《菱形的性質(zhì)及判定》名師教學案

..第一章特殊平行四邊形1．菱形的性質(zhì)與判定〔1一、學情與教材分析1.學情分析"菱形的性質(zhì)與判定"是繼八年級下冊"第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)"和"第六章平行四邊形"之后的一個學習內(nèi)容.學生在學習菱形之前,已經(jīng)掌握了簡單圖形的平移旋轉(zhuǎn)及平行四邊形的性質(zhì)和判定,學生完全能夠借助圖形的旋轉(zhuǎn)平移和軸對稱直觀的理解菱形的定義和性質(zhì).其次,經(jīng)歷了七年級下冊"相交線與平行線"、"三角形"和八年級下冊"平行四邊形"的學習和推理訓練,學生們已經(jīng)具備了一定的推理能力,樹立了初步的推理意識,為嚴格的推理證明打下了基礎.再次,本章第4節(jié)將學習"正方形的性質(zhì)與判定",正方形是菱形的特殊情形,本節(jié)課學習將為正方形性質(zhì)與判定的學習打下良好的基礎.2.教材分析教科書在學生學習了"平行四邊形"的基礎上,提出了本課的學習任務：①掌握菱形的定義；②探索并掌握菱形是軸對稱圖形；③探索并證明菱形"四條邊相等"、"對角線互相垂直"等性質(zhì),并能應用這些性質(zhì)計算線段的長度,會求菱形的周長和面積.本節(jié)課通過觀察、分析、類比、動手操作,推論論證等活動過程探究菱形的定義和性質(zhì),進一步提高了學生的觀察分析能力和類比探究能力.二、教學目標：1.經(jīng)歷從現(xiàn)實生活中抽象出圖形的過程,理解菱形的概念及其與平行四邊形的關(guān)系；2.經(jīng)歷利用折紙等活動探索菱形的軸對稱性和菱形的其他性質(zhì),發(fā)展合情推理能力；3.在證明性質(zhì)和運用性質(zhì)解決問題的過程中探究菱形的周長公式和面積公式,進一步發(fā)展學生的邏輯推理能力.三、教學重難點：重點：菱形的性質(zhì)難點：菱形性質(zhì)的綜合運用四、教法建議〔探究法教師可采用"探索——發(fā)現(xiàn)——猜想——論證"的教學方法,引導學習探索菱形的定義和性質(zhì).五、教學設計〔一課前設計1、預習任務任務1：我們已經(jīng)學習了平行四邊形這個特殊的四邊形了,小紅想,如果平行四邊形再特殊一些,如果一個平行四邊形鄰邊相等,那么這個四邊形是什么樣子呢？請按照小紅的要求,畫出一個鄰邊相等的平行四邊形,并觀察生活,舉出生活中類似的圖形的例子？任務2：學習課本第2頁想一想上面內(nèi)容,初步了解菱形的定義.任務3：既然菱形是特殊的平行四邊形,那么它肯定具有平行四邊形的所有性質(zhì)了,你能就你目前的認識,寫出菱形的性質(zhì)么？任務4：既然菱形是特殊的平行四邊形,那么,菱形肯定還有它特殊的性質(zhì),請用菱形紙片探究猜測以下問題：〔1菱形的對稱性；〔2菱形的邊之間的關(guān)系；〔3菱形的對角線的關(guān)系；〔4菱形的周長與面積的求法.2、預習自測一、填空題1、如圖,四邊形ABCD的對角線互相平分,要使它變成菱形,需要添加條件為_____________.答案：AB=BC或BC=CD或CD=DA或AB=AD.解析：∵四邊形ABCD的對角線互相平分,∴四邊形為平行四邊形.∴當AB=BC時,四邊形ABCD是菱形.點撥：根據(jù)定義"一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形"即可得到答案.2、如圖,菱形ABCD中,已知∠ABD=20°,則∠C的度數(shù)為__________.答案：140°.解析：∵菱形是軸對稱圖形,對角線所在直線是對稱軸,∴對角線平分對角,∴∠ABC=2∠ABD=40°.又因為菱形鄰角互補,可得∠C=180°-∠ABC=140°.點撥：根據(jù)菱形的軸對稱性得到菱形對角線平分對角,從而得出∠ABC的度數(shù),進而得到相鄰的角的度數(shù).二、解答題3、如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O.已知AB=5cm,AO=4cm,求BD的長和菱形的面積.答案：6cm,24cm2.解析：∵菱形對角線互相垂直,所以∠AOB=90°,∴在Rt△AOB中,,∴BD=2OB=6cm.∵菱形是軸對稱圖形,BD所在直線是一條對稱軸,∴△ABD≌△CBD,∴S菱形ABCD=2S△ABD=cm2.點撥：根據(jù)菱形對角線互相垂直和勾股定理,可求得OB的長,從而得BD的長；根據(jù)菱形的軸對稱性將菱形分成兩個全等三角形,利用三角形面積公式可求菱形得面積.<或點擊"課前預習-名師預習",選擇"《菱形的性質(zhì)與判定〔1》預習自測">〔二課堂設計1、情境引入內(nèi)容：在日常生活中,?？吹礁鞣N各樣的幾何圖形和由它們組成的精美圖案,請同學們觀察下面的幾幅圖片,看一看圖案是有哪些基本圖形組成的？