點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系-知識(shí)講解(基礎(chǔ))

-PAGE.z.點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系—知識(shí)講解〔根底〕【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的各種位置關(guān)系；

2.理解切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理，了解三角形的內(nèi)切圓和三角形的內(nèi)心的概念，并熟練掌握以上內(nèi)容解決一些實(shí)際問(wèn)題；

3.了解兩個(gè)圓相離(外離、內(nèi)含)，兩個(gè)圓相切(外切、內(nèi)切)，兩圓相交，圓心距等概念．理解兩圓的位置關(guān)系與d、r1、r2等量關(guān)系的等價(jià)條件并靈活應(yīng)用它們解題．

【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1．點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點(diǎn)分成了三個(gè)集合，即圓內(nèi)的點(diǎn)，圓上的點(diǎn)和圓外的點(diǎn)，這三類點(diǎn)各具有一樣的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有

2．三角形的外接圓經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.要點(diǎn)詮釋：〔1〕點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對(duì)應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；〔2〕不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.要點(diǎn)二、直線和圓的位置關(guān)系1．直線和圓的三種位置關(guān)系：

(1)相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交．這時(shí)直線叫做圓的割線．

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切．這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．

(3)相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點(diǎn)與圓的位置關(guān)系一樣通過(guò)一些條件來(lái)進(jìn)展分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．下面圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，則

要點(diǎn)詮釋：這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．要點(diǎn)三、切線的判定定理、性質(zhì)定理和切線長(zhǎng)定理1．切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

要點(diǎn)詮釋：

切線的判定定理中強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：一是直線與圓有一個(gè)交點(diǎn)，二是直線與過(guò)交點(diǎn)的半徑垂直，缺一不可.

2．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.

3．切線長(zhǎng)：

經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).

要點(diǎn)詮釋：

切線長(zhǎng)是指圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)，不是"切線的長(zhǎng)〞的簡(jiǎn)稱.切線是直線，而非線段.

4．切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

要點(diǎn)詮釋：

切線長(zhǎng)定理包含兩個(gè)結(jié)論：線段相等和角相等.

5．三角形的內(nèi)切圓：

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

6．三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三邊的距離都相等.

要點(diǎn)詮釋：

(1)任何一個(gè)三角形都有且只有一個(gè)內(nèi)切圓，但任意一個(gè)圓都有無(wú)數(shù)個(gè)外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長(zhǎng)，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(diǎn)(1)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部?jī)?nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(diǎn)(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.要點(diǎn)四、圓和圓的位置關(guān)系

1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義

兩圓外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離.

兩圓外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

兩圓相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做這兩圓相交.

兩圓內(nèi)切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)外，一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

兩圓內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.

2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：

設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2，兩圓心O1O2的距離為d，則：

兩圓外離d＞r1+r2

兩圓外切d=r1+r2

兩圓相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2)

兩圓內(nèi)切d=r1-r2(r1＞r2)

兩圓內(nèi)含d＜r1-r2(r1＞r2)

要點(diǎn)詮釋：

(1)圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，又注意到位置的不同，假設(shè)以兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；

(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點(diǎn)叫作切點(diǎn)；

(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個(gè)圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.

【典型例題】類型一、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1.圓的半徑等于5cm，根據(jù)以下點(diǎn)P到圓心的距離：(1)4cm；(2)5cm；(3)6cm，判定點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案與解析】〔1〕當(dāng)d=4cm時(shí)，∵d＜r，∴點(diǎn)P在圓內(nèi)；〔2〕當(dāng)d=5cm時(shí)，∵d=r，∴點(diǎn)P在圓上；〔3〕當(dāng)d=6cm時(shí)，∵d＞r，∴點(diǎn)P在圓外.【總結(jié)升華】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，由點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小比擬.舉一反三：【變式】點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，3為半徑的⊙O內(nèi)，則點(diǎn)A到圓心O的距離d的范圍是________.【答案】0≤d＜3.類型二、直線與圓的位置關(guān)系2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？(1)r=2厘米；(2)r=2.4厘米；(3)r=3厘米【答案與解析】過(guò)C點(diǎn)作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，得AB=5，，∴AB·CD=AC·BC，∴(cm)，〔1〕當(dāng)r=2cm時(shí)

