固體物理學復習題

12題目大概分值（會有一定誤差）：晶體結構20分晶體衍射10分晶格振動20分與晶體的熱學性質18分能帶理論和晶體中電子在電場磁場中的運動36分金屬電子論和半導體電子論5—10分.晶體的微觀結構、原胞、原胞、慣用單胞的概念、常見的晶體結構、晶面與晶向的概念，并能進行必要的計算；倒格子與布里淵區(qū)、晶體X射線衍射，能計算幾何結構因子和衍射極大條件。.晶體結合的普遍特性；離子鍵結合和范德瓦耳斯結合的結合能計算。.簡諧近似和最近鄰近似，雙原子鏈的晶格振動；周期邊界條件，晶格振動的量子化與聲子，色散關系；愛因斯坦模型和德拜模型，晶體的比熱，零點振動能計算。.經(jīng)典自由電子論：電子運動方程，金屬的直流電導，霍耳效應，金屬熱導率。量子自由電子論：能態(tài)密度，費米分布，費米能級，電子熱容量。.布洛赫定理及其證明；近自由電子近似的思想一維和二維近自由電子近似的能帶計算，緊束縛近似的思想，緊束縛近似的計算（S能帶的的色散關系）。理解半導體Ge、Si的能帶結構。.波包的準經(jīng)典運動概念，布洛赫電子的速度，加速度和有效質量和相應的計算，空穴的概念；導體、半導體和絕緣體的能帶解釋，原子能級和能帶的對應；朗道能級，回旋共振，德X哈斯一范X阿爾芬效應，堿金屬和貴金屬的費米面。.分布函數(shù)法和恒定外電場下玻耳茲曼方程的推導。理解電子聲子相互作用，晶格散射和電導，電阻的來源。.半導體基本的能帶結構，半導體中的施主和受主雜質，P型半導體和N型半導體，半導體中的費米統(tǒng)計分布。PN結平衡勢壘。1.1在結晶學中,晶胞是按晶體的什么特性選取的?在結晶學中,晶胞選取的原則是既要考慮晶體結構的周期性又要考慮晶體的宏觀對稱性.1.六2角密積屬何種晶系?一個晶胞包含幾個原子?六角密積屬六角晶系,一個晶胞（平行六面體）包含兩個原子.1.在3晶體衍射中，為什么不能用可見光？晶體中原子間距的數(shù)量級為10皿0米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應小于10皿0米但可見光的波長為■?0啕米是晶體中原子間距的100倍0.因此,在晶體衍射中，不能用可見光.2.1共價結合,兩原子電子云交迭產(chǎn)生吸引,而原子靠近時,電子云交迭會產(chǎn)生巨大的排斥力,如何解釋?共價結合,形成共價鍵的配對電子,它們的自旋方向相反,這兩個電子的電子云交迭使得體系的能量降低,結構穩(wěn)定.但當原子靠得很近時,原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭,量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的排斥力,使得系統(tǒng)的能量急劇增大.2.為2什么許多金屬為密積結構?金屬結合中,受到最小能量原理的約束,要求原子實與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低（絕對值盡可能的大）.原子實越緊湊,原子實與共有電子電子云靠得就越緊密,庫侖能就越低.所以,許多金屬的結構為密積結構.3.1什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似.在簡諧近似下,由N個原子構成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動.每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式,它對應著所有的原子都以該模式的頻率做振動,它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式.原子的振動,或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加.簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事,這個數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等于3N.長光學支格波與長聲學支格波本質上有何差別?長光學支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學支格波,但簡單晶格（非復式格子）晶體不存在光學支格波.溫度一定，一個光學波的聲子數(shù)目多呢,還是聲學波的聲子數(shù)目多?頻率為■的格波的（平均）聲子數(shù)為"網(wǎng)■e^Bm.因為光學波的頻率■°比聲學波的頻率■,高，（e海。/kBT.1）大于（e糖a/k,T,1）,所以在OA溫度一定情況下,一個光學波的聲子數(shù)目少于一個聲學波的聲子數(shù)目.長聲學格波能否導致離子晶體的宏觀極化?長光學格波所以能導致離子晶體的宏觀極化,其根源是長光學格波使得原胞