學生：觀察衣服、衣帽架和窗戶等實物圖片.教師：同學們,在觀察圖片后,你能從中發(fā)現(xiàn)你熟悉的圖形嗎？你認為它們有什么樣的共同特征呢？學生1：圖片中有八年級學過的平行四邊形.教師：請同學們觀察,彩圖中的平行四邊形與ABCD相比較,有什么不同點嗎？教師：這種圖形就叫做菱形.設計意圖：通過這個環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學生的觀察和對比分析能力.上課時讓學生觀察圖形,從直觀上初步感受菱形的形狀和性質(zhì),同時,要讓學生體會到數(shù)學來源于生活,數(shù)學就在我們身邊,并不是高不可攀的道理.注意事項及效果：學生在通過觀察對比體會菱形的形狀和性質(zhì)的過程中,會給出一些與定義無關(guān)的結(jié)論,教師需要對正確的結(jié)論加以肯定,并從菱形的定義方面加以引導.2、探究發(fā)現(xiàn)探究1：菱形的概念師：上面幾幅圖片的基本圖形都是平行四邊形嗎？這些基本圖形還有什么共同特征？〔一眼可以看出來的生：它們都是平行四邊形,而且四條邊都相等.師：上面說過這類圖形叫做菱形,那同學們能類比平行四邊形的概念給出菱形的定義嗎？師生總結(jié)：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.讓學生再舉一些生活中常見的菱形的例子.〔登錄優(yōu)教同步學習網(wǎng),搜索"動畫演示：菱形及其性質(zhì)",看菱形的概念及實例部分設計意圖：通過這個環(huán)節(jié),培養(yǎng)了學生的總結(jié)概括能力.學生通過對菱形定義的概括,不但掌握了菱形的特征,也為下一步學習菱形的性質(zhì)打下良好的基礎.注意事項與效果：學生在通過總結(jié)概括得到菱形定義的過程中,會有一些不同的想法,如四條邊都相等的四邊形叫做菱形、四條邊都相等的平行四邊形叫做菱形等等,教師要對學生的答案進行積極有效的評價分析,激發(fā)學生的學習積極性,同時又要從類比學習的角度給出菱形的定義,強調(diào)菱形不僅是平行四邊形,而且有其自身特點"一組鄰邊相等",這樣強化了菱形的定義和與平行四邊形的關(guān)系,又為下面的教學內(nèi)容做好了鋪墊.探究2：菱形的性質(zhì)想一想：〔1教師：菱形是特殊的平行四邊形,它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì).你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？學生：菱形的對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.〔2教師：同學們,你認為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？請你與同伴交流.學生活動：分小組討論菱形的性質(zhì),組長組織組員討論,讓盡可能多的組員發(fā)言,并匯總結(jié)果.教師活動：教師巡視,并參與到學生的討論中,啟發(fā)同學們類比平行四邊形,從圖形的邊、角和對角線三個方面探討菱形的性質(zhì).對學生的結(jié)論,教師要及時評價,積極引導,激勵學生.〔3師生總結(jié)：①與平行四邊形相同的性質(zhì)：對邊平行且相等,對角相等,對角線互相平分.②與平行四邊形不同的性質(zhì)：一組鄰邊相等〔或四條邊都相等.做一做：教師：請同學們用菱形紙片折一折,回答下列問題：〔1菱形是軸對稱圖形嗎？如果是,它有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關(guān)系？〔2菱形中有哪些相等的線段？〔3菱形的對角線有什么關(guān)系？學生活動：分小組折紙?zhí)剿?并討論、交流,組長組織匯總結(jié)果.教師活動：教師巡視并參與學生活動,引導學生分析怎樣折紙才能得到正確的結(jié)論.學生研討完畢,教師要展示匯總學生的折紙方法以及相應的結(jié)論,以便于后面的教學.師生總結(jié)：①菱形是軸對稱圖形,有兩條對稱軸,是菱形對角線所在的直線,兩條對角線互相垂直.②菱形的四條邊相等.③菱形的對角線互相垂直.注：學生還可能會發(fā)現(xiàn)下面一些性質(zhì),應鼓勵學生多說.菱形的對角線平分一組對角；菱形的對角線互相垂直并平分；〔登錄優(yōu)教同步學習網(wǎng),搜索"動畫演示：菱形及其性質(zhì)",看菱形的性質(zhì)部分證一證：教師：通過折紙活動,同學們已經(jīng)對菱形的性質(zhì)有了初步的了解,那么上面得到的結(jié)論正確嗎？你能證明這些結(jié)論嗎？圖1圖1-1已知：如圖1-1,在菱形ABCD中,AB=AD,對角線AC與BD相交于點O.求證：〔1AB=BC=CD=AD；〔2AC⊥BD.