粘性流體湍流運動課件

第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論1第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本粘性流體湍流流動現(xiàn)象雷諾實驗中的層流與湍流流動現(xiàn)象2粘性流體湍流流動現(xiàn)象雷諾實驗中的層流與湍流流

§1

湍流運動基本特性現(xiàn)象LES模擬紊流流動3§1湍流運動基本特性現(xiàn)象LES模擬紊

§1

湍流運動基本特性現(xiàn)象超生速湍流DNS模擬4§1湍流運動基本特性現(xiàn)象超生速湍流4（1）概念宏觀上，流體微團做不規(guī)則隨機脈動的流體運動稱為湍流。

圖1層流遇到障礙物轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲌D2龍卷風(fēng)§1湍流運動基本特性概念5（1）概念宏觀上，流體微團做不規(guī)則隨機脈動的流體運動稱為湍流壁面湍流和自由湍流各向同性湍流和剪切湍流擬湍流和真湍流圖4圓管中充分發(fā)展的湍流流動1圖5圓管中充分發(fā)展的湍流流動2圖3壁面湍流（2）湍流分類

§1湍流運動基本特性分類6壁面湍流和自由湍流圖4圓管中充分發(fā)展的湍流流動1圖5圓

§1湍流運動基本特性基本性質(zhì)湍流場具有完全不規(guī)則的瞬息變化的運動特征；湍流場具有某種規(guī)律的統(tǒng)計學(xué)特征；湍流場中任意兩空間點的物理量的關(guān)聯(lián)特性依賴于不同的湍流結(jié)構(gòu)和邊界條件；流體質(zhì)點的不規(guī)則隨機運動和分子運動不同。（3）湍流的基本性質(zhì)7§1湍流運動基本特性基本性質(zhì)湍流場（4）湍流的研究方法

§1湍流運動基本特性示波圖湍流速度和壓力脈動8（4）湍流的研究方法§1湍流運動基本特性雷諾平均方法1)時間平均2)空間平均3)系綜平均嚴格的講,時間平均適合定常流場,空間平均適合均勻流場,系綜平均適合非定常非均勻流場.但由于實現(xiàn)整體平均比較困難,一般多采用時間平均的方法,只要適當(dāng)選取周期T就可以了(高頻變化流場除外)在周期T選取合適的條件下,三者等價(5)雷諾平均方法9雷諾平均方法1)時間平均2)空間平均3)系綜平均嚴格雷諾時間平均值

§1湍流運動基本特性雷諾時均值雷諾平均雷諾時間平均性質(zhì)10雷諾時間平均值§1湍流運動基本特性第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論11第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本直角坐標系雷諾方程§2雷諾方程動量微分方程12直角坐標系雷諾方程§2雷諾方程動量微分方程雷諾方程_分析直角坐標系形式雷諾方程矢量形式雷諾方程不可壓縮流體雷諾方程可壓縮流體雷諾方程雷諾應(yīng)力粘性應(yīng)力正應(yīng)力13雷諾方程_分析直角坐標系形式雷諾方程矢量形式雷諾方程不可壓縮第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論14第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本湍流流動能量方程我們已知湍流瞬時速度可看成是時間平均速度與脈動速度的和。因此平均速度場的動能不等于瞬時速度場的動能的平均值，后者包含脈動速度動能的時間平均值，即因此有:脈動速度湍動能方程:平均速度湍動能方程:瞬時速度湍動能方程:動量方程乘以瞬時速度得到動量方程乘以平均速度得到動量方程乘以平均速度得到15湍流流動能量方程我們已知湍流瞬時速度可看成是時間平均速湍動能方程微分形式積分形式湍動能16湍動能方程微分形式積分形式湍動能16湍流流動控制方程組雷諾方程:考慮了雷諾應(yīng)力平均能量方程:考慮了湍流脈動影響湍動能方程:新方程質(zhì)量守恒方程:形式相同17湍流流動控制方程組雷諾方程:考慮了雷諾應(yīng)力平均能量方程:考慮湍流質(zhì)量守恒方程18湍流質(zhì)量守恒方程1819192020

§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方程乘以瞬時速度，然后進行時間平均，可得瞬時速度湍動能方程左邊第一項

左邊第二項右邊第一項右邊第二項右邊第三項總動能方程21§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理，得到總動能方程：

§3湍動能方程總動能方程22體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考慮到，可得積分形式是表觀湍流剪切應(yīng)力的對稱張量

§3湍動能方程時均速度動能方程23微分形式：考慮到，可得積分脈動速度湍動能方程積分形式微分形式

§3湍動能方程脈動速度動能方程24脈動速度湍動能方程積分形式微分形式§3湍動能方§2雷諾方程動量方程粘性流體動量方程的積分形式25§2雷諾方程動量方程粘性流體動量方程的積分動量方程的微分形式在直角坐標系中可表示為：§2雷諾方程動量微分方程26動量方程的微分形式在直角坐標系中可表示為：§2雷諾方程動量方程的微分等式——流體單位體積的動量平衡如果是不可壓縮性流體且無擴散發(fā)生，可得這就是所謂的雷諾方程?！?雷諾方程動量微分方程27動量方程的微分等式——流體單位體積的動量平衡如果是不可壓動力相似條件：卡門（Kármán）數(shù)：卡門（Kármán）相似準則§2雷諾方程卡門相似準則28動力相似條件：卡門（Kármán）數(shù)：卡門（Kármán第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論29第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本

