動態(tài)微分方程模型公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

動態(tài)微分方程模型傳染病模型

(四個模型)問題提出本世紀(jì)初，瘟疫常在世界上某地流行，伴隨人類文明不停進(jìn)步，很多疾病，諸如天花、霍亂已經(jīng)得到有效控制．然而，即使在今天，一些貧窮發(fā)展中國家，仍出現(xiàn)傳染病流行現(xiàn)象,醫(yī)療衛(wèi)生部門官員與教授所關(guān)注問題是：（1）怎樣描述傳染病傳輸過程（2）怎樣分析受感染人數(shù)改變規(guī)律（3）怎樣預(yù)報傳染病高潮到來．問題分析不一樣類型傳染病傳輸過程有不一樣特點。故不可能從醫(yī)學(xué)角度對各種傳染病傳輸過程一一進(jìn)行分析，而是按普通傳輸機(jī)理建立模型．因為傳染病在傳輸過程包括原因較多，在分析問題過程中，不可能經(jīng)過一次假設(shè)建立完善數(shù)學(xué)模型．思緒是：先做出最簡單假設(shè)，對得出結(jié)果進(jìn)行分析，針對結(jié)果中不合理之處，逐步修改假設(shè)，最終得出很好模型。模型一模型假設(shè)：（1）一人得病后，久治不愈，人在傳染期內(nèi)不會死亡。（2）單位時間內(nèi)每個病人傳染人數(shù)為常數(shù)k。為何假設(shè)不會死亡？（因為死亡后便不會再傳輸疾病，因而可認(rèn)為此時已退出系統(tǒng)）模型建立：I（t）——表示t時刻病人數(shù)量，時間：天則：I（t+Δt）—I（t）＝k0I（t）Δt于是模型以下：模型解：舉個實例最初只有1個病人，1個病人一天可傳染1個人模型缺點問題：伴隨時間推移，病人數(shù)目將無限增加，這一點與實際情況不符．原因：當(dāng)不考慮傳染病期間出生、死亡和遷移時，一個地域總?cè)藬?shù)可視為常數(shù)。所以k0應(yīng)為時間t函數(shù)。在傳染病流行早期，k0較大，伴隨病人增多，健康人數(shù)降低，被傳染機(jī)會也降低，于是k0將變小。模型修改關(guān)鍵：k0改變規(guī)律模型二(SI模型)設(shè)t時刻健康人數(shù)為S(t)．病人數(shù)為I(t)模型假設(shè)：（1）總?cè)藬?shù)為n不變，既不考慮生死，也不考慮遷移，I(t)十S(t)＝n（2）一人得病后，久治不愈，且在傳染期內(nèi)不會死亡。（3）一個病人在單位時間內(nèi)傳染人數(shù)與當(dāng)初健康人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（稱之為傳染系數(shù)）模型改進(jìn)方程解：對模型作深入分析傳染病人數(shù)與時間t關(guān)系傳染病人數(shù)改變率與時間t關(guān)系染病人數(shù)由開始到高峰并逐步到達(dá)穩(wěn)定增加速度由低增至最高后降落下來疾病傳染高峰期此時計算高峰期得：意義：1、當(dāng)傳染系數(shù)k或n增大時，t0隨之降低，表示傳染高峰伴隨傳染系數(shù)與總?cè)藬?shù)增加而更加快降臨，這與實際情況比較符合。2、令λ=kn，表示每個病人天天有效接觸平均人數(shù)，稱日接觸率。t0與λ成反比。λ表示該地域衛(wèi)生水平，λ越小衛(wèi)生水平越高。故改進(jìn)衛(wèi)生水平可推遲傳染病高潮降臨。模型缺點缺點：當(dāng)t→∞時，I(t)→n，這表示全部人最終都將成為病人，這一點與實際情況不符合原因：這是由假設(shè)〔1)所造成，沒有考慮病人可以治愈及病人病發(fā)身亡情況。思索題：考慮有病人病發(fā)身亡情況，再對模型進(jìn)行修改。模型三(SIS模型)

