高考數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn) 三視圖及空間幾何體的計(jì)算問題

2013年高考數(shù)學(xué)必考知識點(diǎn)12三視圖及空間幾何體的計(jì)算問題1．(2012·福建)一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是()．A．球 B．三棱錐C．正方體 D．圓柱答案：D[球的三視圖都是圓；三棱錐的三視圖可以都是全等的三角形；正方體的三視圖都是正方形；圓柱的底面放置在水平面上，則其俯視圖是圓，正視圖是矩形，故應(yīng)選D.]2．(2012·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()．A．28＋6eq\r(5) B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5) D．60＋12eq\r(5)答案：B[該三棱錐的直觀圖，如圖所示，其中側(cè)面PAC⊥底面ABC，PD⊥AC，AC⊥BC，可得BC⊥平面PAC，從而BC⊥PC.故S△PAC＝eq\f(1,2)×5×4＝10；S△ABC＝eq\f(1,2)×5×4＝10；PC＝5，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×4×5＝10；由于PB＝eq\r(PD2＋BD2)＝eq\r(16＋25)＝eq\r(41)，而AB＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)，故△BAP為等腰三角形，取底邊AP的中點(diǎn)E，連接BE，則BE⊥PA，又AE＝eq\f(1,2)PA＝eq\r(5)，所以BE＝eq\r(41－5)＝6，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).所以所求三棱錐的表面積為10＋10＋10＋6eq\r(5)＝30＋6eq\r(5).]3．(2012·新課標(biāo)全國)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為()．A.eq\f(\r(2),6) B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(\r(2),2)答案：A[在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)；同理SB＝eq\r(3).過A點(diǎn)作SC的垂線交SC于D點(diǎn)，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝eq\f(1,2)SA＝eq\f(\r(3),2)，則△ABD的面積為eq\f(1,2)×1×eq\r(AD2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),4)，則三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),6).]4．(2012·遼寧)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析利用三視圖得幾何體，再求表面積．由三視圖可知，該幾何體是一個長方體中間挖去一個圓柱，其中長方體的長、寬、高分別是4、3、1，中間被挖去的是底面半徑為1，母線長為1的圓柱，所以幾何體的表面積等于長方體的表面積減去圓柱兩個底面的面積，再加上圓柱的側(cè)面積，即為2(4×3＋4×1＋3×1)－2π＋2π＝38.答案38在空間幾何體部分，主要是以空間幾何體的三視圖為主展開，考查空間幾何體三視圖的識別判斷，考查通過三視圖給出的空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算等問題．試題的題型主要是選擇題或者填空題，在難度上也進(jìn)行了一定的控制，盡管各地有所不同，但基本上都是中等難度或者較易的試題．該部分要牢牢抓住各種空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，通過對各種空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的了解，認(rèn)識各種空間幾何體的三視圖和直觀圖，通過三視圖和直觀圖判斷空間幾何體的結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上掌握好空間幾何體的表面積和體積的計(jì)算方法.必備知識正棱錐的性質(zhì)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影構(gòu)成一個直角三角形；棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也構(gòu)成一個直角三角形；某側(cè)面的斜高、側(cè)棱及底面邊長的一半也構(gòu)成一個直角三角形；側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面內(nèi)的射影及底面邊長的一半也構(gòu)成一個直角三角形．三視圖(1)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高．(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．幾何體的切接問題(1)球的內(nèi)接長方體、正方體、正四棱柱等關(guān)鍵是把握球的直徑即棱柱的體對角線長．(2)柱、錐的內(nèi)切球找準(zhǔn)切點(diǎn)位置，化歸為平面幾何問題．必備方法1．幾何體中計(jì)算問題的方法與技巧：①在正棱錐中，正棱錐的高、側(cè)面等腰三角形的斜高與側(cè)棱構(gòu)成兩個直角三角形，有關(guān)計(jì)算往往與兩者相關(guān)；②正四棱臺中要掌握對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上底、下底及梯形高的計(jì)算，另外，要能將正三棱臺、正四棱臺的高與其斜高，側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來；③研究圓柱、圓錐、圓臺等問題，主要方法是研究其軸截面，各元素之間的關(guān)系，數(shù)量都可以在軸截面中得到；④多面體及旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段．2．求體積常見技巧當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利．(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進(jìn)而求之．(2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補(bǔ)臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法．(3)有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素.eq\a\vs4\al\co1(三視圖的識圖與計(jì)算)?？疾椋孩偃晥D的識別與還原問題；②以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積、體積等問題．主要考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算能力，是近幾年高考的熱點(diǎn)．【例1】?已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是()．A.eq\f(4000,3)cm3B.eq\f(8000,3)cm3C．2000cm3D．4000cm3[審題視點(diǎn)][聽課記錄][審題視點(diǎn)]畫出直觀圖后求解．B[此幾何體的圖為SABCD，且平面SCD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，邊長為20cm，S在底面的射影為CD的中點(diǎn)E，SE＝20cm，VSABCD＝eq\f(1,3)S?ABCD·SE＝eq\f(8000,3)cm3.