第二次課矩陣jordan分解由vi-a求出

兩個重要的概念術(shù)語定義

2.6

設(shè)A為n階方陣,

A的特征多項式為smm

m1

2n

1

2

sdet(I

A)

(

) (

)

L

(

)（2-42）其中si

1mi

(i

1,2,L

,

s

)均為正整數(shù)，mi

n

,1,

2

,

L

,

s也是子空間的零空間；顯然mi

i

。為A的不同特征值，稱mi

為特征值i

的代數(shù)重復(fù)度；而稱與特征值i對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)，記成i重復(fù)度；N

(i

In

A)稱為i

In

AN

(i

In

A)

spanx

i

In為特征值i

的幾何

A

x

0

的維數(shù)；i

n

rank(i

In

A)。1

1

2

2

3

2

2

2

,則有

1

2

2

2

3

22

2

1det(I

B)

i

的2個例子：1)

B

2下面給出mi

(

1)2

(

3)

16

4(

3)

8(

1)

(

3)(

1)2

4

8(

1)

2

(

3)(

1)

2(

1)

2

8

1

(

1)(

3)(

3)

8

(

1)(2

9

8)

(

1)2

(

1)

0故B的特征值為:1

1,2

1(二重根),從而m1

1,m2

2而0

2

2

2

4 2

0

2

01

1

21

1

2

2

2 1

3

22

2det(1I

B)

02

4

0,

241

122

222det(2

I

B)

21

32

2222

21

12

2

2故rank(1I

B)

2

,從而1

3

2

1

m1又

0

,任何二階行列式值均為零,故rank(2

I

B)

1

,從而2

3

1

2

m2

。2)0

0C

1

3

3

10 0

,則1

3

3

1

1

0

13

00

1

det(

I

C

)

故C的特征值為:1

1,(三重根),從而m1

31而det(

I

C)1

02

3

1

1故rank(1I

B)

2

,從而1

3

2

1

3

m1

。,0

0

有1

3

3

1

2

3

11

1

0

1

10

1

1

0

1

1I

C

x

02

3

11

1

0

1

1

1

x

2x3

x

02x1

3x2

x3

0x1

x2

0x2

x3

0或直接求的N

(i

In

A)維數(shù)：只有一個非零的解向量(只有一個線性無關(guān)的特征向量)。1從而得

1。

1

1

x

1定義

2.7設(shè)A為n階方陣，i

為其特征值，mi

和i分別為其代數(shù)重復(fù)度和幾何重復(fù)度。如果

mi

i

,則稱

i

為半單的；如果

mi

i，則稱

i

為虧損的。如果矩陣A的某一個特征值代數(shù)重復(fù)度為1，則它一定為半單的。n階方陣A可對角化的充分必要條件是每一個特定理2.9征值

i均為半單的，即mi

i

，i=1,2,…,s。A是不可對角化,使得的矩陣的充分必要條件是它有虧損的特征值，即存在i0mi

0i0

。因此，也稱一個不可對角化的矩陣為虧損矩陣．注意：矩陣A屬于不同特征值所對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)且矩陣A的各不同特征值的代數(shù)重數(shù)之和恰為n。2

0

30

1;202

6241

1

23217

0

2530

913(2)

B

00

;

(3)

C

3例1

研究下列矩陣是否可對角化。(1)

A0矩陣A有三個不同的特征值，因此它必可對角化。解（1）A的特征多項式為det(

I3

A)

(

2)(2因此，A的特征值分別為

2

2)1

2,

2

1

3,3

1

3

B)

2

(

2)rank(I1

B)

1,（2）B的特征多項式為：det(I3因此B的特征值分別為：1

0,代數(shù)重復(fù)度為：m1

2,

1的代數(shù)重復(fù)度為1，又因2

2,其中2

的det(1I

B)

31

1

23

6

0,2

2

4它的幾何重復(fù)度為：

1

3

1

2

m1

,

可知

1為半單的，因此矩陣B可對角化。其任何二階行列式值均為零,即故det(

I3

C

)

det(1I

C)

（3）C的特征多項式為：因

rank(1I

C)

2

,故它的幾何重復(fù)度為：

1

3

2

1

2

m11為虧損的，因此,由定理2.9,矩陣C不可對角化。0

15

0，150

1

(

2)2

(

3)

