北師大版高中數(shù)學(xué)必修4第一章周期現(xiàn)象課件

1.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)第一章

§1.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)第一章§1.4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的周期性如果函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？答案答案不一定.必須滿足當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以說(shuō)3是f(x)的周期.思考2

所有的函數(shù)都具有周期性嗎？答案不是.只有同時(shí)符合周期函數(shù)定義中的兩個(gè)條件的函數(shù)才具有周期性.思考1知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的周期性如果函數(shù)f(x)滿足f(x＋3思考3

周期函數(shù)都有最小正周期嗎？答案答案周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù)，x∈R)，所有非零實(shí)數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒(méi)有最小正周期.思考3周期函數(shù)都有最小正周期嗎？答案答案周期函數(shù)不一定存函數(shù)的周期性(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)

，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的______值時(shí)，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的

.梳理非零常數(shù)T每一個(gè)f(x＋T)＝f(x)非零常數(shù)T最小的正數(shù)最小正周期函數(shù)的周期性梳理非零常數(shù)T每一個(gè)f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性證明函數(shù)y＝sinx和y＝cosx都是周期函數(shù).答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函數(shù)，且2π就是它們的一個(gè)周期.思考1知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性證明函數(shù)y＝si思考2

證明函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函數(shù).答案由誘導(dǎo)公式一知，對(duì)任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函數(shù).答案思考2證明函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx與y＝cosx都是

函數(shù)，

都是它們的周期，且它們的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知識(shí)點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性對(duì)于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說(shuō)明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？答案答案

奇偶性.思考知識(shí)點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性對(duì)于x∈R，sin(梳理(1)對(duì)于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數(shù)y＝sinx是

函數(shù)，正弦曲線關(guān)于

對(duì)稱(chēng).(2)對(duì)于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數(shù)y＝cosx是

函數(shù)，余弦曲線關(guān)于

對(duì)稱(chēng).原點(diǎn)奇偶y軸梳理(1)對(duì)于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s題型探究題型探究解答類(lèi)型一三角函數(shù)的周期性例1求下列函數(shù)的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答類(lèi)型一三角函數(shù)的周期性例1求下列函數(shù)的最小正周期.函數(shù)f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即變量z只要且至少要增加到z＋2π，函數(shù)f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重復(fù)取得.函數(shù)f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因?yàn)閥＝|sinx|其圖象如圖所示，所以該函數(shù)的最小正周期為π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因?yàn)閥＝|sinx反思與感悟?qū)τ谛稳绾瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時(shí)的最小正周期的求法常直接利用T＝

來(lái)求解，對(duì)于y＝|Asinωx|的周期情況常結(jié)合圖象法來(lái)求解.反思與感悟?qū)τ谛稳绾瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時(shí)的解答跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.(2)y＝|cos2x|例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.類(lèi)型二三角函數(shù)的奇偶性解答∴f(x)是偶函數(shù).例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.類(lèi)型二三角函數(shù)的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不反思與感悟判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：關(guān)鍵點(diǎn)一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；關(guān)鍵點(diǎn)二：看f(x)與f(－x)的關(guān)系.對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷.反思與感悟判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：解答跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù).解答跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解答∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).類(lèi)型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函數(shù)，類(lèi)型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用解答解∵f(x)反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉(zhuǎn)化到可求值區(qū)間內(nèi).反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自解答解答解答類(lèi)型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用解答類(lèi)型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每連續(xù)六項(xiàng)的和均為0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思與感悟當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí)，可以首先研究它在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值.反思與感悟當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí)，可以首先研究它在跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2011)＋f(2012)＋f(2013)＋f(2014)＋f(2015)＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)＝，則f(1當(dāng)堂訓(xùn)練當(dāng)堂訓(xùn)練答案23451√答案23451√2.下列函數(shù)中最小正周期為π的偶函數(shù)是答案23451√2.下列函數(shù)中最小正周期為π的偶函數(shù)是答案23451√答案23451解析√答案23451解析√23451∴f(x)＝－cos2x.又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos2x＝f(x)，∴f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù).23451∴f(x)＝－cos2x.4.函數(shù)y＝sin(ωx＋

)的最小正周期為2，則ω的值為

.答案23451解析±π4.函數(shù)y＝sin(ωx＋)的最小正周期為2，則ω的值23451答案解析23451答案解析規(guī)律與方法1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法：(1)定義法，即觀察出周期，再用定義來(lái)驗(yàn)證；也可由函數(shù)所具有的某些性質(zhì)推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.(2)圖象法，即作出y＝f(x)的圖象，觀察圖象可求出T，如y＝|sinx|.(3)結(jié)論法，一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ為常數(shù)，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝

.規(guī)律與方法1.求函數(shù)的最小正周期的常用方法：2.判斷函數(shù)的奇偶性，必須堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則，準(zhǔn)確求函數(shù)定義域和將式子合理變形是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.如果定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而判斷奇偶性.2.判斷函數(shù)的奇偶性，必須堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則，準(zhǔn)確求函本課結(jié)束本課結(jié)束1.4.2

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)第一章

§1.4

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)第一章§1.4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義.2.會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx的奇偶性，會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性.學(xué)習(xí)目標(biāo)題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練題型探究問(wèn)題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問(wèn)題導(dǎo)學(xué)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)思考1

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的周期性如果函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期嗎？答案答案不一定.必須滿足當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋3)＝f(x)，才可以說(shuō)3是f(x)的周期.思考2

