE是平行四邊形∴∠ADP=∠AEP3、設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）證明：在BD上去一點(diǎn)E，使∠BCE=∠ACD∵EQ\O(CD,\s\up5(⌒))=EQ\O(CD,\s\up5(⌒))∴∠CAD=∠CBD∴△BEC∽△ADC∴∴AD·BC=BE·AC……①∵∠BCE=∠ACD∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE即∠BCA=∠ECD①+②得AB·CD+AD·BC=DE·AC+BE·AC=（DE+BE）·AC=BD①+②得AB·CD+AD·BC=DE·AC+BE·AC=（DE+BE）·AC=BD·AC△BAC∽△EDC∴∴AB·CD=DE·AC……②4、平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且PAE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）P證明：過點(diǎn)D作DG⊥AE于G，作DH⊥FC于H，連接DF、DE∴S△ADE=EQ\F(1,2)AE·DG，S△FDC=EQ\F(1,2)FC·DH又S△ADE=S△FDC=EQ\F(1,2)S□ABCD∴AE·DG=FC·DH又AE=CF∴DG=DH∴點(diǎn)D在∠APC的角平分線上∴∠DPA＝∠DPC經(jīng)典題（五）1、設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．證明：（1）將△BPC繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°的△BEF，連接PE，∵BP=BE，∠PBE=60°∴△PBE是正三角形?！郟E=PB又EF=PC∴L=PA+PB+PC=PA+PE+EF當(dāng)PA、PE、EF在一條直線上的時(shí)候，L=PA+PE+EF的值最?。ㄈ鐖D）在△ABF中，∠ABP=120°∴AF=∴L=PA+PB+PC≤（2）過點(diǎn)P作BC的平行線分別交AB、AC于D、G則△ADG是正三角形∴∠ADP=∠AGP，AG=DG∵∠APD＞∠AGP∴∠APD＞∠ADP∴AD＞PA…………①又BD+PD＞PB……②CG+PG＞PC……③①+②+③得AD+BD+CG+PD+PG＞PA+PB+PC∴AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+AC＞PA+PB+PC=L∵AB=AC=1∴L＜2由（1）（2）可知：≤L＜2．2、已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．解：將△BCP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEF，連接PE，則△BPE是正三角形∴PE=PB∴PA＋PB＋PC=PA+PE+EF∴要使PA＋PB＋PC最小，則PA、PE、EF應(yīng)該在一條直線上（如圖）此時(shí)AF=PA+PE+EF過點(diǎn)F作FG⊥AB的延長(zhǎng)線于G則∠GBF=180°-∠ABF=180°-150°=30°∴GF=EQ\F(1,2)，BG=∴AF===∴PA＋PB＋PC的最小值是3、P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長(zhǎng)．證明：將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCQ，連接PQ則△BPQ是等腰直角三角形，∴PQ=PB=×2a=2a又QC=AP=a∴QP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2∴△PQC是直角三角形∴∠BQC=135°∵BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cos∠BQC=PB2+PA2-2PB·PAcos135°=4a2+a2-2×2a×a×(-)解得BC=∴正方形的邊長(zhǎng)為4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝80°，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，∠DCA＝30°，∠EBA＝20°，求∠BED的度數(shù)．解：在AB上取一點(diǎn)F，使∠BCF=60°，CF交BE于G，連接EF、DG∵∠ABC=80°，∠ABE=20°，∴∠EBC=60°，又∠BCG=60°∴△BCG是正三角形∴BG=BC∵∠ACB=80°，∠BCG=60°∴∠FCA=20°∴∠EBA=∠FCA又∵∠A=∠A，AB=AC∴△ABE≌ACF∴AE=AF∴∠AFE=∠AEF=EQ\F(1,2)（180°-∠A）=80°又∵∠ABC=80°=∠AFE∴EF∥BC∴∠EFG=∠BCG=60°∴△EFG是等邊三角形∴EF=EG，∠FEG=∠EGF=∠EFG=60°∵ACB=80°，∠DCA=30°∴∠BCD=50°∴∠BDC=180°-∠BCD-∠ABC=180°-50°-80°=50°∴∠BCD=∠BDC∴BC=BD前已證BG=BC∴BD=BG∠BGD=∠BDG=EQ\F(1,2)（180°-∠ABE）=80°∴∠FGD=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°又∠DFG=180°-∠AFE-∠EFG=180°-80°-60°=40°∴∠FGD=∠DFG∴DF=DG又EF=EG，DE=DE∴△EFD≌△EGD∴∠BED=∠FED=EQ\F(1,2)∠FEG=EQ\F(1,2)×60°=30°5、如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，若AC=6，BC=8，求線段PD的長(zhǎng)。解：∵∠ACD=∠BCD∴EQ\O(AD,\s\up5(⌒))=EQ\O(BD,\s\up5(⌒))∴AD=BD∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB=90°∴△ABD是等腰直角三角形∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8∴AB=10∴AD=AB·cos∠DAB=10×=5又AE⊥CD，∠ACD=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE=AC·cos∠CAE=6×=3在△ADE中，DE2=AD2-AE2∴DE2=∴DE=∴CD=CE+DE=3+=∵∠PDA=∠PCD，∠P=∠P∴△PDA∽△PCD∴∴PC=PD，PA=PD∵PC=PA+AC∴PD=PD+6解得PD=1證明：過點(diǎn)G作GH⊥AB于H，連接OE∵EG⊥CO，EF⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90°∴∠EGO+∠EFO=180°∴E、G、O、F四點(diǎn)共圓∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90°∴△EGO∽△FHG∴=EQ∵GH⊥AB，CD⊥AB∴GH∥CD∴∴∵EO=CO∴CD=GF2證明：作正三角形ADM，連接MP∵∠MAD=60°，∠PAD=15°∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75°∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75°∴∠BAP=∠MAP∵M(jìn)A=BA，AP=AP∴△MAP≌△BAP∴∠BPA=∠MPA，MP=BP同理∠CPD=∠MPD，MP=CP∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75°∵BA=CD∴△BAP≌∠CDP∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵M(jìn)P=BP，MP=CP∴BP=CP∴△BPC是正三角形3證明:連接AC，取AC的中點(diǎn)G,連接NG、MG∵CN=DN，CG=DG∴GN∥AD，GN=AD∴∠DEN=∠GNM∵AM=BM，AG=CG∴GM∥BC，GM=BC∴∠F=∠GMN∵AD=BC∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM∴∠DEN=∠F1證明：（1）延長(zhǎng)AD交圓于F，連接BF，過點(diǎn)O作OG⊥AD于G∵