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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱(chēng),登泰山的路線有四條:紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車(chē)登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí),發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒(méi)有走天外村汽車(chē)登山線路,三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;事實(shí)上,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說(shuō)法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路2.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.3.歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿(mǎn)足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.5.若,,則的值為()A. B. C. D.6.定義在上函數(shù)滿(mǎn)足,且對(duì)任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.7.下列四個(gè)圖象可能是函數(shù)圖象的是()A. B. C. D.8.下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案,形若銅錢(qián),寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)(陰影部分由四條四分之一圓弧圍成)的概率是()A. B. C. D.9.在中,,分別為,的中點(diǎn),為上的任一點(diǎn),實(shí)數(shù),滿(mǎn)足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時(shí),的值為()A.-1 B.1 C. D.10.若2m>2n>1,則()A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.11.已知集合,,若,則()A.4 B.-4 C.8 D.-812.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作,預(yù)備時(shí),4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí),每次都讓3個(gè)學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”,若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向,則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,在方向上的投影為,則與的夾角為_(kāi)________.14.給出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,結(jié)果為的式子的序號(hào)是_____.15.若函數(shù)為偶函數(shù),則.16.已知點(diǎn)M是曲線y=2lnx+x2﹣3x上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí),該切線的方程為_(kāi)______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,等比數(shù)列滿(mǎn)足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和.18.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線的左焦點(diǎn)在直線上.(Ⅰ)求的極坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(Ⅱ)求曲線的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程;(2)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(2,1),求|PA|?|PB|的值.20.(12分)如圖,三棱錐中,點(diǎn),分別為,的中點(diǎn),且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.21.(12分)求函數(shù)的最大值.22.(10分)若正數(shù)滿(mǎn)足,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”,“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)討論,屬于基礎(chǔ)題型.2.C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問(wèn)問(wèn)題求并集而不是交集.3.A【解析】
計(jì)算,得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故,表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.4.D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進(jìn)而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因?yàn)?,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.5.A【解析】
取,得到,取,則,計(jì)算得到答案.【詳解】取,得到;取,則.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,取和是解題的關(guān)鍵.6.B【解析】
結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡(jiǎn)題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)于恒成立,即即對(duì)恒成立即對(duì)恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.7.C【解析】
首先求出函數(shù)的定義域,其函數(shù)圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),即可得到函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng),即可排除A、D,再根據(jù)時(shí)函數(shù)值,排除B,即可得解.【詳解】∵的定義域?yàn)?,其圖象可由的圖象沿軸向左平移1個(gè)單位而得到,∵為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),∴的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng).可排除A、D項(xiàng).當(dāng)時(shí),,∴B項(xiàng)不正確.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與識(shí)圖能力,一般根據(jù)四個(gè)選擇項(xiàng)來(lái)判斷對(duì)應(yīng)的函數(shù)性質(zhì),即可排除三個(gè)不符的選項(xiàng),屬于中檔題.8.C【解析】令圓的半徑為1,則,故選C.9.D【解析】
根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時(shí),為的中點(diǎn),再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因?yàn)槭恰鞯闹形痪€,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即為的中點(diǎn)時(shí),等號(hào)成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.10.B【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正確;而當(dāng)m,n時(shí),檢驗(yàn)可得,A、C、D都不正確,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小,根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系,需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合特值法得出選項(xiàng).11.B【解析】
根據(jù)交集的定義,,可知,代入計(jì)算即可求出.【詳解】由,可知,又因?yàn)?,所以時(shí),,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念,屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
通過(guò)列舉法,列舉出同學(xué)的朝向,然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“∧”“∨”表示,利用列舉法,可得下表,原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次數(shù)為4次.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查的是求最小推理次數(shù),一般這類(lèi)題型構(gòu)造較為巧妙,可通過(guò)列舉的方法直觀感受,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由向量投影的定義可求得兩向量夾角的余弦值,從而得角的大小.【詳解】在方向上的投影為,即夾角為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵.14.①②③【解析】
由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案為:①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,屬于中檔試題.15.1【解析】試題分析:由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù),.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想,具有一定的綜合性和靈活性,屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù),然后再利用特殊與一般思想,?。?6.【解析】
先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率,利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo),從而可得切線方程.【詳解】,,=1時(shí)有最小值1,此時(shí)M(1,﹣2),故切線方程為:,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【解析】
(1)利用數(shù)列與的關(guān)系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)檫m合上式,所以.(2)由(1)得,,設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力..18.(Ⅰ)曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù));的極坐標(biāo)方程為;(Ⅱ)16.【解析】
(
I
)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;(
II
)利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,即可求出結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由題意:曲線的直角坐標(biāo)方程為:,所以曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),因?yàn)橹本€的直角坐標(biāo)方程為:,又因曲線的左焦點(diǎn)為,將其代入中,得到,所以的極坐標(biāo)方程為.(Ⅱ)設(shè)橢圓的內(nèi)接矩形的頂點(diǎn)為,,,,所以橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)為:,所以當(dāng)時(shí),即時(shí),橢圓的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)取得最大值16.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程與普通方程間的互化,三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,極徑的應(yīng)用,考查學(xué)生的求解運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.19.(1)直線的普通方程,圓的直角坐標(biāo)方程:.(2)【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程,利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0.圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x﹣3=0.(2)把直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+
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