高中物理專題：天體運(yùn)動(dòng)種種課件

天體運(yùn)動(dòng)種種天體運(yùn)動(dòng)種種1開普勒三定律面積定律支配天體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律軌道定律周期定律萬有引力定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律t3t4Bt2t1A行星太陽ba機(jī)械能守恒開普勒三定律面積定律支配天體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律2赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛(wèi)星可能軌道赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛(wèi)星可能軌道3角速度周期速度加速度與軌道半徑關(guān)系軌道半徑R中心天體半徑R0天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律一覽表角速度周期速度加速度與軌道半徑關(guān)系軌道半徑R天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律一覽4F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力只是地心引力極小一部分天上衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力由全部地心引力提供！結(jié)論：自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體5雙星模型特征與規(guī)律★模型特征：故有

之二：∵角速度相同，即之三：∵兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，之四：之一：兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即★模型規(guī)律：ORmmMRMvMvmω兩顆相近的天體繞它們連線上的某點(diǎn)（質(zhì)心Ｏ）以共同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng).之五：雙星系統(tǒng)動(dòng)量守恒雙星模型特征與規(guī)律★模型特征：故有之二：∵角速度相同，6一個(gè)常用的推導(dǎo)—天體的密度一個(gè)常用的推導(dǎo)—天體的密度7地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh

對(duì)北半球而言,在冬季過近日點(diǎn),夏季過遠(yuǎn)日點(diǎn)t3t4Bt2t1A行星太陽ba從高考到競(jìng)賽題1

如圖所示為地球繞太陽運(yùn)行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉(zhuǎn)軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r地球所在的位置．試說明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因．解:地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh由面積定律:地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh對(duì)北半球而言,在冬季過近日點(diǎn),8同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角2θ，有θ因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽光而看不到的時(shí)間為2θR

某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對(duì)光的折射．R1解:從高考到競(jìng)賽題2同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角2θ，有9極地衛(wèi)星周期為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每次應(yīng)拍攝偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.從高考到競(jìng)賽題3解:極地衛(wèi)星周期為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每次應(yīng)拍攝10⑴由衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)0180⑵移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道上空，此間地球自轉(zhuǎn)了θ角，有電視轉(zhuǎn)播用的“地球同步衛(wèi)星”的軌道高度為h，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某“移動(dòng)衛(wèi)星”沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運(yùn)行，離地面高度為H，地球半徑為R0．⑴該移動(dòng)衛(wèi)星連續(xù)兩次通過地球北極點(diǎn)上空的時(shí)間間隔是多少？⑵該移動(dòng)衛(wèi)星某時(shí)刻恰位于經(jīng)度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時(shí)，下方地面的經(jīng)度是多少？從高考到競(jìng)賽題4解:⑴由衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)0180⑵移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道11要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)75.0°到東經(jīng)135.0°之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個(gè)經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑R=6.37×106m．地球表面處的重力加速度g=9.80m/s2．從高考到競(jìng)賽題5解:同步軌道半徑的計(jì)算解答要使一12同步軌道半徑設(shè)為R同步,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖:RR同步75°135°0°180°恰能覆蓋東經(jīng)75°的衛(wèi)星定位:恰能覆蓋東經(jīng)135°的衛(wèi)星定位:讀題同步軌道半徑設(shè)為R同步,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖:RR同13同步軌道半徑設(shè)為R0：得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為動(dòng)能：衛(wèi)星在空間站的引力勢(shì)能為由機(jī)械能守恒：

地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢(shì)能可表示為．可供航天員居住與進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)的空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？

從高考到競(jìng)賽題6解:同步軌道半徑設(shè)為R0：得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為動(dòng)能：衛(wèi)星14LMM

根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M,兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．⑴試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；⑵若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為，且,為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

從高考到競(jìng)賽題7解:LMM15天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個(gè)大“黑洞”，距黑洞60億千米的星體以2000km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近“黑洞”的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，試計(jì)算“黑洞”的質(zhì)量和最大半徑．從高考到競(jìng)賽題8解:天文學(xué)16“大爆炸學(xué)說”認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開來而成的，直到現(xiàn)在，這大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相對(duì)速率相互遠(yuǎn)離．觀察表明：離我們?cè)竭h(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大．例如，牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為2.74×109Ly(Ly為“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飛離銀河系．若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)的聚集處沿各個(gè)方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T．⑴假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；⑵假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿夾角為θ的兩個(gè)方向飛離在大爆炸前物質(zhì)的聚集處．從高考到競(jìng)賽題9解:⑵兩天體分離速度成角度時(shí)，相對(duì)速度情況如圖所示v1v2v相對(duì)θ“大爆17M1M2CR60°60°地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點(diǎn)C做等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)．太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示．這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對(duì)于地、月均處于平衡．試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向Ｃ．從高考到競(jìng)賽題10解:地球月球太空城C設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地球與月球間距離為R，如圖設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為α，太空城所在位置和C點(diǎn)的連線與中垂線夾角為β，則F1F2M1M2CR60°60°18

估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發(fā)電的最長(zhǎng)時(shí)間．取地球本影長(zhǎng)為地球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍．日地衛(wèi)星

影

RR0nR0從高考到競(jìng)賽題11解:估19

估算從地球表面向火星發(fā)射火星控測(cè)器．設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球軌道半徑R0的1.5倍，簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲．當(dāng)探測(cè)器脫離地球引力并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為60°，如圖乙所示．已知地球半徑為：Rr=6.4×106m；地球公轉(zhuǎn)周期為：Te=365天，（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）⑴求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測(cè)器沿半個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；⑵通過計(jì)算說明在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面？從高考到競(jìng)賽題12解答飛船太陽地球火星地球探測(cè)器甲乙估20⑴由開三律:則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為⑵探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)火星通過的角度為則探測(cè)器開始進(jìn)入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成43°!從3月1日探測(cè)器與火星的角距離成60°經(jīng)38天到4月8日時(shí)成43°讀題解:⑴由開三律:則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為⑵探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)21走進(jìn)競(jìng)賽板塊走進(jìn)競(jìng)賽板塊22v0bacde牛頓的草圖-天體的運(yùn)動(dòng)軌跡軌道與能量v0bacde牛頓的草圖-天體的運(yùn)動(dòng)軌跡軌道與能量23機(jī)械能守恒支配天體運(yùn)動(dòng)的守恒定律引力勢(shì)能動(dòng)量守恒軌道與能量