所有的函數(shù)都具有周期性嗎？答案不是.只有同時(shí)符合周期函數(shù)定義中的兩個(gè)條件的函數(shù)才具有周期性.思考1知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的周期性如果函數(shù)f(x)滿足f(x＋3思考3

周期函數(shù)都有最小正周期嗎？答案答案周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對(duì)于常數(shù)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù)，x∈R)，所有非零實(shí)數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒(méi)有最小正周期.思考3周期函數(shù)都有最小正周期嗎？答案答案周期函數(shù)不一定存函數(shù)的周期性(1)對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)

，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的______值時(shí)，都有

，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，

叫做這個(gè)函數(shù)的周期.(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)

，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的

.梳理非零常數(shù)T每一個(gè)f(x＋T)＝f(x)非零常數(shù)T最小的正數(shù)最小正周期函數(shù)的周期性梳理非零常數(shù)T每一個(gè)f(x＋T)＝f(x)非零常思考1

知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性證明函數(shù)y＝sinx和y＝cosx都是周期函數(shù).答案答案∵sin(x＋2π)＝sinx，cos(x＋2π)＝cosx，∴y＝sinx和y＝cosx都是周期函數(shù)，且2π就是它們的一個(gè)周期.思考1知識(shí)點(diǎn)二正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性證明函數(shù)y＝si思考2

證明函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))(Aω≠0)是周期函數(shù).答案由誘導(dǎo)公式一知，對(duì)任意x∈R，都有Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，同理，函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω≠0)也是周期函數(shù).答案思考2證明函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝梳理由sin(x＋2kπ)＝

，cos(x＋2kπ)＝

(k∈Z)知，y＝sinx與y＝cosx都是

函數(shù)，

都是它們的周期，且它們的最小正周期都是

.sinxcosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2π梳理由sin(x＋2kπ)＝，cos(x＋2思考知識(shí)點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性對(duì)于x∈R，sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這說(shuō)明正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具備怎樣的性質(zhì)？答案答案

奇偶性.思考知識(shí)點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性對(duì)于x∈R，sin(梳理(1)對(duì)于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函數(shù)y＝sinx是

函數(shù)，正弦曲線關(guān)于

對(duì)稱(chēng).(2)對(duì)于y＝cosx，x∈R恒有cos(－x)＝cosx，所以余弦函數(shù)y＝cosx是

函數(shù)，余弦曲線關(guān)于

對(duì)稱(chēng).原點(diǎn)奇偶y軸梳理(1)對(duì)于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－s題型探究題型探究解答類(lèi)型一三角函數(shù)的周期性例1求下列函數(shù)的最小正周期.(1)y＝sin(2x＋

)(x∈R)；解答類(lèi)型一三角函數(shù)的周期性例1求下列函數(shù)的最小正周期.函數(shù)f(x)＝sinz的最小正周期是2π，即變量z只要且至少要增加到z＋2π，函數(shù)f(x)＝sinz(z∈R)的值才能重復(fù)取得.函數(shù)f(x)＝sinz的最小正周期是2π，(2)y＝|sinx|(x∈R).解因?yàn)閥＝|sinx|其圖象如圖所示，所以該函數(shù)的最小正周期為π.解答(2)y＝|sinx|(x∈R).解因?yàn)閥＝|sinx反思與感悟?qū)τ谛稳绾瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時(shí)的最小正周期的求法常直接利用T＝

來(lái)求解，對(duì)于y＝|Asinωx|的周期情況常結(jié)合圖象法來(lái)求解.反思與感悟?qū)τ谛稳绾瘮?shù)y＝Asin(ωx＋φ)，Aω≠0時(shí)的解答跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.(2)y＝|cos2x|.解答跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的周期.(2)y＝|cos2x|例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.類(lèi)型二三角函數(shù)的奇偶性解答∴f(x)是偶函數(shù).例2判斷下列函數(shù)的奇偶性.類(lèi)型二三角函數(shù)的奇偶性解答∴f(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)；解答∴f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).又∵f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx)，∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]＝lg(1＋sinx)－lg(1－sinx)＝－f(x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)f(x)＝lg(1－sinx)－lg(1＋sinx解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).解答解∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∵定義域不反思與感悟判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：關(guān)鍵點(diǎn)一：看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；關(guān)鍵點(diǎn)二：看f(x)與f(－x)的關(guān)系.對(duì)于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時(shí)可根據(jù)誘導(dǎo)公式先將函數(shù)式化簡(jiǎn)后再判斷.反思與感悟判斷函數(shù)奇偶性應(yīng)把握好兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：解答跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.解f(x)＝sin2x＋x2sinx，∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)＝－sin2x－x2sinx＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù).解答跟蹤訓(xùn)練2判斷下列函數(shù)的奇偶性.解f(x)＝sin解答∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).解答∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).類(lèi)型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用解答解∵f(x)的最小正周期是π，∵f(x)是R上的偶函數(shù)，類(lèi)型三三角函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合應(yīng)用解答解∵f(x)反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自變量x的值轉(zhuǎn)化到可求值區(qū)間內(nèi).反思與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性和奇偶性，把自解答解答解答類(lèi)型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用解答類(lèi)型四函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.同理，可得每連續(xù)六項(xiàng)的和均為0.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2020)＝f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)反思與感悟當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí)，可以首先研究它在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值的變化情況，再給予推廣求值.反思與感悟當(dāng)函數(shù)值的出現(xiàn)具有一定的周期性時(shí)，可以首先研究它在跟蹤訓(xùn)練4設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝

.0答案解析∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(