§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方程乘以瞬時速度，然后進行時間平均，可得瞬時速度湍動能方程左邊第一項

左邊第二項右邊第一項右邊第二項右邊第三項總動能方程30§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理，得到總動能方程：

§3湍動能方程總動能方程31體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考慮到，可得積分形式是表觀湍流剪切應(yīng)力的對稱張量

§3湍動能方程時均速度動能方程32微分形式：考慮到，可得積分脈動速度湍動能方程積分形式微分形式

§3湍動能方程脈動速度動能方程33脈動速度湍動能方程積分形式微分形式§3湍動能方第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論34第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§4混合長度理論圖7表明混合長度的湍流速度剖面35§4混合長度理論圖7表明混合長度的湍流速度剖面35縱向脈動速度（為負值）當(dāng)流體質(zhì)點由于橫向脈動而向上運動時當(dāng)流體質(zhì)點由平均速度較大的上層運動到下層時一維平均流動的表觀湍流剪切應(yīng)力

§4混合長度理論脈動速度、剪切應(yīng)力36縱向脈動速度（為負值）當(dāng)流體質(zhì)點由于橫向脈動而向上運動時在混合層之間存在某距離，該處脈動速度、絕對值相等，這個長度是湍流的一個特征值?？梢园阉闯墒且粋€相關(guān)因子，稱之為混合長度。普朗特（Prandtl）

§4混合長度理論混合長度37在混合層之間存在某距離，該處脈動速度、卡門（Kármán）用相似理論引入了另一個概念。他假設(shè)如果流動區(qū)域內(nèi)任意一點處質(zhì)點的關(guān)聯(lián)程度相同，那么混合長度才有真正的物理意義。卡門（Kármán）混合長度表觀湍流剪切應(yīng)力

§4混合長度理論混合長度38卡門（Kármán）用相似理論引入了另一個概念。他假第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論39第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§5圓管湍流流動圖8圓管中的湍流40§5圓管湍流流動圖8圓管中的湍流40（1）一維軸對稱流動的動量方程

§5圓管湍流流動動量方程41（1）一維軸對稱流動的動量方程§5圓管圓柱表面上的粘性力為

§5圓管湍流流動粘性力42圓柱表面上的粘性力為§5圓管湍流流動假設(shè)為軸向?qū)ΨQ分布，盡管它確實沿徑向和軸變化。根據(jù)泰勒（Taylor）相關(guān)矩理論，我們可以用相同長度的脈動速度乘積積分的平均值代替速度脈動乘積的時間平均值。故有

§5圓管湍流流動微分方程43假設(shè)為軸向?qū)ΨQ分布，盡管它確實沿徑向和軸把計算的積分代回動量方程，兩邊除以，則得到圓管湍流的微分方程

§5圓管湍流流動微分方程44把計算的積分代回動量方程，兩邊除以，則得到對于層流底層粘性底層的微分方程變?yōu)橐敫郊蛹僭O(shè)層流底層的微分方程（2）層流底層的速度分布§5圓管湍流流動層流區(qū)速度分布45對于層流底層粘性底層的微分方程變?yōu)橐敫郊蛹僭O(shè)層流底層（3）湍流區(qū)的速度分布普朗特（Prandtl）的混合長度理論是估算雷諾應(yīng)力的一種簡單方法。據(jù)此卡門（Kármán）提出了下面的表達式：因此核心湍流區(qū)的運動方程為：§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布46（3）湍流區(qū)的速度分布因此核心湍流區(qū)的運動方程為：§5圓速度分布在圓管的中心線達到最大值，為負值。因此再一次使用摩擦速度，我們得到兩邊取倒數(shù)積分§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布47速度分布在圓管的中心線達到最大值，為負值。因此確定確定湍流區(qū)域速度分布湍流的速度剖面必須與層流底層的速度剖面相匹配§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布48確定確定湍流區(qū)域速度分布湍流的速度剖面必須與層流底層的速度令則有所以實驗確定徑向的湍流速度分布§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布49令則有所以實驗確定徑向的湍流速度分布§5圓管湍流流動橫截面上的平均速度§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布50橫截面上的平均速度§5圓管湍流流動湍流圖9圓管湍流速度分布§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布51圖9圓管湍流速度分布§5圓管湍流流動湍第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論52第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§6湍流邊界層流動圖10平板上的湍流邊界層53§6湍流邊界層流動圖10平板上的湍流邊界層53（1）平板邊界層湍流邊界層的運動方程：連續(xù)性方程：是粘性應(yīng)力和表觀剪切應(yīng)力的和

§6湍流邊界層流動平板邊界層54（1）平板邊界層湍流邊界層的運動方程：連續(xù)性方程：是粘利用普朗特（Prandtl）表觀湍流剪切應(yīng)力假設(shè)和卡門（Kármán）混合長度定義，得表觀湍流剪切應(yīng)力為：湍流邊界層運動方程：

