2021屆陜西省安康市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

2021屆陜西省安康市高三上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合A．，，則（）B．D．C．【答案】D【分析】解一元二次方程求得集合，解一元一次不等式求得集合，由此求得【詳解】因為，所以.，解得或，，所以.故選：D2．設(shè)命題p：A．，，則為（），，，B．D．C．，【答案】A【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可求出.【詳解】解：命題p：，，，.故選：A.3．若，，則（）A．【答案】D【分析】首先用兩角和，差的余弦公式展開，求B．C．D．，再利用誘導(dǎo)公式化簡條件求值.【詳解】因為，，所以，則.故選：D4．函數(shù)A．在內(nèi)的圖象大致為（）B．C．D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值確定正確選項.【詳解】因為.所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，故排除C與D.因為，所以排除A.故選：B.5．設(shè)向量，，，若，則y的最小值為（）A．B．0C．D．1【答案】C【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，求得關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合配方法求得的最小值.【詳解】因為，所以，則.故選：C6．設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用定積分求得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定正確選項.【詳解】因為，，所以.故選：A7．正多面體被古希臘圣哲認(rèn)為是構(gòu)成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學(xué)、藝術(shù)、哲學(xué)靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】正八面體的上、下結(jié)構(gòu)是兩個相同的正四棱錐，由勾股定理求得斜高，再由棱錐的體積公式即可求解.【詳解】如上圖，由邊長為，可得正八面體上半部分的斜高為則其體積為，高為，，其表面積為，∴此正八面體的體積與表面積之比為故選：B..8．設(shè)，則當(dāng)取得最大值時，（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用基本不等式等號成立的條件，結(jié)合對數(shù)運算，求得當(dāng)取得最大值時的值.【詳解】因為所以，所以.當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故當(dāng)時，有最大值.故選：A9．已知函數(shù)，則“”是“對恒成立”的（）A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出“對恒成立”的的取值，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷選項.【詳解】若對恒成立，則解得，是的真子集，所以“”是“對恒成立”的必要不充分條件.故選:C.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含．10．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．9B．10C．12D．17【答案】B【分析】利用已知條件求得，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列因為的公比為q，.所以則，.故選：B11．設(shè)直四棱柱，側(cè)面的每個頂點都在球O的球面上，底面ABCD為平行四邊形，的面積為6，則球O表面積的最小值為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】先求得球的半徑，由此求得球的表面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得表面積的最小值.【詳解】因為底面ABCD為平行四邊形，且球O是直四棱柱所以底面ABCD的外接球，必為矩形，從而四棱柱為長方體.設(shè)，，則，，長方體的體對角線長為所以球O的表面積，故球的半徑為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故球O表面積的最小值為.故選：D12．已知奇函數(shù)的定義城為，且對任意的解集是（），恒成立，則不等式組A．B．C．D．【答案】C【分析】由可以構(gòu)造函數(shù)，則，，在上單調(diào)遞增，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得解.【詳解】設(shè)，則則在上單調(diào)遞增.因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，則.不等式組即等價于，，則，解得.故選：C.二、填空題13．在平行四邊形ABCD中，，且，則________.【答案】【分析】利用向量加法和數(shù)乘運算，結(jié)合平面向量基本定理求得，由此求得【詳解】因為所以，，所以，所以.故答案為：14．若x，y滿足約束條件【答案】15，則的最大值為________.【分析】畫出可行域，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界處求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.處，取得【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界最大值為.故答案為：15．設(shè)等差數(shù)列的前項和為.