故選B.]解答此類題目時：(1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗(yàn)證其他視圖是否正確；(2)視圖中標(biāo)注的長度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚；(3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長對正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等．【突破訓(xùn)練1】如圖是一個幾何體的三視圖．若它的體積是3eq\r(3)，則a＝________.解析由三視圖可知幾何體為一個直三棱柱，底面三角形中邊長為2的邊上的高為a，∴V＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×a))＝3eq\r(3)?a?eq\r(3).答案eq\r(3)eq\a\vs4\al\co1(幾何體的表面積與體積)此類問題常以三視圖、空間幾何體、組合體為載體，來求解幾何體的表面積或體積，試題以客觀題為主，多為容易題．【例2】?如圖所示，四棱錐PABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD＝60°，∠BDC＝45°，△ADP∽△BAD.(1)求線段PD的長；(2)若PC＝eq\r(11)R，求三棱錐P-ABC的體積．[審題視點(diǎn)][聽課記錄][審題視點(diǎn)](1)利用BD是圓的直徑可知∠BAD＝90°，再利用△ADP∽△BAD求解．(2)先通過計(jì)算證明PD2＋CD2＝PC2，則可知PD⊥面ABCD，再由S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin∠ABC.可求解．解(1)∵BD是圓的直徑，∴∠BAD＝90°，又∵△ADP∽△BAD，∴eq\f(AD,BA)＝eq\f(DP,AD)，DP＝eq\f(AD2,BA)＝eq\f(BDsin60°2,BDsin30°)＝eq\f(4R2×\f(3,4),2R×\f(1,2))＝3R.∴DP的長為3R.(2)在Rt△BCD中，CD＝BDcos45°＝eq\r(2)R，∵PD2＋CD2＝9R2＋2R2＝11R2＝PC2，∴PD⊥CD，又∠PDA＝90°，AD∩CD＝D，∴PD⊥底面ABCD，則S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BCsin(60°＋45°)＝eq\f(1,2)R·eq\r(2)Req\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3)＋1,4)R2，所以三棱錐PABC的體積為VPABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·PD＝eq\f(1,3)·eq\f(\r(3)＋1,4)R2·3R＝eq\f(\r(3)＋1,4)R3.求幾何體的體積問題，可以多角度、全方位地考慮問題，常采用的方法有“換底法”、“分割法”、“補(bǔ)體法”等，尤其是“等積轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)高度重視．【突破訓(xùn)練2】(2012·巢湖二模)如圖是某三棱柱被削去一個底面后的直觀圖與側(cè)(左)視圖、俯視圖．已知CF＝2AD，側(cè)(左)視圖是邊長為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．求該幾何體的體積．解如圖，取CF的中點(diǎn)P，過P作PQ∥CB交BE于Q，連接PD，QD，AD∥CP，且AD＝CP.四邊形ACPD為平行四邊形，∴AC∥PD.∴平面PDQ∥平面ABC，該幾何體可分割成三棱柱PDQCAB和四棱錐DPQEF，∴V＝V三棱柱PDQCAB＋VDPQEF＝eq\f(1,2)×22sin60°×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1＋2×2,2)×eq\r(3)＝3eq\r(3).

eq\a\vs4\al\co1(切接問題)該類問題命題背景寬，常以棱柱、棱錐、圓柱、圓錐與球的內(nèi)切、外接形式考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，試題較容易．【例3】?設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個球面上，則該球的表面積為()．A．πa2B.eq\f(7,3)πa2C.eq\f(11,3)πa2D．5πa2[審題視點(diǎn)][聽課記錄][審題視點(diǎn)]確定球心的位置，尋找直角三角形，通過直角三角形求球的半徑．B[設(shè)三棱柱上底面所在圓的半徑為r，球的半徑為R，由已知r＝eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a.又∵R2＝r2＋eq\f(1,2)a2＝eq\f(1,3)a2＋eq\f(1,4)a2＝eq\f(7,12)a2，∴S球＝4πR2＝4π·eq\f(7,12)a2＝eq\f(7,3)πa2，故選B.]涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．【突破訓(xùn)練3】設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點(diǎn)，過M且與OA成45°角的平面截球O的表面得到圓C，若圓C的面積等于eq\f(7π,4)，則球O的表面積等于________．【突破訓(xùn)練3】解析如圖，設(shè)O′為截面圓的圓心，設(shè)球的半徑為R，則OM＝eq\f(R,2)，又∠O′MO＝45°，∴OO′＝eq\f(\r(2),4)R.在Rt△O′OB中，OB2＝O′O2＋O′B2，∴R2＝eq\f(R2,8)＋eq\f(7,4)，∴R2＝2，∴S球＝4πR2＝8π.答案8π等價與轉(zhuǎn)化在求幾何體體積中的應(yīng)用1．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，若幾何體的底不規(guī)則，也需采用同樣的方法，將不規(guī)則的幾何體或平面圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體或平面圖形，易于求解．2．求幾何體的體積問題，有時使用轉(zhuǎn)換底面的方法使其高易求．【示例】?如圖，在三棱錐P-ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC＝∠PBC＝90°.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P-ABC的體積．[滿分解答](1)因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PB＝PA.因?yàn)椤螾AC＝∠PBC＝90°，PC＝PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC＝BC.如圖，取AB中點(diǎn)D，連接PD、CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，又PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PDC，PC?平面PDC，所以AB⊥PC.(6分)(2)作BE⊥PC，垂足為E，連接AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC，AE＝BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB＝90°.(8分)因?yàn)椤螦EB＝90°，∠PEB＝90°，AE＝BE，AB＝PB，所以Rt△AEB≌Rt△BEP，所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面積S＝2.因?yàn)镻C⊥平面AEB.所以三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)·S·PC＝eq\f(8,3).(12分)/r/