§6湍流邊界層流動平板邊界層55利用普朗特（Prandtl）表觀湍流剪切應(yīng)力假設(shè)和卡門（Ká速度梯度為正值，連續(xù)性方程和動量方程修正

§6湍流邊界層流動平板邊界層56速度梯度為正值，連續(xù)性方程和動量方程修正§6湍基于以上假設(shè)求積分

§6湍流邊界層流動平板邊界層57基于以上假設(shè)求積分§6湍流邊界層流動因此，我們得到邊界層卡門（Kármán）動量積分方程根據(jù)位移損失厚度和動量損失厚度，邊界層卡門（Kármán）動量積分方程可寫為：整理得

§6湍流邊界層流動平板邊界層58因此，我們得到邊界層卡門（Kármán）動量積分方程根據(jù)位移若將位移厚度與動量厚度的比值定義為表征邊界層形態(tài)的參數(shù)，則有此時邊界層積分方程

§6湍流邊界層流動平板邊界層59若將位移厚度與動量厚度的比值定義為表征邊界層形態(tài)此時邊界層積考察零攻角平板湍流邊界層（2）平板湍流邊界層的表面摩擦阻力假設(shè)邊界層速度分布穩(wěn)定摩擦速度

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力60考察零攻角平板湍流邊界層（2）平板湍流邊界層的表面摩擦阻力邊界層邊緣處有上兩式相減得

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力61邊界層邊緣處有上兩式相減得§6湍流邊代入動量厚度方程式中積分常數(shù)

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力將62代入動量厚度方程式中積分常數(shù)§6湍流邊界層流動福爾克納（Falkner）給出了一個簡單公式利用此式，由動量方程積分整理

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力63福爾克納（Falkner）給出了一個簡單公式利用此式，由動量平板的總阻力系數(shù)忽略層流邊界層區(qū)域，處，動量厚度沿平板流動方向的增長規(guī)律為

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力64平板的總阻力系數(shù)忽略層流邊界層區(qū)域，處，動量厚度沿圖11平板阻力系數(shù)

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力65圖11平板阻力系數(shù)§6湍流邊界層流動第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論66第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§7環(huán)空湍流圖12環(huán)空湍流速度剖面67§7環(huán)空湍流圖12環(huán)空湍流速度剖面67假設(shè)流動是一維的，則：故穩(wěn)定不可壓縮流動的微分方程為：

§7環(huán)空湍流運動方程68假設(shè)流動是一維的，則：故穩(wěn)定不可壓縮流動的微分方程為：根據(jù)混合長度理論，表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示為又據(jù)卡門（Kármán）假設(shè)則運動方程改寫為

§7環(huán)空湍流運動方程69根據(jù)混合長度理論，表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示為又據(jù)卡門（Ká表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示

§7環(huán)空湍流表觀剪切應(yīng)力70表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示§7環(huán)空湍流分四個區(qū)間求解動量方程：兩個層流底層、一個湍流應(yīng)力增長區(qū)域和一個湍流應(yīng)力減小區(qū)域。圖13速度剖面§7環(huán)空湍流速度分布71分四個區(qū)間求解動量方程：兩個層流底層、一個湍流應(yīng)力增長區(qū)域和對于層流底層得到的線性速度分布為：摩擦速度分別為：

§7環(huán)空湍流速度分布72對于層流底層得到的線性速度分布為：摩擦速度分別為：區(qū)間內(nèi)，動量方程可寫為：

§7環(huán)空湍流動量方程73區(qū)間內(nèi)，動量方程可寫為：§7環(huán)空湍流§7環(huán)空湍流動量方程74§7環(huán)空湍流動量方程74在層流與湍流界面上，即，處，依據(jù)邊界匹配條件有

§7環(huán)空湍流層流、湍流界面速度75在層流與湍流界面上，即，處，由于，，假定普朗特（Prandtl）假設(shè)對兩個層流底層都有效，則推出

§7環(huán)空湍流層流、湍流界面速度76由于，，假定普朗特（第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論77第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本最常用的無因次量摩阻系數(shù)定義為：范寧方程為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)78最常用的無因次量摩阻系數(shù)定義為：范寧方程為：§8柯羅布魯克（Colebrook）圓管紊流摩阻系數(shù)的經(jīng)驗公式為：克蘭德(Cullender)和史密斯(Smith)光滑管道摩阻系數(shù)方程為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)79柯羅布魯克（Colebrook）圓管紊流摩阻系數(shù)的經(jīng)驗克蘭德勃拉休斯（Blassius）給出的近似表達式為：范寧公式變形后可得圓管中紊流的摩阻損失公式（工程單位）為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)80勃拉休斯（Blassius）給出的近似表達式為：范寧公式變

§8圓管湍流摩阻壓降例題〖例〗一水平直圓管連接兩個盛水容器，已知入口、出口壓力分別為：，，管徑：，管長：。若管中的平均流是定常湍流，水的運動粘性系數(shù)為：，求管中流量。81§8圓管湍流摩阻壓降例題〖例〗〖解〗設(shè)管中平均流速為，不考慮進出口的能量損失，管中阻力系數(shù)為則由尼古拉滋阻力公式這樣，平均流速與雷諾數(shù)、阻力系數(shù)需用迭代方法求解。