若，，則當(dāng)取最小值時，的值為________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的項開始為正的數(shù)列，即可得與的關(guān)系式，可得，，所以可判斷數(shù)列是從第時，取最小值.【詳解】因為因為，所以.，所以，所以，所以等差數(shù)列從第項開始為正，則當(dāng)取最小值時，的值為.故答案為：916．關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：在上的值域為；的圖象不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點；若的最小正周期為2，則；若，則的最小值為.其中所有真命題的序號是________.【答案】①②③④【分析】根據(jù)三角函數(shù)值域的求法判斷①的真假性.由利用對稱性判斷④的真假性.判斷②的真假性.通過計算判斷③的真假性.【詳解】若因為，則，，所以①為真命題.，所以的圖象不可能經(jīng)過坐標(biāo)原點，所以②為真命題.若則的最小正周期為2.則.，所以③是真命題.若則，則的圖象關(guān)于對稱，，，所以因為，所以的最小值為，所以④為真命題.故答案為：①②③④三、解答題17．已知為正數(shù)，不小于2．不等式對恒成立；函數(shù)的最小值（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）若為真命題，求的取值范圍．；（2）為假命題，【答案】（1）．【分析】（1）由均值不等式可得，根據(jù)條件可得，從而可得答案.（2）先求出為真命題時參數(shù)的范圍，根據(jù)條件，一真一假，可得答案.【詳解】解：（1）因為為正數(shù)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．若為真命題，則，解得，即的取值范圍為．（2）若為真命題，則，解得．因為為假命題，為真命題，所以，一真一假．；若真假，則若真假，則．綜上，的取值范圍為．18．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且滿足．（1）求（2）若；的周長為，求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理可求得；（2）根據(jù)正弦定理可得【詳解】解：（1）因為（2）因為，再由已知和余弦定理可求得，所以，根據(jù)三角形的面積可求得答案.；，所以．由余弦定理得，則，因為所以的周長為的面積為，所以，解得，.【點睛】方法點睛：（1）在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡該條件；（2）如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件；（3）如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.（4）與三角形有關(guān)的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，再利用三角變換和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍.19．已知函數(shù)（1）求.的定義域；（2）若函數(shù)范圍.的最小值為，且當(dāng)時，有解，求的取值【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）分和兩種情況討論，通過解不等式可求得函數(shù)的定義域；（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出，分析函數(shù)，由此可解得實數(shù)的取值范圍.在區(qū)間上的單調(diào)性，由已知條件得出【詳解】（1）當(dāng)時，恒成立，則，則的定義域為；當(dāng)時，由，得的定義域為時，.綜上所述，當(dāng)時，的定義域為；當(dāng)?shù)亩x域為；，（2）因為，所以.因為在上單調(diào)遞增，所以在上的最小值為.由題意可知，對任意的，有意義，則恒成立，所以，，.當(dāng)時，有解，則所以，解得因此，的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1）（2）（3）（4），，，，；；；.20．如圖，已知三棱柱是底面邊長為2，高為4的正三棱柱，點E在棱上，且.（1）當(dāng)為何值時，平面平面？說明你的理由.（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1），理由見解析；（2）.【分析】（1）設(shè)由此證得平面是的中點.通過證明，證得平面，平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，通過平面值.和平面的法向量，計算出二面角的余弦【詳解】（1）當(dāng)證明如下：時，平面平面，如圖，當(dāng)時，點E為棱相交于點D，記線段AC的中點為O.易證DO與EB平行且相等.則四邊形EDOB的中點，記與為平行四邊形，則.因為易知則為正三角形，則，，，平面，則平面，因為平面，所以平面平面.（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點以的方向為x軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，.如圖所示，則，，.則，，.設(shè)平面AEC的法向量為，則即令，得，設(shè)平面的法向量為即，則令，，得，，由圖可知二面角故二面角為鈍角，的余弦值為.【點睛】要證明面面垂直，則需先證明線面垂直.21．設(shè)數(shù)列的前n項和為是等比數(shù)列.的前n項和，且，.（1）證明：數(shù)列（2）求數(shù)列.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）利用.，化簡已知條件，求得，從而證得數(shù)列是等比數(shù)列.（2）先求得數(shù)列的通項公式，由此求得的通項公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式，，利用分組求和法求得.【詳解】（1）證明：因為，所以所以所以當(dāng)，所以.，即.時，，所以故數(shù)列，所以滿足上式，是以1為首項，3