師生共析：①菱形不僅對邊相等,而且鄰邊相等,這樣就可以證明菱形的四條邊都相等了.②因為菱形是平行四邊形,所以點O是對角線AC與BD的中點；又因為在菱形中可以得到等腰三角形,這樣就可以利用"三線合一"來證明結(jié)論了.學生活動：獨立寫出證明過程,進行組內(nèi)交流對比,優(yōu)化證明方法,掌握相關(guān)定理.證明：〔1∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=CD,AD=BC〔菱形的對邊相等.又∵AB=AD,∴AB=BC=CD=AD.〔2∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵四邊形ABCD是菱形∴OB=OD〔菱形的對角線互相平分在等腰三角形ABD中,∵OB=OD∴AO⊥BD,即AC⊥BD.教師活動：展示學生的證明過程,進行恰當?shù)狞c評和鼓勵,優(yōu)化學生的證明方法,提高學生的邏輯證明能力,最后強調(diào)"菱形的四條邊都相等""菱形的對角線互相垂直",讓學生形成牢固記憶,留下深刻印象.設計意圖：學生通過折紙可以猜想到菱形的相關(guān)性質(zhì),教師在參與學生的活動過程中,應該關(guān)注學生的口述論證過程,并根據(jù)學生的認知水平加以引導,盡量減少學生推理論證過程中的困難.學生經(jīng)過了折紙這一操作活動后,再經(jīng)過邏輯證明,把操作層面的感知上升到了理性認識,充分理解了菱形的本質(zhì)特征.本環(huán)節(jié)讓學生進行猜想探究和證明,符合學生的認知規(guī)律.同時,操作活動得到的結(jié)論與邏輯推理相結(jié)合,是對數(shù)學知識進行探索活動的自然延續(xù),實現(xiàn)了從感性認識到理性認識的升華.注意事項與效果：在折紙過程中,教師要與學生探討折紙的方法,明確折疊過程中的對應點及相應的對稱軸,對稱軸是菱形對角線所在的直線,而不是菱形的對角線,以便于學生正確迅速找出菱形中的對稱關(guān)系.掌握數(shù)學知識,離不開"實踐→認識→再實踐→認識"這個重要的數(shù)學學習過程,通過說理論證可以使學生充分理解菱形的本質(zhì)并掌握,在這個過程中,教師要充分關(guān)注學生使用幾何語言的規(guī)范性,進一步規(guī)范學生的證明步驟的規(guī)范性和嚴謹性.圖1-23圖1-2師：通過剛才的嚴格論證,我們已經(jīng)認識了菱形的特殊性質(zhì),下面我們利用這些性質(zhì)來解決一些問題.教師活動：展示題目〔1例題如圖1-2,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的邊長AB和對角線AC的長.師生共析：①因為菱形的鄰邊相等,一個內(nèi)角是60°,這樣就可以得到等邊△ABD,BD=6,菱形的邊長也是6.②菱形的對角線互相垂直,可以得到直角△AOB；菱形的對角線互相平分,可以得到OB=3,根據(jù)勾股定理就可以求出OA的長度；再一次根據(jù)菱形的對角線互相平分,即AC=2OA,求出AC.解：∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD<菱形的四條邊都相等>AC⊥BD〔菱形的對角線互相垂直O(jiān)B=OD=BD=×6=3〔菱形的對角線互相平分在等腰三角形ABD中,∵∠BAD=60°∴△ABD是等邊三角形∴AB=BD=6在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2+OB2=AB..圖1-3〔2練習如圖1-3,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,已知△ABC的周長是15圖1-3A.25B.20C.15D.10答案：B解析：∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.又∵AC是對角線,∠BAD=120°,∴∠BAC=∠DAC=60°.∴AB=BC=CA=5.∴菱形的周長是5×4=20.故選B.思路點撥：由菱形對角線平分對角和菱形一組鄰邊相等,得等邊三角形,進一步得邊長,從而得菱形周長.設計意圖：通過例題的講解和練習題的鞏固,讓學生靈活運用菱形的性質(zhì)求解,達到學以致用的目標,同時進一步規(guī)范解題步驟,注意事項與效果：在此活動中,教師應重點關(guān)注以下方面：〔1學生能否提出不同的解題方法,這種方法的優(yōu)點和缺點分別是什么；〔2學生的幾何語言是否準確、規(guī)范、嚴謹；〔3給學生充分的獨立思考時間和交流時間,讓學生在合作交流的過程中完成題目,理解所學的知識.4、隨堂檢測一、選擇題1、菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是〔A.對角相等B.對邊相等C.對角線互相垂直