0

17

0

250

3

09

0

13C的特征值分別為：1

2(二重根),2

3。即1

的代數(shù)重復(fù)度為：m1

2，2

的代數(shù)重復(fù)度為1，m2

1。15

0

250

19

0

150

225

225

0,可對角化矩陣一般矩陣可分為:不可對角化矩陣著重研究不可對角化矩陣的相似--Jordan分解形式下面kk

k

O

1

1

1OJ

()

3

2

122

為Jordan塊。定義2.8

稱下面的k×k階方陣均為Jordan塊。

1，J

(2)

J2

(1)

1

11

0

0

10

1041

，

J

(0)

99定義

2.9由若干個Jordan塊排成的塊對角矩陣稱為Jordan陣。J

diag(J2

(2),

J4

(0),

J2

(1))

J2

(1)

2J0

(10)1J23(12)2

00

14

0

10

01

11Jordan

陣與對角陣的差別僅在于它的上

(下)對角線的元素是0或1。因此，它是特殊的上三角陣。顯然,Jordan

塊本身就是Jordan陣,對角陣也是Jordan陣,即它的每個Jordan塊均為1階的。A

TJT

1定理

2.10

設(shè)A為n階方陣，則存在n階可逆矩陣使得（2-43）J

diag

Jn1

(1)，Jn2

(2

)

，L，J

nk

(k

)

,n1

n2

L

nk

n其中稱（2-43）為矩陣A的Jordan分解，

Jordan陣J稱為A的Jordan

，T

稱為變換矩陣。矩陣A的Jordan

如不計Jordan塊的排列次序，則是唯一確定的。i如，在有8個Jordan塊的11階Jordan中：的重數(shù)大于或等于n

。0002

02

12

023

01

2 1

2

n1n2J

0

JJn3Jn4Jn3

Jn56

70

0

02

Jn

22n8J

n3

n4

4n

n

0

的重數(shù)=

1

2

3

的重數(shù)=n5

1

2的重數(shù)=n6

n7

n8

6注:

因為相似矩陣具有相同的特征值。所以Jordan

的對角元素

1,

2

,

L

,

s

就是A的特征值。需要注意的是,在Jordan

J中,不同的Jordan塊的對角元素i可能相同,

因此,

i

不一定是A的

ni重特征值。一般的,

特征值

iJordan

是一個塊對角矩陣，其對角元便為矩陣J

的特征值。（一）關(guān)于Jordan

J型中以i為特征值的Jordan塊階數(shù)的和，而其幾何重復(fù)度（即與相對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)）恰為以i

為特征值的Jordan塊的個數(shù)。對于特征值

i

,即其代數(shù)重復(fù)度就是6;

而

2

的Jordan塊的個數(shù)為3,即其幾何重復(fù)度3。的Jordan塊階數(shù)的和為6,例如，上例中特征值

2它的代數(shù)重復(fù)度就是Jordan標(biāo)準(zhǔn)4

0

8

3

0

6

02

0

46

2

3

0 8

A=

3

105求矩陣A的JordanJ，其中例2

3

0

83

1

613

0

83

11

62

0

15det(1I

-

A)

解det(I

A)

3

1

516(

1)2

0

5

12

2

1

13于是，A的特征值為1

1

，代數(shù)重復(fù)度為3,故以1

1為特征值的Jordan塊階數(shù)的和為3。

而

11

133。J

=

11

1

為特征值的Jordan塊的個數(shù)為2個，因此，A的Jordan故1

1

的幾何重復(fù)度為故以為：任何二階行列式值均為零,即rank(1I

A)

1。

2

0

1 0

1

1

0

10

21

10

0

13

A=求矩陣A的JordanJ，其中例33-rank(1I

A)

2。

20101

10100

20111

3det(I

A)

解12

2

0

11 2

1

001det(

I

-

A)

1

1

1

0

0

01

1

3于是，A的特征值為1

21

2

，代數(shù)重復(fù)度為4,

故以為特征值的Jordan塊階數(shù)之和為4。而21

0

10

2

01

1

3

22

1

3

2

240

0

1

0

1

1

0

1

0002

2000001112

311112

1

2

1

212顯然有rank(1I

A)

2。即λ1的幾何重復(fù)度為：4

rank

(1

I

A)