§8圓管湍流摩阻壓降例題82〖解〗設(shè)管中平均流速為，不考慮進出口的能量損失，管中阻力系設(shè)平均流速51428550.016464.228444.231208550.017004.160744.161188550.017064.153424.1531186550.017064.15342初始值為，根據(jù)以上公式及已知條件列出下表由以上計算表可見，平均流速流量為

§8圓管湍流摩阻壓降例題83設(shè)平均流速51428550.016464.228444.2經(jīng)常用來求非圓管的等價圓管直徑的一個判據(jù)是管子的橫截面積與其濕周長度之比，稱為水力半徑。比較狹縫與環(huán)空中層流情況下壓力損失方程，有：

§8圓管湍流摩阻壓降非圓管的換算84經(jīng)常用來求非圓管的等價圓管直徑的一個判據(jù)是管子的橫截面積與其第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論85第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§9工程湍流模式理論

湍流理論的核心問題之一是求納維-斯托克斯方程的統(tǒng)計解。雷諾方程與連續(xù)性方程所組成的方程組對速度和壓強的時均量是不封閉的，因而無法求解。普朗特(Prandtl)的混合長度理論封閉了雷諾應(yīng)力，從而可以求解湍流流動?；旌祥L度理論的湍流模型應(yīng)用較為廣泛且十分簡單。但這個理論在物理概念上有不足之處。比如：(1)假定流體微團要經(jīng)過一段距離才發(fā)生混合，而實際混合過程是一個連續(xù)的過程不符合；(2)按照混合長度的理論，若速度梯度為零則湍流粘性系數(shù)為零，這無疑也是不符合實際的。

86§9工程湍流模式理論湍流理論的核心問題之一是求納維由于混合長度理論的上述缺點，使它在應(yīng)用方面受到了限制，特別是需要較多地依靠經(jīng)驗來確定混合長度，促使人們發(fā)展更高級更準確的封閉形式。

在當(dāng)今的工程湍流問題中常用的湍流模型有湍流渦粘性系數(shù)模型和雷諾應(yīng)力模型，近年來對多尺度模型和雙流體模型的研究也日益被重視?！?工程湍流模式理論87由于混合長度理論的上述缺點，使它在應(yīng)用方面受到了限制湍動能模型非穩(wěn)態(tài)項對流項擴散項產(chǎn)生項耗散項其中

§9工程湍流模式理論湍動能模型88湍動能模型非穩(wěn)態(tài)項對流項擴散項產(chǎn)生項耗散項其中兩方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理論兩方程模型89兩方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（1）連續(xù)性方程：對于系統(tǒng)，由質(zhì)量守恒定律有：應(yīng)用歐拉輸運定理，以控制體為研究對象時質(zhì)量守恒方程可表述為：局部質(zhì)量變化率對流質(zhì)量通量或90§9工程湍流模式理論方程§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（1）連續(xù)性方程：傳導(dǎo)質(zhì)量通量是由密度梯度引起的，就是所謂的普通擴散，F(xiàn)ick定律給出：為擴散系數(shù)。在考慮的單位體積內(nèi)還有質(zhì)量源或匯，質(zhì)量平衡方程則變?yōu)椋荷鲜鰝€方程相加得：91§9工程湍流模式理論方程§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（1）連續(xù)性方程：運用高斯散度定理，則有質(zhì)量守恒定律的積分形式：質(zhì)量守恒定律的微分形式：或?qū)Σ豢蓧嚎s流體：92§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（2）動量方程：（微元體中流體流量的增加率）=（作用在微元體上各種力之和）引入Newon切應(yīng)力公式及Stokes的表達式，可得3個速度分量的動量方程，以X方向動量為例：

§9工程湍流模式理論方程

93直角坐標下模型（2）動量方程：（微元體中流體直角坐標下模型（2）動量方程：上式中：：流體的動力粘度；：流體的第2分子粘度，對氣體可取-2/3。

§9工程湍流模式理論方程

94直角坐標下模型（2）動量方程：上式中：：直角坐標下模型（2）動量方程：對于不可壓縮流體可得動量方程為：取

§9工程湍流模式理論方程

95直角坐標下模型（2）動量方程：對于不可壓縮流直角坐標下模型（2）動量方程：同理可得方向的動量方程：

§9工程湍流模式理論方程

96直角坐標下模型（2）動量方程：同理可得直角坐標下模型（3）湍動能方程：左邊：

§9工程湍流模式理論方程

控制方程：97直角坐標下模型（3）湍動能方程：左邊：§直角坐標下模型（3）湍動能方程：右邊：

§9工程湍流模式理論方程

控制方程：98直角坐標下模型（3）湍動能方程：右邊：§§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（3）湍動能方程：99§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（4）耗散率方程：左邊：

