專題四 三角形中的中線、角平分線、高線處理

專題5解三角形中的中線、角平分線、高線處理解三角形類問題在考查時除了結(jié)合正弦定理，余弦定理，勾股定理設(shè)置題目外，往往還和三角形的一些常見元素：中線，角平分線，高線結(jié)合在一起考查。在處理相關(guān)題目時，我們除了要充分運用正余弦定理處理邊角關(guān)系，還要結(jié)合角平分線，中線，高線自身的一些性質(zhì)進行解題。小專題中線【知識準(zhǔn)備】如圖，在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，D為BC的中點在AABD中，c2=(—a)2+AD2—余弦定理法在AACD在AABD中，c2=(—a)2+AD2—①+②得b2+c2二2(BD2+AD2)向量法一1一一由于BD=-(BC+BA)—1所以AD2=(b2+c2+2bccosA)倍長中線法借助平行四邊形性質(zhì)：平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和。易得2(AC2+AB2)=BC2+(2AD)2中線公式在國ABC中，BC邊上的中線和三邊有如下關(guān)系(可以用上面三種方法推導(dǎo)):AD=J2(b2+c2)—a22，余弦定理/倍長中線法【題目】在國ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c若asinB+bcosA=0，求角A.若D為BC的中點，BC=AD=4，求AB+AC的取值范圍.【解析】(1)由正弦定理sinAsinB+sinBcosA二03冗所以tanA=—1，又因為Ae(0,兀),/.A=——4(2)解法一利用余弦定理因為D為BC的中點，所以BC=AD=4由余弦定理，在AABD中,AB2=22+42一2x2x4cosZADB①在AACD中,AC2=22+42—2x2x4cos伍—ZADB)②①+②得AB2+AC2=40所以AB+AC“2(AB2+AC2)=4再又因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以AB+ACe(4,^.5]解法二利用倍長中線由知識準(zhǔn)備知(2AD)2+BC2=2(AB2+AC2)=80所以AB2+AC2=40所以AB+AC$2(AB2+AC2)=4訂5又因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以AB+ACe(4,4叮5]二、向量法【題目】已知AABC的面積為3爲(wèi)，且內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列.若sinC=3sinA，求邊AC的長；設(shè)D為AC的中點，求線段BD長的最小值.(4)(4)【解析】（1）依題內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列，則B=-3所以S=acsinB=3耳3，即ac=12AABC2又因為sinC=3sinA，結(jié)合正弦定理得c=3a，所以a=2,c=6在AABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=28解得b=2訂，故AC=2^7(2)因為D為AC的中點，所以BD=-(BC+BA)113即BD2=(a2+c2+2accos/ABC)=(a2+c2+ac)>ac=9444當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立所以線段BD長的最小值為3題后反思以上四種處理中線的方法殊途同歸，亦可以相互轉(zhuǎn)化，其中倍長中線法和中線公式在使用時需要證明，不可以直接代入處理大題，因此更實用于小題解答；而向量法則可以進行推廣，即點D為BC邊上的三等分點時，也可用向量處理；余弦定理的處理手段則屬于通性通法，適用于我們處理與中線有關(guān)的大題。大家也可以用不同的方法處理這兩個題，感受各種方法間的聯(lián)系和區(qū)別。小專題角平分線知識準(zhǔn)備如圖，在AABC中，AD是AABC中ZA的角平分線，且交邊BC于點D，則線段AD是AABC的一條角平分線，在解三角形時，可以轉(zhuǎn)化為以下等價結(jié)論應(yīng)用:(1)(2)定理1：c定義：/BAD=ZCAD，則sinZBAD=sinZCAD，cos/BAD=cosZCAD；(1)(2)定理1：c角平分線上的點到角兩邊的距離相等;定理2：如圖，AB=BDACCD張角定理：S=S+SAABCAABDAACD1A1A即一AB-ACsinA=-AB-ADsin+-AC-ADsin2222A1ADADcos=(+)22ACAB(5)庫斯頓定理：AD2=AB-AC-BD-CD相關(guān)題目【例1】（2015.全國II）在AABC中，D是BC上的點，AD平分ABAC,AABD的面積是AADC面積的2倍.1)求sinZBsinZC[2⑵若AD=1,DC七求1)求sinZBsinZC[2⑵若AD=1,DC七求BD和AC的長.【解析】（1）如圖，過A作AE丄BC交BC于點E，過D作DM丄AB,DN丄AC分別交AB,AC于M,NS-AB-DM-BD-AE貝則AABD=2==2S11Saacd-AC-DN-CD-AE22所以AB=2AC,BD=2CD而"AABDSAACD-AB-BDsinZB=2=21，-AC-CDsinZC2故=-sinZC22）由（1）得BD=2CD=邁，設(shè)AC=x,則AB=2AC=2x因為AD平分ZBAC，所以cosZBAD=cosZCAD由余弦定理得空土旦=二^，解得x=14x故BD=v'2和AC=1的長題后反思】在解題時，我們多次用了角平分線分割的左右兩個三角形產(chǎn)生的面