兩個(gè)天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對(duì)它們的作用可以忽略的話，這兩個(gè)天體的總動(dòng)量守恒，兩個(gè)天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對(duì)速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對(duì)速度等值反向．若一個(gè)飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒．

角動(dòng)量守恒角動(dòng)量

若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運(yùn)動(dòng)，或幾個(gè)天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于有心力必過力心，對(duì)力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒．即．示例模型與方法機(jī)械能守恒支配天體運(yùn)動(dòng)的守恒定律引力勢(shì)能動(dòng)量守恒軌道與能量24A1A2AnA3r1rnM引力勢(shì)能m物體只在引力作用下繞中心天體運(yùn)行，其機(jī)械能守恒．引力是保守力，引力場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)，在平方反比力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能取決于其在有心力場(chǎng)中的位置．在中心引力場(chǎng)中，m從A1移至無窮遠(yuǎn)處，引力做負(fù)功為：

以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢(shì)能位置，物體在距中心天體r遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為返回A1A2AnA3r1rnM引力勢(shì)能m物體只在引力作用25O角動(dòng)量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（線）動(dòng)量為方向總是與矢徑r垂直定義:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量大小mv與矢徑大小r的乘積為質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)（圓心）O的角動(dòng)量：L=pr

當(dāng)p與r方向不垂直而成角度θ：prθA角動(dòng)量大小等于動(dòng)量大小與O點(diǎn)到動(dòng)量矢量p的垂直距離的乘積;方向遵守右手定則,矢量定義式為返回O角動(dòng)量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（26r2r1mO均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力M兩面元質(zhì)量各為r兩面元對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)m的引力各為由幾何關(guān)系:整個(gè)球殼對(duì)球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零!r2r1mO均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力M兩面元質(zhì)量各為r兩27對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球心r（＜R）處質(zhì)點(diǎn)只受半徑為r的球內(nèi)質(zhì)量的萬有引力，而r以外球殼（即R為外徑r為內(nèi)徑的球殼）則對(duì)質(zhì)點(diǎn)無引力的作用．

rMRm距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)受到引力大小

距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能均勻?qū)嵭那虻娜f有引力返回對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球心r28常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法29

試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度v3．專題11-例1地球質(zhì)量M太陽質(zhì)量MS地球半徑R日地距離r物體質(zhì)量m第一宇宙速度v1：(地球環(huán)繞速度)這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ柕墓D(zhuǎn)速度=29.8km/s；則以地球?yàn)閰⒄瘴铮@個(gè)速度為第二宇宙速度v2：(地球逃逸速度)由能量守恒第三宇宙速度v3：(太陽逃逸速度)原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需“逃逸速度”

由能量守恒：解:

30RRbv0vp要發(fā)射一臺(tái)探測(cè)太陽的探測(cè)器，使其與地球具有相同的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料．由地球發(fā)射這樣一臺(tái)探測(cè)器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？專題11-例2解:取發(fā)射時(shí)的一小段時(shí)間ΔtRRbv0vp31火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v1

火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時(shí)落回離發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處．空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，地球半徑取R0=6400km．

專題11-例3解:火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v132

豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，以T表示到達(dá)最高點(diǎn)所用時(shí)間，以H表示最高點(diǎn)離地球表面的距離，R表示地球半徑，M表示地球質(zhì)量，G為萬有引力恒量，不計(jì)空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比力”出發(fā)，確定時(shí)間T的數(shù)學(xué)表達(dá)式．專題11-例4解:從考慮萬有引力出發(fā)，物體在平方反比力作用下所做的“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”，其軌跡應(yīng)是以地心為焦點(diǎn)的一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓上的一部分，該橢圓的長(zhǎng)軸可取作R+H，該橢圓是許多繞地衛(wèi)星可能的開普勒軌道中的一個(gè)，如圖示:

地心v1RH設(shè)在這樣的軌道上運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)行周期為T′,

物體的“面積速度”為:續(xù)解

33物體的“面積速度”為:物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地”衛(wèi)星周期關(guān)系由開三律：物體飛行期間矢徑掃過的面積:yx由橢圓方程讀題讀圖物體的“面積速度”為:物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地”衛(wèi)星周期關(guān)系由34其中其中35設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為m1、m2……mN的星體1、2…N構(gòu)成的孤立星團(tuán)，各星體空間位置間距離均為a，系統(tǒng)總質(zhì)量為M．由于萬有引力的作用，Ｎ個(gè)星體將同時(shí)由靜止開始運(yùn)動(dòng)．試問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間各星體將會(huì)相遇？專題11-例5解:設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O星體1與i位矢如圖r1ri星體1與i的萬有引力大小為a同理系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒設(shè)矢量r1大小r1=ka,質(zhì)點(diǎn)1在這個(gè)平方反比力作用下，在以O(shè)為一個(gè)焦點(diǎn)，以ka/2為長(zhǎng)半軸而短半軸逼近于零的“橢圓軌道”運(yùn)動(dòng)．

1i質(zhì)心

36遠(yuǎn)點(diǎn)在木星軌道而繞日運(yùn)行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽的彗星，求其近日點(diǎn)．（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R）

專題11-例6解:理想化模型：從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生“彈性碰撞”改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)入繞日軌道，如圖．木星軌道太陽v0vVv1得木星“碰撞”前速度為由機(jī)械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被太陽吸引到木星軌道附近時(shí)速度v滿足與木星“完全彈性碰撞”過程速度矢量關(guān)系如圖：續(xù)解

37v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！天體進(jìn)入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點(diǎn)距太陽r，過近日點(diǎn)時(shí)速度為v1讀圖由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相38yx如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運(yùn)動(dòng)，彗星繞太陽沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)．已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計(jì)地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間．專題11-例7解:準(zhǔn)線v0vOxyy=R0ABCC0S續(xù)解太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！yx39彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式