D.對角線相等答案：C解析：∵菱形具有的性質(zhì)：對角相等,四條邊都相等,對角線相互垂直且平分；一般平行四邊形的性質(zhì)：對角相等,對邊相等,對角線互相平分.∴對角線相互垂直是一般平行四邊形不具有的,故選C點撥：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)外,還有自己的特殊性質(zhì)：四條邊都相等,對角線互相垂直.據(jù)此即可得出答案二、填空題2、描述有一角度數(shù)為60°的菱形特殊性_____________答案：較短的對角線長與菱形的邊長相等解析：如圖,有AB=BC,∵∠ABC=60°,則△ABC為等邊三角形∴AC=AB.點撥：根據(jù)菱形和等邊三角形的性質(zhì)可解答該題.3、一般的菱形共有________條對稱軸．答案：2解析：菱形是軸對稱圖形,它的對稱軸是對角線所在直線,菱形有兩條對角線,故有兩條對稱軸,點撥：根據(jù)菱形的軸對稱性和對稱軸的概念、性質(zhì)解題。三、判斷題4、兩組鄰邊分別相等的四邊形是菱形.〔答案：×解析：如圖,有兩組鄰邊分別相等,但它不是菱形.點撥：根據(jù)定義解題5、菱形的對角線互相垂直平分．〔答案：√解析：菱形的其中兩條性質(zhì)是：菱形的對角線互相垂直,菱形對角線互相平分,也即菱形的對角線互相垂直平分,所以這句話是對的.點撥：利用菱形的性質(zhì)即可解答.四、解答題6、如圖,在菱形ABCD中,BD=6,AC=8,求菱形的周長．答案：答案見解析解析：解：∵四邊形ABCD是菱形,AC=8cm,BD=6cm,∴AC⊥BD,OA=AC=4cm,OB=BD=3cm,∴AB==5cm,∴菱形ABCD的周長為：5×4=20cm.點撥：由菱形ABCD中,AC=8cm,BD=6cm,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：AC⊥BD,OA=AC=4cm,OB=BD=3cm,然后由勾股定理求得AB的長,繼而求得菱形ABCD的周長．〔或點擊"隨堂訓練",選擇"《菱形想性質(zhì)與判定〔1》隨堂檢測"6、課堂小結(jié)自由發(fā)言談本節(jié)課的困惑、收獲和體會.1.知識點〔1菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.〔2菱形的性質(zhì)：①菱形是軸對稱圖形,對稱軸是兩條對角線所在的直線；②菱形的四條邊都相等；③菱形的對角線互相垂直平分.〔3菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì),能應用菱形的性質(zhì)可以進行計算和推理.2.布置作業(yè)課本習題1.1知識技能1、2、3數(shù)學理解47、分層作業(yè)基礎型：一、選擇題1、菱形的周長為8cm,高為cm,則該菱形兩鄰角度數(shù)比為〔

