相似三角形的判定方法

-.z.(一)相似三角形1、定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形．①當(dāng)一個三角形的三個角與另一個(或幾個)三角形的三個角對應(yīng)相等，且三條對應(yīng)邊的比相等時，這兩個(或幾個)三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可；②相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；③相似三角形的定義，可得相似三角形的根本性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等，而相似要求對應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對應(yīng)邊的比，即相似比為k，則△A′B′C′∽△ABC的相似比，當(dāng)它們?nèi)葧r，才有k=k′=1．③相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高，其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點借助相似三角形可觀察得出．3、如果兩個邊數(shù)一樣的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形．4、相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形的一條邊直線，截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似．①定理的根本圖形有三種情況，如圖其符號語言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；〔雙A型〕②這個定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時也是證明相似三角形三個判定定理的根底，故把它稱為"預(yù)備定理〞；③有了預(yù)備定理后，在解題時不但要想到"見平行，想比例〞，還要想到"見平行，想相似〞．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，則這兩個三角形相似?？珊唵握f成：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。例1、：如圖，∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE．ABCDEF第4題例2、如圖，E、F分別是ABCDEF第4題求證：△ABC∽△DEF.判定定理2：如果三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，則這兩個三角形相似。簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．例1、△ABC中，點D在AB上，如果AC2=AD?AB，則△ACD與△ABC相似嗎？說說你的理由．例2、如圖，點C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形。〔1〕當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時，△ACP∽△PDB？〔2〕當(dāng)△ACP∽△PDB時，求∠APB的度數(shù)。判定定理3：如果三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，則這兩個三角形相似。簡單說成：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．強調(diào)：①有平行線時，用預(yù)備定理；②已有一對對應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時，可考慮利用判定定理1或判定定理2；③已有兩邊對應(yīng)成比例時，可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等．2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．例1、：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點．求證：△ADQ∽△QCP．例2、如圖,AB⊥BD,CD⊥BD,P為BD上一動點,AB=60cm,CD=40cm,BD=140cm,當(dāng)P點在BD上由B點向D點運動時,PB的長滿足什么條件,可以使圖中的兩個三角形相似"請說明理由.例3、如圖AD⊥AB于D，CE⊥AB于E交AB于F，則圖中相似三角形的對數(shù)有對。例4、：AD是Rt△ABC中∠A的平分線，∠C=90°，EF是AD的垂直平分線交AD于M，EF、BC的延長線交于一點N。求證：(1)△AME∽△NMD(2)ND2=NC·NB①由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似；②如圖是一個十分重要的相似三角形的根本圖形，圖中的三角形，可稱為"母子相似三角形〞，其應(yīng)用較為廣泛．〔直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直三角形的與原三角形相似〕③如圖，可簡單記為：在Rt△ABC中，CD⊥AB，則△ABC∽△CBD∽△ACD．④補充射影定理。特殊情況：第一：頂角〔或底角〕相等的兩個等腰三角形相似。第二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個等腰三角形相似。第三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。第四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。第五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似。三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS〔ASA〕HL相似三角形的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例二、重點難點疑點突破1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項根本功．通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．〔3〕對應(yīng)字母要寫在對應(yīng)的位置上，可直接得出對應(yīng)邊，對應(yīng)角。2、常見的相似三角形的根本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比擬，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一整套完整的判定方法．如：(1)"平行線型〞相似三角形，根本圖形見前圖．"見平行，想相似〞是解這類題的根本思路；(2)"相交線型〞相似三角形，如上圖．其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀牵?見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例〞是解這類題的根本思路；(3)"旋轉(zhuǎn)型〞相似三角形，如圖．假設(shè)圖中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，則△ADE∽△ABC，該圖可看成把第一個圖中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)*一角度而形成的．從根本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上"平行線型〞是常見的，這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序，"相交線型〞識圖較困難，解題時要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出根本圖形．練習(xí)：1、如圖，以下每個圖形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它們用字母表示出來，并簡要說明識別的根據(jù)。2、如圖27-2-1-12,在大小為4×4的正方形方格中,△ABC的頂點A,B,C在單位正方形的頂點上,請在圖中畫一個△A1B1C1,使△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1),且點A1,B1,C1都在單位正方形的頂點上.圖27-2-1-121、尋找相似三角形的個數(shù)例1、()將兩塊完全一樣的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點、線都在同一平面內(nèi)，答復(fù)以下問題：(1)圖中共有多少個三角形？把它們一一寫出來；(2)圖中有相似(不包括全等)三角形嗎？如果有，就把它們一一寫出來．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，連接并延長DE交BC的延長線于點F，連接DC、BE，假設(shè)∠BDE＋∠BCE＝180°。⑴寫出圖中3對相似三角形〔注意：不得添加字母和線〕⑵請在你所找出的相似三角形中選取1對，說明它們相似的理由。1、如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形：①，②，③，④，⑤，⑥，其中②-⑥中與①相似的是。2、畫符合要求的相似三角形例1、()在大小為4×4的正方形方格中，△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上，請在圖中畫出一個△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC(相似比不為1)，且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上．3、相似三角形的判定例1、(1)如圖，O是△ABC內(nèi)任一點，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，求證：△DEF∽△ABC；(2)如圖，正方形ABCD中，E是BC的中點，DF=3CF，寫出圖中所有相似三角形，并證明．例2、如圖，在△ABC中，DF經(jīng)過△ABC的重心G，且DF∥AB，DE∥AC，連接EF，如果BC=5，AC=AB.求證:△DEF∽△ABC4、直角三角形中相似的判定例1、如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DE為AC的中線，延長線交AB的延長于F，求證：AB·AF=AC·DF。例2、：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一點，CF⊥BE于F。求證：EB·DF=AE·DB5、相似三角形的綜合運用例1、如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，過點D垂直于AB的直線交BC于E，交AC延長線于F．求證：(1)△ADF∽△EDB；(2)CD2=DE·DF．例2、如圖，AD是△ABC的角平分線，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F．求證：．例3、如圖，在正方形ABCD中，M、N分別是AB、BC上的點，BM=BN，BP⊥MC于點P．求證：PN⊥PD．6、相似三角形中輔助線的添加〔1〕、