設(shè)彗星以速率v通過其軌道頂點(diǎn)C歷時(shí)Δt（Δt→0）讀圖地球以速率v0通過其軌道頂點(diǎn)C0歷時(shí)Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”相同！彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系40一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)周期為Ｔ，如果給衛(wèi)星一個(gè)附加的徑向速度un或一個(gè)附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)．⑴確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期．⑵所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？專題11-例8解:⑴衛(wèi)星在半徑r軌道圓運(yùn)動(dòng)速度為中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)(近)地點(diǎn)”速度為V、矢徑為rn（t）衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)讀圖機(jī)械能守恒角動(dòng)量守恒對(duì)同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)⑵要使Tn=T，根據(jù)開普勒第三定律，必有an=at，即有小試

41原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續(xù)解vu變軌道2atVrt衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續(xù)解vu變軌道2atVr42

設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和N沿同一橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心在這橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F上，又設(shè)M和N相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線．已知MN的中點(diǎn)經(jīng)近地點(diǎn)時(shí)MN=a，近地點(diǎn)到地心的距離為r，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為R，求M、N的中點(diǎn)經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆衛(wèi)星間的距離．

小試身手題1解:設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩衛(wèi)星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同al設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和N沿43

空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間．小試身手題2解:r1r2r0m1m2質(zhì)心O設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O質(zhì)點(diǎn)1與2位矢如圖質(zhì)點(diǎn)1與2的萬有引力大小為令矢量r1大小r1=kr0,等效于中心質(zhì)量k3(m1+m2)，兩質(zhì)點(diǎn)各在以中心為焦點(diǎn)、到中心距離為長(zhǎng)軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周期相遇，故空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和44

一質(zhì)點(diǎn)受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線上運(yùn)動(dòng)．試證此質(zhì)點(diǎn)自無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)的速率與從a處由靜止出發(fā)，到達(dá)a/4處時(shí)的速率相同．

解:導(dǎo)出此力場(chǎng)中的勢(shì)能公式：

小試身手題3BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)向力心移到B點(diǎn)

引力做元功為：

由從A移至B，引力做功為：

由機(jī)械能守恒，質(zhì)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)a處由靜止出發(fā)，到達(dá)/4處時(shí)

得證

45

有一個(gè)質(zhì)量大而體積小的星球，一個(gè)物體離這個(gè)星球的距離為r，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個(gè)星球上經(jīng)歷多少時(shí)間？（已知星球的質(zhì)量為M）解:將此星球視作質(zhì)點(diǎn)，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長(zhǎng)軸為小試身手題4若周期為T，則自由下落到星球歷時(shí)設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，其周期圓軌道星球根據(jù)開普勒第三定律

46

根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的．試估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團(tuán)到生成一顆星球需要多長(zhǎng)時(shí)間？解:

取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大云團(tuán)是密度均勻分布的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由落向云團(tuán)中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時(shí)間即是最外層塵埃落至中心的時(shí)間即小試身手題5

47

如行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時(shí)間，設(shè)太陽的高斯常數(shù)（GM）為k，行星質(zhì)量為m．小試身手題6解:

設(shè)行星原在力

作用下繞日做半徑為r勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點(diǎn)，經(jīng)半個(gè)周期(T′/2)到近日點(diǎn)，其半長(zhǎng)軸為根據(jù)開普勒第三定律

48某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運(yùn)行時(shí)，在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間．

小試身手題7解:解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0讀圖地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式

彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式設(shè)彗星、地球各以速率v和v0通過其軌道頂點(diǎn)歷時(shí)各Δt（Δt→0）和Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”之比為續(xù)解

49yxv0v返回續(xù)解yxv0v返回續(xù)解50慧星從A到B時(shí)間由

地球矢徑掃過面積

讀圖慧星從A到B時(shí)間由地球矢徑掃過面積讀圖51

如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測(cè)，發(fā)射后火箭繞太陽橢圓軌道運(yùn)行．為了節(jié)省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，軌道近日點(diǎn)為地球．假定地球和火星均繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道半徑分別為r與R，忽略其它行星對(duì)火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對(duì)地速度離開地球？火箭到達(dá)火星要用多長(zhǎng)時(shí)間？

小試身手題8解:日地球軌道火星軌道

R

r設(shè)太陽、火箭質(zhì)量依次為M、mv1v2由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

對(duì)日速度!

火箭離地速度應(yīng)為到達(dá)火星的時(shí)間是火箭運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期T

52

假設(shè)地球是一個(gè)均勻球體，現(xiàn)在地球的東半球北緯30°的a處開一個(gè)穿過地軸的直線隧道直通西半球北緯30°的b處，如圖所示．已知地球的半徑是6370km，地面的重力加速度g=9.8m/s2，第一宇宙速度v1=7.9km/s，假設(shè)隧道光滑．現(xiàn)將一個(gè)物體以v=v1/3的初速度從a處拋入隧道，問物體從b處出來后能飛離地面的最大高度是多少？小試身手題9解:ab30°解題方向考慮對(duì)稱性，物體從b處飛出的速度大小為v1/3，此后在地心引力作用下沿一橢圓軌道的遠(yuǎn)地橢圓弧運(yùn)動(dòng)；由守恒定律求最大高度.由機(jī)械能守恒有

hV由角動(dòng)量守恒有

RR+h

53有一航天器（不帶動(dòng)力裝置）自遠(yuǎn)方以速度v0射向某一行星，計(jì)劃在行星上著陸，如圖示．如以b表示v0與行星的垂直距離（稱為瞄準(zhǔn)距離），求b最大值為多少時(shí)，航天器可以在行星上著陸．已知航天器質(zhì)量為m，行星的質(zhì)量為M，半徑為R．