§9工程湍流模式理論方程

控制方程：100直角坐標下模型（4）耗散率方程：左邊：§直角坐標下模型（4）耗散率方程：右邊：

§9工程湍流模式理論方程

控制方程：101直角坐標下模型（4）耗散率方程：右邊：§§9工程湍流模式理論方程直角坐標下模型（4）可得耗散率方程：102§9工程湍流模式理論方程§9工程湍流模式理論方程圓柱坐標下模型（1）連續(xù)性方程：推導(dǎo)過程如同直角坐標：103§9工程湍流模式理論方程圓柱坐標下模型（2）動量方程：方向動量方程：

§9工程湍流模式理論方程

104圓柱坐標下模型（2）動量方程：方向動量方程：圓柱坐標下模型（2）動量方程：方向動量方程：（推導(dǎo)過程同直角坐標）

§9工程湍流模式理論方程

105圓柱坐標下模型（2）動量方程：方向動量方程：圓柱坐標下模型（2）動量方程：同理可得方向的動量方程：

§9工程湍流模式理論方程

106圓柱坐標下模型（2）動量方程：同理可得方圓柱坐標下模型（2）動量方程：同理可得方向的動量方程：

§9工程湍流模式理論方程

107圓柱坐標下模型（2）動量方程：同理可得方§9工程湍流模式理論方程圓柱坐標下模型（3）湍動能方程：（推導(dǎo)過程如同直角坐標系）108§9工程湍流模式理論方程§9工程湍流模式理論方程圓柱坐標下模型（4）耗散率方程：（推導(dǎo)過程如同直角坐標系）109§9工程湍流模式理論方程雷諾應(yīng)力模型——由各向異性的前提出發(fā)，直接封閉和求解雷諾應(yīng)力的輸運方程，計算這些應(yīng)力分量。

§9工程湍流模式理論應(yīng)力分量110雷諾應(yīng)力模型——由各向異性的前提出發(fā)，直接封閉和求解雷諾應(yīng)力第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論111第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本粘性流體湍流流動現(xiàn)象雷諾實驗中的層流與湍流流動現(xiàn)象112粘性流體湍流流動現(xiàn)象雷諾實驗中的層流與湍流流

§1

湍流運動基本特性現(xiàn)象LES模擬紊流流動113§1湍流運動基本特性現(xiàn)象LES模擬紊

§1

湍流運動基本特性現(xiàn)象超生速湍流DNS模擬114§1湍流運動基本特性現(xiàn)象超生速湍流4（1）概念宏觀上，流體微團做不規(guī)則隨機脈動的流體運動稱為湍流。

圖1層流遇到障礙物轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鲌D2龍卷風(fēng)§1湍流運動基本特性概念115（1）概念宏觀上，流體微團做不規(guī)則隨機脈動的流體運動稱為湍流壁面湍流和自由湍流各向同性湍流和剪切湍流擬湍流和真湍流圖4圓管中充分發(fā)展的湍流流動1圖5圓管中充分發(fā)展的湍流流動2圖3壁面湍流（2）湍流分類

§1湍流運動基本特性分類116壁面湍流和自由湍流圖4圓管中充分發(fā)展的湍流流動1圖5圓

§1湍流運動基本特性基本性質(zhì)湍流場具有完全不規(guī)則的瞬息變化的運動特征；湍流場具有某種規(guī)律的統(tǒng)計學(xué)特征；湍流場中任意兩空間點的物理量的關(guān)聯(lián)特性依賴于不同的湍流結(jié)構(gòu)和邊界條件；流體質(zhì)點的不規(guī)則隨機運動和分子運動不同。（3）湍流的基本性質(zhì)117§1湍流運動基本特性基本性質(zhì)湍流場（4）湍流的研究方法

§1湍流運動基本特性示波圖湍流速度和壓力脈動118（4）湍流的研究方法§1湍流運動基本特性雷諾平均方法1)時間平均2)空間平均3)系綜平均嚴格的講,時間平均適合定常流場,空間平均適合均勻流場,系綜平均適合非定常非均勻流場.但由于實現(xiàn)整體平均比較困難,一般多采用時間平均的方法,只要適當(dāng)選取周期T就可以了(高頻變化流場除外)在周期T選取合適的條件下,三者等價(5)雷諾平均方法119雷諾平均方法1)時間平均2)空間平均3)系綜平均嚴格雷諾時間平均值

§1湍流運動基本特性雷諾時均值雷諾平均雷諾時間平均性質(zhì)120雷諾時間平均值§1湍流運動基本特性第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論121第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本直角坐標系雷諾方程§2雷諾方程動量微分方程122直角坐標系雷諾方程§2雷諾方程動量微分方程雷諾方程_分析直角坐標系形式雷諾方程矢量形式雷諾方程不可壓縮流體雷諾方程可壓縮流體雷諾方程雷諾應(yīng)力粘性應(yīng)力正應(yīng)力123雷諾方程_分析直角坐標系形式雷諾方程矢量形式雷諾方程不可壓縮第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論124第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本湍流流動能量方程我們已知湍流瞬時速度可看成是時間平均速度與脈動速度的和。因此平均速度場的動能不等于瞬時速度場的動能的平均值，后者包含脈動速度動能的時間平均值，即因此有:脈動速度湍動能方程:平均速度湍動能方程:瞬時速度湍動能方程:動量方程乘以瞬時速度得到動量方程乘以平均速度得到動量方程乘以平均速度得到125湍流流動能量方程我們已知湍流瞬時速度可看成是時間平均速湍動能方程微分形式積分形式湍動能126湍動能方程微分形式積分形式湍動能16湍流流動控制方程組雷諾方程:考慮了雷諾應(yīng)力平均能量方程:考慮了湍流脈動影響湍動能方程:新方程質(zhì)量守恒方程:形式相同127湍流流動控制方程組雷諾方程:考慮了雷諾應(yīng)力平均能量方程:考慮湍流質(zhì)量守恒方程128湍流質(zhì)量守恒方程181291913020