內(nèi)不同的原子（正負離子）產(chǎn)生了相對位移.長聲學格波的特點是,原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移.因此,長聲學格波不能導致離子晶體的宏觀極化.你認為簡單晶格存在強烈的紅外吸收嗎？實驗已經(jīng)證實,離子晶體能強烈吸收遠紅外光波.這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根源是離子晶體中的長光學橫波能與遠紅外電磁場發(fā)生強烈耦合.簡單晶格中不存在光學波,所以簡單晶格不會吸收遠紅外光波.愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源是什么?按照愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1013Hz,屬于光學支頻率.但光學格波在低溫時對熱容的貢獻非常小,低溫下對熱容貢獻大的主要是長聲學格波.也就是說愛因斯坦沒考慮聲學波對熱容的貢獻是愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源.在甚低溫下,德拜模型為什么與實驗相符?在甚低溫下,不僅光學波得不到激發(fā),而且聲子能量較大的短聲學格波也未被激發(fā),得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學格波.長聲學格波即彈性波.德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻.因此,在甚低溫下,德拜模型與事實相符,自然與實驗相符.波矢空間與倒格空間有何關系?為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點是準連續(xù)的?波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間，倒格空間的基矢分別為4、A2、A3,而波矢空間的基矢分別為b/N、/N、b/N,N「N,、N分別是沿正格子基矢a、a、a方1 12 23 3 1 2 3 123向晶體的原胞數(shù)目.倒格空間中一個倒格點對應的體積為b1■（b?叫）■■*，波矢空間中一個波矢點對應的體積為bbbN,U.2-■一）N,NNN123即波矢空間中一個波矢點對應的體積,是倒格空間中一個倒格點對應的體積的1/N.由于N是晶體的原胞數(shù)目,數(shù)目巨大,所以一個波矢點對應的體積與一個倒格點對應的體積相比是極其微小的.也就是說,波矢點在倒格空間看是極其稠密的.因此,在波矢空間內(nèi)作求和處理時,可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點看成是準連續(xù)的.在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點?電子的能帶依賴于波矢的方向,在任一方向上,在布里淵區(qū)邊界上,近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶.若電子所處的邊界與倒格矢Kn正交，則禁帶的寬度EgB2V（Kn），V（Kn）是周期勢場的付里葉級數(shù)的系數(shù).不論何種電子,在布里淵區(qū)邊界上,其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零,即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時,其有效質量何以與真實質量有顯著差別?晶體中的電子除受外場力的作用外,還和晶格相互作用.設外場力為F,晶格對電子的作用力為Fl,電子的加速度為a■-（F■F）

ml.但Ft的具體形式是難以得知的.要使上式中不顯含F(xiàn),,又要保持上式左右恒等,則只有顯然，晶格對電子的作用越弱，有效質量m*與真實質量m的差別就越小.相反,晶格對電子的作用越強，有效質量m*與真實質量m的差別就越大.當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時,與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈.在晶面族的反射方向上,各格點的散射波相位相同,迭加形成很強的反射波.正因為在布里淵區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強,所以其有效質量與真實質量有顯著差別電子的有效質量m*變?yōu)椤龅奈锢硪饬x是什么？仍然從能量的角度討論之.電子能量的變化TOC\o"1-5"\h\z(dE) (dE) (dE) 外場力對電子作的功■ 外場力對電子作的功■ 晶格對電子作的功

m* m m■—用E) ■(dE) .m外場力對電子作的功 電子對晶格作的功.從上式可以看出，當電子從外場力獲得的能量又都輸送給了晶格時,電子的有效質量m*變?yōu)椤?此時電子的加速度a■—F■0