小試身手題10解:mORb由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

rbv0

54XAO

如圖，一質(zhì)量為m＝12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h＝100km．為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在X點(diǎn)做一次短時(shí)間發(fā)動(dòng)．從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u＝10km/s．月球半徑R＝1700km，月球表面上自由落體的重力加速度為g月=1.7m/s2．飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球：⑴到達(dá)月球上的A點(diǎn)，該點(diǎn)正好與X點(diǎn)相對(duì)；⑵在X點(diǎn)給一指向月球中心的動(dòng)量后，與月球表面相切于B點(diǎn)．試計(jì)算上述兩種情況下所需的燃料量．小試身手題11解:⑴按此方式，飛船橢圓軌道X為遠(yuǎn)月點(diǎn)，A為近月點(diǎn)，XA為長(zhǎng)軸，月心為焦點(diǎn)，vX由牛頓草圖可知，飛船在X點(diǎn)是向運(yùn)動(dòng)方向噴氣減速而成設(shè)飛船做圓運(yùn)動(dòng)時(shí)速率為v0

vA由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

飛船噴氣過程動(dòng)量守恒:代入題給數(shù)據(jù)得:

XAXAB⑴⑵續(xù)解XAO55讀題XBOvBvR⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的指向月心的速度vR，飛船在X點(diǎn)的速度變?yōu)関X由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

飛船噴氣過程沿徑向動(dòng)量守恒:讀題XBOvBvR⑵按此方式，飛船向背離月球方向噴氣后獲得的56地心

質(zhì)量為M的宇航站和與其對(duì)接上的質(zhì)量為m的飛船一起沿圓形軌道圍繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑為地球半徑R的n倍（n＝1.25）．某一瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR．質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇？（一般認(rèn)為M＞m）

小試身手題12解:在半徑為5R/4繞地圓軌道時(shí)宇航站及飛船速度飛船與宇航站分離時(shí)，飛船速度vm，宇航站速度vMvmVmvMVM飛船宇航站分離時(shí)兩者動(dòng)量守恒:續(xù)解2RM地心57讀題飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇,兩者周期滿足:k可取10，11

讀題飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇,兩者周期滿足:k58

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星沿半徑為r0的圓軌道飛行，地球質(zhì)量為M．若衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)中受到微弱的摩擦阻力f（大小恒定），則將緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球．將每周的旋轉(zhuǎn)近似處理成半徑為ri的圓軌道．試求每旋轉(zhuǎn)一周，軌道半徑的改變量Δr及衛(wèi)星軌道減少一半時(shí)減少的機(jī)械能．小試身手題13解:Mri在第i圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力的功

引力的功

由動(dòng)能定理

衛(wèi)星軌道減少一半時(shí)減少的機(jī)械能

59

如圖，宇宙飛船沿圓軌道運(yùn)行，運(yùn)動(dòng)速度為v0．已知火星半徑為R，飛船圓軌道離火星表面的高度為H．今飛船在極短時(shí)間內(nèi)，沿圓軌道徑向向外側(cè)點(diǎn)火噴氣，使飛船獲得指向火星的徑向速度av0，a是遠(yuǎn)小于1的常數(shù)．因噴氣量很小，噴氣后飛船的質(zhì)量可視作不變．噴氣后，飛船繞火星沿新的軌道運(yùn)行．試求飛船橢圓軌道近火星點(diǎn)距火星表面的高度hA以及遠(yuǎn)火星點(diǎn)距火星表面的高度hB，以及飛船繞橢圓軌道的運(yùn)行周期．

小試身手題14解:HhBv0RABhAvRV0飛船進(jìn)入橢圓軌道的初速度由機(jī)械能守恒有

VAVB由角動(dòng)量守恒有

由開三律，飛船前后周期之比為

v0

60

一宇宙飛船環(huán)繞一行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，飛船速率為v0．飛船上發(fā)動(dòng)機(jī)突然點(diǎn)火，使飛船速率從v0變到v0，加速度方向與速度方向相同，飛船沿新軌道運(yùn)動(dòng)．設(shè)φ為發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火時(shí)飛船速度方向與飛船在最遠(yuǎn)離行星時(shí)速度方向之間的夾角，求角φ，并畫出飛船運(yùn)動(dòng)軌跡的圖示．小試身手題15解:計(jì)算加速后飛船的總機(jī)械能E

飛船將沿雙曲線軌道遠(yuǎn)離行星

圖示由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

由雙曲線解析性質(zhì)得

61yxV續(xù)解yxV續(xù)解62天體運(yùn)動(dòng)種種天體運(yùn)動(dòng)種種63開普勒三定律面積定律支配天體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律軌道定律周期定律萬有引力定律牛頓運(yùn)動(dòng)定律t3t4Bt2t1A行星太陽ba機(jī)械能守恒開普勒三定律面積定律支配天體運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律64赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛(wèi)星可能軌道赤道平面軌道極地軌道其它軌道人造衛(wèi)星可能軌道65角速度周期速度加速度與軌道半徑關(guān)系軌道半徑R中心天體半徑R0天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律一覽表角速度周期速度加速度與軌道半徑關(guān)系軌道半徑R天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律一覽66F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體隨地球自轉(zhuǎn)所需向心力只是地心引力極小一部分天上衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)所需向心力由全部地心引力提供！結(jié)論：自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)F引mωF向赤道上的物體在某一緯度的物體mF引F向地面上物體67雙星模型特征與規(guī)律★模型特征：故有

之二：∵角速度相同，即之三：∵兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小相等，之四：之一：兩天體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力均為兩天體間的萬有引力，大小相等，即★模型規(guī)律：ORmmMRMvMvmω兩顆相近的天體繞它們連線上的某點(diǎn)（質(zhì)心Ｏ）以共同的角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng).之五：雙星系統(tǒng)動(dòng)量守恒雙星模型特征與規(guī)律★模型特征：故有之二：∵角速度相同，68一個(gè)常用的推導(dǎo)—天體的密度一個(gè)常用的推導(dǎo)—天體的密度69地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh

對(duì)北半球而言,在冬季過近日點(diǎn),夏季過遠(yuǎn)日點(diǎn)t3t4Bt2t1A行星太陽ba從高考到競(jìng)賽題1

如圖所示為地球繞太陽運(yùn)行示意圖，圖中橢圓表示地球公轉(zhuǎn)軌道，Ch、Q、X、D分別表示中國農(nóng)歷節(jié)氣中的春分、秋分、夏至、冬至?xí)r地球所在的位置．試說明，一年之內(nèi)秋冬兩季比春夏兩季要少幾天的原因．解:地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh由面積定律:地球公轉(zhuǎn)軌道平面日DXQCh對(duì)北半球而言,在冬季過近日點(diǎn),70同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角2θ，有θ因衛(wèi)星在影區(qū)、不反射陽光而看不到的時(shí)間為2θR

某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽光照射的此衛(wèi)星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時(shí)內(nèi)有多長(zhǎng)時(shí)間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g,地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對(duì)光的折射．R1解:從高考到競(jìng)賽題2同步軌道半徑設(shè)為R1同步衛(wèi)星軌道在影區(qū)的弧所對(duì)圓心角2θ，有71極地衛(wèi)星周期為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每次應(yīng)拍攝偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運(yùn)行，它的運(yùn)行軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時(shí)間內(nèi)將地面上赤道各處在日照條件下的全部情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時(shí)，衛(wèi)星上的攝像機(jī)至少應(yīng)拍攝地面上赤道圓周的弧長(zhǎng)是多少？設(shè)地球半徑為R，地面重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T.從高考到競(jìng)賽題3解:極地衛(wèi)星周期為每晝夜衛(wèi)星經(jīng)日照下的赤道的次數(shù)為每次應(yīng)拍攝72⑴由衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)0180⑵移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道上空，此間地球自轉(zhuǎn)了θ角，有電視轉(zhuǎn)播用的“地球同步衛(wèi)星”的軌道高度為h，轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0；衛(wèi)星定位系統(tǒng)用的某“移動(dòng)衛(wèi)星”沿通過地球的南北兩極的圓形軌道運(yùn)行，離地面高度為H，地球半徑為R0．⑴該移動(dòng)衛(wèi)星連續(xù)兩次通過地球北極點(diǎn)上空的時(shí)間間隔是多少？⑵該移動(dòng)衛(wèi)星某時(shí)刻恰位于經(jīng)度為0度的赤道上空，那么它下一次通過赤道上空時(shí)，下方地面的經(jīng)度是多少？從高考到競(jìng)賽題4解:⑴由衛(wèi)星下方地面處于東經(jīng)0180⑵移動(dòng)衛(wèi)星經(jīng)半周期又通過赤道73要使一顆人造地球通訊衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）能覆蓋赤道上東經(jīng)75.0°到東經(jīng)135.0°之間的區(qū)域，則衛(wèi)星應(yīng)定位在哪個(gè)經(jīng)度范圍內(nèi)的上空？地球半徑R=6.37×106m．地球表面處的重力加速度g=9.80m/s2．從高考到競(jìng)賽題5解:同步軌道半徑的計(jì)算解答要使一74同步軌道半徑設(shè)為R同步,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖:RR同步75°135°0°180°恰能覆蓋東經(jīng)75°的衛(wèi)星定位:恰能覆蓋東經(jīng)135°的衛(wèi)星定位:讀題同步軌道半徑設(shè)為R同步,其覆蓋經(jīng)度范圍的幾何關(guān)系如圖:RR同75同步軌道半徑設(shè)為R0：得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為動(dòng)能：衛(wèi)星在空間站的引力勢(shì)能為由機(jī)械能守恒：

地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω，萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢(shì)能可表示為．可供航天員居住與進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)的空間航天站離地面高度為h，若在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，則該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？

從高考到競(jìng)賽題6解:同步軌道半徑設(shè)為R0：得衛(wèi)星在同步軌道的引力勢(shì)能為動(dòng)能：衛(wèi)星76LMM

根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是M,兩者間相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)．⑴試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期；⑵若實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到運(yùn)動(dòng)周期為，且,為了解釋兩者的不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為，在宇宙中可能存在暗物質(zhì)．作為一種簡(jiǎn)化的模型，我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布這種暗物質(zhì)，而不考慮其它暗物質(zhì)的影響，試根據(jù)這一模型和上述觀察結(jié)果確定該星系間這種暗物質(zhì)的密度．

從高考到競(jìng)賽題7解:LMM77天文學(xué)家根據(jù)觀察宣布了下列研究成果，銀河系中可能存在一個(gè)大“黑洞”，距黑洞60億千米的星體以2000km/s的速度繞其旋轉(zhuǎn)，接近“黑洞”的所有物質(zhì)即使速度等于光速也被“黑洞”吸入，試計(jì)算“黑洞”的質(zhì)量和最大半徑．從高考到競(jìng)賽題8解:天文學(xué)78“大爆炸學(xué)說”認(rèn)為：宇宙是很久以前發(fā)生的一次大爆炸使聚集于某處的物質(zhì)分離開來而成的，直到現(xiàn)在，這大爆炸的“碎片”──宇宙中的各星系仍在以不同的相對(duì)速率相互遠(yuǎn)離．觀察表明：離我們?cè)竭h(yuǎn)的星系遠(yuǎn)離我們飛去的速度越大．例如，牧夫座內(nèi)一星云離我們銀河系的距離為2.74×109Ly(Ly為“光年”，而1Ly=9.46×1015m)，它正以3.93×107m/s的速率飛離銀河系．若大爆炸后形成的各星系分別是以不同的速率從大爆炸前物質(zhì)的聚集處沿各個(gè)方向勻速飛離，則在下列兩種情況下求宇宙的年齡T．⑴假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿相反方向飛離大爆炸前物質(zhì)的聚集處；⑵假設(shè)大爆炸后銀河系與牧夫座的那個(gè)星云分別以速率V1和V2沿夾角為θ的兩個(gè)方向飛離在大爆炸前物質(zhì)的聚集處．從高考到競(jìng)賽題9解:⑵兩天體分離速度成角度時(shí)，相對(duì)速度情況如圖所示v1v2v相對(duì)θ“大爆79M1M2CR60°60°地、月在相互間的萬有引力作用下，繞它們的連線上的一點(diǎn)C做等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)．太空城的首選位置在月球軌道上與月球及地球等距的地方，如圖所示．這里，太空城在地、月引力共同作用下，相對(duì)于地、月均處于平衡．試證明，太空城在這里所受地、月引力的合力作用線指向Ｃ．從高考到競(jìng)賽題10解:地球月球太空城C設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地球與月球間距離為R，如圖設(shè)太空城所受合力作用線與地、月連線的中垂線夾角為α，太空城所在位置和C點(diǎn)的連線與中垂線夾角為β，則F1F2M1M2CR60°60°80