A．2：1 B．3：1 C．4：1 D．5：1答案：B解析：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形,菱形的周長為8,∴AB=BC=CD=DA=2,∠DAB+∠B=180°,∵AE=,AE⊥BC,∴由勾股定理得：BE=,∴AE=BE,

∴∠B=45°

∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB+∠B=180°,

∴∠DAB=135°,

∴菱形兩鄰角的度數(shù)比為135°：45°=3：1．故選B．點撥：先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出邊長AB=2,再根據(jù)勾股定理求出BE,求出AE=BE,求出∠B=45°,∠DAB=135°,即可求出答案．二、填空題2、如圖,菱形ABCD的邊長是2cm,E是AB的中點,且DE⊥AB,則對角線AC的長為_______cm.答案：解析：連接DB,∵E是AB中點,且DE⊥AB,∴AD=BD.∵菱形ABCD的邊長是2cm,∴AD=BD=AB=2cm.∴△ABD是等邊三角形,∴∠A=60°.∵DE⊥AB,∴AE=×2=1cm,DE=cm∴菱形ABCD的面積=DE?AB=cm2.∴AC?BD=.∴AC=cm,故答案為：．點撥：連接DB,因為E是AB中點,DE⊥AB,所以可得AD=DB,利用勾股定理可求得DE的長,進而可得菱形ABCD的面積,再根據(jù)菱形面積等于對角線乘積的一半即可求出AC的長．3、如圖,在邊長為6cm的菱形中∠DAB=60°,E為AC上一動點,當E運動到某個位置時,BE+DE有最小值,這個最小值是_______答案：6cm解析：連接BD交AC于點E',此時BE+DE有最小值,

∵∠A=60°,AD=AB,

∴△ABD是等邊三角形,

∴BD=AD=6cm,即BE+DE的最小值為6cm．

故答案為6cm．點撥：由兩點之間線段最短,從而可得BD的連線與AC的交點即是點E的位置,從而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出最小值．解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意確定點E的位置．能力型：一、選擇題1、菱形不一定具有的性質(zhì)是〔A．對角線相等 B．四條邊相等C．軸對稱圖形D．對角線互相平分答案：A解析：∵菱形的性質(zhì)有：對角相等,四條邊都相等,對角線相互垂直且平分,是軸對稱圖形也是中心對稱圖形；其中對角線相等不是菱形特有的性質(zhì),故選A.點撥：根據(jù)菱形的性質(zhì)即可解答此題.2、菱形ABCD的周長20cm,∠A:∠B=2:1,則頂點A到對角線BD的距離是〔A.5cmB.4cmC.3cm答案：D解析：∵菱形ABCD的周長20cm,∴菱形的邊長是5cm.∵∠A:∠B=2:1,∴∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=5cm,∴A0=2.5cm.∵菱形對角線互相垂直,所以頂點A到對角線BD的距離即AO=2.5cm.故選D點撥：根據(jù)菱形的性質(zhì)：四條邊都相等,對角相等,鄰角互補可解答此題.二、解答題3、如圖,在菱形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,MN過點O且與邊AD、BC分別交于點M和點N．

〔1請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系,并說明理由；

〔2過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E,當AB=6,AC=8時,求△BDE的周長答案：答案見解析解析：〔1∵四邊形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AO=OC,∴＝1,∴OM=ON．〔2∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AD=BC=AB=6,∴BO=,∴BD＝2BO＝2×=,∵DE∥AC,AD∥CE,∴四邊形ACED是平行四邊形,∴DE=AC=8,AD=CE=6∴△BDE的周長是：BD+DE+BE=BD+AC+〔BC+CE=+8+<6+6>=20+.即△BDE的周長是20+.點撥：〔1根據(jù)四邊形ABCD是菱形,判斷出AD∥BC,AO=OC,即可推得OM=ON．

〔2首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形,判斷出AC⊥BD,AD=BC=AB=6,進而求出BO、BD的長；然后根據(jù)DE∥AC,AD∥CE,判斷出四邊形ACED是平行四邊形,求出DE=AC=8,AD=CE=6,即可求出△BDE的周長是多少．探究型：一、解答題1、如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,則稱該四邊形為"箏形"．連接對角線AC、BD,交于點O．〔1寫出關(guān)于箏形對角線的一個性質(zhì)______________________,并說明理由；〔2給出下列四個條件：①OA=OC,②AC⊥BD,③∠ABD=∠CBD,④AB∥CD．從中選擇一個條件_______〔填序號,使該箏形為菱形,并證明之．答案：答案見解析解析：〔1BD⊥AC,且AC平分BD．理由如下：在△ABC與△ADC中,AB＝ADAC＝ACBC＝DC,∴△ABC≌△ADC〔SSS,∴∠BAC=∠DAC．又∵AB=AD,∴AC⊥BD,OB=OD；故答案是：BD⊥AC,且AC平分BD；〔2選擇①,理由如下：∵BD