§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方程乘以瞬時速度，然后進行時間平均，可得瞬時速度湍動能方程左邊第一項

左邊第二項右邊第一項右邊第二項右邊第三項總動能方程131§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理，得到總動能方程：

§3湍動能方程總動能方程132體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考慮到，可得積分形式是表觀湍流剪切應(yīng)力的對稱張量

§3湍動能方程時均速度動能方程133微分形式：考慮到，可得積分脈動速度湍動能方程積分形式微分形式

§3湍動能方程脈動速度動能方程134脈動速度湍動能方程積分形式微分形式§3湍動能方§2雷諾方程動量方程粘性流體動量方程的積分形式135§2雷諾方程動量方程粘性流體動量方程的積分動量方程的微分形式在直角坐標系中可表示為：§2雷諾方程動量微分方程136動量方程的微分形式在直角坐標系中可表示為：§2雷諾方程動量方程的微分等式——流體單位體積的動量平衡如果是不可壓縮性流體且無擴散發(fā)生，可得這就是所謂的雷諾方程?！?雷諾方程動量微分方程137動量方程的微分等式——流體單位體積的動量平衡如果是不可壓動力相似條件：卡門（Kármán）數(shù)：卡門（Kármán）相似準則§2雷諾方程卡門相似準則138動力相似條件：卡門（Kármán）數(shù)：卡門（Kármán第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論139第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本

§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方程乘以瞬時速度，然后進行時間平均，可得瞬時速度湍動能方程左邊第一項

左邊第二項右邊第一項右邊第二項右邊第三項總動能方程140§3湍動能方程瞬時速度動能方程動量方體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理，得到總動能方程：

§3湍動能方程總動能方程141體積為、面積為的流體單元，采用高斯（Gauss）定理微分形式：考慮到，可得積分形式是表觀湍流剪切應(yīng)力的對稱張量

§3湍動能方程時均速度動能方程142微分形式：考慮到，可得積分脈動速度湍動能方程積分形式微分形式

§3湍動能方程脈動速度動能方程143脈動速度湍動能方程積分形式微分形式§3湍動能方第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論144第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§4混合長度理論圖7表明混合長度的湍流速度剖面145§4混合長度理論圖7表明混合長度的湍流速度剖面35縱向脈動速度（為負值）當(dāng)流體質(zhì)點由于橫向脈動而向上運動時當(dāng)流體質(zhì)點由平均速度較大的上層運動到下層時一維平均流動的表觀湍流剪切應(yīng)力

§4混合長度理論脈動速度、剪切應(yīng)力146縱向脈動速度（為負值）當(dāng)流體質(zhì)點由于橫向脈動而向上運動時在混合層之間存在某距離，該處脈動速度、絕對值相等，這個長度是湍流的一個特征值?？梢园阉闯墒且粋€相關(guān)因子，稱之為混合長度。普朗特（Prandtl）

§4混合長度理論混合長度147在混合層之間存在某距離，該處脈動速度、卡門（Kármán）用相似理論引入了另一個概念。他假設(shè)如果流動區(qū)域內(nèi)任意一點處質(zhì)點的關(guān)聯(lián)程度相同，那么混合長度才有真正的物理意義?？ㄩT（Kármán）混合長度表觀湍流剪切應(yīng)力

§4混合長度理論混合長度148卡門（Kármán）用相似理論引入了另一個概念。他假第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論149第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§5圓管湍流流動圖8圓管中的湍流150§5圓管湍流流動圖8圓管中的湍流40（1）一維軸對稱流動的動量方程

§5圓管湍流流動動量方程151（1）一維軸對稱流動的動量方程§5圓管圓柱表面上的粘性力為

§5圓管湍流流動粘性力152圓柱表面上的粘性力為§5圓管湍流流動假設(shè)為軸向?qū)ΨQ分布，盡管它確實沿徑向和軸變化。根據(jù)泰勒（Taylor）相關(guān)矩理論，我們可以用相同長度的脈動速度乘積積分的平均值代替速度脈動乘積的時間平均值。故有