估算空間太陽能電站一晝夜間由于被地球遮擋而不能發(fā)電的最長(zhǎng)時(shí)間．取地球本影長(zhǎng)為地球半徑的216倍，同步軌道高度為地球半徑的5.5倍．日地衛(wèi)星

影

RR0nR0從高考到競(jìng)賽題11解:估81

估算從地球表面向火星發(fā)射火星控測(cè)器．設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球軌道半徑R0的1.5倍，簡(jiǎn)單而又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步，在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動(dòng)能，從而脫離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造行星；第二步是在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探測(cè)器沿原方向加速，使其速度增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地球軌道及火星軌道分別在長(zhǎng)軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲．當(dāng)探測(cè)器脫離地球引力并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為60°，如圖乙所示．已知地球半徑為：Rr=6.4×106m；地球公轉(zhuǎn)周期為：Te=365天，（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日）⑴求出火星的公轉(zhuǎn)周期和探測(cè)器沿半個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；⑵通過計(jì)算說明在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)器上火箭發(fā)動(dòng)機(jī)方能使探測(cè)器恰好落在火星表面？從高考到競(jìng)賽題12解答飛船太陽地球火星地球探測(cè)器甲乙估82⑴由開三律:則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為⑵探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)火星通過的角度為則探測(cè)器開始進(jìn)入橢圓軌道的位置應(yīng)與火星的角距離成43°!從3月1日探測(cè)器與火星的角距離成60°經(jīng)38天到4月8日時(shí)成43°讀題解:⑴由開三律:則探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)間為⑵探測(cè)器沿半橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)83走進(jìn)競(jìng)賽板塊走進(jìn)競(jìng)賽板塊84v0bacde牛頓的草圖-天體的運(yùn)動(dòng)軌跡軌道與能量v0bacde牛頓的草圖-天體的運(yùn)動(dòng)軌跡軌道與能量85機(jī)械能守恒支配天體運(yùn)動(dòng)的守恒定律引力勢(shì)能動(dòng)量守恒軌道與能量

兩個(gè)天體相互作用過程中，如果其它星系離它們很遙遠(yuǎn)，對(duì)它們的作用可以忽略的話，這兩個(gè)天體的總動(dòng)量守恒，兩個(gè)天體從相距很遠(yuǎn)到相互作用直到遠(yuǎn)離，它們的始末速度滿足彈性碰撞的方程組，那么在它們相互作用的前后相對(duì)速度遵守“反射定律”，如果是一維方向上的“彈性碰撞”，則相對(duì)速度等值反向．若一個(gè)飛船向外噴氣或拋射物體，則系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而機(jī)械能不守恒．

角動(dòng)量守恒角動(dòng)量

若作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)某定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該定點(diǎn)的角動(dòng)量保持不變，這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律．物體在受有心力作用而繞著中心天體運(yùn)動(dòng)，或幾個(gè)天體互相繞其系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于有心力必過力心，對(duì)力心的力矩為零，故系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒．即．示例模型與方法機(jī)械能守恒支配天體運(yùn)動(dòng)的守恒定律引力勢(shì)能動(dòng)量守恒軌道與能量86A1A2AnA3r1rnM引力勢(shì)能m物體只在引力作用下繞中心天體運(yùn)行，其機(jī)械能守恒．引力是保守力，引力場(chǎng)是勢(shì)場(chǎng)，在平方反比力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能取決于其在有心力場(chǎng)中的位置．在中心引力場(chǎng)中，m從A1移至無窮遠(yuǎn)處，引力做負(fù)功為：

以無窮遠(yuǎn)處為零引力勢(shì)能位置，物體在距中心天體r遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能為返回A1A2AnA3r1rnM引力勢(shì)能m物體只在引力作用87O角動(dòng)量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（線）動(dòng)量為方向總是與矢徑r垂直定義:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量大小mv與矢徑大小r的乘積為質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)（圓心）O的角動(dòng)量：L=pr

當(dāng)p與r方向不垂直而成角度θ：prθA角動(dòng)量大小等于動(dòng)量大小與O點(diǎn)到動(dòng)量矢量p的垂直距離的乘積;方向遵守右手定則,矢量定義式為返回O角動(dòng)量pmO矢量r稱位置矢量，或稱矢徑繞定點(diǎn)圓運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的（88r2r1mO均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力M兩面元質(zhì)量各為r兩面元對(duì)殼內(nèi)質(zhì)點(diǎn)m的引力各為由幾何關(guān)系:整個(gè)球殼對(duì)球殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力為零!r2r1mO均勻球殼對(duì)殼內(nèi)物質(zhì)的萬有引力M兩面元質(zhì)量各為r兩89對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球心r（＜R）處質(zhì)點(diǎn)只受半徑為r的球內(nèi)質(zhì)量的萬有引力，而r以外球殼（即R為外徑r為內(nèi)徑的球殼）則對(duì)質(zhì)點(diǎn)無引力的作用．

rMRm距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)受到引力大小

距球心r處所置質(zhì)點(diǎn)的引力勢(shì)能均勻?qū)嵭那虻娜f有引力返回對(duì)于一個(gè)質(zhì)量均勻半徑為R的實(shí)心球，在距球心r90常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法常用模型方法理想化方法軌道極限模型矢量法與微元法91

試推導(dǎo)地球上的第三宇宙速度v3．專題11-例1地球質(zhì)量M太陽質(zhì)量MS地球半徑R日地距離r物體質(zhì)量m第一宇宙速度v1：(地球環(huán)繞速度)這是以日為參照物之速度，而地球?qū)μ柕墓D(zhuǎn)速度=29.8km/s；則以地球?yàn)閰⒄瘴?，這個(gè)速度為第二宇宙速度v2：(地球逃逸速度)由能量守恒第三宇宙速度v3：(太陽逃逸速度)原處于太陽系中地球軌道位置的物體離開太陽系所需“逃逸速度”