m*即電子的平均速度是一常量.或者說,此時外場力與晶格作用力大小相等,方向相反.緊束縛模型下,內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較,哪一個寬?為什么?以s態(tài)電子為例.由圖5.9可知，緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分人的s大小,而積分TOC\o"1-5"\h\zJ■■■at*(r)[V(r)■Vat(r■R)]■at(r■R)dr

s N^s ns n的大小又取決于■at(r)與相鄰格點的■at(r■R)的交迭程度.緊束縛模型下，內(nèi)層s sn電子的?a(r)與■at(r■R)交疊程度小，外層電子的?a(r)與■R)交迭程度大.s sn s sn因此,緊束縛模型下,內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較,外層電子的能帶寬.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交的物理意義是什么？將電子的波矢k分成平行于布里淵區(qū)邊界的分量k〃和垂直于布里淵區(qū)邊界的分量k上則由電子的平均速度得到/三〃力%，.1三■力1k■.等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直截交,則在布里淵區(qū)邊界上恒有*/*.=0,即垂直于界面的速度分量■■為零.垂直于界面的速度分量為零，是晶格對電子產(chǎn)生布拉格反射的結果.在垂直于界面的方向上,電子的入射分波與晶格的反射分波干涉形成了駐波.一維簡單晶格中一個能級包含幾個電子?設晶格是由N個格點組成，則一個能帶有N個不同的波矢狀態(tài)，能容納2N個電子.由于電子的能帶是波矢的偶函數(shù)，所以能級有(N/2)個.可見一個能級上包含4個電子.本征半導體的能帶與絕緣體的能帶有何異同?在低溫下,本征半導體的能帶與絕緣體的能帶結構相同.但本征半導體的禁帶較窄,禁帶寬度通常在2個電子伏特以下.由于禁帶窄,本征半導體禁帶下滿帶頂?shù)碾娮涌梢越柚鸁峒ぐl(fā),躍遷到禁帶上面空帶的底部,使得滿帶不滿,空帶不空,二者都對導電有貢獻.6.你1是如何理解絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近這一點的?自由電子論只考慮電子的動能.在絕對零度時,金屬中的自由(價)電子,分布在費密能級及其以下的能級上,即分布在一個費密球內(nèi).在常溫下,費密球內(nèi)部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占據(jù),這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上,能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費密面附近的少數(shù)電子,而絕大多數(shù)電子的能態(tài)不會改變.也就是說,常溫下電子的平均動能與絕對零度時的平均動能一定十分相近.6.為2什么溫度升高,費密能反而降低?當7■0時有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級即是費密能級 溫度升高費密面附近的電子從格波獲取的能量就越大,躍遷到費密面以外的電子就越多原來有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級上的電子就少于一半,有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級必定降低.也就是說,溫度升高,費密能反而降低.6.為3什么價電子的濃度越大,價電子的平均動能就越大?由于絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近，我們討論絕對零度時電子的平均動能與電子濃度的關系.價電子的濃度越大價電子的平均動能就越大,這是金屬中的價電子遵從費密-狄拉克統(tǒng)計分布的必然結果.在絕對零度時,電子不可能都處于最低能級上,而是在費密球中均勻分布.由（6.式4kF■（3n■2）1/3可知,價電子的濃度越大費密球的半徑就越大,高能量的電子就越多,價電子的平均動能就越大這一點從和 式看得更清楚電子的平均動能E正比與費密能E0而費密能又正比與電子濃度n2/3F力2?E0■——3■2F2mE■3E0■生思■25F10m所以價電子的濃度越大,價電子的平均動能就越大.6.對4比熱和電導有貢獻的僅是費密面附近的電子,二者有何本質上的聯(lián)系?對比熱有貢獻的電子是其能態(tài)可以變化的電子.能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子僅是費密面附近的電子.