§5圓管湍流流動微分方程153假設(shè)為軸向?qū)ΨQ分布，盡管它確實沿徑向和軸把計算的積分代回動量方程，兩邊除以，則得到圓管湍流的微分方程

§5圓管湍流流動微分方程154把計算的積分代回動量方程，兩邊除以，則得到對于層流底層粘性底層的微分方程變?yōu)橐敫郊蛹僭O(shè)層流底層的微分方程（2）層流底層的速度分布§5圓管湍流流動層流區(qū)速度分布155對于層流底層粘性底層的微分方程變?yōu)橐敫郊蛹僭O(shè)層流底層（3）湍流區(qū)的速度分布普朗特（Prandtl）的混合長度理論是估算雷諾應(yīng)力的一種簡單方法。據(jù)此卡門（Kármán）提出了下面的表達式：因此核心湍流區(qū)的運動方程為：§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布156（3）湍流區(qū)的速度分布因此核心湍流區(qū)的運動方程為：§5圓速度分布在圓管的中心線達到最大值，為負值。因此再一次使用摩擦速度，我們得到兩邊取倒數(shù)積分§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布157速度分布在圓管的中心線達到最大值，為負值。因此確定確定湍流區(qū)域速度分布湍流的速度剖面必須與層流底層的速度剖面相匹配§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布158確定確定湍流區(qū)域速度分布湍流的速度剖面必須與層流底層的速度令則有所以實驗確定徑向的湍流速度分布§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布159令則有所以實驗確定徑向的湍流速度分布§5圓管湍流流動橫截面上的平均速度§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布160橫截面上的平均速度§5圓管湍流流動湍流圖9圓管湍流速度分布§5圓管湍流流動湍流區(qū)速度分布161圖9圓管湍流速度分布§5圓管湍流流動湍第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論162第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§6湍流邊界層流動圖10平板上的湍流邊界層163§6湍流邊界層流動圖10平板上的湍流邊界層53（1）平板邊界層湍流邊界層的運動方程：連續(xù)性方程：是粘性應(yīng)力和表觀剪切應(yīng)力的和

§6湍流邊界層流動平板邊界層164（1）平板邊界層湍流邊界層的運動方程：連續(xù)性方程：是粘利用普朗特（Prandtl）表觀湍流剪切應(yīng)力假設(shè)和卡門（Kármán）混合長度定義，得表觀湍流剪切應(yīng)力為：湍流邊界層運動方程：

§6湍流邊界層流動平板邊界層165利用普朗特（Prandtl）表觀湍流剪切應(yīng)力假設(shè)和卡門（Ká速度梯度為正值，連續(xù)性方程和動量方程修正

§6湍流邊界層流動平板邊界層166速度梯度為正值，連續(xù)性方程和動量方程修正§6湍基于以上假設(shè)求積分

§6湍流邊界層流動平板邊界層167基于以上假設(shè)求積分§6湍流邊界層流動因此，我們得到邊界層卡門（Kármán）動量積分方程根據(jù)位移損失厚度和動量損失厚度，邊界層卡門（Kármán）動量積分方程可寫為：整理得

§6湍流邊界層流動平板邊界層168因此，我們得到邊界層卡門（Kármán）動量積分方程根據(jù)位移若將位移厚度與動量厚度的比值定義為表征邊界層形態(tài)的參數(shù)，則有此時邊界層積分方程

§6湍流邊界層流動平板邊界層169若將位移厚度與動量厚度的比值定義為表征邊界層形態(tài)此時邊界層積考察零攻角平板湍流邊界層（2）平板湍流邊界層的表面摩擦阻力假設(shè)邊界層速度分布穩(wěn)定摩擦速度

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力170考察零攻角平板湍流邊界層（2）平板湍流邊界層的表面摩擦阻力邊界層邊緣處有上兩式相減得

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力171邊界層邊緣處有上兩式相減得§6湍流邊代入動量厚度方程式中積分常數(shù)

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力將172代入動量厚度方程式中積分常數(shù)§6湍流邊界層流動福爾克納（Falkner）給出了一個簡單公式利用此式，由動量方程積分整理

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力173福爾克納（Falkner）給出了一個簡單公式利用此式，由動量平板的總阻力系數(shù)忽略層流邊界層區(qū)域，處，動量厚度沿平板流動方向的增長規(guī)律為

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力174平板的總阻力系數(shù)忽略層流邊界層區(qū)域，處，動量厚度沿圖11平板阻力系數(shù)

§6湍流邊界層流動表面摩擦阻力175圖11平板阻力系數(shù)§6湍流邊界層流動第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論176第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§7環(huán)空湍流圖12環(huán)空湍流速度剖面177§7環(huán)空湍流圖12環(huán)空湍流速度剖面67假設(shè)流動是一維的，則：故穩(wěn)定不可壓縮流動的微分方程為：

§7環(huán)空湍流運動方程178假設(shè)流動是一維的，則：故穩(wěn)定不可壓縮流動的微分方程為：根據(jù)混合長度理論，表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示為又據(jù)卡門（Kármán）假設(shè)則運動方程改寫為

§7環(huán)空湍流運動方程179根據(jù)混合長度理論，表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示為又據(jù)卡門（Ká表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示

§7環(huán)空湍流表觀剪切應(yīng)力180表觀剪切應(yīng)力用混合長度表示§7環(huán)空湍流分四個區(qū)間求解動量方程：兩個層流底層、一個湍流應(yīng)力增長區(qū)域和一個湍流應(yīng)力減小區(qū)域。圖13速度剖面§7環(huán)空湍流速度分布181分四個區(qū)間求解動量方程：兩個層流底層、一個湍流應(yīng)力增長區(qū)域和對于層流底層得到的線性速度分布為：摩擦速度分別為：