有些傳染?。ㄈ缌〖?愈后免疫力很低，還有可能再次被傳染而成為病人。模型假設(shè)：（1）健康者和病人在總?cè)藬?shù)中所占百分比分別為s(t)、i(t)，則：s(t)+i(t)＝1（2）一個病人在單位時間內(nèi)傳染人數(shù)與當(dāng)初健康人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（3）病人天天治愈人數(shù)與病人總數(shù)成正比，百分比系數(shù)為μ(稱日治愈率)，病人治愈后成為仍可被感染健康者，稱1/μ為傳染病平均傳染期(如病人數(shù)保持10人，天天治愈2人，μ＝1/5，則每位病人平均生病時間為1/μ＝5天)。模型建立假設(shè)2、3得：將假設(shè)1代入，可得模型：模型解：閾值σ=λ/μ意義一個病人在平均傳染期內(nèi)傳染人數(shù)與當(dāng)初健康人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為σ模型意義（t,i(t)）圖（1）當(dāng)σ≤1時，指傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)不超出當(dāng)初健康人數(shù)。病人在總?cè)藬?shù)中所占百分比i(t)越來越小，最終趨于零。（2）當(dāng)σ＞l時，i(t)最終以1-1/σ為極限；（3）當(dāng)σ增大時，i(∞)也增大，是因為伴隨傳染期內(nèi)被傳染人數(shù)占當(dāng)初健康人數(shù)百分比增加，當(dāng)初病人數(shù)所占百分比也隨之上升模型四（SIR模型）一些傳染病如麻疹等，治愈后都有很強(qiáng)免疫力，所以病愈人既非健康人，也非病人。模型假設(shè)：（1）人群分為健康者、病人、病愈免疫者三類，這三類人在總?cè)藬?shù)中所占百分比分別為s(t)，i(t)，r(t)，則有s(t)+i(t)+r(t)＝1。（2）單位時間內(nèi)，一個病人傳染人數(shù)與當(dāng)初健康者人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為k（3）在單位時間內(nèi)，病愈免疫人數(shù)與當(dāng)初病人人數(shù)成正比，百分比系數(shù)為μ模型建立從此方程無法求出i(t)與s(t)解析解。我們能夠從相軌線作定性分析相軌線相軌線（s，i）圖中箭頭表示了伴隨時間t增加s(t)和i(t)改變趨向相軌線分析結(jié)果1、不論初始條件s0、i0怎樣．病人終將消失。2、最終未被感染健康者百分比是s∞，圖中可看出是在(0，1/σ)內(nèi)單根。3、若s0>1/σ，則i(t)先增加，當(dāng)s＝1/σ時，i(t)到達(dá)最大。4、若s0≤1/σ，則i(t)單調(diào)減小至零閾值1/σ意義1、減小傳染期接觸數(shù)σ，即提升閾值l/σ，使得s0≤1/σ(即σ≤1/s0)，傳染病就不會蔓延。2、衛(wèi)生、醫(yī)療水平：σ=λ/μ3、交換數(shù)意義：σs=λs?1/μ是傳染期內(nèi)一個病人傳染健康者平均人數(shù)，稱為交換數(shù)，其含義是一個病人被σs個健康者交換。4、σ預(yù)計模型驗證——印度孟買一個例子圖中，實際數(shù)據(jù)用圓點表示．能夠看出，理論曲線與實際數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)不錯。SIR模型兩個應(yīng)用被傳染百分比預(yù)計群體免疫和預(yù)防被傳染百分比預(yù)計假定很小，靠近于1其中這個結(jié)果表明，被傳染人數(shù)百分比約為2倍，當(dāng)該地域衛(wèi)生和醫(yī)療水平不變，即不變時，這個百分比就不會改變。而當(dāng)閾值提升時，減小，于是這個百分比就會降低。群體免疫和預(yù)防依據(jù)對模型分析，當(dāng)時，傳染病不會蔓延，因而阻止傳染病蔓延路徑有兩條1．提升衛(wèi)生和醫(yī)療水平（使閾值變大）；2．經(jīng)過預(yù)防接種使群體得到免疫（降低）只要經(jīng)過群體免疫使初始時刻移出者百分比（即免疫者百分比）滿足（＊）式，就能夠阻止傳染病蔓延．（＊）課后任務(wù)請各位同學(xué)進(jìn)行一些調(diào)查，依據(jù)模型算一算在廣州，非經(jīng)典肺炎暴發(fā)高潮大約是在何時，與實際情況相吻合嗎？依據(jù)模型請給出你提議。思索題1設(shè)某城市共有n+1人，其中一人出于某種目編造了一個謠言。該城市含有初中以上文化程度人占總?cè)藬?shù)二分之一，這些人只有1/4相信這一謠言，而其它人約有1/3會相信。又設(shè)凡相信此謠言人每人在單位時間內(nèi)傳輸平均人數(shù)正比于當(dāng)初還未聽說此謠言人數(shù)，而不相信此謠言人不傳輸謠言。試建立一個反應(yīng)謠傳情況微分方程模型。思索題2汽車停車距離可分為兩段：一段為發(fā)覺情況到開始制動這段時間里駛過距離DT，這段時間為反應(yīng)時間；另一段則為制動時間駛過距離DR，現(xiàn)考核某司機(jī)，考評結(jié)果以下：

行駛速度DTDR

36公里/小時3米4．5米50公里/小時5米12．5米70公里/小時7米24．5米（1）作出停車距離D經(jīng)驗公式（2）設(shè)制動力正比于車重，建立理論分析模型并求出D公式。思索題3本世紀(jì)初，在倫敦曾觀察到一個現(xiàn)象，大約每兩年發(fā)生—次麻疹傳染病。生物數(shù)學(xué)家H·E索珀試圖解釋這種現(xiàn)象，他認(rèn)為易受傳染者人數(shù)因人口中新添新組員而不停得到補(bǔ)充。試建立數(shù)學(xué)模型。思索題4

房屋管理部門想在房頂邊緣安裝一個檐槽，其目標(biāo)是為了雨天出入方便。簡單說來，從屋脊到屋檐房頂能夠看成是一個12米長，6米寬矩形平面，房頂與水平方向傾斜角度要