積比來處理角度長度問題，其本質(zhì)借鑒了定理2的推導(dǎo)?！纠?】如圖，在AABC中，AB>AC，BC=2朽,A二60,AABC的面積等于2運,則角平分線AD的長等于則角平分線AD的長等于4J3【答案】丁【解析】AABC的面積等于2<3=-AB-AC-sinA=-AB-AC?亙,即AB-AC=8222由余弦定理BC2=AB2+AC2—2AB?AC?COSA得12=AB2+AC2—AB?AC=(AB+AC)2—3AB?AC=(AB+AC)2—3X8,解得AB+AC=6所以有IAC::或IAC:4（由于AB>AC，舍去）...COSB...COSB:AB2+BC2—AC22AB?BC因為AD為角平分線，得蟲:BD:4,且BD+DC:2朽,所以BD:413ACDC23所以在△ABD中,由余弦定理可得：AD:AD:'-AB2+BD2—2AB-BD-cosB'48A4*3<34*316+—2x4xx:—9323【變式】在AABC中,已知AB:2，AC:3，A：3，角A的平分線交邊BC于D，貝VAD:?

【答案】込525【題后反思】在例2的解題中，推導(dǎo)出AB,AC,BD,CD線段長度后，可以結(jié)合庫斯頓定理直接求得角平分線的長度。如果說定理4側(cè)重于描述角度問題，則定理5則側(cè)重于描述邊的關(guān)系?！纠?】（2018.江蘇）在△ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為TOC\o"1-5"\h\za,b,c,ZABC=120。,ZABC的平分線交AC于點D，且BD=1,則4a+c的最小值為.答案】9111【解析】由面積得：—acsin120°=asin60。+csin60°222即a+c=acnc=(0<a<1)a—14a+c4a+c=4a++1=4(a-1)+a—11(a-1)+5=9當(dāng)且僅當(dāng)4（a-1）=占，即a=2,c=3時取等號【變式】在△ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c,ZABC=120,ZABC的平分線交AC于點D，且BD=2，則AABC的面積的最小值為.【答案】4訂【題后反思】例3是角平分線問題中比較經(jīng)典的一個題目，切入點是從面積入手找到邊的關(guān)系從而結(jié)合基本不等式求得最值。小專題高線高線產(chǎn)生的直角三角形【例“（2016.全國III）在SC中，B=彳'BC邊上的高等于3BC，則cosA=（）

A.邁B.寶C.一邁101010【答案】C【解析一】設(shè)BC邊上的高線為AD,則BC=3AD,所以AC=\AD2+DC2=^5AD，AB=-<2AD-由余弦定理，知D.-回10”AB2+AC2-BC22AD2+5AD2-9AD2D.-回10cosA=————2AB-AC2x近ADx75ad10【解析二】設(shè)BC邊上的高線為AD，所以在RtAACD中,sinC-空，cosC-蘭55則BC—3AD所以在RtAACD中,sinC-空，cosC-蘭55cosA--cos（C+，）-—（迥—衛(wèi)）-—衛(wèi)4101010【變式訓(xùn)練】（2017.全國III）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c已知sinA+站3cosA—0,a—2七7,b—2⑴求c;（2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD丄AC，求△ABD的面積.【解析】⑴a2—b2+c2—2bccosA<a—2藥nc2+2c-24—0nc—4或c——6（舍去）.b—2（2）國ZBAC—120°,ZCAD—90°,△ZBAD—30°.S1AB-ADsin30所以AABD=—=1S1SAACD-AC-AD2又因為S=—x4x2sinA=2、：3，所以S=\-3aabc2aabd（另解）△ABAC=120°,ZCAD=90°,△/BAD=30°TOC\o"1-5"\h\z廠a2+c2-b25.廠J3cosB==,△sinB=￡1—cos2B=.2ac2肅2戸sin/ADB=sin（/BAD+/B）也=7由正弦定理得AD=sinB?ab=朽.sin/ADB1—S=-AB?AD?sin30°^.'3AABD2/r