信號與系統(tǒng)-4.03拉普拉斯變換性質(zhì)

主要內(nèi)容2.時移性4.尺度變換特性7.時間積分性質(zhì)9.

復(fù)頻域積分11.

終值定理時間微分特性1.

線性

3.

頻移特性5.

卷積定理6.

時間微分性質(zhì)8.

復(fù)頻域微分10.

初始值定理卷積定理時間積分性質(zhì)時移性

初始值定理重點難點解決了信號t

~

s

間的運算關(guān)系。多數(shù)性質(zhì)對單、雙邊拉氏變換是一致的，個別性質(zhì)不同。為書寫方便，均表示為F(s)。一．線性1

1

2

2若

f1

(t

)

F1

(s),f2

(t

)

F2

(s),1

2

1

2max

,

min

,

則

C1

f1

(t

)

C2

f2

(t

)

C1F1

(s)

C2

F2

(s)e020j

t

e

j0t

t

)

f

(t

)

cos(C1

,C2為任意常數(shù)10

0111

2

s202

j

s

j

ss復(fù)指數(shù)函數(shù)二．時移性時移性質(zhì)周期信號的單邊拉氏變換抽樣信號的拉氏變換1．時移性質(zhì)

設(shè)f

(t)

F

(s),

st則

f

(t

t0

)

F

(s)e

0注意：因為時移是從全t域觀察整個時間函數(shù) 來的在時域的左右移位，所以如果在單邊拉氏變換中使用時移性質(zhì)必須要求原來的時間函數(shù)f(t)為正邊信號，且時移信號必須在f(t)基礎(chǔ)上延時，即t0>0,也就是說,在實際上移位是指真正參與拉氏變換運算的時間函數(shù)間存在著時移關(guān)系時,呈現(xiàn)在象函數(shù)上的關(guān)系.需要強調(diào)的是,作單邊拉氏變換時,要注意“起點”！

設(shè)f

(t

)u(t

)

F

(s),

st則

f

(t

t0

)u(t

t0

)

F

(s)e

02．周期信號的單邊拉氏變換求周期矩形脈沖信號的拉氏變換。,求F1

s.0(1)設(shè)f1

(t

)

(

t

T

)E

(0

t

)11)用定義求sEsst(1

e

)E

e dt

F

(s)

0to

T

2TEf

t

2)用時移性質(zhì)求1f

(t)

Eu(t)

u(t

)sEu(t

)

E

,sE

s

F

s

1

e

1sEu(t

)

E

e

sT

1

1

1F

(s)

F

(s)

F

(s)e

sT

F

(s)e

2sT

(2)求周期性脈沖的拉氏變換fT

(t)

f1

(t)

f1

(t

T

)

f1

(t

2T

)

1

e

2sT

F

(s)(1

e

sT11

F

(s)1

e

sT周期性重復(fù)的輸入信號的作用結(jié)果，可以用第一個周期內(nèi)信號作用的結(jié)果引入時移性質(zhì)簡化分析．S1

esT1

esTF

(s)

F1

(s)

1

esT

s

1

e

1

E

s

1

E

1

e

sT1

e

sT1L

(t

)

周期化因子周期化定理

等比級數(shù)求和公式……3．抽樣信號的拉氏變換f

t

T

t

fs

t

00

nT

)e

dtf

(

stL

f

s

(t

)

抽樣信號的Fs

s

可不一定是等比級數(shù)因,

為依fn

而不同若f

(t

)

et

,則:1n0等比級數(shù)fs

(t

)

en01

e(

s

)nT(

s

)nTnT

(t

nT

)

ef

(nT

)ensTn0三．頻移特性0

Res0

Res0

若f

(t)

F

(s),則f

(t)es0t

F

(s

s

)注意：s0為復(fù)頻率，其可取實數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)傅氏變換中是虛指數(shù)信號，為實頻率．Q

es0t

eRes0

t

e

j

Ims0

t

這項變幅因子的指數(shù)自然要合并到f

(t)中，影響了收斂域四．尺度變換特性時移和標(biāo)度變換都有時:aa

a

,

a

01

F

s

a

a

a

,

a

0

若f

(t)