2故以1

2

為特征值的Jordan塊的個數(shù)為2個。此時，J的Jordan必為下面的兩種形式之一究竟是(1,3)結(jié)構(gòu),還是(2,2)結(jié)構(gòu)?下面

給出確定Jordan塊的的結(jié)構(gòu)的定理。

2rlrl1

rl1lli00ir

rank(

I

其中

r

rank(

I

A)

，A)

rank(I

)

n。定理

2.11

設(shè)A為n階方陣，λi為其特征值，則A的J

中以λi為特征值、階數(shù)為l

的JordanJordan塊的個數(shù)為：證明參見文獻(xiàn)[1]2的形式。利用定理2.11可以判斷A的Jordan先看l=1情形。通過計算可知r1

r(1I

A)

r(2I

A)

2，則

12I

A

0

0

0

11

00

01

1

11

1

0

00

1

1

,而0

0

0

1

0

1

0

1

0

01

1

1r2

r(1I

A)2

r(2I

A)2

0故以λ1=2為特征值的階數(shù)為l=1的Jordan塊的個數(shù)為：r2

r0

2r1

0

4

2

2

0

O44再看l=2情形。，故以3r3

r(1I

A)

01為特征值的階數(shù)為2的Jordan塊的個數(shù)為r3

r1

2r2

0

2

0

2因此矩陣A的結(jié)構(gòu)只能為第二種形式：

22

2

1

21

2此時J

=

TAT

，12m

OJJiii

1

i

1,

2,

L

,

m1

i

OO其中J為Jordan形式,即

J1i

1,2,L

,

m

為Jordan塊J

證明定理2.8現(xiàn)在利用Jordan證明

0

,取其中

Ji使得1TAT

J

A

1

A

,則由定理2.10知,存在非奇異矩陣T,iAi

,1

i為其中的特征值。注意到從而ii

J

i

i

OO1i1

jn

max

T

(

A)

因此或2

為A的特征值。iJ1OJJ

其中TAT

1

TAT

1

J

m

i

i

i

OOi1in

max

TA

TAT

1A

TAT

1

(

A)

推論,使得

A

1。若(A)

1

,則存在范數(shù)2

1

1

(A)

,并取非奇異矩陣T,使證明:令T2

2

(

A)

1

1

(

A)12

1

1

(

A)

2

122A

(

A)

(

A)

1

1

(

A)或AT=TJ。將T按J的對角線上的Jordan塊相應(yīng)地T

T1,T2

,L,Tk

ii其中T

為n×n

型矩陣。則（二）關(guān)于變換矩陣T在求出A的Jordan

后,

相應(yīng)的相似變換矩陣就可以求得了由。A=TJT

-1分塊為1n2

2n

kAT1,T2

,

L,

T

k

T1,T2

,

L,

T

k

k

OJn

(1)J

(

)J

(

)ii

i

niAT

T

J

(

)i

i

ii顯然，1,

2

,

L

,

k（2-44）,于是得到i如果記

T

t

,

t

,

L

,

t

1

2

n中可能有相同者。注意到，1

2ii

iinA t

,

t

,

L

,

tijnt

C

，i

1,

2,

L

,

k

，1

21

2ii

iint

,

t

,

L

,

ti

i

1

i

OO1

，即ii1

i

1At

t1ii2，Ati

t

tni

ni

1i

2MAtit

i

tiij

1,2,L

,

n

。ii稱向量組Jordan鏈。i

it

,

t

,

L

,

tini為關(guān)于特征值*的長度為n

的2)對應(yīng)于某個特征值λi的Jordan鏈雖然一定存在，

,ii

n

jj

1A

It

ti顯然，該Jordan鏈的第一個向量就是矩陣A的關(guān)于特征值λi

的特征向量，稱其為鏈?zhǔn)住６溨械牡趈個向量則可由等價的方程（2-45）j

2,3,

L,

ni不僅要求是一個特征向量，而且還要1t

iti

,

L

,ti2

ni但是應(yīng)當(dāng)注意:1)Jordan鏈的鏈?zhǔn)?即不求利用（2-45）可以求出Jordan鏈中的其它向量是任何一個特征向量都可作為Jordan鏈的鏈?zhǔn)?。λi相對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)大于或等于2時，關(guān)于特征

λi值的那些特征向量中的任何一個有可能都不能作為鏈?zhǔn)?。但?dāng)與因此須從λi的特征子空間中選取適當(dāng)?shù)南蛄孔鳛镴ordan6

25化成Jordan

30例4

求出本節(jié)例2中將矩陣

A=

3

108

的變換矩陣T。解由于已經(jīng)得到1112

22

J

(1)J

(1)

11

111 1

11J

2 2

22

J

(

)J

(

)則有鏈的鏈?zhǔn)住?