由能量守恒：解:

92RRbv0vp要發(fā)射一臺(tái)探測(cè)太陽的探測(cè)器，使其與地球具有相同的繞日運(yùn)動(dòng)周期，以便發(fā)射一年后又將與地球相遇而發(fā)回探測(cè)資料．由地球發(fā)射這樣一臺(tái)探測(cè)器，應(yīng)使其具有多大的繞日速度？專題11-例2解:取發(fā)射時(shí)的一小段時(shí)間ΔtRRbv0vp93火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v1

火箭從地面上以第一宇宙速度豎直向上發(fā)射，返回時(shí)落回離發(fā)射場(chǎng)不遠(yuǎn)處．空氣阻力不計(jì)，試估算火箭飛行的時(shí)間，地球半徑取R0=6400km．

專題11-例3解:火箭矢徑的“面積速度”為:火箭飛行期間矢徑掃過的面積:則v194

豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，以T表示到達(dá)最高點(diǎn)所用時(shí)間，以H表示最高點(diǎn)離地球表面的距離，R表示地球半徑，M表示地球質(zhì)量，G為萬有引力恒量，不計(jì)空氣阻力，從考慮萬有引力是“平方反比力”出發(fā)，確定時(shí)間T的數(shù)學(xué)表達(dá)式．專題11-例4解:從考慮萬有引力出發(fā)，物體在平方反比力作用下所做的“豎直上拋運(yùn)動(dòng)”，其軌跡應(yīng)是以地心為焦點(diǎn)的一個(gè)狹長(zhǎng)的橢圓上的一部分，該橢圓的長(zhǎng)軸可取作R+H，該橢圓是許多繞地衛(wèi)星可能的開普勒軌道中的一個(gè)，如圖示:

地心v1RH設(shè)在這樣的軌道上運(yùn)動(dòng)的物體的運(yùn)行周期為T′,

物體的“面積速度”為:續(xù)解

95物體的“面積速度”為:物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地”衛(wèi)星周期關(guān)系由開三律：物體飛行期間矢徑掃過的面積:yx由橢圓方程讀題讀圖物體的“面積速度”為:物體運(yùn)動(dòng)的周期與“貼地”衛(wèi)星周期關(guān)系由96其中其中97設(shè)想宇宙中有一由質(zhì)量分別為m1、m2……mN的星體1、2…N構(gòu)成的孤立星團(tuán)，各星體空間位置間距離均為a，系統(tǒng)總質(zhì)量為M．由于萬有引力的作用，Ｎ個(gè)星體將同時(shí)由靜止開始運(yùn)動(dòng)．試問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間各星體將會(huì)相遇？專題11-例5解:設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O星體1與i位矢如圖r1ri星體1與i的萬有引力大小為a同理系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒設(shè)矢量r1大小r1=ka,質(zhì)點(diǎn)1在這個(gè)平方反比力作用下，在以O(shè)為一個(gè)焦點(diǎn)，以ka/2為長(zhǎng)半軸而短半軸逼近于零的“橢圓軌道”運(yùn)動(dòng)．

1i質(zhì)心

98遠(yuǎn)點(diǎn)在木星軌道而繞日運(yùn)行的彗星稱為木星彗星，它的形成可看成是從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體經(jīng)木星吸引偏轉(zhuǎn)而成為太陽的彗星，求其近日點(diǎn)．（已知木星的公轉(zhuǎn)軌道半徑為R）

專題11-例6解:理想化模型：從無限遠(yuǎn)處落向太陽的天體在木星軌道經(jīng)與木星發(fā)生“彈性碰撞”改變運(yùn)動(dòng)方向進(jìn)入繞日軌道，如圖．木星軌道太陽v0vVv1得木星“碰撞”前速度為由機(jī)械能守恒，從無限遠(yuǎn)處被太陽吸引到木星軌道附近時(shí)速度v滿足與木星“完全彈性碰撞”過程速度矢量關(guān)系如圖：續(xù)解

99v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相等！天體進(jìn)入太陽彗星軌道，設(shè)其繞日軌道近日點(diǎn)距太陽r，過近日點(diǎn)時(shí)速度為v1讀圖由機(jī)械能守恒有

由角動(dòng)量守恒有

v0vV接近V分離V“完全彈性碰撞”接近速度與分離速度大小相100yx如圖所示，地球沿半徑為R0的圓軌道繞太陽運(yùn)動(dòng)，彗星繞太陽沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)．已知此拋物線與地球圓軌道一直徑的兩端相交，不計(jì)地球與彗星之間的引力，試求彗星在地球軌道內(nèi)的運(yùn)行時(shí)間．專題11-例7解:準(zhǔn)線v0vOxyy=R0ABCC0S續(xù)解太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！yx101彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式

設(shè)彗星以速率v通過其軌道頂點(diǎn)C歷時(shí)Δt（Δt→0）讀圖地球以速率v0通過其軌道頂點(diǎn)C0歷時(shí)Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”相同！彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式而地球繞日運(yùn)行有關(guān)系102一衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道上運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)周期為Ｔ，如果給衛(wèi)星一個(gè)附加的徑向速度un或一個(gè)附加的切向速度ut，衛(wèi)星都將沿一個(gè)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)．⑴確定在上述二種情況中衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期．⑵所附加的徑向速度un和切向速度ut必須滿足什么關(guān)系，才能使兩種情況下，衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)周期相等？專題11-例8解:⑴衛(wèi)星在半徑r軌道圓運(yùn)動(dòng)速度為中心天體質(zhì)量為M、“遠(yuǎn)(近)地點(diǎn)”速度為V、矢徑為rn（t）衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)讀圖機(jī)械能守恒角動(dòng)量守恒對(duì)同一環(huán)繞中心，兩軌道周期滿足衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)⑵要使Tn=T，根據(jù)開普勒第三定律，必有an=at，即有小試