F

(s),

則f

(at)a

aa

a

a

s

F

eaa

s

b1注意：如果的是單邊拉氏變換，此處a>0

。f

(at

b)

對單邊拉氏變換：1a

s

ba

s

F

e

a

若f

(t)u(t)

F

(s),則f

(at

b)u(at

b)a

0,

b

0五．卷積定理則L

f1

(t)

f2

(t)

F1

(s)

F2

(s)max(1

,2

)

min(1

,2

)12

jL

f1

(t)

f2

(t)

F1

(s)

F2

(s)1

2

1

2

1

1

,2

2若f1

(t

)

F1

(s),f2

(t

)

F2

(s),六．時間微分性質(zhì)BBd

tdn

f

(t)d

tnd

f

(t)

sF

(s)

sn

F

(s)雙邊拉氏變換的微分性質(zhì)：＜＜，＜＜若f

(t)

FB

(s)則：單邊拉氏變換的微分性質(zhì)d

t設(shè)f

(t

)

F

(s),則d

f

(t

)

sF

(s)

f

(0

)2

s2

F

(

s)

sf

(0

)

f

(0

)

f

(0

)

s

F

s

f

0d

td

f

(t

)推廣:nd

f

n

(t)s

f

(0

)d

tn1nr

1

(r

)r

0

s F

(s)式中

f

(0

)

f

(t

)

t

0

,

f

(0

)

f

(t

)(

r

)

(

r

)t

0若f

t

為有起因信號,即t

0時,

f

t則f

(t

)

sF

(s),

f

(t

)

s2

F

(s),求電感元件的s域模型dtLLdi

(t

)已知v

(t

)

LiL

(t

)

vL

(t

)設(shè):iL

(t

)

I

L

(s),v

L

(t

)VL

(s)LI

sLLs

VL

s電感元件的復(fù)頻域模型應(yīng)用時間微分性質(zhì)VL

(s)

LsIL

(s)

iL

(0

)

sLIL

(s)

LiL

(0

)LiL

0

七．時間積分性質(zhì)ttsFB

(s)sf

(

)

d

則

min(

,0),且

0雙邊拉氏變換：若f

(t)

FB

(s)f

(

)d

FB

(s)

max(

,0)

,且

0單邊拉氏變換的時間積分性質(zhì)設(shè):f

(t

)

F

(s)tF

(s)sf

1

(0

)

sf

(

)d

則:0f

(

)d式中

f

1

(0 )

st0f

(

)d

F

(s)求電容元件的s域模型設(shè):iC

(t)

IC

(s),vC

(t)

VC

(s)tcCCi

(

)dv

(t

)

1(0

)11(

1)(

1)

(0

)

CC

C

C

CsCI

(s)

isCs1

I

(s)

iC

sV

(s)

10(

1)(0 )

CC

vC

(0

)C

Ci

(

)d

1

iC

C

CsC

sV

(s)

1

I

(s)

1

v

(0

)iC

t

vC

t

C

1sCC

1

v

0

sI

sC

sVC八．復(fù)頻域微分d

s常用形式：tf

(t

)

d

F

(s)ndn

sn

dn

F

(s)n取正整數(shù)，

若f

(t)

F

(s)，

則

t f

(t)

(1)九．復(fù)頻域積分f

(t)

e

st

dtF

(s)

兩邊對s積分：s

sf

(t

)

e

st

d

t

d

sF

(s)ds

交換積分次序:s

s

te

d

s

d

tf

(t

)f

(t)tsF

(s)

d

s

若f(t)

F

(s),則tf

(t

)

1

e

s

t

d

t

f

(t)

t

s

t

s

e

d

td

tf

(t)

F

(s),若f

(t)及d

f

(t)可以進行拉氏變換，且十．初始值定理

1s

s

s