因為,在常溫下,費密球內(nèi)部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占據(jù),這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上,能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費密面附近的電子,這些電子吸收聲子后能躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上.對電導有貢獻的電子,即是對電流有貢獻的電子,它們是能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子.由（6.7式9）f■f0■含e?v?可知,加電場后,電子分布發(fā)生了偏移.正是這偏移-f0e.v.■E部分才對電流和電導有貢獻.這偏移部分是能態(tài)發(fā)生變化的電子產(chǎn)生的.而能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子僅是費密面附近的電子,這些電子能從外場中獲取能量,躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上.而費密球內(nèi)部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占拒,這些電子從外場中獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上.對電流和電導有貢獻的電子僅是費密面附近電子的結論從（6.8式3TOC\o"1-5"\h\ze2 dSj■——■,2 ■x4H2sfx■Exk和立方結構金屬的電導率e2 dS■■——■,24H2sfx■Ek1看得更清楚.以上兩式的積分僅限于費密面,說明對電導有貢獻的只能是費密面附近的電子.總之,僅僅是費密面附近的電子對比熱和電導有貢獻,二者本質上的聯(lián)系是:對比熱和電導有貢獻的電子是其能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子,只有費密面附近的電子才能從外界獲取能量發(fā)生能態(tài)躍遷.6.為5什么價電子的濃度越高,電導率越高?電導■是金屬通流能力的量度通流能力取決于單位時間內(nèi)通過截面積的電子數(shù)（參見思考題18）但.并不是所有價電子對導電都有貢獻,對導電有貢獻的是費密面附近的電子.費密球越大,對導電有貢獻的電子數(shù)目就越多.費密球的大小取決于費密半徑kF■（3n■2）1/3可見電子濃度 越高費密球越大對導電有貢獻的電子數(shù)目就越多該金屬的電導率就越高.6.磁6場與電場,哪一種場對電子分布函數(shù)的影響大?為什么?磁場與電場相比較,電場對電子分布函數(shù)的影響大.因為磁場對電子的作用是洛倫茲力,洛倫茲力只改變電子運動方向,并不對電子做功.也就是說,當只有磁場情況下,非磁性金屬中價電子的分布函數(shù)不會改變.但在磁場與電場同時存在的情況下,由于產(chǎn)生了附加霍耳電場,磁場對非磁性金屬電子的分布函數(shù)的影響就顯現(xiàn)出來.但與電場相比,磁場對電子分布函數(shù)的影響要弱得多.（分2）5證明立方晶系的晶列 與晶面族 正交設晶格常數(shù)為。，求立方晶系密勒指數(shù)為 的晶面族的面間距（分2）5設質量為的同種原子組成的一維雙原子分子鏈分子內(nèi)部的力系數(shù)為■明分子間相鄰原子的力系數(shù)為■分子的兩原子的間距為晶格常數(shù)為〃列出明原.子運動方程.求出格波的振動譜■（分3）0對于晶格常數(shù)為〃的晶體以緊束縛近似求非簡并態(tài)電子的能帶畫出晶第.一布里淵區(qū)［明明］方0向的能帶曲線,求出帶寬.■■當電子的波矢k=ai+aj時求導致電子產(chǎn)生布拉格反射的晶面族的面指數(shù).一.填空（晶分0,每題晶分）對晶格常數(shù)為a的晶體與正格矢R=ai+2aj+2ak正交的倒格子晶面族2B的面指數(shù)為 其面間距為3a典型離子晶體的體積為 最近鄰兩離子的距離為 晶體的格波數(shù)3V目為R3 長光學波的 縱波會引起離子晶體宏觀上的極化金剛3.石晶體的結合類型是典型的（共價結合）晶體,它有（6支格）波.當4電.子遭受到某一晶面族的強烈反射時,電子平行于晶面族的平均速度（不為）零,電子波矢的末端處在（布里淵區(qū)）邊界上.5兩.種不同金屬接觸后,費米能級高的帶（正）電.對導電有貢獻的是（費米面附近）的電子二.（分2）5設d為晶面族eI■的面間距為n為單位法矢量根據(jù)晶面族的定義晶面族■hkl■將a、b、c分別截為h、k1等份，即TOC\o"1-5"\h\za■■acos a n acos （ n hdb?■bcos b n acos b n kdc?■ccos c n acos c n Id于是有dddh.k.ln=ai+aj+akd"hikjlk其中i、j、k分別為平行于a、b、c三個坐標軸的單位矢量而晶列累嗝/