103原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續(xù)解vu變軌道2atVrt衛(wèi)星附加速度u為徑向時(shí)衛(wèi)星附加速度u為切向時(shí)原軌道原軌道vur變軌道rnV2an續(xù)解vu變軌道2atVr104

設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和N沿同一橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，地球中心在這橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F上，又設(shè)M和N相距不遠(yuǎn)，因此可將橢圓弧看作直線．已知MN的中點(diǎn)經(jīng)近地點(diǎn)時(shí)MN=a，近地點(diǎn)到地心的距離為r，遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為R，求M、N的中點(diǎn)經(jīng)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩顆衛(wèi)星間的距離．

小試身手題1解:設(shè)在遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)兩衛(wèi)星距離lFNMMNrR在同一軌道上，衛(wèi)星面積速度相同al設(shè)有兩個(gè)地球人造衛(wèi)星M和N沿105

空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時(shí)兩質(zhì)點(diǎn)靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并相碰，試求兩質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動(dòng)到相碰所經(jīng)歷的時(shí)間．小試身手題2解:r1r2r0m1m2質(zhì)心O設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心為O質(zhì)點(diǎn)1與2位矢如圖質(zhì)點(diǎn)1與2的萬有引力大小為令矢量r1大小r1=kr0,等效于中心質(zhì)量k3(m1+m2)，兩質(zhì)點(diǎn)各在以中心為焦點(diǎn)、到中心距離為長(zhǎng)軸的退化為直線的扁橢圓上向中心運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周期相遇，故空間兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1和106

一質(zhì)點(diǎn)受一與距離3/2次反比引力作用而在一直線上運(yùn)動(dòng)．試證此質(zhì)點(diǎn)自無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)的速率與從a處由靜止出發(fā)，到達(dá)a/4處時(shí)的速率相同．

解:導(dǎo)出此力場(chǎng)中的勢(shì)能公式：

小試身手題3BAri-ri+1rAMrB在引力作用下質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)向力心移到B點(diǎn)

引力做元功為：

由從A移至B，引力做功為：

由機(jī)械能守恒，質(zhì)點(diǎn)從無窮遠(yuǎn)處到達(dá)距力心a處時(shí)a處由靜止出發(fā)，到達(dá)/4處時(shí)

得證

107

有一個(gè)質(zhì)量大而體積小的星球，一個(gè)物體離這個(gè)星球的距離為r，物體從靜止出發(fā)自由落向此星球，求物體落到這個(gè)星球上經(jīng)歷多少時(shí)間？（已知星球的質(zhì)量為M）解:將此星球視作質(zhì)點(diǎn)，落向此星球的物體的軌道視作退化為直線的橢圓，其半長(zhǎng)軸為小試身手題4若周期為T，則自由下落到星球歷時(shí)設(shè)想同一環(huán)繞系統(tǒng)另有一物體在半徑為r的圓軌道運(yùn)動(dòng)，其周期圓軌道星球根據(jù)開普勒第三定律

108

根據(jù)某種假設(shè)，星球是由星際物質(zhì)（宇宙塵埃）在萬有引力的作用下經(jīng)壓縮而成的．試估算由密度ρ=2×10-20g/cm3的宇宙塵埃組成的巨大的云團(tuán)到生成一顆星球需要多長(zhǎng)時(shí)間？解:

取理想化模型：認(rèn)為塵埃組成的巨大云團(tuán)是密度均勻分布的質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)自由落向云團(tuán)中心，最后密集成一顆星球，星球形成所需時(shí)間即是最外層塵埃落至中心的時(shí)間即小試身手題5

109

如行星突然在其軌道上某處停止運(yùn)動(dòng)（假定軌道為圓形）則將被吸引而至太陽，試求其所需時(shí)間，設(shè)太陽的高斯常數(shù)（GM）為k，行星質(zhì)量為m．小試身手題6解:

設(shè)行星原在力

作用下繞日做半徑為r勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有從距日為r處突然停止而被吸引向太陽的行星，其軌道可視作退化為直線的橢圓，出發(fā)于遠(yuǎn)日點(diǎn)，經(jīng)半個(gè)周期(T′/2)到近日點(diǎn)，其半長(zhǎng)軸為根據(jù)開普勒第三定律

110某彗星的軌道為拋物線，其近日點(diǎn)距離為地球軌道（假定為圓軌道）半徑的1/n，求此彗星運(yùn)行時(shí)，在地球軌道內(nèi)停留的時(shí)間．

小試身手題7解:解題方向比較兩天體矢徑掃過的面積，比較兩天體“面積速度”，可得兩天體運(yùn)行時(shí)間關(guān)系！太陽、彗星、地球質(zhì)量依次為M、m、m0讀圖地球繞日運(yùn)行有關(guān)系式

彗星軌跡為拋物線，由機(jī)械能守恒，有關(guān)系式設(shè)彗星、地球各以速率v和v0通過其軌道頂點(diǎn)歷時(shí)各Δt（Δt→0）和Δt

0（Δt0→0）兩者的“面積速度”之比為續(xù)解

111yxv0v返回續(xù)解yxv0v返回續(xù)解112慧星從A到B時(shí)間由

地球矢徑掃過面積

讀圖慧星從A到B時(shí)間由地球矢徑掃過面積讀圖113

如圖，從地球發(fā)射火箭到火星去進(jìn)行探測(cè)，發(fā)射后火箭繞太陽橢圓軌道運(yùn)行．為了節(jié)省能源，火箭離開地球的速度方向與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的速度方向一致，并且選擇適當(dāng)?shù)陌l(fā)射時(shí)機(jī)，使火箭橢圓軌道的遠(yuǎn)日點(diǎn)為火星，軌道近日點(diǎn)為地球．假定地球和火星均繞太陽做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道半徑分別為r與R，忽略其它行星對(duì)火箭的作用，求火箭應(yīng)以多大的對(duì)地速度離開地球？火箭到達(dá)火星要用多長(zhǎng)時(shí)間？

小試身手題8解:日地球軌道