2

11

111

2AT

TJ，

A

T

T

T

T

1

31T

t

R

，

22

21

2T

t

,

t1At1

t1

，-

3

4

00

2

0x1

2x3

01

3

2x

0x1

2x3

0

x12t1

令和這樣以

1

1長度為1的Jordan鏈的鏈?zhǔn)缀玩溛簿涂啥咧腥稳?2

R

。首先求出

1

所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，其Jordan鏈的長度為1。即亦即A

I

t1

08

x1

2

4

x

3

6

x

0解之,線性無關(guān)的向量為:

2

t1

0

1

0

1

0

其一。即1

1

2T1

=t1

或T

=t1

。1

1-

21A

I

t

0

x1

2x3

0x1

2x3

0其次確定1首先求出λ

=-1所對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量，

即

At

2

t

2

，亦即8

x1

4

x

3

4

03

0

6

2

0

2

x

0

x1

2x3

02

1

長度為2的Jordan鏈的鏈?zhǔn)住Ｓ?

21

2A

t

2

21

1

1

2

1

t

t

t2

21

122t

,

tt--A

T2

T2Jt

212t

2和解之,線性無關(guān)的向量為:

2

0

11

1

0

1

0

1112不難驗證，若以t

2或t

2為鏈?zhǔn)讜r都無法求出另外一個向量來211I

-

Ax

t

1

31

3x

2x

0x

2x

01

313x

2x

1

x

2x

0

x1

2x3

211

12(

A

1I)z

y

x1

2x3

1

,無解；構(gòu)成Jordan鏈。即,無解。y

span{t2

,t

2

}

使得有解。為此，必須找出

212I

-

A x

t1220

0

0k11k1

k2

3

0為此，令Ty

k

t

2

k

t

2

1

11 2

122

22k

,

k

,

k,1由2A

I

|

y

A

I

|

y

3k1

0

20

00

2

4

0

8 2k1

0

6

k

2

0

4k1

2

1k2

0

1

0

23

k

1

0

2

1

2

、k2滿足2k2–3k1=0即可。為使

(

A

1I)z

y

有非零解，

只須k1則變換矩陣T

為:T從而可取

k1=2,k2=3,此時

y=(4,3,-2)為鏈?zhǔn)?，由如下方程組：

1

2T

T

,

T

1

3

4 1

0

0

,

2T

y,

z111,

T

t

0

,或

1

2T

T

,

T0

1

,

0

2

4 1

3

00

2

2T

y,

z112,

T

t0

20

00

01

1,0

00

2

A

I

|

y

0鏈尾解出

z=(1,0,0)T作為鏈尾。鏈?zhǔn)祖準(zhǔn)祖溛?

0

1

2

4

1

T

0

3223130

0

10

12

T

1

00

00

0

4 1

T

1

321

03

2

1

2

12

T

1

0

00即有，變換矩陣：,或,kka(

k

1)

0,

k

1,2,

L,

n

1k nk

* *

如果,則A

一定可作

LU

分解。呢？如何能判斷出kka(

k

1)

0,

k

1,2,

L,

n

1如果將等式（2-6）兩端在第k行第k列處分塊，則有kL

0nk

k nk

2

2

*

*

U

A

AAkk*

LL110

UU11*

LU其中

L1

為L的第k階順序主子矩陣，它是單位下三角矩陣，U1為U的第k階順序主子矩陣，它是一上三角矩陣，其對角元為a(0)

,

a(1)

,

L

,

a(k

1)11

22

kkDk

det(

Ak

)

det(L1U1)

det(L1)

det(U1

)D

a(0)

a(1)

L

a(

k

2)k

1

11

22

k

1k

1(k

1)kkDDk

1ka因此A的第k階順序主子式滿足：由此可得,如果規(guī)定D0=1，則有，k=1，2，...，n-1(2-7)

a(0)

a(1)

L

a(k

1)11

22

kk綜合上述結(jié)果得到如下定理

7

41

1

2

3A

2

46

1

1

1

3B

2

2

1