CD＞r，∴圓C與AB相離；〔2〕當(dāng)r=2.4cm時(shí)，CD=r，∴圓C與AB相切；(3〕當(dāng)r=3cm時(shí)，CD＜r，∴圓C與AB相交．【總結(jié)升華】欲判定⊙C與直線AB的關(guān)系，只需先求出圓心C到直線AB的距離CD的長(zhǎng)，然后再與r比擬即可．舉一反三：【變式】如圖，P點(diǎn)是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PE⊥OA于E，以P為圓心，PE為半徑作⊙P.求證：⊙P與OB相切。【答案】作PF⊥OB于F，則可證明△OEP≌△OFP，所以PF=PE，即F在圓P上，故⊙P與OB相切。3．如下圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分線交BC于D，以D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑作⊙D．求證：AC是⊙D的切線．【答案與解析】過(guò)D作DF⊥AC于F．∵∠B＝90°，∴DB⊥AB．又AD平分∠BAC，∴DF＝BD＝半徑．∴AC與⊙D相切．【總結(jié)升華】如果條件中不知道直線與圓有公共點(diǎn)，其證法是過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑的長(zhǎng)即可．可簡(jiǎn)記為：作垂直，證半徑．類型三、圓與圓的位置關(guān)系4．(1)兩圓的半徑分別為3cm，5cm，且其圓心距為7cm，則這兩圓的位置關(guān)系是()A．外切B．內(nèi)切C．相交D．相離(2)⊙O1與⊙O2相切，⊙O1的半徑為3cm，⊙O2的半徑為2cm，則O1O2的長(zhǎng)是()A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．0.5cm或2.5cm【答案】〔1〕C；〔2〕C.【解析】(1)由于圓心距d＝7cm，R+r＝5+3＝8(cm)，R-r＝5-3＝2(cm)．∴R-r＜d＜R+r，故這兩圓的位置關(guān)系是相交．(2)兩圓相切包括外切和內(nèi)切，當(dāng)⊙O1與⊙O2外切時(shí)，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；當(dāng)⊙O1與⊙O2內(nèi)切時(shí)，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．【總結(jié)升華】由數(shù)量確定位置或由位置確定數(shù)量的依據(jù)是：①兩圓外離d＞R+r；②兩圓外切d＝R+r；③兩圓相交R-r＜d＜R+r；④兩圓內(nèi)切d＝R-r；⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r．點(diǎn)、直線、圓與圓的位置關(guān)系—穩(wěn)固練習(xí)〔根底〕【穩(wěn)固練習(xí)】一、選擇題1.：如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B點(diǎn)，C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB=65°，則∠APB等于()．A．65° B．50° C．45°D．40°2．如圖，AB是⊙O的直徑，直線EC切⊙O于B點(diǎn)，假設(shè)∠DBC=α，則()．A．∠A=αB．∠A=90°－αC．∠ABD=αD．∠第1題圖第2題圖3．設(shè)⊙O的半徑為3，點(diǎn)O到直線l的距離為d，假設(shè)直線l與⊙O至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則d應(yīng)滿足的條件是()A.d=3B.d＜3C.d≤3D.d＞34．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C為圓心作⊙C和AB相切，則⊙C的半徑長(zhǎng)為()5．⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和5，圓心距為3，則兩圓的位置關(guān)系是()A.相交B.內(nèi)切C.外切D.內(nèi)含6．：A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)中無(wú)任何三點(diǎn)共線，無(wú)任何四點(diǎn)共圓，則過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出()．A．5個(gè)圓 B．8個(gè)圓 C．10個(gè)圓 D．12個(gè)圓二、填空題7．銳角三角形的外心在三角形的___________部，鈍角三角形的外心在三角形的_____________部，直角三角形的外心在________________．8．假設(shè)△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，則它的外接圓的直徑為_(kāi)__________．9．假設(shè)△ABC內(nèi)接于⊙O，BC=12cm，O點(diǎn)到BC的距離為8cm，則⊙O的周長(zhǎng)為_(kāi)__________．10．如下圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦是小圓的切線，C為切點(diǎn)，假設(shè)兩圓的半徑分別為3cm和5cm，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_________cm．11.如下圖，直線AB是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，OB交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，且∠OBA＝40°，則∠ADC＝________．第10題圖第11題圖第12題圖12．如圖，施工工地的水平地面上，有三根外徑都是1m的水泥管，兩兩相切地堆放在一起，其最高點(diǎn)到地面的距離是_________.三、解答題13.如下圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，E是⊙O上一點(diǎn)，且∠AED＝45°，試判斷CD與⊙O的關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D點(diǎn)，過(guò)D作⊙O的切線DE交BC于E.求證：CE=BE.15．如下圖，AB是⊙O的直徑，P為AB延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，C為半圓的中點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，連CD交AB于點(diǎn)E，求證：PD＝PE．【答案與解析】一、選擇題

1.【答案】B；【解析】連結(jié)OA、OB，則∠AOB=130°，∠PAO=∠PBO=90°，所以∠P=50°.2.【答案】A；【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∠A+∠ABD=90°，又∵直線EC切⊙O于B點(diǎn)，∴α+∠ABD=90°，∴∠A=α，應(yīng)選A.3.【答案】C；【解析】直線l可能和圓相交或相切.4.【答案】D；【解析】作CD⊥AB于D，則CD為⊙C的半徑，BC===8，由面積相等，得AB·CD=AC·BC.∴CD==4.8.5.【答案】D；【解析】?jī)?nèi)切、外切分別對(duì)應(yīng)d=R＋r，d=R－r，它們起著分界作用.在⊙O1和⊙O2相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)依次產(chǎn)生外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種位置關(guān)系，圓心距逐漸變小，而相內(nèi)切和外切起著分界作用，所以先計(jì)算d＋r和d－r，因?yàn)閳A心距d=3＜R－r，所以"內(nèi)含〞.6.【答案】C.【解析】過(guò)其中的三點(diǎn)作圓，最多能作出10個(gè)，即分別過(guò)點(diǎn)ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圓.二、填空題7．【答案】，外，它的斜邊中點(diǎn)處．8．【答案】26cm．9．【答案】20πcm．10．【答案】8.【解析】因?yàn)锳B切小⊙O于C，連OA、OC，如圖，由切線的性質(zhì)知OC⊥AB，又由垂徑定理得AC＝BC，在Rt△AOC中，AO＝5，OC＝3．∴AB＝2AC＝8(cm)．11．【答案】25°.【解析】∵OA⊥AB，∠OBA＝40°，∴∠BOA＝50°，∴∠ADC＝∠BOA＝25°.12．【答案】(1+)m.【解析】由于三個(gè)圓兩兩外切，所以圓心距等于半徑之和，所以三個(gè)圓心為頂點(diǎn)的三角形是邊長(zhǎng)為1m的等邊三角形，最高點(diǎn)到地面距離是等邊三角形的高加上一個(gè)直徑.等邊三角形的高是，故最高點(diǎn)到地面的距離是(1＋)m.三、解答題13.【答案與解析】CD與⊙O相切．理由：如圖，連OD．則∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC．∴∠CDO＝∠AOD＝90°，∴OD⊥CD，∴CD與⊙O相切．14.【答案與解析】證法1:連