§7環(huán)空湍流速度分布182對于層流底層得到的線性速度分布為：摩擦速度分別為：區(qū)間內(nèi)，動量方程可寫為：

§7環(huán)空湍流動量方程183區(qū)間內(nèi)，動量方程可寫為：§7環(huán)空湍流§7環(huán)空湍流動量方程184§7環(huán)空湍流動量方程74在層流與湍流界面上，即，處，依據(jù)邊界匹配條件有

§7環(huán)空湍流層流、湍流界面速度185在層流與湍流界面上，即，處，由于，，假定普朗特（Prandtl）假設(shè)對兩個層流底層都有效，則推出

§7環(huán)空湍流層流、湍流界面速度186由于，，假定普朗特（第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論187第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本最常用的無因次量摩阻系數(shù)定義為：范寧方程為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)188最常用的無因次量摩阻系數(shù)定義為：范寧方程為：§8柯羅布魯克（Colebrook）圓管紊流摩阻系數(shù)的經(jīng)驗公式為：克蘭德(Cullender)和史密斯(Smith)光滑管道摩阻系數(shù)方程為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)189柯羅布魯克（Colebrook）圓管紊流摩阻系數(shù)的經(jīng)驗克蘭德勃拉休斯（Blassius）給出的近似表達式為：范寧公式變形后可得圓管中紊流的摩阻損失公式（工程單位）為：

§8圓管湍流摩阻壓降摩阻系數(shù)190勃拉休斯（Blassius）給出的近似表達式為：范寧公式變

§8圓管湍流摩阻壓降例題〖例〗一水平直圓管連接兩個盛水容器，已知入口、出口壓力分別為：，，管徑：，管長：。若管中的平均流是定常湍流，水的運動粘性系數(shù)為：，求管中流量。191§8圓管湍流摩阻壓降例題〖例〗〖解〗設(shè)管中平均流速為，不考慮進出口的能量損失，管中阻力系數(shù)為則由尼古拉滋阻力公式這樣，平均流速與雷諾數(shù)、阻力系數(shù)需用迭代方法求解。

§8圓管湍流摩阻壓降例題192〖解〗設(shè)管中平均流速為，不考慮進出口的能量損失，管中阻力系設(shè)平均流速51428550.016464.228444.231208550.017004.160744.161188550.017064.153424.1531186550.017064.15342初始值為，根據(jù)以上公式及已知條件列出下表由以上計算表可見，平均流速流量為

§8圓管湍流摩阻壓降例題193設(shè)平均流速51428550.016464.228444.2經(jīng)常用來求非圓管的等價圓管直徑的一個判據(jù)是管子的橫截面積與其濕周長度之比，稱為水力半徑。比較狹縫與環(huán)空中層流情況下壓力損失方程，有：

§8圓管湍流摩阻壓降非圓管的換算194經(jīng)常用來求非圓管的等價圓管直徑的一個判據(jù)是管子的橫截面積與其第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本特性第二節(jié)雷諾方程第三節(jié)湍動能方程第四節(jié)混合長度理論第五節(jié)圓管湍流流動第六節(jié)湍流邊界層流動第七節(jié)環(huán)空湍流第八節(jié)圓管湍流摩阻壓降第九節(jié)工程湍流模式理論195第六章粘性流體湍流運動第一節(jié)湍流運動基本§9工程湍流模式理論

湍流理論的核心問題之一是求納維-斯托克斯方程的統(tǒng)計解。雷諾方程與連續(xù)性方程所組成的方程組對速度和壓強的時均量是不封閉的，因而無法求解。普朗特(Prandtl)的混合長度理論封閉了雷諾應(yīng)力，從而可以求解湍流流動?；旌祥L度理論的湍流模型應(yīng)用較為廣泛且十分簡單。但這個理論在物理概念上有不足之處。比如：(1)假定流體微團要經(jīng)過一段距離才發(fā)生混合，而實際混合過程是一個連續(xù)的過程不符合；(2)按照混合長度的理論，若速度梯度為零則湍流粘性系數(shù)為零，這無疑也是不符合實際的。

196§9工程湍流模式理論湍流理論的核心問題之一是求納維由于混合長度理論的上述缺點，使它在應(yīng)用方面受到了限制，特別是需要較多地依靠經(jīng)驗來確定混合長度，促使人們發(fā)展更高級更準確的封閉形式。

在當(dāng)今的工程湍流問題中常用的湍流模型有湍流渦粘性系數(shù)模型和雷諾應(yīng)力模型，近年來對多尺度模型和雙流體模型的研究也日益被重視?！?工程湍流模式理論197由于混合長度理論的上述缺點，使它在應(yīng)用方面受到了限制湍動能模型非穩(wěn)態(tài)項對流項擴散項產(chǎn)生項耗散項其中

§9工程湍流模式理論湍動能模型198湍動能模型非穩(wěn)態(tài)項對流項擴散項產(chǎn)生項耗散項其中兩方程模型—(是湍流耗散率）§9工程湍流模式理論兩方程模型199兩